四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期第一次周考数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期第一次周考数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 命题“∃x0∈R，x02+x0+1<0”的否定是（ ）
A．∀x∉R,x2+x+1≥0 B．∃x0∉R,x02+x0+1≥0
C．∀x∈R,x2+x+1>0 D．∀x∈R,x2+x+1≥0
2. 数列{an}中，a1=2,an+1=an+2，若ak+ak+1+⋯+ak+9=270，则k=（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3. 不等式(a-2)x2+(a-2)x+1>0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2,6) B．(2,6) C．(-∞,2]∪(6,+∞) D．(-∞,2)∪(6,+∞)
4. 已知a>0，关于x的不等式x2+bx-4<0的解集是(-2a,2a)，则3a+b的最小值为（ ）
A．2 B．22 C．4 D．42
5. 若两个正实数x，y满足xy=x+y+3，且不等式xy>m2-3m+5恒成立，则实数m的取值范围（ ）
A．{m|-44} C．{m|-13}
6. 已知函数f(x)=2x-2x+lnx，若f(a)+f(1b)=0，则3b+1a的最小值为（ ）
A．23 B．3 C．2 D．22
7. 已知(2+x)+(2+x)2+...+(2+x)10=a0+a1(1+x)+...+a10(1+x)10，(x≠-2,x≠-1)
则a3=（ ）
A．210 B．330 C．165 D．145
8. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+m，n∈N*，若对于任意的a∈[0,1]，不等式annA．x≤-1或x≥3 B．x≥3 C．x≤-1 D．x≥1或x≤0
二、多选题
9. 若关于x的不等式组{x2-x-2>02x2+(5+2k)x+5k<0的整数解只有-2，则k的取可以为（ ）．
A．-3 B．-2 C．2 D．3
10. 已知集合A={(x,y)|x+ay+2a=0}，B={(x,y)|ax+ay-1=0}，则下列结论错误的是（ ）
A．存在a∈R，使得A=∅ B．当a=-1时，A∩B={(12,-32)}
C．当A∩B=∅时，a=1 D．对任意的a∈R，都有A≠B
11. 已知实数x,y满足x>0,y>0，且x+3y=1，则下列结论正确的是（ ）
A．1x+2y的最小值为7+26 B．x2+y2的最小值为1010
C．sinx2+3y<1 D．lnx-e-3y<-1
三、填空题
12. 在5袋牛奶中，有2袋已经过了保质期，从中任取2袋，则取到的全是未过保质期的牛奶的概率为 ．
13. 函数f(x)=13x3+(m-2)2x2+(5-m)x-1的两个极值点都大于2，则实数m的范围是_____.
14. 已知双曲线C:x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左，右焦点为F1，F2，过F2的直线l1交C的右支于点A,B（点A在点B上方），|AF2|=2|BF2|，过点F1作直线l2//l1，交C于点E（点E在第二象限），若直线BE与直线AF1的交点在直线x=-a2c上，则C的离心率为 ．
四、解答题
15. (本小题满分13分)
已知集合A={m|∀x∈R,4x2+43x+m2-2m>0}，B={x|x2+px+q≤0}，且A∪B=R，A∩B=[-2,-1)．
（1）求集合A，B；
（2）若实数a>0,b>0且满足a+b+p+q=0，求1a+4b的最小值.
16. (本小题满分15分)
如下图，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，D是AC中点，E. F分别是BA. BC边上的动点，且EF//AC；将△BEF沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；
(1)求证：EF⊥PC；
(2)若BE=2AE，二面角P-EF-C是直二面角，求二面角P-CE-F的正弦值；
17. (本小题满分15分)
某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．
(1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为X，求X的最有可能的取值：
(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩x（满分100分）与绩效等级优秀率y，如下表所示：
根据数据绘制散点图，初步判断，选用y=λecx作为回归方程．令z=lny，经计算得z-=-0.642，i=17xizi-7x-z-i=17xi2-7x-2≈0.02，i=17xi=441.
（ⅰ）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率；
（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩x～N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x-，σ2近似为样本方差s2．经计算s≈20，求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率．
参考公式与数据：①ln0.15≈-1.902,e1.2≈3.32,ln5.2≈1.66．
②线性回归方程y^=b^x+a^中，b^=i=1nxiyi-nx-y-i=1nxi2-nx-2，a^=y--b^x-．
③若随机变量X～N(μ,σ2)，则P(μ-σ18. (本小题满分17分)
已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过A(-2,0),B(1,32)两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)F为椭圆C的右焦点，直线l交椭圆C于P,Q（不与点A重合）两点，记直线AP,AQ,l的斜率分别为k1,k2,k，若k1+k2=-3k，证明：△FPQ的周长为定值，并求出定值.
