2023-2024学年贵州省毕节市金沙县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年贵州省毕节市金沙县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动.下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如果x>y，那么下列正确的是( )
A. x+5≤y+5B. x−55yD. −5x>−5y
3.若分式2x+2有意义，则x的取值应满足( )
A. x≠−2B. x=−1C. x=−2D. x≠−1
4.计算x+5x+2−3x+2的结果是( )
A. 1B. 2x+2C. 4D. xx+2
5.线段CD是由线段AB平移得到的，点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，则点B(−4,−1)的对应点D的坐标为( )
A. (2,9)B. (5,3)C. (1,2)D. (−9,−4)
6.不等式组3x−2<2x+1x≥2的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
7.如图，在△ABC中，∠BAC=108∘，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′=CB′，则∠C′的度数为( )
A. 18∘B. 20∘C. 24∘D. 28∘
8.如图，直线y=kx+b与直线y=3x−2相交于点(12,−32)，则不等式3x−2A. x>12
B. x<12
C. x>−32
D. x<−32
9.甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件，可列方程为( )
A. 1201.2x−120x=30B. 120x−1201.2x=30
C. 1201.2x−120x=3060D. 120x−1201.2x=3060
10.分式方程2x−1=1−mx−1的解为正数，则m的取值范围( )
A. m>−3B. m>−3且m≠−2
C. m<3D. m<3且m≠−2
11.如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A=45∘，∠CED=70∘，则∠C的度数为( )
A. 45∘
B. 50∘
C. 60∘
D. 65∘
12.如图，在▱ABCD中，∠B=60∘，AB=6cm，BC=12cm.点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动.在此运动过程中，线段PQ=CD出现的次数是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.因式分解：x2y+2xy=______.
14.如果一个多边形的每一个外角都是40∘，那么这个多边形的边数为______.
15.将Rt△ABC沿边向右平移得到Rt△DEF，AB=8，BE=6，DG=3，则阴影部分的面积为______.
16.如图，在▱ABCD中，AB=5，AD=8，BE平分∠ABC交AD于点E，点F是DC的中点，连接EF交BC的延长线于点G，则BG=______.
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
(1)计算：(−1)2024+ 16+|3− 10|+3−8；
(2)解分式方程：x−2x+2−1=16x2−4.
18.(本小题10分)
解不等式组{4(x+1)⩽7x+13①x−419.(本小题10分)
先化简：(1−1x−1)÷x−2x2−2x+1，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
20.(本小题10分)
如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA 的延长线于点F.
(1)证明：△ADF是等腰三角形；
(2)若∠B=60∘，BD=6，AD=3，求EC的长.
21.(本小题10分)
如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,3)，B(3,4)，C(2,2).
(1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
(2)画出将△ABC绕原点逆时针方向旋转90∘后的图形△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标；
(3)求△A2B2C2的面积.
22.(本小题10分)
在四边形ABCD中，AD//BC.连结对角线AC，BD交于点E，且AE=CE.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形.
(2)若AC⊥BC，已知AB=5，AC=4，求BD的长.
23.(本小题12分)
在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6.
(1)AD与BD的数量关系为______.
(2)求BC的长．
(3)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
24.(本小题12分)
中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶.《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的34，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本.
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半.由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
25.(本小题12分)
综合与实践
特例感知：
如图1，在等边三角形ABC中，D是BC延长线上一点，且CD(1)试判断AF和BE的数量关系，并说明理由.
猜想论证：
(2)将△CDE绕点C按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则(1)中AF和BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由.
拓展延伸：
(3)将如图1所示的△CDE绕点C按逆时针方向旋转角度α(0∘<α<180∘)，当∠ABF=90∘时，请直接写出α的值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、B、C中的图形不是中心对称图形，故A、B、C不符合题意；
D、图形是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D.
把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2.【答案】C
【解析】解：如果x>y，两边同时加上5得x+5>y+5，则A不符合题意；
如果x>y，两边同时减去5得x−5>y−5，则B不符合题意；
如果x>y，两边同时乘5得5x>5y，则C符合题意；
如果x>y，两边同时乘−5得−5x<−5y，则D不符合题意；
故选：C.
利用不等式的性质逐项判断即可．
本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3.【答案】A
【解析】解：由分式2x+2有意义，得
x+2≠0，
解得x≠−2，
故选：A.
