5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题21圆的有关位置关系(真题3个考点模拟8个考点)特训（学生版+解析）

这是一份5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题21圆的有关位置关系(真题3个考点模拟8个考点)特训（学生版+解析），共98页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
一．点与圆的位置关系（共1小题）
1．（2023•安徽）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；
（2）如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB．若BD＝3，AE＝3，求弦BC的长．
二．三角形的外接圆与外心（共2小题）
2．（2021•安徽）如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝ ．
3．（2019•安徽）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为 ．
三．正多边形和圆（共1小题）
4．（2023•安徽）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（ ）
A．60°B．54°C．48°D．36°
一．圆心角、弧、弦的关系（共5小题）
1．（2023•无为市三模）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，则所对的圆心角的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
2．（2023•合肥模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC与弦AB交于点D，若OD＝BD＝4，CD＝2，则AD＝（ ）
A．B．4C．D．5
3．（2023•定远县一模）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝4，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则BC的长为（ ）
A．5B．3C．2D．1
4．（2023•贵池区二模）如图，点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），点D是弧ADB的三等分点（弧BD＜弧AD），若直径AB＝12，则DC的长为 ．
5．（2023•庐阳区一模）如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O截三边所得的弦长DE＝FG＝HI，则∠AOC＝ 度．
二．圆内接四边形的性质（共5小题）
6．（2023•砀山县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠A＝90°，．若AB＝8，AD＝6，则BC的长为（ ）
A．B．5C．D．10
7．（2023•蚌埠三模）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠BOD＝144°，则∠DCE的大小为 ．
8．（2023•阜阳模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
9．（2023•包河区三模）已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DG交边AB于点E，AB、DC的延长线相交于点F．连接AC，若∠ACD＝∠BAD．
（1）求证：DG⊥AB；
（2）若AB＝6，tan∠FCB＝3，求⊙O半径．
10．（2023•合肥模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，对角线AC为⊙O的直径，E为⊙O外一点，AB平分∠DAE，AD＝AE，连接BE．
（1）求∠AEB的度数；
（2）连接CE，求证：2BE2+AE2＝CE2．
三．点与圆的位置关系（共12小题）
11．（2023•迎江区校级三模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
12．（2023•淮北一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一点，连接PA，PC，PD，若PA⊥PD，则PC的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
13．（2023•和县二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4．点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是 ．
14．（2023•定远县校级一模）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC、AB＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，连接PC，且满足∠PAB＝∠PBC，过点P作PD⊥BC交BC于点D．
（1）∠APB＝ ；
（2）当线段CP最短时，△BCP的面积为 ．
15．（2023•芜湖三模）如图，正方形ABCD的边长是4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为G，连接AG，则AG长的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
16．（2023•庐江县模拟）如图，AB，AC分别是半圆O的直径和弦，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A．2B．3C．2D．3
17．（2023•怀宁县一模）在⊙O中，圆心O在坐标原点上，半径为5，点P的坐标为（3，4），则点P在
（填“圆内”，“圆外”或“圆上”）
18．（2023•明光市二模）如图，正方形ABCD的边长为2，点P是射线AD上一个动点，点Q在BP上，且满足∠BCQ＝∠BPC，则线段CQ的最小值为（ ）​
A．B．1C．D．
19．（2023•瑶海区三模）如图，在平面直角坐标系中，A（6，0）、B（0，8），点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且CD＝6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于E、F，则线段EF的最大值为（ ）