19. (本小题满分17分)
已知函数f(x)=lnx-ax2-14x+a+54(a≥0)
（1）当a=0时，求f(x)的极值；
（2）若f(x)>14x+34有解，求a的取值范围；
（3）证明：ln25+ln36+⋯+lnnn+31. 【答案】D
【详解】命题“∃x0∈R，x02+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1≥0”
故选：D
2. 【答案】C
【详解】因为a1=2,an+1-an=2，所以an=2+(n-1)×2=2n,
ak+ak+1+⋯+ak+9=10(ak+ak+9)2=10(2k+2k+18)2=(2k+9)×10=270,
所以k=9.
故选：C.
3. 【答案】A
【详解】①当a=2时，1>0恒成立，故a=2符合题意件；
②当a≠2时，必须满足{a-2>0Δ=(a-2)2-4(a-2)<0,
解得2故选：A.
4. 【答案】B
【详解】由题设x1=-2a所以{b2+16>0-2a+2a=-b2a>-2a，
又a>0，则3a+b=2a+1a≥22a×1a=22，
当且仅当2a=1a，即a=22时取得最小值.
故选：B
5. 【答案】C
【详解】∵x,y>0，∴xy=x+y+3≥2xy+3，即xy-2xy-3≥0
即(xy-3)(xy+1)≥0，解得：xy≥3或xy≤-1（舍去）
即xy≥9，当且仅当x=y=3时，等号成立，所以(xy)min=9，
因为不等式xy>m2-3m+5恒成立，∴9>m2-3m+5，
即m2-3m-4<0，解得：-1所以实数m的取值范围是{m|-1故选：C.
6. 【答案】A
【详解】因为f(x)=2x-2x+lnx（x>0），所以f'(x)=2+2x2+1x.
当x>0时，f'(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
又f(1x)=2x-2x+ln1x=-(2x-2x+lnx)=-f(x).
由f(a)+f(1b)=0⇒f(a)-f(b)=0，
所以a=b>0.
所以3b+1a=3a+1a≥23a⋅1a=23，当且仅当a=33时等号成立.
故选：A
7. 【答案】B
【详解】由(2+x)+(2+x)2+⋯+(2+x)10=a0+a1(1+x)+⋯+a10(1+x)10可得，
令t=1+x，有(1+t)+(1+t)2+⋯+(1+t)10=a0+a1t+⋯+a10t10
∴a0+a1t+⋯+a10t10=(1+t)+⋯+(1+t)10=1-(1+t)101-(1+t)⋅(1+t)=(1+t)11-(1+t)t
∴a0t+a1t2+a2t3+a3t4+⋯+a10t11=(1+t)11-t-1
∴a3是(1+t)11-t-1中t4的系数
而(1+t)11-t-1=k=011C11ktk-t-1,
所以a3=C114=11×10×9×84×3×2×1=330.
故选：B
8. 【答案】A
【详解】因为Sn=n2+m，n=1时，a1=S1=1+m，
n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+m-[(n-1)2+m]=2n-1，
所以a1=1+m，a2=3，a3=5，
因为{an}为等差数列，所以a1=1，m=0，
从而an=2n-1，ann=2-1n<2，
所以x2-(1+a)x-2a2-a+2≥2，即-2a2-(1+x)a+x2-x≥0，
则当0≤a≤1时，g(a)=2a2+(1+x)a-x2+x≤0恒成立，
{g(0)=-x2+x≤0g(1)=2+1+x-x2+x≤0，解得x≤-1或x≥3，
故选：A
9. 【答案】AB
【详解】x2-x-2>0解集为(-∞,-1)∪(2,+∞)，
2x2+(5+2k)x+5k=(2x+5)(x+k)<0
当k<52时， 2x2+(5+2k)x+5k<0的解集为(-52,-k)，
因为关于x的不等式组{x2-x-2>02x2+(5+2k)x+5k<0的整数解只有-2，
所以-2<-k≤3，即-3≤k<2，
当k=52时，2x2+(5+2k)x+5k<0的解集为空集，不满足题意，
当k>52时，2x2+(5+2k)x+5k<0的解集为(-k,-52)，不满足题意，
综上，k的取值范围[-3,2).
