四川省成都市石室中学北湖校区2024-2025学年高一上学期国庆作业（三）数学试题（Word版附答案）

这是一份四川省成都市石室中学北湖校区2024-2025学年高一上学期国庆作业（三）数学试题（Word版附答案），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共40分）
1．（本题5分）设全集，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C．D．
2．（本题5分）已知是一元二次方程的两个不等实根，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（本题5分）已知，常数，则“的最小值大于4”是“的最小值大于8”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．（本题5分）已知，且，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
5．（本题5分）若，则的最小值为（ ）
A．10B．12C．14D．16
6．（本题5分）若、、，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
7．（本题5分）定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（ ）
A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题
8．（本题5分）已知命题“成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（共20分）
9．（本题5分）若集合，，满足，则实数的值可能是（ ）
A．B．C．0D．1
10．（本题5分）十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．（本题5分）已知a，b均为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
12．（本题5分）设和是满足以下三个条件的有理数集Q的两个子集：
（1）和都不是空集；（2）；（3）若，，则，我们称序对为一个分割．
下列选项中，正确的是（ ）
A．若，，则序对是一个分割
B．若或，且，则序对是一个分割
C．若序对为一个分割，则必有一个最大元素，必有一个最小元素
D．若序对为一个分割，则可以是没有最大元素，有一个最小元素
三、填空题（共20分）
13．（本题5分）若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为 .
14．（本题5分）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.若为真命题，则实数的取值范围是 ；若p，q一真一假，则实数的取值范围是 .
15．（本题5分）在，，设全集，若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是
16．（本题5分）已知x，y，z均为正实数，则的最大值为 .
四、解答题（共70分）
17．（10分）（1）已知一元二次不等式的解集为−3,2，求、的值及不等式的解集．（2）已知，解不等式：．
18．（本题12分）已知函数.
(1)若不等式的解集为，求的取值范围；
(2)当时，解不等式；
(3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
19．（本题12分）（1）已知，求函数的最大值；
（2）已知，且，求的最小值.
20．（本题12分）已知集合A是由元素x组成的，其中，m，．
(1)设，，，试判断，与A之间的关系；
(2)任取，试判断，与A之间的关系．
21．（本题12分）《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展，为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：其他总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每5元/，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元）
(1)求关于的函数关系式；
(2)当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？
22．（本题12分）已知，，，且．
(1)证明：；(2)证明：．
参考答案：
1．D
【分析】解出集合，以及，然后求的补集，即可得答案.
【详解】由已知可解得，，，
，
所以图中阴影部分表示得集合为，
故选：D
2．D
【分析】举反例，对充分性和必要性进行证明或判断.
【详解】取，，而，，
所以由且不能推出且，
取，，满足且，
所以由且不能推出且，
所以且是且的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3．A
【分析】充分必要条件的证明要分充分性和必要性，所以假设一个式子成立，利用基本不等式得到参数的范围，再验证另一个式子是否成立，从而判断充分必要性.
【详解】若，
∵，，
∴
∴
∴，当且仅当时取“=”，
∵，∴，满足充分性；
若，
∵，，
∴，
∴，
∴，当且仅当时取“=”，
∵，∴，满足必要性；
故选：A
4．C
【分析】根据已知等式，应用常值代换法应用基本不等式求和的最小值即可.
【详解】
（当且仅当，时取等号）.
故选:C.
5．C
【分析】先化简原式，再应用基本不等式得出最小值即可.
【详解】由题意得.
由，得，则，
当且仅当，即时，等号成立.
故的最小值为14.
故选：C.
6．C
【分析】利用不等式的性质依次分析选项即可求解.
【详解】对于A，B，取，，则，，故A，B错误；
对于C，因为，，所以，故C正确；
对于D，取，则，故D错误；
故选：C
7．B
【分析】根据对称差集合的定义和集合的运算将变形即可判断命题甲；对于乙，画出和的图示即可判断.
【详解】对于甲，
，故命题甲正确；
对于乙，如图所示：
所以，，故命题乙不正确.
故选：.
【点睛】关键点点睛：对于集合新定义问题，关键是理解新定义，利用韦恩图结合集合的运算，利用数形结合判断.
8．A
【分析】原命题为假命题，则其否定为真命题，转化成恒成立问题，然后分离参数，利用函数的单调性求函数的最值，可得问题的答案.
【详解】由命题“成立”是假命题，
则命题“，成立”是真命题，
即恒成立．
令，，则，
因为
所以函数在上为增函数，当时，，所以．
故选：A
9．BCD
【分析】先用列举法表示集合，再由得出，对进行分类讨论即可确定的值.
【详解】因为，所以，
因为，
所以当时，，满足，即符合题意；
当时，，要满足，则有或，解得或；
综上所述，的值可能是.
故选：BCD.
10．BCD
【分析】利用基本不等式以及不等式的性质求解.
【详解】设一楼到五楼的距离为，
由题知，A错误；
因为，
且，所以，所以，所以，
又因为，（因为，所以取不到等号），所以，B正确；
对C，因为，所以，
又因为，
所以，即，C正确；
对D，因为，
所以，即，D正确；
故选:BCD.