A．3.6B．4.8C．3D．3
20．（2023•黄山一模）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A．B．C．10D．34
21．（2023•怀宁县一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的⊙C半径为2，点G为⊙C上一动点，点P为AG的中点，则DP的最大值与最小值和为（ ）
A．B．C．D．5
22．（2023•合肥模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，P是矩形内部一动点，且满足∠BCP＝∠PDC，则线段BP的最小值是 ；当BP取最小值时，DP延长线交线段BC于E，则CE的长为 ．
四．三角形的外接圆与外心（共14小题）
23．（2023•南谯区校级一模）如图，E是△ABC的外接圆⊙O弧BC的中点，连接BE，OE，若∠BAC＝68°，则∠OEB＝（ ）
A．68°B．65°C．56°D．55°
24．（2023•利辛县模拟）△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，OC＝2，则AB的长为（ ）
A．B．C．3D．
25．（2023•瑶海区二模）已知，△ABC内接于⊙O，且∠BAC＝60°，，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD、BE相交于点G．则DG的长度的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
26．（2023•芜湖模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，∠ABC＝70°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连接CD，则∠AEB等于（ ）
A．70°B．90°C．110°D．120°
27．（2023•阜阳三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝30°，BC＝4，则⊙O的直径为 ．
28．（2023•长丰县二模）如图，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，∠B＝75°，，则AB的弧长为 ．
29．（2023•怀宁县一模）如图，D是等腰Rt△ABC的斜边BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，并将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E恰好落在△ABD的外接圆上，若cs∠ADB＝，AB＝3．
①BE＝ ；
②△ABD的外接圆的面积为 （结果保留π）．
30．（2023•庐阳区校级模拟）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径，E为AC上一点，AB＝2EC，连接CD，∠A＝60°，．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：DE⊥AC．
31．（2023•利辛县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB于点D，交⊙O于点E，AF⊥BC于点F，交CE于点G，连
接AE．
（1）求证：AE＝AG；
（2）过点O作OH⊥BC于点H，求的值．
32．（2023•庐阳区校级一模）如图1，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD，交AC于点E．
（1）求证：∠CEB＝∠ABD+∠CDB；
（2）如图2，连接OE、AD，若OE∥AD，且AB＝10，BD＝8，求BC的长．
33．（2023•瑶海区一模）如图，△ABC是⊙O内接三角形，AC是⊙O的直径，点E是弦DB上一点，连接CE，CD．
（1）若∠DCA＝∠ECB，求证：CE⊥DB；
（2）在（1）的条件下，若AB＝6，DE＝5，求sin∠DBC．
34．（2023•金安区校级模拟）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BA延长线上一点，连接EC交△ABC的外接圆于点D，连接AD、BD．
（1）求证：AD平分∠BDE；
（2）若∠BAC＝30°，AE＝AB，BC＝2，求CD的长．
35．（2023•贵池区一模）如图，△ABC内接于半圆O，AB为直径，∠ABC的平分线交AC于点F，交半圆O于点
D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD，求证：
（1）∠CAD＝∠ABD；
（2）点P是线段AF的中点．
36．（2023•禹会区二模）如图，△ABC内接于半圆O，已知AB是半圆O的直径．AB＝10，AD平分∠BAC，分别交半圆O和BC于点D，E，过点D作DH⊥AB，垂足为点H，交BC于点F．
（1）求证：EF＝DF；
（2）连接OD交BC于点G，若EG＝FG，求的长．
五．直线与圆的位置关系（共2小题）
37．（2023•黄山二模）如图，矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE．
（1）请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）当AB：AD＝ 时，直线CB与⊙O相切（只需填出比值即可）．
38．（2023•黟县校级模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB＝30°．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．
六．三角形的内切圆与内心（共3小题）
39．（2023•庐阳区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°且AB＝10，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
40．（2023•凤阳县二模）如图，⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，D为弧 上一点，P为△ABD的内心，过P作PE⊥AB，垂足为E，若 ，则BE﹣AE的值为（ ）
A．4B．C．2D．
41．（2023•蚌山区模拟）如图，在△ABC中，O是内心，点E，F都在大边BC上，已知BF＝BA，CE＝CA．