故选：AB
10. 【答案】AC
【详解】对于A，∵x+ay+2a=0表示过定点(0,-2)，且斜率不为0的直线，
∴集合A表示直线x+ay+2a=0上所有的点，∴A≠∅，A错误；
对于B，当a=-1时，A={(x,y)|x-y-2=0}，B={(x,y)|-x-y-1=0}，
由{x-y-2=0-x-y-1=0得：{x=12y=-32，∴A∩B={(12,-32)}，B对；
对于C，当B=∅时，a=0，满足A∩B=∅；
当B≠∅，即a≠0时，直线x+ay+2a=0与ax+ay-1=0平行，
∴{a=a2-1≠2a2，解得：a=1；
综上所述：当A∩B=∅时，a=0或a=1，C错误；
对于D，若A=B，则a≠0且直线x+ay+2a=0与ax+ay-1=0重合，
∴{a=a2-1=2a2，方程组无解，∴A≠B，D正确.
故选：AC.
11. 【答案】ACD
【详解】对于选项A，因为x>0,y>0，且x+3y=1，所以1x+2y=(1x+2y)(x+3y)=1+2xy+3yx+6≥7+22xy⋅3yx=7+26，
当且仅当2xy=3yx取等号，所以选项A正确，
对于选项B，因为x2+y2=(1-3y)2+y2=10y2-6y+1，
由x=1-3y>0，得到0对于选项C，因为x=1-3y，所以sinx2+3y<1，即sinx2又易知0令h(x)=x-sinx，则h'(x)=1-csx>0在区间(0,1)上恒成立，
即h(x)=x-sinx在区间(0,1)上单调递增，
所以h(x)=x-sinx>h(0)=0⇒x>sinx,
所以x>sinx>sinx2，故选项C正确，
对于选项D，因为x+3y=1，所以lnx-e-3y<-1，即lnx-e-3y<-x-3y，
即lnx+x令f(x)=lnx+x，易知f(x)=lnx+x在(0,+∞)上单调递增，
所以lnx+x令m(x)=e1-x-x，所以m'(x)=-e1-x-1<0在区间(0,1)恒成立，所以m(x)>m(1)=e1-1-1=0，得到e1-x>x，所以选项D正确，
故选：ACD.
12. 【答案】310.
【详解】记2袋已经过了保质期的牛奶为A,B，3袋未过保质期的牛奶为a,b,c，
从5袋牛奶中任取2袋，所有情况为：AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc，共10种情况；
其中全是未过保质期的牛奶的情况为：ab,ac,bc，共3种情况；
所以所求概率为310.
故答案为：310.
13. 【答案】m∈(-5,-4)
【详解】f'(x)=x2+(m-2)x+(5-m)，对于方程f'(x)=0，Δ=(m-2)2-4(5-m)>0⇒m∈(-∞,-4)∪(4,+∞)
设方程两根为x1,x2，由韦达定理，
x1+x2=2-m，x1x2=5-m.
因f(x)的两个极值点都大于2，则方程f'(x)=0的两根都大于2，
则{x1+x2>4(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4>0
⇒{2-m>45-m-2(2-m)+4>0⇒-5结合m∈(-∞,-4)∪(4,+∞)，可得.
故：m∈(-5,-4)
14. 【答案】213
【详解】如图记直线BE与直线AF1的交点为P，且连接BF1，则xP=-a2c，

由对称性有BE过坐标原点O且|EF1|=|BF2|．
由l1//l2有△EF1P∽△BAP，∴|EF1||AB|=|EP||BP|=13，
又∵|EO|=|BO|，∴|EP|=|OP|，∴xE=2xP=-2a2c，
∴|EF1|=a，|AF2|=2a，|AF1|=4a，即|BF1|=3a，|BF2|=a，
在△ABF1中，cs∠F1AB=16a2+9a2-9a22×4a×3a，
在△AF1F2中，cs∠F1AB=16a2+4a2-4c22×4a×2a，解得e=213，
故答案为：213．
15. (1)A=(-∞,-1)∪(3,+∞),B=[-2,3] (2)97
16.【详解】（1）因为AC⊥BC,AC//EF,所以EF⊥BC,即EF⊥FC,EF⊥PF,PF∩FC=F,PF,FC⊂平面PFC,EF⊥平面PFC,PC⊂平面PFC,
所以EF⊥PC.
（2）因为二面角P-EF-C是直二面角，所以平面PEF⊥平面EFC,平面PEF∩平面EFC=EF,PF⊥EF,PF⊂平面PEF,PF⊥平面EFC,

以FE,FC,FP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设平面CEF法向量为n→=(0,0,1),
P(0,0,43),C(0,23,0),E(43,0,0),PC→=(0,23,-43),CE→=(43,-23,0)
设平面PCE法向量为m→=(x,y,z){23y-43z=043x-23y=0,令z=1,得y=2,x=1,所以m→=(1,2,1)
设二面角P-CE-F为θ，csθ=n→·m→|n→|×|m→|=11+4+1×1=66.
