2023-2024学年贵州省毕节市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年贵州省毕节市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在实数 2，0， 5，π3，327，0.101001000 1…(每两个1之间依次多1个0)中，无理数的个数是( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2.一组数据2，2，4，3，6，5，2的众数和中位数分别是( )
A. 3，2B. 2，3C. 2，2D. 2，4
3.若点P1(m,−1)关于原点的对称点是P2(2,n)，则m+n的值是( )
A. 1B. −1C. 3D. −3
4.下列语句不正确的是( )
A. 数轴上表示的数，如果不是有理数，那么一定是无理数
B. 大小介于两个有理数之间的无理数有无数个
C. −1的立方是−1，立方根也是−1
D. 两个实数，较大者的平方也较大
5.如图，已知l1//l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为( )
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 100°
6.在2014年5月崇左市教育局举行的“经典诗朗诵”演讲比赛中，有11名学生参加决赛．他们决赛的成绩各不相同，其中的一名学生想要知道自己能否进入前6名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这11名学生成绩的( )
A. 众数B. 中位数C. 平均数D. 方差
7.在227,− 2,3−8，π，1.01001…这些实数中，无理数有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.下列运算正确的是( )
A. x4+x4=x8B. x6÷x2=x3C. x⋅x4=x5D. (x2)3=x8
9.下列能用平方差公式计算的是( )
A. (−x+y)(x−y)B. (x−1)(x+1)C. (2x+y)(2y−x)D. (x−2)(x+1)
10.已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于( )
A. 64B. 48C. 32D. 16
11.计算x2−y2x2−6x+9÷x+y2x−6的结果是( )
A. x−yx−3B. 2x−3C. 2x−2yx−3D. 2x−yx−3
12.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE/​/BC，分别交AB、AC于点D、E.若AB=5，AC=4，则△ADE的周长为( )
A. 9
B. 5
C. 17
D. 20
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.27的立方根是______ ．
14.要使分式y+2x+3的值为零，x和y的取值应为______ ．
15.想让关于x的分式方程2x−4=3+m4−x没有增根，则m的值为______ (填一个)．
16.如图，将长为12cm的弹性绳放置在直线l上，固定端点A和B，然后把中点C竖直向上拉升4.5cm至点D，则拉长后弹性绳的长为______ ．
17.已知一张三角形纸片ABC(如图甲)，其中AB=AC，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD(如图乙)，再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF(如图丙).原三角形纸片ABC中，∠BAC的大小为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
在计算 6×2 3− 24÷ 3时，小明的解题过程如下：
解：原式=2 6×3− 243…①
=2 18− 8…②
=(2−1) 18−8…③
= 10…④
(1)老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的；
(2)请你给出正确的解题过程．
19.(本小题8分)
老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：◆(−x2−1x2−2x+1)÷xx+1=x+1x−1．
(1)求被手遮住部分的代数式，并将其化简；
(2)原代数式的值能等于−1吗？请说明理由．
20.(本小题8分)
已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC/​/AB，
求证：AD=CF．
21.(本小题8分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．
(1)请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
(2)在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请画出点P的位置．
22.(本小题8分)
我国的动车和高铁技术处于全球领先位置，是“中国制造”的闪亮名片，高铁和普通列车的双普及模式，极大方便了人民群众出行．上世纪60年代通车的京广铁路广州一长沙段全程1000公里，而广州至长沙的高铁里程是普通列车铁路里程的34．
(1)广州至长沙的高铁里程是______公里；
(2)若广州至长沙的高铁平均速度(公里/小时)是普通列车平均速度(公里/小时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间少7个小时，求高铁的平均速度．
23.(本小题8分)
如图，△ABC和△ADE都是正三角形，BE和CD交于点F．
(1)求证：△BAE≌△CAD；
(2)求证：AF平分∠BFD．
24.(本小题8分)
已知，关于x的分式方程a2x+3−b−xx−5=1．
(1)当a=2，b=1时，求分式方程的解；