（1）求证：O是△AEF的外心；
（2）若∠B＝40°，∠C＝30°，求∠EOF的大小．
七．正多边形和圆（共11小题）
42．（2023•合肥一模）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
A．B．2C．D．1
43．（2023•安徽模拟）已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ ）
A．B．C．D．
44．（2023•滁州二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，直线EF⊥OA且平分OA，交⊙O于点E，F．若OA＝1，则阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
45．（2023•庐阳区校级一模）已知，如图，⊙O的半径为6，正六边形ABCDEF与⊙O相切于点C、F，则的长度是 ．
46．（2023•六安三模）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，点O是其中心，点P是AB上一点，且AP：BP＝1：2，连接OP，则OP＝（ ）
A．2B．C．4D．6
47．（2023•潜山市模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上．若∠CDF＝96°，则∠FCD的大小为（ ）
A．38°B．42°C．48°D．58°
48．（2023•蚌埠一模）如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆O中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O重合，且AB＝BC，则阴影部分面积与圆的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
49．（2023•蜀山区校级一模）如图，正方形ABCD和等边三角形AEF均内接于⊙O，则的值为（ ）
A．B．C．D．
50．（2023•定远县校级一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为 ．
51．（2023•金安区校级一模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠CDF的度数是（ ）
A．18°B．36°C．54°D．72°
52．（2023•六安模拟）如图，点M是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不包括边界），且AM⊥BM，P是FC上的一点，N是AF的中点，则PN+PM的最小值为（ ）
A．B．C．3D．2
八．圆的综合题（共8小题）
53．（2023•蚌埠模拟）如图，⊙P与y轴相切，圆心为P（﹣2，1），直线MN过点M（2，3），N（4，1）．
（1）请你在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′；（不要求写作法）
（2）求⊙P在x轴上截得的线段长度；
（3）直接写出圆心P′到直线MN的距离．
54．（2023•庐阳区校级一模）【问题提出】如图1，AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？
【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若AB＝4，线段AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小芳以AB为底边构造了一个Rt△AOB，再以点O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】
（1）若AB＝6，平面内一点C满足∠ACB＝60°，若点C所在圆的圆心为O，则∠AOB＝ ，劣弧AB的长为 ．
（2）如图3，已知正方形ABCD以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE，其中AB＝AE，过点E作EF⊥AB于点F，若点P是△AEF的内心．
①求∠BPE的度数；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为4，求CP的最小值．
55．（2023•瑶海区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AB＝BC，延长DA到点E，使得BE＝BD．
（1）若AF平分∠CAD，求证：BA＝BF；
（2）试探究线段AD，CD与BD之间的数量关系．
56．（2023•裕安区校级二模）已知：如图1，AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC＝AB，连接BC交⊙O于D．
（1）若AC为⊙O的切线，求证：OD⊥AB；
（2）如图2，若∠BAC＞90°时，请用尺规作图在△ABC内部选一点P，使∠APB＝45°，以下是部分作图步骤：
第一步：过点O作AB的垂线，交⊙O于点E；
第二步：连接AE、BE；
⋯
问题：
①请完成接下来的作图，并保留作图痕迹；
②在操作中得到∠APB＝45°的依据是 ．
57．（2023•金安区校级模拟）我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I为△ABC的内心．
（1）如图1，连接AI并延长交BC于点D，若AB＝AC＝BC＝6，求ID的长；
（2）如图2，过点I作直线交AB于点M，交AC于点N．
①若MN⊥AI，求证：MI2＝BM•CN；
②如图3，AI交BC于点D，若∠BAC＝60°，AI＝4，求的值．
58．（2023•蚌山区模拟）问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为 ．
（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值．
59．（2023•庐江县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC＝∠ABC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，AC＝2BC，求线段CE的长．
60．（2023•庐阳区校级三模）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB．
（1）按要求尺规作图：作AD的垂直平分线（保留作图痕迹）；
（2）若AD的垂直平分线与AB相交于点O，以O为圆心作圆，使得圆O经过AD两点．
