2023-2024学年贵州省毕节市织金县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年贵州省毕节市织金县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.五边形的外角和等于( )
A. 180∘B. 360∘C. 540∘D. 720∘
3.如图，AB//CD，CE⊥AD，垂足为E，若∠A=40∘，则∠C的度数为( )
A. 40∘
B. 50∘
C. 60∘
D. 90∘
4.用不等式表示：x的2倍与4的差是正数( )
A. 2x−4>0B. 2x−4<0C. 2(x−4)<0D. 4−2x<0
5.如图，AC⊥BE于点C，DF⊥BE于点F，且BC=EF，如果添上一个条件后，可以直接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF，则这个条件应该是( )
A. AC=DE
B. AB=DE
C. ∠B=∠E
D. ∠D=∠A
6.把a2−4分解因式，结果是( )
A. (a−8)(a+8)B. (a−4)(a+4)C. (a−2)(a+2)D. (a−2)2
7.当x=1时，分式2−3xx−1的值为( )
A. −1B. 0C. 3D. 分式无意义
8.函数y=x+2的图象如图所示，当y<0时，x的取值范围是( )
A. x<−2
B. x>−2
C. x>2
D. x<2
9.如图，在△ABC中，将△ABC绕点A顺时针旋转68∘，B和C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠ABB′的度数是( )
A. 57∘
B. 54∘
C. 55∘
D. 56∘
10.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=24，DE=4，AB=7，则AC长是( )
A. 3B. 4C. 6D. 5
11.计算1x−1−xx−1的结果等于( )
A. −1B. 1C. x−1D. xx−1
12.已知a−b=3，b−c=−4，则代数式a2−ac−b(a−c)的值为( )
A. −3B. −4C. −12D. 4
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.不等式x−3>0的解集是______.
14.在平面直角坐标系中，点A(4,−1)关于原点对称的点的坐标是______.
15.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=BC=5，现将△ABC沿着CB的方向平移到△A′B′C′的位置，若平移的距离为2，则图中的阴影部分的面积为______.
16.如图，△ABC中，AB=10，AC=6，AD平分∠BAC，CD⊥AD，E为BC的中点，则DE的长为______.
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)解不等式组：2x−12<15x+2≥3x；
(2)因式分解：xy2−2xy+x.
18.(本小题10分)
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点(网格线的交点).
(1)以点O为旋转中心，将△ABC旋转180∘，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)将线段AB向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段DE，画出线段DE.(点D与点A对应，点B与点E对应)
19.(本小题10分)
已知：如图，AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为N，M，OM=ON，BM与AN相交于点P.
(1)求证：PM=PN；
(2)若∠AOB=30∘，AN=2，求OM的长.
20.(本小题10分)
某学校八年级共甲、乙两个班，为丰富学生的体育活动购买了一批足球和篮球，足球和篮球的价格不同，如图是两个班级购买的足球和篮球的数量及消费的金额.
(1)求每个足球和篮球的价格；
(2)若该校八年级在同一商店采购同种型号的足球和篮球共10个，且他们的消费金额不超过460元，该校八年级最多购买了多少个足球？
21.(本小题10分)
如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE.连接DE、DF、EF.
(1)求证：△ADF≌△CEF；
(2)试证明△DFE是等腰直角三角形．
22.(本小题12分)
如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上.
(1)给出以下条件；①OB=OD，②∠1=∠2，③OE=OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；
(2)在(1)条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
23.(本小题12分)
某学校决定购买一些杂志.如果分别用800元购买A，B两种杂志，则购买A杂志的数量比B杂志的数量多20本，已知A杂志的单价为B杂志单价的45.
(1)求A，B两种杂志的单价分别为多少元？
(2)学校计划购买A，B两种杂志共80本，如果A杂志m本，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；
(3)在(2)的条件下学校计划购买A杂志的数量不能超过65本，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
24.(本小题12分)
(1)求图1中直线OA的函数表达式；
(2)如图2，点P(m,3)在过点A且平行于x轴的直线上，过点P作x轴的垂线交直线OA于点C，交直线y=−x−1于点D.
①当0②在①的条件下，若PC≥CD，求m的取值范围.
25.(本小题12分)
(一)发现探究
在△ABC中AB=AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ.
