人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数优质导学案

这是一份人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数优质导学案，文件包含专题228二次函数中的存在性问题十三大题型举一反三人教版原卷版docx、专题228二次函数中的存在性问题十三大题型举一反三人教版解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共167页， 欢迎下载使用。


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\l "_Tc11595" 【题型1 二次函数中面积问题的存在性问题】 PAGEREF _Tc11595 \h 1
\l "_Tc27022" 【题型2 二次函数中周长最值的存在性问题】 PAGEREF _Tc27022 \h 3
\l "_Tc3138" 【题型3 二次函数中全等三角形的存在性问题】 PAGEREF _Tc3138 \h 5
\l "_Tc20253" 【题型4 二次函数中等腰三角形的存在性问题】 PAGEREF _Tc20253 \h 7
\l "_Tc12631" 【题型5 二次函数中直角三角形的存在性问题】 PAGEREF _Tc12631 \h 8
\l "_Tc18234" 【题型6 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 PAGEREF _Tc18234 \h 10
\l "_Tc22800" 【题型7 二次函数中平行四边形的存在性问题】 PAGEREF _Tc22800 \h 12
\l "_Tc19842" 【题型8 二次函数中矩形的存在性问题】 PAGEREF _Tc19842 \h 13
\l "_Tc17661" 【题型9 二次函数中菱形的存在性问题】 PAGEREF _Tc17661 \h 15
\l "_Tc10249" 【题型10 二次函数中正方形的存在性问题】 PAGEREF _Tc10249 \h 17
\l "_Tc2720" 【题型11 二次函数中定值的存在性问题】 PAGEREF _Tc2720 \h 19
\l "_Tc18202" 【题型12 二次函数中角度问题的存在性问题】 PAGEREF _Tc18202 \h 22
\l "_Tc3743" 【题型13 二次函数中线段问题的存在性问题】 PAGEREF _Tc3743 \h 23
【题型1 二次函数中面积问题的存在性问题】
【例1】（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过0,-3，-b,c两点，其中a，b，c为常数，且ab>0．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是-4，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使S△PCES△CBE=38？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B1,0，C0,3．

(1)求抛物线的解析式．
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】（23-24九年级·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+83x+c的图像与y轴交于点B(0，4)，与x轴交于点A(－1，0)和点D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求抛物线的顶点和点D的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点P，使得△BOP的面积等于52？如果存在，请求出点P的坐标？如果不存在，请说明理由．
【变式1-3】（2024·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+m-12⋅x+m2m>0与x轴交于A-1,0,Bm,0两点，与y轴交于点C，并且OC=2OA，连接BC．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)点P是直线BC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使得△POC的面积等于△PAB面积的215？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，在y轴上是否存在点P，使得∠PAB=2∠DAB？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型2 二次函数中周长最值的存在性问题】
【例2】（23-24九年级·重庆·期末）如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．
(1)求△ABC的面积；
(2)直线y=2x-3与抛物线交于点C、D，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBD的周长最小？如果存在，请求出点P坐标；如不存在，请说明理由．
【变式2-1】（23-24九年级·江苏南通·假期作业）如图抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A1,0，B-3,0两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由．
【变式2-2】（23-24九年级·四川德阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得△ANC的周长最小，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，当线段PE的长度最大时，请求出点P的坐标和△AMP面积的最大值．
【变式2-3】（23-24九年级·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A0,5和B1,12．
(1)求抛物线的解析式
(2)①求出当-6≤x≤2时，y的最大值和最小值；
②如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，过点D作DE⊥OC于点E，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D，使△DMF的周长最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型3 二次函数中全等三角形的存在性问题】
【例3】（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-12x2+x+4的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H．

(1)求点A、P的坐标；
(2)连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-1】（2024·陕西咸阳·二模）已知抛物线L：y=x2+3x-4与y轴交于点A，抛物线L'与L关于x轴对称．
(1)求抛物线L'的函数表达式；
(2)O为坐标原点，点B是y轴正半轴上一点，OB=OA，点C是x轴负半轴上的动点，点P是第二象限抛物线L'上的动点，连接OP,BP,是否存在点P，使得以点O,P,C为顶点的三角形与△OPB全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（2024·甘肃陇南·一模）如图，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于A-1,0，B两点，与y轴交于点C0,-3．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)已知点Pm,n在抛物线上，当-1(3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为2,3，试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-3】（2024·陕西咸阳·三模）如图，抛物线y=14x2-2x+3与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为C，对称轴为直线l，l交x轴于点D．

(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥y轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型4 二次函数中等腰三角形的存在性问题】
