人教版（2024）第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程优质学案设计

这是一份人教版（2024）第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程优质学案设计，文件包含专题218利用一元二次方程解决几何动态问题七大题型举一反三人教版原卷版docx、专题218利用一元二次方程解决几何动态问题七大题型举一反三人教版解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共62页， 欢迎下载使用。


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\l "_Tc26122" 【题型1 利用一元二次方程解决三角形中的动态问题】 PAGEREF _Tc26122 \h 1
\l "_Tc16850" 【题型2 利用一元二次方程解决平行四边形中的动态问题】 PAGEREF _Tc16850 \h 2
\l "_Tc15057" 【题型3 利用一元二次方程解决矩形中的动态问题】 PAGEREF _Tc15057 \h 4
\l "_Tc24773" 【题型4 利用一元二次方程解决菱形中的动态问题】 PAGEREF _Tc24773 \h 5
\l "_Tc23106" 【题型5 利用一元二次方程解决正方形中的动态问题】 PAGEREF _Tc23106 \h 7
\l "_Tc4395" 【题型6 利用一元二次方程解决梯形中的动态问题】 PAGEREF _Tc4395 \h 8
\l "_Tc4608" 【题型7 利用一元二次方程解决平面直角坐标系中的动态问题】 PAGEREF _Tc4608 \h 9
【题型1 利用一元二次方程解决三角形中的动态问题】
【例1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在△ABC中，AC=50m，BC=40m，∠C=90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线CB匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当△PCQ的面积等于300m2时，运动时间为（ ）
A．5秒B．20秒C．5秒或20秒D．不确定
【变式1-1】（23-24九年级·广东汕头·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s．P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为t秒．当t= s时，PQ平分△ABC的面积．
【变式1-2】（2024九年级·上海·专题练习）等腰Rt△ABC中，AB=BC=8cm，动点P从点A出发，沿AB向点B移动，通过点P引平行于BC、AC的直线与AC、BC分别交于点R、Q，问：AP等于多少厘米时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2．
【变式1-3】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动．若P，Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．求经过几秒△BPQ的面积等于103cm2？

【题型2 利用一元二次方程解决平行四边形中的动态问题】
【例2】（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=4，CD=12，BD⊥AD，∠A=60°，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线A-D-C先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)两平行线DC与AB之间的距离是__________．
(2)当点P、Q与△BCD的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值．
(3)AP，以AP，AQ为一组邻边构造平行四边形APMQ，若▱APMQ的面积为73，求t的值．
【变式2-1】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）如图，等腰直角三角形ABC，∠B=90°，AB=4，D，E是AB，BC边上的动点，且AD=BE，以DE，CE为边作平行四边形DECF，连接CD，AF，当CD∥AF时，则△ADC的面积为 ．
【变式2-2】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，点E，F分别在平行四边形ABCD的边BC，AD上，且BE=DF，AD=10，CD=8，动点P从点A出发沿着线段AE向终点E运动，同时点Q从点C出发沿着折线段C-F-A向终点A运动，且它们同时到达终点，设Q点运动的路程为x，PE的长度为y，且y=kx+8（k为常数，k≠0）．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）求AE的长．
（3）当k=-45时，
①求AF的值；
②连结PQ，QE，当△PQE为直角三角形时，求所有满足条件的x的值．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）．
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)求当t＝2s时，求△AEF的面积；
(3)当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的13时，求t的值．
【题型3 利用一元二次方程解决矩形中的动态问题】
【例3】（23-24九年级·甘肃定西·阶段练习）如图①，在矩形ABCD中，ABA．3B．4C．5D．6
【变式3-1】（23-24九年级·江苏宿迁·期末）如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．

(1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？
(2)连接QB．
①当△BPQ为等腰三角形时，求t的值；
②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得∠PQB=90°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（23-24九年级·辽宁朝阳·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，△BPQ的面积是6cm2．
【变式3-3】（23-24九年级·河南·期末）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=4 cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止．
(1)求四边形PBCQ的面积；
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？
【题型4 利用一元二次方程解决菱形中的动态问题】
【例4】（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图①，BD是菱形ABCD的对角线，ADA．12cmB．16cmC．20cmD．24cm
【变式4-1】（23-24九年级·广东深圳·期中）如图，在△ABD中，AB=AD,AO平分∠BAD,过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C,连接BC

（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如果OA,OB(OA>OB)的长（单位：米）是一元二次方程x2-7x+12=0的两根，求AB的长以及菱形ABCD的面积．
（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/s的速度匀速直线运动到点C,动点N从B 出发，沿BD以1m/s的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后，△MON的面积为14m2？
【变式4-2】（23-24九年级·江苏南京·期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC=16cm,BD=12cm,动点M从点A出发沿AC方向以2cm/s的速度运动到点C，动点N从点B出发沿BD方向以1cm/s的速度运动到点D．若点M，N同时出发，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动．