①求证：BC是⊙O的切线；
②若CD＝2，AD＝2，求⊙O的半径．
专题21 圆的有关位置关系（真题3个考点模拟8个考点）
一．点与圆的位置关系（共1小题）
1．（2023•安徽）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；
（2）如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB．若BD＝3，AE＝3，求弦BC的长．
【分析】（1）由垂径定理证出∠ACB＝∠ACD，则可得出结论；
（2）延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，证明四边形AECD是平行四边形，则AE＝CD＝3，根据勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵OA⊥BD，
∴＝，
∴∠ACB＝∠ACD，
即CA平分∠BCD；
（2）延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，
∵AE⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AMB＝∠CNB＝90°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB，
∴AD∥NC，CD∥AM，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝CD＝3，
∴BC＝＝＝3．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
二．三角形的外接圆与外心（共2小题）
2．（2021•安徽）如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝ ．
【分析】连接OA，OB，由三角形内角和可得出∠C＝45°，再根据圆周角定理可得∠AOB＝90°，即△OAB是等腰直角三角形，又圆半径为1，可得出结论．
【解答】解：如图，连接OA，OB，
在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等内容，作出正确的辅助线是解题关键．
3．（2019•安徽）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为 ．
【分析】连接CO，OB，则∠O＝2∠A＝60°，得到△BOC是等边三角形，求得BC＝2，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接CO，OB，
则∠O＝2∠A＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∵⊙O的半径为2，
∴BC＝2，
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，
∴CD＝BC＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三．正多边形和圆（共1小题）
4．（2023•安徽）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（ ）
A．60°B．54°C．48°D．36°
【分析】根据多边形的内角和可以求得∠BAE的度数，根据周角等于360°，可以求得∠COD的度数，然后即可计算出∠BAE﹣∠COD的度数．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝＝108°，∠COD＝＝72°，
∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°，
故选：D．
【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出∠BAE和∠COD的度数．
一．圆心角、弧、弦的关系（共5小题）
1．（2023•无为市三模）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，则所对的圆心角的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OA，OB，OB，OD，
∵OA＝OC，∠AOC＝100°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠E＝30°，
∴∠EAC+∠ECA＝180°﹣30°＝150°，
∴∠OAB+∠OCD＝150°﹣40°﹣40°＝70°，
∴∠AOB+∠COD＝180°×2﹣70°×2＝220°，
∴∠BOD＝360°﹣100°﹣220°＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是正确解答的前提．
2．（2023•合肥模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC与弦AB交于点D，若OD＝BD＝4，CD＝2，则AD＝（ ）
​
A．B．4C．D．5
【分析】作OE⊥AB于点E，DF⊥OB于点F，根据垂径定理得AE＝BE，由已知得OC＝OB＝6，所以OF＝BF＝OB＝3，再证明△BOD∽△BDF，得＝，即BD＝，所以AB＝2BD＝9，即可求出AD＝9﹣4＝5．
【解答】解：如图，作OE⊥AB于点E，DF⊥OB于点F，
则AE＝BE，
∵OD＝BD＝4，CD＝2，
∴OC＝OB＝6，
∴OF＝BF＝OB＝3，
∵∠B＝∠B，∠OEB＝∠DFB＝90°，
∴△BOE∽△BDF，
∴＝
∴＝，
∴BE＝，
∴AB＝2BE＝9，
∴AD＝9﹣4＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理以及相似三角形的判定和性质等知识，证明△BOE∽△BDF是解题的关键．
3．（2023•定远县一模）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝4，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则BC的长为（ ）
A．5B．3C．2D．1
【分析】连接OD交AC于F，如图，根据垂径定理得到OD⊥AC，则AF＝CF，根据圆周角定理得到∠C＝90°，所以OD∥BC，接着证明△BCE≌△DFE得到BC＝DF，则OF＝BC，所以OF＝OD，然后设BC＝x，则OD＝x，AB＝2OD＝3x，在Rt△ABC中，然后利用勾股定理计算出x，从而得到BC的长．
【解答】解：连接OD交AC于F，如图，