根据分母不为零分式有意义，可得答案．
本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：x+5x+2−3x+2=x+5−3x+2=x+2x+2=1.
故选：A.
根据分式的加减运算法则计算即可．
本题考查分式的加减运算法则，熟记运算法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，
∴点A向右平移5个单位，又向上平移了3个单位，
∵点B(−4,−1)，
∴对应点D的坐标为(−4+5,−1+3)，
即(1,2)，
故选：C.
根据点A的坐标平移后所得对应点的坐标可得线段AB向右平移6个单位，又向上平移了3个单位，然后可得B点对应点坐标．
此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
6.【答案】B
【解析】解：由3x−2<2x+1，得x<3，
所以不等式组3x−2<2x+1x≥2的解集在数轴上表示为：
.
故选：B.
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．
7.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
由旋转的性质可得∠C=∠C′，AB=AB′，由等腰三角形的性质可得∠C=∠CAB′，∠B=∠AB′B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】
解：∵AB′=CB′，
∴∠C=∠CAB′，
∴∠AB′B=∠C+∠CAB′=2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，
∴∠C=∠C′，AB=AB′，
∴∠B=∠AB′B=2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB=180∘，
∴3∠C=180∘−108∘，
∴∠C=24∘，
∴∠C′=∠C=24∘，
故选：C.
8.【答案】B
【解析】解：不等式3x−2故选：B.
结合函数图象，写出直线y=kx+b在直线y=3x−2上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9.【答案】D
【解析】解：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，
根据题意得120x−1201.2x=3060.
故选：D.
根据题意可以得到相等关系：乙用的时间-甲用的时间=3060，据此列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是找到等量关系．
10.【答案】B
【解析】解：去分母得：2=x−1−m，
解得：x=m+3，
由方程的解为正数，得到m+3>0，且m+3≠1，
则m的范围为m>−3且m≠−2.
故选：B.
分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
本题考查了根据分式方程的解，求参数的取值范围，找出x的取值范围是本题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，
∴∠B=∠CED=70∘，
∴∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−45∘−70∘=65∘，
故选：D.
根据三角形中位线定理得到DE//AB，根据平行线的性质求出∠B，再根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、三角形内角和定理，熟记三角形中位线平行于第三边是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：由已知可得，P从A到D需12s，Q从C到B(或从B到C)需4s，
设P，Q运动时间为t s，
①当0≤t≤4时，过Q作QH⊥AD于H，过C作CG⊥AD于G，如图：
由题可知，AP=tcm，CQ=3tcm=GH，
∵PD//CQ，PQ=CD，
∴四边形CQPD是等腰梯形，
∴∠QPH=∠D=∠B=60∘，
∵PQ=CD=AB=6cm，
∴PH=12PQ=3cm，DG=12CD=3cm，
∵AP+PH+GH+DG=AD=BC=12，
∴t+3+3t+3=12，
解得t=1.5；
当四边形CQPD是平行四边形时，如图：
此时PD=CQ=3tcm，
∴t+3t=12，
解得t=3，
∴t为1.5s或3s时，PQ=CD；
②当4此时BQ=3(t−4)cm，AP=tcm，
∵AD=BC，PD=CQ，
∴BQ=AP，
∴3(t−4)=t，
解得t=6；
由①知，若四边形CQPD是CD，PQ为腰的等腰梯形，则PD>6cm，这种情况在4∴t为6s时，PQ=CD；
③当8此时CQ=3(t−8)，PD=12−t，
∴3(t−8)=12−t，
解得t=9，
∴t为9s时，PQ=CD；
综上所述，t为1.5s或3s或6s或9s时，PQ=CD；
故选：B.
由已知可得，P从A到D需12s，Q从C到B(或从B到C)需4s，设P，Q运动时间为t s，分三种情况画出图形：①当0≤t≤4时，过Q作QH⊥AD于H，过C作CG⊥AD于G，由四边形CQPD是等腰梯形，可得t+3+3t+3=12，t=1.5；当四边形CQPD是平行四边形时，t+3t=12，得t=3；②当46cm，这种情况在4本题考查平行四边形，等腰梯形的性质及应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．
13.【答案】xy(x+2)
【解析】解：原式=xy(x+2)，
故答案为：xy(x+2).