【发现问题】如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是______；
【探究猜想】如图2，如果点P为平面内任意一点.前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.请仅以图2所示的位置关系加以证明(或说明)；
(二)拓展应用
【拓展应用】如图3，在△ABC中，AC=2，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60∘，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B中图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C中图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B.
根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180∘，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
2.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查多边形的外角和定理，解决的关键在于掌握多边形外角和定理.
【解答】
解：多边形外角和定理即多边形外角和为360∘，
故选B.
3.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD，∠A=40∘，
∴∠D=∠A=40∘.
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90∘.
又∵∠CED+∠C+∠D=180∘，
∴∠C=180∘−∠CED−∠D=180∘−90∘−40∘=50∘.
故选：B.
根据平行线的性质，可得∠A=∠D=40∘.根据垂直的定义，得∠CED=90∘.再根据三角形内角和定理，可求出∠C的度数．
本题考查了平行线的性质、垂直的定义和三角形内角和定理，熟练掌握两直线平行，内错角相等推断出∠D=∠A以及运用三角形内角和定理是解决本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：x的2倍是2x与4的差是2x−4，
因为是正数，
所以是2x−4>0，
故选：A.
x的2倍即2x，与4的差可表示为2x−4，根据正数即“>0”可得．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于(小于)、不超过(不低于)、是正数(负数)”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键．
根据全等三角形的判定，利用HL即可得答案．
【解答】
解：AB=DE，可以直接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF.
∵AC⊥BE，DF⊥BE，
∴∠ACB=∠DFE=90∘，
在Rt△ACB和Rt△DFE中，
BC=EFAB=DE，
∴Rt△ACB≌Rt△DFE(HL)，
故选：B.
6.【答案】C
【解析】解：a2−4
=(a+2)(a−2).
故选：C.
利用平方差公式分解得结论．
本题考查了整式的因式分解，掌握提取公因式法是解决本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：当x=1时，x−1=1−1=0，
由题意得，该分式无意义，
故选：D.
将x=1代入该分式后，运用分式的定义进行辨别．
此题考查了分式的值和分式有无意义的条件问题的解决能力，关键是能代入后准确运用分式的定义进行求解．
8.【答案】A
【解析】解：根据图像，函数y=x+2与x轴的交点坐标为(−2,0)，
∴当y<0时，x的取值范围是x<−2.
故选：A.
根据一次函数与一元一次不等式的关系进行解答即可．
本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系是关键．
9.【答案】D
【解析】解：由旋转可得，AB=AB′，∠BAB′=68∘，
∴∠ABB′=∠AB′B=12(180∘−∠BAB′)=56∘.
故选：D.
在△ABB′中根据等边对等角，以及三角形内角和定理，即可求得∠ABB′的度数．
本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，在旋转过程中根据旋转的性质确定相等的角和相等的线段是解答本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=4(角平分线上的点到角两边的距离相等)，
∵S△ADB+S△ADC=S△ABC，
∵DE=4，AB=7，
∴12×4×7+12×4×AC=24，
即14+2AC=24，
∴AC=5.
故选：D.
作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE=DF=4，再利用S△ADB+S△ADC=S△ABC得到12×4×7+12×4×AC=24，然后解一元一次方程即可．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】A
【解析】解：原式=1−xx−1=−1，
故选：A.
利用分式的加减法则计算即可．
本题考查分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：a2−ac−b(a−c)
=a(a−c)−b(a−c)
=(a−c)(a−b)，
∵a−b=3，b−c=−4，
∴a−c=−1，
当a−b=3，a−c=−1时，原式=3×(−1)=−3，
故选：A.
先分解因式，再将已知的a−b=3，b−c=−4，两式相加得：a−c=−1，整体代入即可．
本题是因式分解的应用，考查了利用因式分解解决求值问题；具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入；但要注意分解因式后，有一个因式a−c与已知不符合，因此要对已知的两式进行变形，再代入．
13.【答案】x>3
【解析】解：移项得，x>3.
故答案为：x>3.
根据一元一次不等式的解法，移项即可得解．
本题考查了一元一次不等式的解法，注意移项要变号．
14.【答案】(−4,1)
【解析】解：点A(4,−1)关于原点对称的点的坐标是(−4,1).
故答案为：(−4,1).