(2)当a=1时，求b为何值时分式方程a2x+3−b−xx−5=1无解；
(3)若a=3b，且a、b为正整数，当分式方程a2x+3−b−xx−5=1的解为整数时，求b的值．
25.(本小题8分)
已知：在平面直角坐标系中，点A(−3,0)，点B(−2,3)．
(1)在图①中的y轴上求作点P，使得PA+PB的值最小；
(2)若△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，请直接写出点C的坐标；
(3)如图②，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D(不与点A重合)是x轴上一个动点，点E是AD中点，连结BE，把BE绕着点E顺时针旋转90°得到FE(即∠BEF=90°，BE=FE)，连结BF、CF、CD，试猜想∠FCD的度数，并给出证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：0，327=3是整数，是有理数；
2， 5，π3，0.101001000 1…(每两个1之间依次多1个0)是无理数，则无理数共有4个．
故选C．
根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】B
【解析】解：这组数据从小到大排列是：2，2，2，3，4，5，6，
出现次数最多的数是2，故众数是2；
处在中间位置的数，即处于第四位的数是中位数，是3，
故选：B．
根据众数的意义，找出出现次数最多的数，根据中位数的意义，排序后找出处在中间位置的数即可．
考查众数、中位数的意义，即从出现次数最多的数、和排序后处于中间位置的数．
3.【答案】B
【解析】解：∵点P1(m,−1)关于原点的对称点是P2(2,n)，
∴m=−2，n=1，
∴m+n=−2+1=−1，
故选：B．
根据关于原点对称的点的坐标特点；两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得m、n的值，进而可算出m+n的值．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4.【答案】D
【解析】解：∵数轴上的点和实数一一对应，故选项A正确；
无理数是无限不循环小数，故选项B正确；
−1的立方是−1，立方根也是−1，故选项C正确；
实数包括正数和负数，故选项D错误．
故选：D．
A、B、C、D由于数轴上的点和实数一一对应关系，所以本题利用实数与数轴的关系以及数的运算意义解答即可求解．
本题主要考查了数轴的特点：数轴上的点和实数一一对应，实数包括有理数和无理数，以及数的平方，立方，立方
根的运算意义．
5.【答案】D
【解析】解：过点A作MN//l1
∴l1//l2//MN，
∴∠3=∠1=∠MAB=60∘，
∴∠2=∠MAC=∠3+∠A=100°．
故选：D．
根据两直线平行，内错角、同位角相等可得∠3=∠1=∠MAB，再根据平行线的性质，列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道中位数的多少．
故选：B．
11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
7.【答案】C
【解析】解：3−8=−2，
∴在227，− 2，3−8，π，1.01001…这些实数中，无理数有− 2，π，1.01001…共3个．
故选：C．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
8.【答案】C
【解析】解：A、合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C正确；
D、幂的乘方，底数不变指数相乘，故D错误．
故选：C．
根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
9.【答案】B
【解析】解：A、应为(−x+y)(x−y)=−(x−y)(x−y)=−(x−y)2，故本选项错误；
B、(x−1)(x+1)=(x2−1)，故本选项正确；
C、(2x+y)(2y−x)=−(2x+y)(x−2y)，故本选项错误；
D、(x−2)(x+1)=x2−x−2，故本选项错误．
故选：B．
根据平方差公式的结构特点，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵16x=2×x×8，
∴这两个数是x、8
∴k=82=64．
故选：A．
根据乘积项先确定出这两个数是x和8，再根据完全平方公式的结构特点求出8的平方即可．
本题是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点，求出这两个数是求解的关键．
11.【答案】C
【解析】解：原式=x2−y2x2−6x+9⋅2x−6x+y=(x+y)(x−y)(x−3)2⋅2(x−3)x+y=2(x−y)x−3=2x−2yx−3；
故选C．
分式的除法计算首先要转化为乘法运算，然后对式子进行化简，化简的方法就是把分子、分母进行分解因式，然后进行约分．分式的乘除运算实际就是分式的约分．
分式的化简以及乘除运算中，正确进行因式分解是关键．
12.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDO和△CEO是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD=DO，CE=EO，则△ADE的周长=AB+AC，从而得出答案．
【解答】
解：∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO=∠CBO，
∵DE/​/BC，
∴∠CBO=∠DOB，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=DO，
同理OE=EC，
∴△ADE的周长=AD+AE+ED=AB+AC=5+4=9．
故选A．
13.【答案】3
【解析】解：27的立方根是3，
故答案为：3．
根据立方根的定义解答即可．