(1)出发1秒钟时，△MON的面积= cm2；
(2)出发几秒钟时，△MON的面积为1cm2
【变式4-3】（2024·辽宁朝阳·一模）如图，菱形ABCD中，AC，BD交于O，AC=8cm，BD=6cm，动点M从A出发沿AC方向以每秒2cm匀速直线运动到C，动点N从B出发沿BD方向以每秒1cm匀速直线运动到D，若M，N同时出发，问出发后 s时，△MON的面积为菱形ABCD面积的112？

【题型5 利用一元二次方程解决正方形中的动态问题】
【例5】（23-24九年级·河南南阳·阶段练习）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'，若两个三角形重叠部分的面积为0.5cm2，则它移动的距离AA'等于（ ）

A．12cmB．2+24cmC．14cm或34cmD．2±22cm
【变式5-1】（2024九年级全国·竞赛）如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，点E在边AB上，且AE=6.4厘米，P、Q两点分别从B、C两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点P移到点D时，P、Q两点同时停止移动，设移动时间为t秒，当S△AEP=S△CPQ时，t= ．

【变式5-2】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为3，则它移动的距离AA′等于 ；移动的距离AA′等于 时，两个三角形重叠部分面积最大．
【变式5-3】（2024·河南·二模）如图1，正方形ABCD的边长和等腰直角△FGH的边AD与FG重合，边AB与FH在一条直线上，△FGH以1cm/s的速度向右移动，直到点H与点B重合才停止移动，两个图形重叠部分的面积为S（cm2），图2所示的是△FGH向右移动时，面积S（cm2）与随时间t（s）的变化的关系图象，则a的值是（ ）
A．16B．8C．2D．4
【题型6 利用一元二次方程解决梯形中的动态问题】
【例6】（23-24九年级·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=8cm，AB=AD=10cm，点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线A-B-C方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q运动停止，设运动时间为t．
（1）当t= 秒时，四边形PBQD为平行四边形；
（2）在点P、点Q的运动过程中，当t= 秒时，△BPQ的面积为15cm2？
【变式6-1】（23-24九年级·江苏泰州·期末）如图，利用两面夹角为135°且足够长的墙，围成梯形围栏ABCD，∠C＝90°，新建墙BCD总长为15米，则当CD＝ 米时，梯形围栏的面积为36平方米．
【变式6-2】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？
【变式6-3】（23-24九年级·上海·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从A点出发，以2cm/s的速度沿AB向B点运动（运动到B点即停止）；点Q从C点出发，以1cm/s的速度沿CD−DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒．
(1)求梯形ABCD的高和∠A的度数；
(2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
(3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【题型7 利用一元二次方程解决平面直角坐标系中的动态问题】
【例7】（23-24九年级·广东佛山·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点A(10,0)，点B(0,8)，过点B作x轴的平行线l，点P是在直线l上位于第一象限内的一个动点，连接OP，AP．
(1)求出SΔAOP=__________；
(2)若OP平分∠APB，求点P的坐标；
(3)已知点C是直线y=85x上一点，若ΔAPC是以AP为直角边的等腰直角三角形，求点C的坐标.
【变式7-1】（23-24九年级·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，5）、C（12，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．
(1)当t=_____时，点P移动到点D；
(2)当△OPQ的面积为16时，求此时t的值；
(3)当t为何值时，△PQB为直角三角形．
【变式7-2】（23-24九年级·重庆·期中）在平面直角坐标系中，直线l经过点A(2,0)和点B(0,2)．点C的横坐标为32，点D为线段OB的中点．
(1)求直线l的解析式．
(2)如图1，若点P为线段OA上的一个动点，当PC+PD的值最小时，求出点P坐标．
(3)在（2）的条件下，点Q在线段AB上，若△DPQ是等腰三角形，请直接写出满足条件的点Q的横坐标，并写出其中一个点Q的横坐标的求解过程．
【变式7-3】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+8(k<0)分别交x轴，y轴于点C，B，点A在第一象限，连接AB，AC，四边形ABOC是正方形．

（1）如图1，求直线BC的解析式；
（2）如图2，点D,E分别在AB,OC上，点E关于y轴的对称点为点F，点G在EF上，且EG=2FG，连接DE，DG，设点G的横坐标为t，△DEG的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，BF，CD，点M在BF上，且FM=EG，点N在BE上，连接MN交DG于点H，∠BNM=12∠BEF，且MH=NH，若CD=5BD，求S的值．