根据关于与原点对称的点的坐标特点解答即可．
本题考查的是关于原点对称的点的坐标，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)是解题的关键．
15.【答案】8
【解析】解：阴影面积=5×5÷2−3×3÷2=8.
故答案为：8.
图中阴影部分的面积等于大三角形的面积减小三角形的面积，根据面积公式计算即可．
本题考查平移的性质，比较简单，解答此题的关键是利用平移的性质得出小三角形的底和高．
16.【答案】2
【解析】解：如图，延长CD，交AB于F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠CAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADF=∠ADC=90∘，
在△ADF和△ADC中，
∠DAF=∠DACAD=AD∠ADF=∠ADC，
∴△ADF≌△ADC(ASA)，
∴AF=AC=6，CD=DF，
∴BF=AB−AF=10−6=4，
∵CD=DF，CE=EB，
∴DE是△CFB的中位线，
∴DE=12BF=2，
故答案为：2.
延长CD，交AB于F，证明△ADF≌△ADC，根据全等三角形的性质得到AF=AC=6，CD=DF，进而求出BF，再根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
17.【答案】解：(1){2x−12<1①5x+2⩾3x②，
由①，得x<32，
由②，得x≥−1.
∴原不等式组的解集为−1≤x<32.
(2)xy2−2xy+x
=x(y2−2y+1)
=x(y−1)2.
【解析】(1)先解组中各个不等式，再确定不等式组的解集；
(2)先提取公因式，再利用完全平方公式．
本题考查了一元一次不等式组和整式的因式分解，掌握解一元一次不等式组的一般步骤和整式因式分解的方法是解决本题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，线段DE即为所求．

【解析】(1)根据旋转的性质作图即可．
(2)根据平移的性质作图即可．
本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵AN⊥OB于点N，BM⊥OA于点M，BM与AN相交于点P，
∴∠OMP=∠ONP=90∘，
在Rt△POM和Rt△PON中，
OP=OPOM=ON，
∴Rt△POM≌Rt△PON(HL)，
∴PM=PN.
(2)解：∵∠ONA=90∘，∠AOB=30∘，AN=2，
∴OA=2AN=4，
∴ON= OA2−AN2= 42−22=2 3，
∴OM=ON=2 3，
∴OM的长为2 3.
【解析】(1)由AN⊥OB于点N，BM⊥OA于点M，得∠OMP=∠ONP=90∘，而OP=OP，OM=ON，即可根据“HL”证明Rt△POM≌Rt△PON，则PM=PN；
(2)由∠ONA=90∘，∠AOB=30∘，得OA=2AN=4，则ON= OA2−AN2=2 3.
此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形中30∘角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，证明Rt△POM≌Rt△PON是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设每个足球和篮球的价格分别为x元，y元，
由题意得，x+2y=1302x+3y=220，
解得x=50y=40，
答：每个足球的价格是50元，每个篮球的价格是40元；
(2)设八年级购买了m个足球，则购买了(10−m)个篮球．
由题意得，50m+40(10−m)≤460，
解得m≤6，
∴m的最大值为6，
答：该校八年级最多购买了6个足球．
【解析】(1)设每个足球和篮球的价格分别为x元，y元，根据图形提供的等量关系列出方程组，解方程组即可；
(2)设八年级购买了m个足球，则购买了(10−m)个篮球，根据消费金额不超过460元列出不等式，解不等式即可得到答案．
此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等关系是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，
∴∠A=∠B=45∘，
又∵F是AB中点，
∴∠ACF=∠FCB=45∘，
即∠A=∠FCE=∠ACF=45∘，且AF=CF，
在△ADF与△CEF中，AD=CE∠A=∠FCEAF=CF，
∴△ADF≌△CEF(SAS)；
(2)由(1)可知△ADF≌△CEF，
∴DF=FE，∠AFD=∠CFE，
∴△DFE是等腰三角形，∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，
∴∠AFC=∠DFE，
∵∠AFC=90∘，
∴∠DFE=90∘，
∴△DFE是等腰直角三角形．
【解析】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的理解和掌握，稍微有点难度，属于中档题．
(1)根据在等腰直角△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，利用F是AB中点，∠A=∠FCE=∠ACF=45∘，即可证明：△ADF≌△CEF；