sinθ=1-cs2θ=1-(66)2=1-16=56=306
17.（1）依题意，随机变量X服从超几何分布，且X的可能取值为0，1，2，3，
则P(X=0)=C30⋅C43C73=435，P(X=1)=C31⋅C42C73=1835，P(X=2)=C32⋅C41C73=1235，P(X=3)=C33⋅C40C73=135．
由此可得P(X=1)=1835最大，即X=1的可能性最大，故X最有可能的取值为1；
（2）（ⅰ）依题意，y=λecx两边取对数，得lny=cx+lnλ，
即z=cx+lnλ，其中x-=32+41+54+68+74+80+927=63，
由提供的参考数据，可知c=0.02，又-0.642=0.02×63+lnλ，故lnλ≈-1.9，
所以λ≈e-1.9，
由提供的参考数据，可得λ≈0.15，故y^=0.15×e0.02x，
当x=60时，y^=0.15×e0.02×60≈0.498，即估计其绩效等级优秀率为0.498；
（ⅱ）由（ⅰ）及提供的参考数据可知，μ≈x-=63，σ≈s≈20，
又y^≥0.78，即0.15×e0.02x≥0.78，可得0.02x≥ln5.2，即x≥83．
又μ+σ=83，且P(μ-σ由正态分布的性质，得P(x≥83)=12[1-P(μ-σ记“绩效等级优秀率不低于0.78”为事件A，则P(A)=P(x≥83)=0.1587，
所以绩效等级优秀率不低于0.78的概率等于0.1587．
18.【详解】（1）由已知设椭圆C方程为：mx2+ny2=1(m>0,n>0)，
代入A(-2,0),B(1,32)，得m=14,n=13，
故椭圆C方程为x24+y23=1.
（2）设直线l:y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2)，
由{y=kx+m,3x2+4y2=12⇒(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0得，
{x1+x2=-8km4k2+3x1⋅x2=4m2-124k2+3，Δ=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=192k2-48m2+144，
又k1=y1x1+2=kx1+mx1+2,k2=kx2+mx2+2，
故k1+k2=kx1+mx1+2+kx2+mx2+2=2kx1x2+2k(x1+x2)+m(x1+x2)+4mx1x2+2(x1+x2)+4
=8km2-24k-16k2m-8km2+16k2m+12m4m2-12-16km+16k2+12
=3m-6km2-4km+4k2，
由k1+k2=-3k，得m2-3km+2k2=0，
故(m-2k)(m-k)=0⇒m=2k或m=k，
①当m=2k时，直线l:y=kx+2k=k(x+2)，过定点A(-2,0)，与已知不符，舍去；
②当m=k时，直线l:y=kx+k=k(x+1)，过定点(-1,0)，即直线l过左焦点，
此时Δ=192k2-48m2+144=144k2+144>0，符合题意.
所以△FPQ的周长为定值4a=8.
19.解:（1）当a=0时， f(x)=lnx-14x+54
∵f'(x)=1x-14=4-x4x(x>0)
∴x∈(0,4)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；x∈(4,+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减
∴f(x)在x=4时取极大值f(4)=ln4+14，无极小值
（2）令g(x)=lnx-ax2-12x+a+12,则g'(x)=lx-2ax-12=-4ax2-x+22x(x>0)
○1当a=0时， g'(x)=2-x2x(x>0)
∴x∈(0,2)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；x∈(2,+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减
∴g(x)在x=2时取最大值g(2)=ln2-12>0，即 f(x)>14x+34有解；
○2当a>0时， 易知g(1)=0，令h(x)=-4ax2-x+2(x>0)，
∵h'(x)=-8ax-1<0 则h(x)在(0,+∞)上单调递减，且h(0)=2
故令h(x)=0解得x0=1-1+32a-8a=1+32a-18a
∴x∈(0,x0)时，h(x)>0，则g'(x)>0，g(x)单调递增；
x∈(x0,+∞)时，h(x)<0，g'(x)<0，g(x)单调递减.
又g(1)=0
当x0≠1时，a≠14,g(x)的最大值g(x0)>g(1)=0，此时f(x)>14x+34有解；
当x0=1时，a=14,g(x)的最大值g(x0)=g(1)=0，此时g(x)≤0横成立，即f(x)>14x+34无解；
综上所述，a的范围为[0,14)∪(14,+∞)
（3）由（2）问可得a=14时，g(x)=lnx-14x2-12x+34≤0（x=1时取等）
∴lnx≤14x2+12x-34=(x+3)(x-1)4（x=1时取等）
当n≥2时，有lnn<(n+3)(n-1)4，即lnnn+3∴i=2nlnnn+3<14+24+⋯+n-14=n2-n8x
32
41
54
68
74
80
92
y
0.28
0.34
0.44
0.58
0.66
0.74
0.94