2022-2023学年四川省成都市石室中学高三上学期周练（三）理科数学word版含解析

  成都石室中学2022-2023学年度上期高2023届第三次周考

数学试题(理科)

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.

1.已知集合,则(   )

A. B. C. D.

2.已知复数, 则(   )

A.     B.     C.     D.

3.已知向量为单位向量,则是的(   )

A.充分不必要条件         B.必要不充分条件
C.充要条件             D.既不充分也不必要条件

4.某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是(   )

A.        B.        C.        D.

5.若实数满足约束条件则的最小值是(   )

A.                     B.                   C.                    D.

6.已知,,,且在上无最小值,则(   )

A.  B.1 C.                 D.2

7.已知等比数列的前项和,则(   )

A. B. C. D.

8.已知是双曲线的左、右焦点,过的直线与的左、右两支分别交于两点.若,则该双曲线的离心率为(   )

A. 2            B.         C.           D.

9.甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》,恰好买到了七张连号的电影票.若甲、乙两人必须相邻,且丙坐在七人的正中间,则不同的坐法的种数为(   )

A.240 B.192 C.96 D.48

10.若直线是曲线与的公切线,则(   )

A. B.1 C. D.2022

11.已知球的体积为,高为1的圆锥内接于球,经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为,若,则(   )

A.  B.  C.  D.

12.已知数列的前项和为,且或的概率均为,2,3,,,设能被3整除的概率为.有下述四个结论:

①;     ②;     ③;     ④当时,.

其中所有正确结论的编号是　　

A.①③ B.②④ C.②③ D.②③④

二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共计20分.

13.已知等差数列的首项为2,且,则　        　.

14.的展开式中的系数为　        　.

15.已知正实数满足,则的最大值为　        　.

16.已知椭圆的焦点为,,过的直线与交于两点.若,,则的值为　        　.

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. 在中,角的对边分别为,

(1) 求;

(2) 若,的面积为,求的周长.

18.每年的3月21日是世界睡眠日,保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠,某机构为了调查参加体育锻炼对睡眠的影响,从辖区内同一年龄层次的常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中,各抽取了100人,通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时）,并绘制出如下频率分布直方图.

(1)若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”,每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”,请根据已知条件完成下列列联表,并判断是否有99%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关?

(2)现从常参加体育锻炼的样本人群中按睡眠是否充足来采用分层抽样法抽取8人做进一步访谈,然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷,记抽取的两人中睡眠足的人数为,求的分布列及数学期望;

参考公式：,其中.

19.已知四棱锥中,平面,且,底面是边长为的菱形，.

(1)求证:平面平面;

(2)设与交于点,为中点，若二面角的正切值是.求的值.

20.已知直线和与抛物线分别相交于两点(异于坐标原点),与直线分别相交于两点,且.
(1)求线段的中点的轨迹方程;
(2)求面积的最小值.

21.已知函数.

(1)当时,求函数的单调区间;

(2)设,若为函数的极值点,且,求的值.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

【选修4-4：坐标系与参数方程】

22.在直角坐标系中,已知直线的参数方程为为参数,,,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

(1)判断直线与曲线的交点个数;

(2)若直线与曲线相交于,两点,且,求直线的直角坐标方程.

【选修4-5：不等式选讲】

23.已知函数.

(1)求不等式的解集;

(2)已知函数的最小值为,且,,都是正数,,证明:.

成都石室中学2022-2023学年度上期高2023届第三次周考

数学试题(理科)答案

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.

BACBC    ADCBA    CC

二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共计20分.

13.4       14. 40       15.      16.9

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（1）∵,

∴

∴,

∴

由正弦定理可得：,

∴,∴, ∴ --------------------------------------6分

(2) ,且,∴

  由余弦定理可得：

 ∴ 周长=   --------------------------------------12分

18.（1）常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：,

则“睡眠不足”的人数为25;

不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：,

则“睡眠不足”的人数为45;

列联表如下：

----------------------------------------------------------4分

零假设：睡眠足与常参加体育锻炼无关

因为  --------------------------------------6分

所以有99%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.  ---------------------------------------7分

（2）由题意知,常参加体育锻炼的样本人群中睡眠足和睡眠不足的人数比为75:25=3:1,用分层抽样法抽取8人,其中睡眠足的有6人,睡眠不足的有2人-----------------------------------8分

从这8人随机抽取2人,则的所有取值为0,1,2.

,,;

所以分布列为

  ---------------------------------------11分（说明：全对给3分,不全对时求出两个概率给2分）

数学期望  --------------------------------------12分

20. 解：法一

（1）平面，平面   

因为为菱形，所以

又因为，所以平面

因为平面 平面平面

（2）平面的一个法向量为

设平面的法向量为

设二面角的平面角为，则，可得

20. 线段的中点的轨迹方程为

所以,面积的最小值是

21.(1)函数的定义域为,当时,,

,

当时,,当时,,

所以函数的增区间是,减区间是.------------------------------3分

(2)由题意只需研究在上的极值点的情况.

可得,,------------------------------4分

①当时,,是单调递增函数,即是单调递增函数.

因为,所以当时,,是单调递增函数.

所以在上没有极值点; ------------------------------5分

②当时,由（1）知,,即,

所以在上是减函数,没有极值点; ------------------------------6分

③当时,令,,可得当时,,

当时,,即,所以在上单调递减,

又因为,所以时,,

所以在上单调递减,没有极值点; ------------------------------7分

④当时,,由二次函数的图像得存在使得,

当时,,单调递增;当时,,单调递减;

又,所以时,.

当时,,所以存在,使得,

所以在单调递增,在单调递减,所以符合题目要求, ------------------------------9分

即,,

所以,得,

即,即,------------------------------10分

当时,成立,当时,,即,

令,可得,在上为增函数,

所以,无解,故.所以.------------------------------12分

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

【选修4-4：坐标系与参数方程】

22.（1）由得：,则,

曲线的直角坐标方程为：;

由直线参数方程可知：恒过点,

,点在圆内部,

直线与曲线相交,即有两个不同的交点. ------------------------------5分

（2）将直线参数方程代入曲线直角坐标方程得：,

即;

设,对应的参数分别为,,则,,

,

解得：,,又,,或,

则直线方程为或.------------------------------10分

【选修4-5：不等式选讲】

23.（1）当时,,解得,

当时,,解得,

当时,,解得,

综上,原不等式的解集为,,.------------------------------4分

（2）证明：,

当且仅当即时,等号成立,

则,,

故

,