本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
14.【答案】y=−2，x≠−3
【解析】解：由题意得：y+2=0，且x+3≠0，
解得：y=−2，x≠−3，
故答案为：y=−2，x≠−3．
根据分式值为零的条件可得y+2=0，且x+3≠0，再解即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
15.【答案】1(答案不唯一)
【解析】解：将分式方程两边都乘以(x−4)，得：
2=3(x−4)−m，
把x=4代入2=3(x−4)−m，
解得m=−2．
所以若原分式方程没有增根，则m≠−2．
故答案为：1(答案不唯一)．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x−4=0，所以增根是x=4，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
此题主要考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16.【答案】15cm
【解析】解：Rt△ACD中，AC=12AB=6cm，CD=4.5cm；
根据勾股定理，得：AD= AC2+CD2= 62+4．52=7.5(cm)；
∴AD+BD=2AD=15cm．
故答案是：15cm．
根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD即为拉长后橡皮筋的长．
此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．关键是根据勾股定理，可求出AD、BD的长．
17.【答案】36°
【解析】解：由等腰三角形的性质可得，∠C=∠ABC，
由折叠的性质可得：∠A=∠ADE，∠EDB=∠CDB，∠ABD=∠CBD，
则∠DBC=12∠ABC=12∠C，∠A=∠ADE=180°−2∠C=180°−4∠DBC，∠EDB=∠BDC=180°−∠C−∠DBC=180°−3∠DBC，
∵∠ADE+2∠EDB=180°，
∴180°−4∠DBC+2(180°−3∠DBC)=180°，
解得∠DBC=36°，∠A=180°−4∠DBC=36°，
故答案为：36°．
由折叠的性质可得：∠A=∠ADE，∠EDB=∠CDB，∠ABD=∠CBD，由等腰三角形的性质可得，∠C=∠ABC，求解即可．
此题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
18.【答案】③
【解析】解：(1)小明从第③步开始出错的；
故答案为③；
(2)原式=2 6×3− 24÷3
=2 18− 8
=6 2−2 2
=4 2．
(1)根据二次根式的加减法克判断第③步开始错误；
(2)利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
19.【答案】解：(1)被手遮住部分的代数式为：
x+1x−1⋅xx+1÷(−x2−1x2−2x+1)
=x+1x−1⋅xx+1⋅[−(x−1)2(x+1)(x−1)]
=−xx+1；
(2)原代数式的值不能等于−1，
理由是：x+1x−1=−1，
x+1=−(x−1)，
x+1=−x+1，
x+x=1−1，
2x=0，
x=0，
要使代数式−xx+1(−x2−1x2−2x+1)÷xx+1有意义，x+1≠0且x≠0且x+1≠0，
即x不能为1，−1，，0，
所以原代数式的值不能等于−1．
【解析】(1)根据已知算式得出被手遮住部分的代数式=x+1x−1⋅xx+1÷(−x2−1x2−2x+1)，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则算乘法即可；
(2)列出方程x+1x−1=−1，求出x=0，再根据分式有意义的条件求出x不能为1，−1，0，再得出答案即可．
本题考查了分式的乘除法法则，能灵活运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20.【答案】证明：∵FC/​/AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中，∠A=∠ECF∠ADE=∠FDE=FE，
∴△ADE≌△CFE(AAS)，
∴AD=CF．
【解析】解答：见答案。
分析：
根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，然后利用“角角边”证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，比较简单，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，
由图知，A1的坐标为(1,−1)、B1的坐标为(4,−2)、C1的坐标为(3,−4)；
(2)如图所示，点P即为所求．
【解析】(1)分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
(2)作点A关于y轴的对称点A′，再连接A′B，与y轴的交点即为所求．
本题主要考查作图−轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及利用轴对称性质求最短路径．
22.【答案】(1)750
(2)解：设普通列车的速度为x公里/小时，则高铁的速度为2.5x公里/小时．
由题意可得：1000x−7502.5x=7，
解得x=100，
经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意．
则2.5x=250(公里)
答：高铁的平均速度为250公里/小时．
【解析】【分析】
(1)根据“广州一长沙段全程1000公里，而广州至长沙的高铁里程是普通列车铁路里程的34”计算即可；