11．ACD
【分析】对于A，利用基本不等式即可解得；
对于B，结合代换即可用基本不等式解决；
对于C，消元变为给定范围内二次函数最值问题；
对于D，结合代换即可用基本不等式解决.
【详解】对于A，
因为a，b均为正实数，且，
所以，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，
，
当且仅当即时，等号成立，故B错误；
对于C，
，
当时，的最小值为，故C正确；
对于D，
，
当且仅当即时，等号成立，故D正确.
故选：ACD.
12．BD
【分析】对于A，由于，故可判断其错误；
对于B，分别化简集合，根据分割的定义判断即可；
对于C，利用选项B中的例子即可判断其正误；
对于D，举出一个特殊例子即可判断其正误.
【详解】对于A，因为，，
所以或，显然，故A说法错误；
对于B，因为或，且，
所以和都不是空集，，若，，则，故，
所以序对是一个分割，故B说法正确；
对于C，由选项B中的例子可知，没有最小元素，但是一个分割，故C说法错误；
对于D，令，，显然是一个分割，而且没有最大元素，有一个最小元素，故D说法正确.
故选：BD.
13．
【分析】根据“存在，”为真命题，讨论，，求解.
【详解】命题“对任意的，都有”为假命题，
则“存在，”为真命题，
当时，满足；
当时，满足；
当时，需，解得；
综上：.
故答案为：
14．
【分析】第一空：为真命题时，任意，不等式恒成立可转化为，求解即可；第二空：化简命题，由（1）结合条件列不等式即可求出的取值范围.
【详解】第一空：因为为真命题，
所以对任意，不等式恒成立，
所以，其中，
所以，解得，
所以的取值范围；
第二空：若为真命题，即存在，使得不等式成立，
则，其中，
而，
所以，故；
因为一真一假，
所以为真命题，为假命题或为假命题为真命题，
若为真命题，为假命题，则，所以；
若为假命题，为真命题，则或，所以.
综上，或，
所以的取值范围为.
故答案为：
15．或
【分析】根据充分必要条件的定义，对进行分类讨论，可得答案.
【详解】解不等式，即，得，
得，，
“”是“”的充分不必要条件，A为B的真子集，
分类讨论如下：
①，即时，，不符题意；
②，即时，，
此时需满足，（等号不同时成立），解得，满足题意，
③，即时，，
此时，，（等号不同时成立），解得，满足题意，
综上，或时，满足“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：或
16．
【分析】将变为，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】因为x，y，z均为正实数，
所以
，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解.
17．（1），；（2）答案见解析
【分析】（1）利用一元二次不等式的解与相应一元二次方程的根的关系，结合韦达定理求得后再解相应的不等式即可；
（2）比较和，分、、三种情况解不等式即可.
【详解】（1）由的解集为−3,2，知的两根为，2，
所以，解得
所求不等式为，
变形为，
即，
所以不等式的解集为．
（2）原不等式为．
①若时，即时，则原不等式的解集为；
②若时，即时，则原不等式的解集为；
③若时，即时，则原不等式的解集为．
综上可得，当时，原不等式的解集为；
当时，则原不等式的解集为；
当时，则原不等式的解集为．
18．(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）对参数进行分类讨论，并结合一元二次函数性质即可求解；
（2）当时，，即，因式分解，对进行讨论，可得解集；
（3）转化为恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值求解的取值范围．
【详解】（1）当时，由，得到，所以，不合题意，
当时，由，得到，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）当时，，即，
可得，因为，
①当时，即，不等式的解集为
②当时，，因为，
所以不等式的解集为
③当时，．又，
所以不等式的解集为,
综上：，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
（3）由题对任意，不等式恒成立．
即，因为时，恒成立．
可得，设，则，所以，
可得
因为，当且仅当是取等号．
所以，当且仅当是取等号．
故得m的取值范围．
19．（1）；（2）
【分析】（1）易知，由基本不等式计算可得的最小值为6，即可得解；
（2）依题意，利用基本不等式中“1”的妙用计算可得答案.
【详解】（1）由可得，
所以，
当且仅当即时取等号；
所以函数的最大值为.
（2）根据题意，且，
则
，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值为．
20．(1)
(2)当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元
【分析】（1）代入售价和成本即可得到利润结果.
（2）由函数图像的性质即可得到最大值点和最大值.
【详解】（1）解：由题意可得，
所以函数的关系式为
（2）当时，的图象为开口向上的抛物线，
对称轴为，
所以当时，；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，此时.
综上：当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元.
21．(1)，，．
(2)，．
【分析】（1）利用分母有理化和完全平方公式进行化简即可；
（2）设,，然后将，表示出来，进行判断即可.
【详解】（1）∵，∴．
∵,∴．
∵，∴．
综上，，，．
（2）
任取，设，，
则，
其中，，∴．
∵，
其中，，∴．
综上，，．
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由，然后利用均值不等式即可求解；
（2）由基本不等式有，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，然后结合已知条件即可证明.
【详解】（1）证明：因为，，，且，
所以，
又，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
故而得证；
（2）证明：因为，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，
又因为， 即，
所以，当且仅当时等号成立，
故而得证.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
A
C
C
C
B
A
BCD
BCD
题号
11
12








答案
ACD
BD