【例4】（2024·云南楚雄·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-3，0)，B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，其对称轴与x轴交于点H．
(1)求抛物线的顶点坐标．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PHC是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若M是线段OA上一动点（不与点O，A重合），连接AC，过点M作DM⊥x轴，交抛物线于点D，交AC于点E，在点M的运动过程中，是否存在线段DE=CE？若存在，请求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-1】（2024·浙江·模拟预测）如图，拋物线w:y=ax2+bx-3（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于点A-1,0，B3,0，与y轴交于点C，将抛物线w向右平移一个单位得到抛物线w'；
(1)求抛物线w的函数表达式；
(2)连接AC，探究抛物线w'的对称轴直线l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-2】（2024·云南·模拟预测）已知抛物线y=-x2+bx+c（b，c是常数）的顶点坐标为A(1,4)，与y轴交于点B．
(1)求b，c的值；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】（2024·西藏日喀则·一模）如图，二次函数 y=x²+bx+c的图象与 x 轴交于A-1,0、B3,0两点，与 y 轴交于点 C，D 为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求 △DBC的面积；
(3)在抛物线对称轴上，是否存在一点P，使 P，B，C为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型5 二次函数中直角三角形的存在性问题】
【例5】（2024·甘肃酒泉·二模）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A-1，0和点B3，0两点，与y轴交于点C0，3．点D为直线BC上的一动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，当点D在线段BC上时，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标；
(3)如图2，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式5-1】（2024·湖南邵阳·模拟预测）如果二次函数y1的图象的顶点在二次函数为y2的图象上，同时二次函数y2的图象的顶点在二次函数y1的图象上，那么我们称这两个函数互为“顶点相容函数”．
(1)若二次函数y1=x2-2x-3与二次函数y2=-x2+bx-7互为“顶点相容函数”，则b=_______．
(2)如图，已知二次函数y1=14(x+1)2-2的图象的顶点为M，点P是x轴正半轴上的一个动点，将二次函数y1的图象绕点P旋转180°得到一个新的二次函数y2的图象，旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，且y2的图象的顶点为N．
①求二次函数y2的解析式；
②点Q为y轴上一点，是否存在一点Q，使得△MNQ为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-2】（2024·四川巴中·一模）已知，点A-2,0，点B8,0，点C0,4，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．点P在该抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若∠CAP=45°，求点P的坐标；
(3)当∠CAP=45°时，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使△PBM为直角三角形．若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．
【变式5-3】（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数y=x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A-1，0，C4，0，AC=BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型6 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】
【例6】（2024·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y=-x2+bx+c过点A和点C，与x轴交于点B．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)抛物线对称轴与直线AC交于点D，若P是直线AC上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重合），求△PAD面积的最大值；
(3)点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得△ANM是以AN为直角边的等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-1】（2024春·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于点A-1,0和点B4,0，与y轴交于点C，过动点D0,m作平行于x轴的直线l，直线l与抛物线y=ax2+bx-2相交于点E，F．

(1)求抛物线的表达式；
(2)求m的取值范围；
(3)直线l上是否存在一点P，使得△BCP是以BC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（2024·新疆昌吉·模拟预测）【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线m经过点C，分别过点A，B作直线m的垂线，垂足分别为点D，E．求证：△ACD≌△CBE；
【类比迁移]（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB与y轴交于点D，点C的坐标为0,-4，点A的坐标为8,0，求B，D两点的坐标；
【拓展延伸]（3）如图3，抛物线y=12x2-2x-6与x轴交于点A-2,0，点B6,0，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使△PMB是以PM为斜边的等腰直角三角形?若存在，请求出点M的坐标?若不存在，请说明理由．
【变式6-3】（2024春·福建漳州·九年级校考期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点B1,0，与y轴交于点A，其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的角平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
(3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型7 二次函数中平行四边形的存在性问题】
【例7】（2024·山东·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接BC、AC．已知A(-1,0)，B(5,0)，tan∠BCO=2．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点D为线段BC上方抛物线上的一个动点，连接BD、CD．连接AD，分别交y轴与BC于点E、F．当四边形ABCD的面积最大时，求直线AD的表达式及此时△BEF的面积；
(3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形ABCD的面积最大时，抛物线的对称轴x=m上是否存在点Q，使得四边形CDPQ为平行四边形？若存在，请求出平行四边形CDPQ的面积；若不存在，请说明理由．