(2)利用△ADF≌△CEF，得到DF=FE，∠AFD=∠CFE，得出∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，和∠AFC=90∘即可证明△DFE是等腰直角三角形．
22.【答案】证明：(1)选取①②，
∵在△BEO和△DFO中∠1=∠2BO=DO∠EOB=∠FOD，
∴△BEO≌△DFO(ASA)；
(2)由(1)得：△BEO≌△DFO，
∴EO=FO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】(1)选取①②，利用ASA判定△BEO≌△DFO即可；
(2)根据△BEO≌△DFO可得EO=FO，BO=DO，再根据等式的性质可得AO=CO，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论．
此题主要考查了平行四边形的判定，以及全等三角形的判定，关键是掌握两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．
23.【答案】解：(1)设B种杂志的单价为x元，则A种杂志的单价为45x元，
∵用800元购买A，B两种杂志，则购买A杂志的数量比B杂志的数量多20本，
800x=80045x−20，
解得x=10，
经检验，x=80是方程的解，也符合题意，
∴45x=45×10=8，
∴B种杂志的单价为10元，A种杂志的单价为8元；
(2)根据题意得；W=8m+10(80−m)=−2m+800，
∴w与m的函数关系式为W=−2m+800；
(3)在W=−2m+800中，−2<0，
∴W随m的增大而减小，
又m≤65，
∴当m=65时，W取最小值，最小值为−2×65+800=670(元)，
此时80−m=80−65=15，
∴购买A杂志65本，B杂志15本，才能使费用最少，最少费用应为670元．
【解析】(1)设B种杂志的单价为x元，根据用800元购买A，B两种杂志，则购买A杂志的数量比B杂志的数量多20本，得800x=80045x−20，解方程并检验可得答案；
(2)根据题意得W=8m+10(80−m)=−2m+800；
(3)结合(2)，由m≤65和一次函数性质可得答案．
本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程和函数关系式．
24.【答案】解：(1)设直线OA的表达式为：y=kx，
则3=2k，则k=1.5，
则直线AO的表达式为：y=1.5x；
(2)①P(m,3)，
则点C、D的坐标分别为：(m,32m)、(m,−m−1)，
则PC=3−32m，CD=32m−(−m−1)=52m+1；
②若PC≥CD，即3−32m≥52m+1，
解得：m≤12.
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)①P(m,3)，则点C、D的坐标分别为：(m,32m)、(m,−m−1)，即可求解；
②若PC≥CD，即3−32m≥52m+1，即可求解．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到线段长度的表示方法，解不等式等，难度不大．
25.【答案】【发现问题】BQ=PC；
【探究猜想】结论：BQ=PC仍然成立，
理由：由旋转知，AQ=AP，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ−∠BAP=∠BAC−∠BAP，
∴∠BAQ=∠CAP，
∵AB=AC，
∴△BAQ≌△CAP(SAS)，
∴BQ=CP；
【拓展应用】如图3，
在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=60∘，
∵∠ABC=30∘，
∴∠EAC=60∘，
∴∠PAQ=∠EAC，
∴∠CAQ=∠EAP，
∴△CAQ≌△EAP(SAS)，
∴CQ=EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是AB上的动点，
∴当EF⊥BC(点P和点F重合)时，EP最小，
即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP，
在Rt△ACB中，∠ACB=30∘，AC=2，
∴AB=4，
∵AE=AC=2，
∴BE=AB−AE=2，
在Rt△BFE中，∠EBF=30∘，BE=2，
∴EF=12BE=1，
故线段CQ长度最小值是1.
【解析】解：【发现问题】由旋转知，AQ=AP，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ−∠BAP=∠BAC−∠BAP，
∴∠BAQ=∠CAP，
∵AB=AC，
∴△BAQ≌△CAP(SAS)，
∴BQ=CP，
故答案为：BQ=PC；
【探究猜想】见答案；
【拓展应用】见答案.
【发现问题】先判断出∠BAQ=∠CAP，进而用SAS判断出△BAQ≌△CAP，即可得出结论；
【探究猜想】同(1)证明△BAQ≌△CAP(SAS)即可得出结论；
【拓展应用】在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ=AP，∠PAQ=60∘，证明△CAQ≌△EAP(SAS)，由全等三角形的性质得出CQ=EP，当EF⊥BC(点P和点F重合)时，EP最小，由直角三角形的性质即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键．