(2)设普通列车的速度为x公里/小时，则高铁的速度为2.5x公里/小时．根据“乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间少7个小时”列出方程并解答．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意：解分式方程需要验根．
【解答】
(1)解：由题意知，1000×34=750(公里)，
故答案是：750；
(2)见答案
23.【答案】证明：(1)∵△ABC和△ADE都是正三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，
∴△BAE≌△CAD．
(2)过点A作AG⊥BF交BF于点G，过点A作AH⊥DF交DF于点H，
由(1)可得△BAE≌△CAD，
∴BE=CD，S△BAE=S△CAD，
又∵S△BAE=12×BE×AG，S△CAD=12×CD×AH，
∴AG=AH，
∴AF平分∠BFD．
【解析】(1)根据等边三角形的性质得到AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
(2)过点A作AG⊥BF交BF于点G，过点A作AH⊥DF交DF于点H，根据全等三角形的性质得到BE=CD，S△BAE=S△CAD，根据角平分线的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：(1)把a=2，b=1代入分式方程a2x+3−b−xx−5=1 中，
得22x+3−1−xx−5=1，
方程两边同时乘(2x+3)(x−5)，
2(x−5)−(1−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，
2x2+3x−13=2x2−7x−15，
10x=−2，
x=−15，
检验：把x=−15 代入(2x+3)(x−5)≠0，
所以原分式方程的解是x=−15．
(2)把a=1代入分式方程 a2x+3−b−xx−5=1 得12x+3−b−xx−5=1，
方程两边同时乘(2x+3)(x−5)，
(x−5)−(b−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，
x−5+2x2+3x−2bx−3b=2x2−7x−15，
(11−2b)x=3b−10，
①当11−2b=0时，即b=112，方程无解；
②当11−2b≠0时，x=3b−1011−2b，
x=−32 时，分式方程无解，即3b−1011−2b=−32，b不存在；
x=5时，分式方程无解，即3b−1011−2b=5，b=5．
综上所述，b=112或b=5时，分式方程a2x+3−b−xx−5=1 无解．
(3)把a=3b代入分式方程a2x+3−b−xx−5=1 中，得：3b2x+3+x−bx−5=1，
方程两边同时乘(2x+3)(x−5)，
3b(x−5)+(x−b)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，
整理得：(10+b)x=18b−15，
∴x=18b−1510+b，
∵x=18b−1510+b=18(b+10)−19510+b=18−19510+b，且b为正整数，x为整数，
∴10+b必为195的因数，10+b≥11，
∵195=3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
但1、3、5小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解x为3、5、13、15、17，
由于x=5为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，b只可以取3、29、55、185，
所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
【解析】(1)将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
(2)把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
(3)将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．
25.【答案】解：(1)如图①−1中，点P即为所求．
(2)如图①−2中，
满足条件的点C1(1,2)，C2(0,−1)，C3(−5,4)，C4(−6,1)．
(3)猜想∠FCD=45°
①当点D运动到点A右侧时，
如图②中，延长FE至G，使EG=EF，连结AG，BG，BF．
在△FED和△GEA中
∵EF=EG，∠FED=∠GEA，ED=EA
∴△FED≌△GEA(SAS)
∴FD=AG，∠EFD=∠EGA
∵∠BEF=90°
∴BE⊥EF
∵BE=FE，FE=EG
∴△GBF是等腰直角三角形，
∴∠BGF=∠BFG=45°，∠GBF=90°，BG=BF
∵∠ABC=90°
∴∠ABC=∠GBF，
即∠ABG+∠GBC=∠CBF+GBC
∴∠ABG=∠CBF
在△ABC和△CBF中
∵AB=BC，∠ABG=∠CBF，BG=BF
∴△ABG≌△CBF(SAS)
∴AG=CF，∠AGB=∠CFB
∵FD=AG
∴CF=FD
∵FD=AG
∴CF=FD
∵∠AGB=AGE−BGE
∴∠AGB=∠EFD=45°∠CFD=∠CFE+∠EFD=∠GFB−∠BFC+AGE=45°−∠AGB+∠AGB+∠BGE=45°+45°=90°∵CF=FD
∴△CFD是等腰直角三角形，∠FCD=45°
②当点D运动到点A左侧时，
同理可证，∠FCD=45°
综上所述，∠FCD=45°
【解析】(1)如图①−1中，作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，连接PA，点P即为所求．
(2)利用等腰三角形三角形的性质画出图象，利用图象法即可解决问题．
(3)分两种情形：当点D运动到点A右侧时，如图②中，延长FE至G，使EG=EF，连结AG，BG，BF.利用全等三角形的性质求解．当点D运动到点A左侧时，同理可证，∠FCD=45°．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．