【变式7-1】（23-24九年级·四川泸州·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于点A(-1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求这条抛物线对应的二次函数的解析式；
(2)若其顶点为D，设点P是抛物线的对称轴l上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；
(3)设点E为抛物线上一点，抛物线对称轴上是否存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出E点和F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式7-2】（2024·海南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点A0,-5,C-4,0，以OC,OA为边作矩形OABC，点D-32,-5为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，点B恰好落在OA边上的点E处．
(1)求经过O,D,C三点的抛物线的解析式；
(2)求四边形CDEO的面积；
(3)一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；
(4)若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由
【变式7-3】（23-24九年级·吉林·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A、B的坐标分别为A-2,0、B4,0，点C的坐标为0,6．点D是抛物线第一象限上一个动点．设点D的横坐标为m0(1)求抛物线的解析式；
(2)当四边形BOCD的面积最大时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出占M的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型8 二次函数中矩形的存在性问题】
【例8】（23-24九年级·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0),B(0,-3)两点，点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M、交x轴于点N．设点P的横坐标为t；
(1)分别求直线AB和这条抛物线的解析式；
(2)若点P在第四象限，若PM=ON，求此时点P的坐标；
(3)点C是平面直角坐标系中的一点，当点M在第四象限时，是否存在这样的点M，使得以A、C、B、M为顶点组成的以AB为边的矩形?若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-1】（2024春·广东江门·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-2a≠0交x轴于A-1，0、B两点，交y轴于点C，其对称轴为x=1.5，
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，将抛物线y=ax2+bx-2a≠0向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-2】（2024·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）已知抛物线y=ax2+bx-4a≠0交x轴于点A4,0和点B-2,0，交y轴于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线AC下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，交x轴于点E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标及PD+PE最大值．
(3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且AC为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由．
【变式8-3】（2024春·内蒙古通辽·九年级校考期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(3,0),B(-1,0)两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式和对称轴．
(2)若R为第一象限内抛物线上点，满足SΔRAC=12SΔABC，求R的坐标．
(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【题型9 二次函数中菱形的存在性问题】
【例9】（2024·广东珠海·三模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴负半轴上.
(1)如图1，已知点O0,0，B-1,-1，C1,m在抛物线上y=ax2a≠0，则a=________；m=_______；
(2)在（1）的条件下，若点D在抛物线上，且AD∥x轴，是否存在四边形ABCD为菱形？请说明理由；
(3)如图2，已知正方形ABCD的顶点B，D在二次函数y=ax2（a为常数，且a<0）的图象上，点D在点B的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，请求出m，n满足的数量关系.
【变式9-1】（2024·山东东营·模拟预测）如图，抛物线y=12x2+2x-6 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．
(1)求出直线AC，BC的函数表达式．
(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式9-2】（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y=x2+bx+c经过点B，D(-4,5)两点，且与直线DC交于另一点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE、BF或EB、EF边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式9-3】（2024·海南海口·二模）如图，抛物线与x轴交于A-2,0、B4,0两点，与y轴交于点C0,4，点P是抛物线上的动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点P在直线BC的上方运动时，连接AP，交直线BC于点D，交y轴于点E．
①若△ABD的面积是△PBD面积的3倍，求点P的坐标；
②当CD=CE时，求CE的长．
(3)过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型10 二次函数中正方形的存在性问题】
【例10】（23-24九年级·江苏盐城·期末）如图，已知抛物线y=x2+2x-3的图像与坐标轴分别交于A、B、C三点，连接AC，点M是AC的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，作直线FM．
(1)直接写出下列各点的坐标：F______，M______；
(2)若点P为直线FM下方抛物线上动点，过点P作PQ∥y轴，交直线FM于点Q，当△PQM为直角三角形时，求点P的坐标；
(3)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点F、M、N、E为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
【变式10-1】（2024·陕西·一模）如图，抛物线y=14x2-12x-3的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点A、B的坐标；
(2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形ACMD是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式10-2】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为4,2，连接OA，将线段OA绕着点O逆时针旋转90°，点A的对应点为点B．
(1)求经过B,O,A三点的抛物线L的表达式；
