四川省成都市石室中学北湖校区2024-2025学年高一上学期国庆作业（一）数学试题（Word版附答案）

这是一份四川省成都市石室中学北湖校区2024-2025学年高一上学期国庆作业（一）数学试题（Word版附答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若命题：，则命题为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．命题．若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．设集合，，，则集合中元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
5．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，且，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
8．定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（ ）
A．甲乙都是真命题B．只有甲是真命题
C．只有乙是真命题D．甲乙都不是真命题
二、多选题
9．若集合，，满足，则实数的值可能是（ ）
A．B．C．0D．1
10．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．B．不等式的解集是
C．D．不等式的解集为
11．对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
三、填空题
12．已知命题，，且为真命题时的取值集合为．设为非空集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围为 ．
13．若一个直角三角形的斜边长等于，当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为 ．
14．若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集的真子集个数为 .
四、解答题
15．设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值．
16．已知全集，集合，
(1)若，求
(2)若“”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数 a的取值范围．
17．已知集合为非空数集，定义：，．
(1)若集合，直接写出集合，；
(2)若集合，，且，求证：；
(3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
参考答案：
1．C
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，写出结论即可.
【详解】命题是一个存在性命题，说明存在使的正数，
则它的否定是：不存在使的正数，
即对任意的正数都不能成立，
由以上的分析，可得为：，
故选：C.
2．C
【分析】根据，可求得，则得，从而可求解.
【详解】由题意可知，只需，解得，故C正确.
故选：C.
3．D
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可．
【详解】因为的一个充分不必要条件是，
则是的真子集，
，
故选：D．
4．B
【分析】分别在集合中取，由此可求得所有可能的取值，进而得到结果.
【详解】当，时，；当，时，；
当，或时，；当，时，；
当，或，时，；当，时，；
，故中元素的个数为个.
故选：B.
5．A
【分析】利用作差法比较的大小，再结合中间值比较即可.
【详解】易知，
因为，，所以，
则，即.
因为，，所以.
综上，.
故选：A
6．C
【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】由的解集为，可得，且方程的解为，
所以，则，所以，即，又，
所以，解得，即关于的不等式的解集为.
故选：C.
7．C
【分析】根据已知等式，应用常值代换法应用基本不等式求和的最小值即可.
【详解】
（当且仅当，时取等号）.
故选:C.
8．B
【分析】根据对称差集合的定义和集合的运算将变形即可判断命题甲；对于乙，画出和的图示即可判断.
【详解】对于甲，
，故命题甲正确；
对于乙，如图所示：
所以，，故命题乙不正确.
故选：.
【点睛】关键点点睛：对于集合新定义问题，关键是理解新定义，利用韦恩图结合集合的运算，利用数形结合判断.
9．BCD
【分析】先用列举法表示集合，再由得出，对进行分类讨论即可确定的值.
【详解】因为，所以，
因为，
所以当时，，满足，即符合题意；
当时，，要满足，则有或，解得或；
综上所述，的值可能是.
故选：BCD.
10．BC
【分析】利用一元二次不等式的解集用表示，再逐项分析判断即得.
【详解】对于A，由不等式的解集为，得是方程的两个根，且，A错误；
对于B，，则，
不等式，即，解得，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，不等式，即，整理得，解得或，D错误.
故选：BC
11．AC
【分析】分别将各选项中式子或者集合变形，判断是否能变形成与集合M中元素一样的特征.
【详解】对于A，，则恒有，
即，则，故A选项正确；
对于B，，若，则存在使得，
即，又和同奇或同偶，
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数；
若和都是偶数，则能被4整除，而不一定能被4整除，
所以不能得到，故B选项错误；
如果，可设，
对于C，，
可得，故C选项正确；
对于D，，
不一定成立，不能得到，故D选项错误.
故选：AC
【点睛】方法点睛：
按照题目中关于集合中元素的定义，对选项中的算式进行变形整理，表示成中元素的形式，判断是否能够成立.
12．
【分析】化简命题，结合条件列不等式可求的范围.
【详解】依题意，关于的不等式恒成立，
所以，解得，
所以实数的取值的集合．
因为是的必要不充分条件，
所以为的真子集．
又为非空集合，
所以， 得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：.
13．18
【分析】由题意画出图形，结合勾股定理并通过分析得知当最大值，这个直角三角形周长取最大值，根据基本不等式的取等条件即可求解.
【详解】如图所示：

在中，，
而直角三角形周长，
由勾股定理可知，
若要使最大，
只需即最大即可，
又，等号成立当且仅当，
所以，，，
等号成立当且仅当，
此时，其面积为.
故答案为：18.
14．31
【分析】结合题意先判断出的第211个子集，再由真子集个数求解即可；
【详解】因为，
所以由题意可得的第211个子集为，
所以其真子集个数为个，
故答案为：31
15．
【分析】利用换元法，将不等式左边转化为 的表达式，再多次利用基本不等式求得其最小值，从而得解.
【详解】因为，，所以，，
令，，则，，，，
所以
，
当且仅当且且且，即，
即，时，等号成立，
又不等式恒成立，所以，即的最大值为.
16．(1)
(2)
【分析】当时，可得，则或x>7}，然后求交集即可；
由充分不必要条件与集合的包含关系可得：若“”是“x∈Q”的充分不必要条件，即，然后考虑和两种情况分别求解即可．
【详解】（1）当时，，或x>7}，
因为，所以；
（2）若“”是“x∈Q”的充分不必要条件，即，
当时，，此时，满足，
当时，则，解得：，且和不能同时成立，
综上所述：实数a的取值范围为
17．(1)，
(2)证明见解析
(3)1349
【分析】(1)根据题目的定义，即可求得.
(2)根据集合相等的概念，可以证明.
(3)通过假设 ，求出对应的集合，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可.
【详解】（1）当，则，
（2）证明：因为集合，，且，所以中也只包含4个元素，即，剩下的元素满足，所以.
（3）集合，，记为集合中元素的个数，设集合满足题意，则，则，
所以，因为，由容斥原理，，
所以最小的元素为，最大的元素为，所以，即，解得，
实际上，当时满足题意；
证明如下：设，则
，则，依题意可知，，即，所以的最小值为，所以当时，
集合中元素最多，即时满足题意，
综上，的最大值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
B
A
C
C
B
BCD
BC
题号
11









答案
AC