∵D是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴AF＝CF，
∵AB是直径，
∴∠C＝90°，
∴OD∥BC，
∴∠D＝∠CBE，
∵E是BD的中点，
∴BE＝DE，
∵∠BEC＝∠DEF，
∴△BCE≌△DFE（ASA），
∴BC＝DF，
∵OF＝BC，
∴OF＝DF，
∴OF＝OD，
设BC＝x，则OD＝x，
∴AB＝2OD＝3x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（3x）2＝（4）2+x2，
解得x＝2，
BC＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
4．（2023•贵池区二模）如图，点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），点D是弧ADB的三等分点（弧BD＜弧AD），若直径AB＝12，则DC的长为 2 ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，求出∠DOB＝60°，解直角三角形求出DE、OE的长度，求出CE，再根据勾股定理求出DC即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，则∠DEC＝90°，
∵点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），直径AB＝12，
∴AC＝4，BC＝8，OD＝OA＝OB＝6，
∴CO＝2，
∵点D是弧ADB的三等分点（弧BD＜弧AD），
∴∠DOB＝＝60°，
∴∠ODE＝30°，
∴OE＝OD＝3，DE＝＝＝3，
∴CE＝OE+CO＝3+2＝5，
∴DC＝＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和直角三角形的性质，能求出∠DOB＝60°和半径的长度是解此题的关键．
5．（2023•庐阳区一模）如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O截三边所得的弦长DE＝FG＝HI，则∠AOC＝ 125 度．
【分析】过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，求出OM＝OP＝OK，求出点O是△ABC的角平分线的交点，根据三角形内角和定理求出∠BAC+∠BCA的度数，再根据角平分线定义得出∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠ACB）＝55°，再根据三角形内角和定理求出答案即可．
【解答】解：过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图，
∵DE＝FG＝HI，
∴OM＝OK＝OP，
∴OA平分∠BAC，OC平分∠ACB，
∴∠OAC＝BAC，∠OCA＝BCA，
∵∠B＝70°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝110°，
∴∠OAC+∠OCA
＝（∠BAC+∠ACB）
＝×110°
＝55°，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）
＝180°﹣55°
＝125°，
故答案为：125．
【点评】本题考查了角平分线定义和性质，三角形内角和定理和垂径定理等知识点，能熟记到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解此题的关键．
二．圆内接四边形的性质（共5小题）
6．（2023•砀山县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠A＝90°，．若AB＝8，AD＝6，则BC的长为（ ）
A．B．5C．D．10
【分析】根据勾股定理求得BD＝10，根据圆内接四边对角互补，得出∠BCD＝90°，继而根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图所示，连接BD，
∵∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，
∴，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∵．
∴BC＝CD＝，
故选：A．
【点评】本题考查了圆内接四边形对角互补，勾股定理，同弧所对弦相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
7．（2023•蚌埠三模）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠BOD＝144°，则∠DCE的大小为 72° ．
【分析】根据圆内接四边形的性质、邻补角的概念解答即可．
【解答】解：∵∠BOD＝144°，
∴∠A＝∠BOD＝72°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DCB+∠A＝180°，
∵∠DCB+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠A＝72°
故答案为：72°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、邻补角的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．（2023•阜阳模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】由圆周角定理可求解∠AOC的度数，再利用平行线的性质可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝70°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，
∵AO∥CD，
∴∠AOC+∠OCD＝180°，
∴∠OCD＝40°．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，求解∠AOC的度数是解题的关键．
9．（2023•包河区三模）已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DG交边AB于点E，AB、DC的延长线相交于点F．连接AC，若∠ACD＝∠BAD．
（1）求证：DG⊥AB；
（2）若AB＝6，tan∠FCB＝3，求⊙O半径．