(2)将抛物线L沿着x轴平移到抛物线L'，在抛物线L'上是否存在点D，使得以B,O,A,D为顶点的四边形为正方形，若存在，求平移的方式．若不存在，说明理由．
【变式10-3】（23-24九年级·北京·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A-3，0，B4，0，交y轴于点C0，4．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直线y=34x+94与抛物线交于A、D两点，与直线BC交于点E．若点Mm，0是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．
①当S△EOG=12S△AOE时，求m的值；
②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【题型11 二次函数中定值的存在性问题】
【例11】（2024·山东淄博·一模）已知抛物线y=ax²+bx-3a≠0与x轴交于点A(-1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，若直线BC下方的抛物线上有一动点M，过点M作y轴平行线交BC于N，过点M作BC的垂线，垂足为H，求△HMN周长的最大值；
(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有1FS2+1FT2为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由．
【变式11-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），点A-2,0，M6,8在抛物线上．
(1)填空：b=________，c=________，点B的坐标为________；
(2)如图1，在抛物线上存在一点N，使S△AMN=S△BMN，求点N的横坐标；
(3)如图2，点C是x轴下方的抛物线上任意一点，D是线段AB上的一个定点（点D不与点A、B重合），过点D作y轴的平行线与射线BC，AC分别交于E，F两点，若DE+5DF为定值，求ADBD的值．
【变式11-2】（2024·福建龙岩·二模）已知抛物线y=x2+a-1x+a-2．
(1)对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标．
(2)当a=-1时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
①如图（1），若点P是x轴上的动点，当PD-PC取最大值时，求△PBD的面积；
②小聪研究发现：如图（2），E，F是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线CE与直线BF的交点始终在直线y=2x-9上，那么在直线EF存在点Q，使得△QCE，△QAC，△QAF中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【变式11-3】（2024·广东·一模）综合应用．
如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-23x2+43x+2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，且点M始终位于x轴上方，作直线AM，BM，分别交l于点E，F，在点M的运动过程中，DE+DF的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．
【题型12 二次函数中角度问题的存在性问题】
【例12】（2024·云南红河·一模）已知抛物线y=-12x2+bx+c，经过点-2,2和点0,2，抛物线上有一个点A，它的横坐标为-4．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求OA的长；
(3)若点P是x轴上方、y轴左侧抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使∠POA=45°？如果存在，请求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式12-1】（2024·山东济南·模拟预测）如图，抛物线y=ax2-83x+c与x轴交于A(-3,0),B两点，与y轴交于点C(0,4)，点E是抛物线对称轴上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．
(2)连接AC，当∠CEA=90°时，求所有符合条件的点E的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式12-2】（2024春·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点M，使△MBC的面积为27？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式12-3】（2024·重庆开州·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A-2,0，B4,0两点，与y轴交于点C，连接BC．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1：P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB、PC，求四边形PBOC面积的最大值以及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线AC的方向平移22个单位长度得到新抛物线y1，Q为新抛物线y1上一动点，作直线BQ交AC所在的直线于点D，是否存在点Q满足条件∠ADB+∠ABC=∠CAB，若存在，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．
【题型13 二次函数中线段问题的存在性问题】
【例13】（2024春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图1，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于A-8,0，C2,0两点，与y轴交于点D0,4．点E是第二象限内抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为n，过点E作直线EB⊥x轴于点B，作直线AD交EB于点F．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，当△EFD是以FD为底边的等腰三角形时，求点E的坐标；
(3)如图2，连接CD，过点E作直线l∥CD，交y轴于点H，连接BH．试探究：在点E运动的过程中，是否存在点E，使得FD=BH，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式13-1】（23-24九年级·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图1，抛物线y=ax2+bx+c过A-1,0，B2,0，C0,2三点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，连接PB、PC，求△PBC面积的最大值和此时点P的坐标；
(3)如图2，在抛物线对称轴上是否存在点M，使MB-MC的值最大？若存在，请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．
【变式13-2】（2024·安徽合肥·二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-3)三点，点D是二次函数图象上一点，点D的横坐标是m，直线x=12m与x轴交于点E，且0(1)求二次函数的表达式；
(2)过点D，作DG⊥直线x=12m于点G，作DF⊥x轴于点F，并交BC于点H．
①当m=32时，求DH的长；
②是否存在点D，使DG+DH最大？若存在，求出D点坐标，若不存在，请说明理由．
【变式13-3】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与直线AB交于点A0,-4，B4，0．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使△AHG的周长最小，求此时点G的坐标．
(3)如图②，点P为直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求2PM+PN的最大值及此时点P的坐标．