直接提取公因式xy即可．
本题考查因式分解-提公因式法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
14.【答案】9
【解析】解：∵360∘40∘=9，
∴这个多边形的边数为9，
故答案为：9.
根据外角和为360∘，得出多边形的边数．
本题考查了多边形的外角和定理，理解外角的个数与正多边形的边数之间的关系是解题的关键．
15.【答案】39
【解析】解：∵Rt△ABC沿边向右平移得到Rt△DEF，
∴S△ABC=S△DEF，DE=AB=8，
∴EG=DE−DG=8−3=5，
∴阴影部分的面积=S梯形ABEG=12(EG+AB)⋅BE=12(5+8)×6=39.
故答案为39.
先利用平移的性质得到S△ABC=S△DEF，DE=AB=8，则EG=5，利用面积的和差得到阴影部分的面积=S梯形ABEG，然后利用梯形的面积公式计算即可．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等．
16.【答案】11
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC=8，AD//BC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=5，
∴DE=3，
∵AD//BC，
∴∠ADC=∠FCG，∠DEF=∠G，
∵点F是DC的中点，
∴DF=CF，
∴△EDF≌△GCF(AAS)，
∴DE=CG=3，
∴BG=BC+CG=8+3=11，
故答案为：11.
由平行四边形的性质和角平分线的性质可求AE=AB=3，由“AAS”可证△EDF≌△GCF，可得DE=CG=3，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(−1)2024+ 16+|3− 10|+3−8
=1+4+ 10−3−2
= 10；
(2)x−2x+2−1=16x2−4，
去分母，得(x−2)2−(x2−4)=16，
去括号，得x2−4x+4−x2+4−16=0，
合并，得−4x−8=0，
解，得x=−2.
经检验，x=−2不是原方程的解．
∴原方程无解．
【解析】(1)先算乘方和开方，再化简绝对值，最后加减得结论；
(2)利用解分式方程的一般解法求解即可．
本题考查了实数的运算和分式方程，掌握解分式方程的一般步骤，实数的运算法则、绝对值的意义等知识点是解决本题的关键．
18.【答案】解：由①得：x≥−3，
由②得：x<2，
不等式组的解集为：−3≤x<2，
在数轴上表示：
.
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1−1x−1)÷x−2x2−2x+1
=x−1−1x−1÷x−2(x−1)2
=x−2x−1×(x−1)2x−2
=x−1，
∵x−1≠0，x−2≠0，
∴x≠1，x≠2，
当x=3时，原式=2.
【解析】先化简分式，再将x=3代入求出结果．
本题考查了分式的化简，要注意分母不为0.
20.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C=90∘，∠BDE+∠B=90∘，
∴∠F=∠BDE，
而∠BDE=∠FDA，
∴∠F=∠FDA，
∴AF=AD，
∴△ADF是等腰三角形；
(2)解：∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90∘，
∵∠B=60∘，BD=6，
∴BE=12BD=3，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AD+BD=9，
∴EC=BC−BE=6.
【解析】(1)由AB=AC，可知∠B=∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C=90∘，∠BDE+∠B=90，然后余角的性质可推出∠F=∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F=∠FDA，于是得到结论；
(2)根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论．
本题主要考查等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，关键根据相关的性质定理，通过等量代换推出∠F=∠FDA，即可推出结论．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，A1(0,−3)，B1(−3,−4)，C1(−2,−2).
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
由图可得，A2(−3,0)，B2(−4,3)，C2(−2,2).
(3)△A2B2C2的面积为12×(1+2)×3−12×1×2−12×2×1=92−1−1=52.
【解析】(1)根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
(2)根据旋转的性质作图，即可得出答案．
(3)利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵AD//BC，
∴∠DAE=∠BCE，
在△DAE与△BCE中，
∠DAE=∠BCEAE=CE∠AED=∠CEB，
∴△DAE≌△BCE(ASA)，
∴BE=DE，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BE=DE，CE=AE=2，
∵AC⊥BC，AB=5，AC=4，
∴BC= AB2−AC2= 52−42=3，
∴BE= BC2+CE2= 32+22= 13，
∴BD=2BE=2 13.