【分析】（1）连接AG，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠AGD，∠DAG＝90°，计算即可；
（2）连接OA，根据圆内接四边形的性质得到∠FCB＝∠BAD，根据正切的定义计算．
【解答】（1）证明：连接AG，
∵∠ACD与AGD是同弦所对圆周角，
∴∠ACD＝∠AGD，
∵∠ACD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠AGD，
∵DG为⊙O的直径，A为圆周上一点，
∴∠DAG＝90°，
∴∠BAD+∠BAG＝90°，
∴∠AGD+∠BAG＝90°，
∴∠AEG＝90°，即DG⊥AB；
（2）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCB＝∠BAD，
∵tan∠FCB＝3，
∴tan∠BAD＝＝3，
连接OA，由垂径定理得AE＝AB＝3，
∴DE＝9，
在Rt△OEA中，OE2+AE2＝OA2，
设⊙O半径为r，则有（9﹣r）2+32＝r2，
解得，r＝5，
∴⊙O半径为5．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、直角定理以及解直角三角形，掌握相关的定理、灵活运用锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．（2023•合肥模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，对角线AC为⊙O的直径，E为⊙O外一点，AB平分∠DAE，AD＝AE，连接BE．
（1）求∠AEB的度数；
（2）连接CE，求证：2BE2+AE2＝CE2．
【分析】（1）连接BD，由条件推出△ABE≌△ABD，得到∠AEB＝∠ADB，由圆周角定理即可求出∠AEB的度数；
（2）延长EA交⊙O于F，连接BF，CF，由圆周角定理得到∠AFC＝90°，由勾股定理得到EF2+CF2＝CE2，由等腰直角三角形的性质，勾股定理得到EF2＝2BE2，由圆心角、弧、弦的关系得到CF＝AE，从而证明问题．
【解答】（1）解：连接BD，
∵AB平分∠DAE，
∴∠EAB＝∠BAD，
∵AE＝AD，AB＝AB，
∴△ABE≌△ABD（SAS），
∴∠AEB＝∠ADB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠AEB＝∠ACB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝45°，
∴∠AEB＝∠ACB＝45°；
（2）证明：延长EA交⊙O于F，连接BF，CF，
∵AC是圆的直径，
∴∠AFC＝90°，
∴EF2+CF2＝CE2，
由（1）知∠FEB＝45°，
∵∠BFE＝∠ACB＝45°，
∴△BFE是等腰直角三角形，
∴EF2＝2BE2，
∵BD＝BE，
∴BD＝BF，
∴＝，
∴＝，
∴，
∴CF＝AD＝AE，
∴2BE2+AE2＝CE2．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，综合应用以上知识点是解题的关键．
三．点与圆的位置关系（共12小题）
11．（2023•迎江区校级三模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
【分析】取BC中点G，连接HG，AG，由直角三角形的性质可得HG＝CG＝BG＝BC＝2，由勾股定理可求AG＝2，由三角形的三边关系可得AH≥AG﹣HG，当点H在线段AG上时，可求AH的最小值．
【解答】解：如图，取BC中点G，连接HG，AG，
∵CH⊥DB，点G是BC中点
∴HG＝CG＝BG＝BC＝2，
在Rt△ACG中，AG＝＝2，
在△AHG中，AH≥AG﹣HG，
即当点H在线段AG上时，AH最小值为2﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，确定使AH值最小时点H的位置是本题的关键．
12．（2023•淮北一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一点，连接PA，PC，PD，若PA⊥PD，则PC的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
【分析】由PA⊥PD可得点P在以AD中点O为圆心AD为直径的圆上，连接CO交圆于一点即为最短距离点，即可得到答案．
【解答】解：∵PA⊥PD，
∴点P在以AD中点O为圆心AD为直径的圆上，如图所示，
∴连接CO交圆于一点即为最短距离点P，如图所示，
∵AB＝4，BC＝6，
∴OD＝3，DC＝4，
根据勾股定理可得，，
∴CP＝5﹣3＝2，
故选：C．
【点评】本题考查圆上最短距离问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆外一点到圆上最短距离点为与圆心连线的交点．
13．（2023•和县二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4．点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是 1 ．
【分析】取AC的中点T，连接DT、MT，利用三角形的中位线定理求出DT的值，再由直角三角形斜边上中线的性质求出MT，并确定点M的运动轨迹，然后由DM≥TM﹣DT即可获得结论．
【解答】解：如图，取AC的中点T，连接DT、MT，
∵D是AB的中点，T是AC的中点，
∴AD＝BD，AT＝CT，
∴，
∵CM⊥AF，
∴∠AMC＝90°，
∴，
∵点F为射线CB上一动点，CM⊥AF，即∠AMC＝90°，
∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，
∴DM≥TM﹣DT＝3﹣2＝1，
∴DM的最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系、三角形中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边上的中线解决问题．
14．（2023•定远县校级一模）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC、AB＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，连接PC，且满足∠PAB＝∠PBC，过点P作PD⊥BC交BC于点D．
（1）∠APB＝ 90° ；
（2）当线段CP最短时，△BCP的面积为 ．
【分析】（1）由∠ABP+∠PBC＝90°得到∠BAP+∠ABP＝90°，即可得到∠APB＝90°；
