四川省成都市石室中学2024-2025学年高二上学期第二次数学周考试题（Word版附答案）

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知复数满足，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
设，则，
由，则，
化简得，
则，解得，
则，
所以.
故选：C.
2. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A. 0.35B. 0.25C. 0.20D. 0.15
【答案】B
【解析】
三次投篮共有20种，
恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种
∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
故选：B
3. 如图，在三棱锥中，两两垂直，且，点E为中点，若直线与所成的角为，则三棱锥的体积等于（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
如图，
∵，点为的中点，
∴，，
∵，，两两垂直，，
∴平面，取BD的中点F，连接EF，
∴为直线与所成的角，且，
由题意可知，，设，连接AF，
则，
在中，由余弦定理，得，
即，解得，即
∴三棱锥的体积．
故选：．
4. 已知平面平面，．下列结论中正确的是（ ）
A. 若直线平面，则B. 若平面平面，则
C. 若直线直线，则D. 若平面直线，则
【答案】D
【解析】
A，若，，则或，故A错误；
B，若，，则或与相交，故B错误；
C，若，，，必须，利用面面垂直的性质定理可知，故C错误；
D，若，，即，利用面面垂直的判定定理知，故D正确；
故选：D.
5. 如图，在长方体中，，点B到平面距离为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】

由题意得点到平面距离为三棱锥的高，
设点到平面距离为，取中点，连接，
因为为长方体，所以，所以，
，，，
所以，，解得.
故选：C.
6. 自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱．已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
记“甲射中10环”为事件，“乙射中10环”为事件，，
甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为：
.
故选：D．
7. 若正实数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意若，则，所以，但这与矛盾，
所以不可能存在这种情况，
若，则，所以，即，但这与矛盾，
所以不可能存在这种情况，
所以只能，则则，所以，对比选项可知只有C正确.
故选：C.
8. 如图，三棱柱满足棱长都相等且平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面BDE与平面ABC的夹角是（ ）
A. 先增大再减小B. 减小
C. 增大D. 先减小再增大
【答案】D
【解析】
以中点为坐标原点，分别为轴，并垂直向上作轴建立空间直角坐标系.
设所有棱长均为2，则，,，，设平面BDE法向量,
则，令有，
故.
又平面ABC的法向量，故平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角的余弦值
，又，故在上单增， 上单减，
即随着x增大先变大后变小，所以随着x增大先变小后变大.
故选：D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.抛掷质地均匀的骰子两次，事件“第一次出现偶数点”，事件“第二次出现奇数点”，事件“两次都出现偶数点”，则（ ）
A.包含 B.与相互独立
C.与互为对立事件 D.与互斥但不对立
【答案】.ABD
【解析】
由题意得包含，A正确.因为，所以与相互独立，B正确.因为与不可能同时发生，且不是必然事件，所以与互斥但不对立，C错误，D正确.
10. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，直线与平面所成角的正切值为，则下列说法正确的是（ ）
A. 异面直线与所成的角为 B. 异面直线与所成的角为
C. 直线与平面所成的角为 D. 点到平面的距离为
【答案】ABD
【解析】
A选项，平面，直线与平面所成角, ，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，设直线与所成的角大小为，则，
故，A正确；
B选项，设直线与所成的角大小为，则，
故，B正确；
C选项，
可取为平面的法向量，
设直线与平面所成的角大小为，
则，
故直线与平面所成的角为，C正确；

因为四边形为正方形，所以⊥，
又平面，平面，故，
因为，平面，
所以⊥平面，故可取为平面的法向量，
故点到面的距离，D正确.
故选：ABD
11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ABC ）
A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上.
12. 如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为_______________.

【答案】
【解析】
依题意，，得，
由底面为矩形，，，得，显然，
又
，
因此，所以.
故答案为：
13. 三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______.
【答案】
【解析】
如图：
将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的.
设长方体外接球半径为，则：，所以
14. 已知函数在上是增函数，且，则的取值的集合为______.
【答案】
【解析】
由可知，，得，
所以，
又函数在上是增函数，
所以，即，所以，
所以，的可能取值为.
当时，由解得，
经检验，时不满足题意；
当时，由解得，
经检验，时满足题意
所以，的可能取值为.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的数值标准是：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100名居民体检数据，将其值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图如图．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，求a的值，并估计该社区居民身体质量指数的样本数据的分位数；
（Ⅱ）现从样本中利用分层抽样的方法在，两组中抽取6名居民，再从这6人中随机抽取2人，求抽取到2人的值不在同一组的概率．
解：（Ⅰ）由题设条件可得，解得，
又前三组频率之和为，
前四组的频率之和为，
故样本数据的分位数在内，
设分位数为x，则有，解得，
即该社区居民身体质量指数的样本数据的分位数为26.5．
（Ⅱ）由频率分布直方图可知的频数为，的频数为，
可得两组人数比值为1：2，按照分层抽样抽取6人，则在，分别抽取2人和4人，记这组两个样本编号为a，b，这组编号为1，2，3，4，
故从6人随机抽取2人所有可能样本构成的样本空间为
，
共15种组合；
设事件A为“抽取到两人的值不在同一组”，
则，共8种，故，
即从这6个人中随机抽取2人，抽取到2人的值不在同一组的概率为．
16.（本小题满分15分）
如图，直三棱柱中，是边长为2的正三角形，O为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【小问1详解】
是正三角形，为的中点，，
又是直三棱柱，平面，
又平面，，
又平面，平面.
【小问2详解】
依题意，建立空间直角坐标系，如图，
是边长为2的正三角形，则，
则，，，，．
，，，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，故，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，故，
设平面与平面夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为.
17.（本小题满分15分）
在正四棱柱中，为中点，直线与平面交于点．
（1）证明：为的中点；
（2）若直线与平面所成的角为，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【小问1详解】
如图，连接，，在正四棱柱中，
由与平行且相等得是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
所以，是中点，
所以是的中点；
【小问2详解】
以为轴建立空间直角坐标系，如图，设（），
则，，，，
，，
设平面的一个法向量是，则
，取，得，
因为直线与平面所成的角为，
所以，解得（负值舍去），
所以的长为．
18.（本小题满分17分）
已知中，角的对边分别是，.
（1）若，求的值；
（2）若的平分线交于点，且，求周长的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）已知中，角，，的对边分别是，，，.
若，所以，整理得：，
整理得：，解得.
（2）的平分线交于点，且，
利用三角形的面积：
所以，
整理得，
所以，
当且仅当时，等号成立.
所以，解得，
所以周长的最小值为.
19.（本小题满分17分）
如图①，在直角梯形中，，，.将沿折起，使平面平面，连，得如图②的几何体.
（1）求证：平面平面；
（2）若，二面角的平面角的正切值为，在棱上是否存在点使二面角的平面角的余弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，说明理由.
【解析】
（1）∵平面平面，平面平面，
又，∴平面，∴，又，
∴平面，平面，∴平面平面.
（2）由（1）知平面，，.
∴为二面角的平面角，
又平面，∴，，∴，.
在①，∴，令，则，
解得.即，.在①中作，垂足.
①
则可得，.
∵平面平面，∴平面，
过作，以为原点，，，分别为轴轴轴建立如图直角坐标系，则
②
，，，.
设，.
设平面的法向量为，则
，∴，取，，即，
设平面的法向量为，则
取，，.即.
.解得（舍去），或.
∴.