【解析】(1)根据ASA证明△ADE与△BCE全等，进而利用全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可；
(2)根据勾股定理得出BC=3，进而利用平行四边形的性质和勾股定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质与判定，关键根据ASA证明△ADE与△BCE全等解答．
23.【答案】解：(1)AD=BD
(2)∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∵△ADE的周长为6，
∴AD+DE+AE=6，
∴BD+DE+EC=6，即BC=6；
(3)连接OA，OB，OC，如下图所示：
l1是线段AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵l2是线段AC的垂直平分线，
OA=OC，
∴OB=OC，
∵△OBC的周长为16，BC=6，
∴OB+OC=10，
∴OA=OB=OC=5.
【解析】(1)根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答；
(2)根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可；
(3)根据线段垂直平分线的性质得到OB=OC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：(1)∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
故答案为：AD=BD；
(2)∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∵△ADE的周长为6，
∴AD+DE+AE=6，
∴BD+DE+EC=6，即BC=6；
(3)l1是线段AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵l2是线段AC的垂直平分线，
OA=OC，
∴OB=OC，
∵△OBC的周长为16，BC=6，
∴OB+OC=10，
∴OA=OB=OC=5.
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是34x元，
根据题意得：60034x−600x=5，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，
∴34x=34×40=30.
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
(2)设购买m本《孙子算经》，则购买(80−m)本《周髀算经》，
根据题意得：80−m≥12m，
解得：m≤1603.
设购买这两种图书共花费w元，则w=30×0.8m+40×0.8(80−m)，
∴w=−8m+2560，
∵−8<0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤1603，且m为正整数，
∴当m=53时，w取得最小值，此时80−m=80−53=27.
答：当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少．
【解析】(1)设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是34x元，利用数量=总价÷单价，结合用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出《周髀算经》的单价，再将其代入34x中，即可求出《孙子算经》的单价；
(2)设购买m本《孙子算经》，则购买(80−m)本《周髀算经》，根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购买这两种图书共花费w元，利用总费用=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】解：(1)AF=BE，理由如下：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB=BC，CE=ED，∠ABC=∠ECD=∠EDC=60∘，
∴∠BCE=180∘−∠ECD=120∘，
∵BF//ED，
∴∠FBD=∠EDC=60∘，
∴∠ABF=∠ABC+∠FBD=120∘，
∴∠ABF=∠BCE，
∵DF//BE，BF//ED，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BF=ED，
∴BF=CE，
∴△ABF≌△BCE(SAS)，
∴AF=BE；
(2)如图1，
仍然成立，理由如下：
延长BC，交ED于T，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CE=DE，∠ABC=∠CED=60∘，
∴∠BCE=∠CTE+∠CED=∠CTE+60∘，
∵BF//ED，
∴∠CTE=∠FBC，
∴∠ABF=∠FBC+∠ABC=∠CTE+60∘，
∴∠ABF=∠BCE，
∴△BCE≌△ABF(SAS)，
∴AF=BE，
(3)如图2，
延长BC，交DE的延长线于R，
∵AB⊥BF，
∴∠ABF=90∘，
∵∠ABC=60∘，
∴∠CBF=30∘，
∵BF//ED，
∴∠R=∠CBF=30∘，
∴∠DCR=∠CDE−∠R=60∘−30∘=30∘，
∴α=30∘，
如图3，
延长DE交BC于W，
由上知：∠CWE=∠CBF=30∘，∠CFD=60∘，
∴∠WCE=30∘，
∴∠ECE′=120∘+30∘=150∘，
∴α=150∘，
综上所述：α=30∘或150∘.
【解析】(1)可证得∠ABF=∠BCE=120∘，AB=BC，BF=CE，从而△ABF≌△BCE，进而得出结论；
(2)可证得∠ABF=∠BCE=∠CTE+60∘，AB=BC，BF=CE，从而△ABF≌△BCE，进而得出结论；
(3)两种情形：当α<90∘时，延长BC，交DE的延长线于R，由BF//ED得出∠R=∠CBF=30∘，从而∠DCR=∠CDE−∠R=60∘−30∘=30∘，即：α=30∘；当90≤α<180∘时，延长DE交BC于W，由上知：∠CWE=∠CBF=30∘，∠CFD=60∘，从而∠WCE=30∘，进一步得出结果．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的特征，平行线的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论，画出图形．