（2）首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可得到＝，即可得到S△BCP＝S△OBC＝．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°；
故答案为：90°；
（2）设AB的中点为O，连接OP，则OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴＝，
∵S△OBC＝BC•OB＝×4×3＝6，
∴S△BCP＝S△OBC＝×6＝，
故答案为：．
【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．
15．（2023•芜湖三模）如图，正方形ABCD的边长是4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为G，连接AG，则AG长的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】设EF交BD与点O，证明BO＝OD．连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【解答】解：设EF交BD与点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝CF，
∴BE＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠∠BEO＝∠DFO，
∵∠EOB＝∠DOF，
∴△BEO≌△DFO（AAS），
∴BO＝OD，
连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，
∴MA＝，MG＝OB＝，AG≥AM﹣MG＝﹣，
当A，M，G三点共线时，AG最小值＝（﹣）cm，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题是解决本题的关键．
16．（2023•庐江县模拟）如图，AB，AC分别是半圆O的直径和弦，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A．2B．3C．2D．3
【分析】取AC中点M，连接MB，EM，BC，由勾股定理求出BC，MB的长，由直角三角形的性质求出ME的长，由ME+BE≥BM，即可解决问题．
【解答】解：取AC中点M，连接MB，EM，BC，
∵AB是半⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝3，
∵MC＝AC＝×4＝2，
∴MB＝＝＝，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴ME＝AC＝2，
∵ME+BE≥BM，
∴BE≥MB﹣ME＝﹣2，
∴BE的最小值是﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查求线段的最小值，关键是掌握圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质．
17．（2023•怀宁县一模）在⊙O中，圆心O在坐标原点上，半径为5，点P的坐标为（3，4），则点P在 圆上 （填“圆内”，“圆外”或“圆上”）
【分析】先根据两点间的距离公式计算出OP，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点P与⊙O的位置关系．
【解答】解：∵点P的坐标为（4，3），
∴OP＝，
∵半径为5，
∴点P在⊙O上．
故答案为：圆上．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d＝r；当点P在圆内⇔d＜r．
18．（2023•明光市二模）如图，正方形ABCD的边长为2，点P是射线AD上一个动点，点Q在BP上，且满足∠BCQ＝∠BPC，则线段CQ的最小值为（ ）​
A．B．1C．D．
【分析】根据已知证明△BCQ∽△BPC，再证出△ABQ∽△PBA，∠AQB＝90°，说明点Q的运动轨迹是在以AB为直径的圆上，再根据点圆关系求出最值即可．
【解答】解：如图，连接AQ，
∵∠BCQ＝∠BPC，且∠CBQ＝∠PBC，
∴△BCQ∽△BPC，
∴BQ：BC＝BC：BP，
∵AB＝BC，
∴BQ：AB＝AB：BP，
∵∠ABQ＝∠PBA，
∴△ABQ∽△PBA，
∴∠AQB＝∠BAP＝90°，
∴点Q的运动轨迹是在以AB为直径的圆上，
如图，取AB中点O，连接OC交⊙O于Q，则CQ此时最小，
∵BC＝2，
∴OB＝1，
∴OC＝＝，
∵OQ＝1，
∴CQ＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质等知识点的应用，点圆关系取最值的应用是解题关键．
19．（2023•瑶海区三模）如图，在平面直角坐标系中，A（6，0）、B（0，8），点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且CD＝6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于E、F，则线段EF的最大值为（ ）
A．3.6B．4.8C．3D．3
【分析】过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接GF，当GF时，EF的值最大，利用sin∠OAB＝＝，求出OM，MG，再利用勾股定理求出FM即可求解．
【解答】解：过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接GF，
∵GM⊥EF，
∴EF＝2FM＝2＝2，
当GM的值最小时，EF的值最大，
根据垂线段最短可知，当直线过O点时，EF的值最大，
∵A（6，0），B（0，8），
∴AB＝10，
∵sin∠OAB＝＝，
∴OM＝4.8，
∵CD＝6，
∴OG＝3，
∴GM＝1.8，
∴FM＝2.4，
∴EF＝4.8；
故选：B．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，能够确定EF最大时的位置，利用直角三角函数求边是解题的关键．
20．（2023•黄山一模）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A．B．C．10D．34
【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2＝2PN2+2FN2即可求出结论．
【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，
∵PG2+PF2＝2PN2+2FN2，
∴当PN最小时，PF2+PG2的值最小，此时点P在MN上，
∵DE＝4，四边形DEFG为矩形，
∴GF＝DE，MN＝EF，
∴MP＝FN＝DE＝2，
∴NP＝MN﹣MP＝EF﹣MP＝1，
∴PF2+PG2＝2PN2+2FN2＝2×12+2×22＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．
21．（2023•怀宁县一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的⊙C半径为2，点G为⊙C上一动点，点P为AG的中点，则DP的最大值与最小值和为（ ）
A．B．C．D．5
【分析】P为AG中点，D为AB中点，所以PD是△ABG的中位线，则DP＝BG，当BG最大时，则DP最大．由圆的性质可知，当G、C、B三点共线时，BG最大或最小．
【解答】解：如图，连接BG．
因为P为AG中点，D为AB中点，
所以PD是△ABG的中位线，则DP＝BG，当BG最大时，则DP最大．
由圆的性质可知，当G、C、B三点共线时，BG最大．
∵C（5，3），B（9，0），
∴BC＝＝5，
∴BG的最大值为2+5＝7，BG的最小值＝5﹣2＝3，
∴DP的最大值为．DP的最小值为，
∴DP的最大值与最小值的和为5．
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、三角形的中位线定理、二次函数的性质以及点与圆的位置关系等知识点，有一定难度，学会用转化的思想思考问题．
22．（2023•合肥模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，P是矩形内部一动点，且满足∠BCP＝∠PDC，则线段BP的最小值是 2 ；当BP取最小值时，DP延长线交线段BC于E，则CE的长为 3 ．
【分析】通过辅助圆找到点P的位置，即可解决问题．
【解答】
解：（1）∵四边形ABCD矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCP+∠DCP＝90°，
∵∠BCP＝∠PDC，
∴∠PDC+∠PCD＝90°，
∴∠CPD＝90°，
以CD为直径作⊙O，⊙O经过点P，连接OB，交⊙O于P，此时PB长最小．
∵OB2＝BC2+CO2＝42+32，
∴OB＝5，
∴PB＝OB﹣OP＝5﹣3＝2，
（2）作OF∥BC交DE于F，
∵OC＝OD，
∴DF＝EF，
∴OF＝CE，
∵＝，
∴＝，
∴CE＝3．
故答案为：2；3．
【点评】本题考查几何中的最值问题，关键是通过辅助圆得到PB最小时的点P．
四．三角形的外接圆与外心（共14小题）
23．（2023•南谯区校级一模）如图，E是△ABC的外接圆⊙O弧BC的中点，连接BE，OE，若∠BAC＝68°，则∠OEB＝（ ）
A．68°B．65°C．56°D．55°
【分析】连接OB，根据圆周角定理和三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OB，
则∠OEB＝∠OBE，
∵E是弧BC中点，
∴＝，
∵∠BAC＝68°，
∴∠BAE＝∠CAE＝BAC＝34°，
∴∠BOE＝68°，
∴∠OEB＝（180°﹣68°）＝56°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理．
24．（2023•利辛县模拟）△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，OC＝2，则AB的长为（ ）
A．B．C．3D．
【分析】延长AO交⊙O于点D，分别连接OB，BD，根据圆内接四边形对角互补可得∠D＝45°，再根据圆周角定理可得∠AOB＝90°，再利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，延长AO交⊙O于点D，分别连接OB，BD，
∵∠ACB＝135°，
∴∠D＝45°，∠AOB＝90°，
∵OC＝2，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查三角形外接圆和四边形外接圆的性质、圆周角定理及勾股定理，明确题意，利用数形结合思想，掌握相关知识是解题的关键．
25．（2023•瑶海区二模）已知，△ABC内接于⊙O，且∠BAC＝60°，，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD、BE相交于点G．则DG的长度的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
【分析】当AD经过圆心时，AD取得最大值，DG的长度也取得最大值，此时，△ABC是等边三角形，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，
∴当AD取得最大值，DG的长度也取得最大值，
∵弦BC＝4是定值，
∴当AD经过圆心时，AD取得最大值，
由垂径定理得，BD＝CD＝2，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∵∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAD＝BAC＝30°，
∵BE⊥AC，
∴，
在Rt△AGE中，AG＝，
在Rt△ACD中，AD＝＝6，
∴DG的长度的最大值为6﹣4＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
26．（2023•芜湖模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，∠ABC＝70°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连接CD，则∠AEB等于（ ）
A．70°B．90°C．110°D．120°
【分析】先利用圆周角定理得到∠BCD＝90°，∠D＝∠A＝40°，则利用互余计算出∠DBC＝50°，再计算出∠ABE，然后根据三角形内角和可计算出∠AEB的度数．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠D＝∠A＝40°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝50°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠DBC＝20°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠A+∠ABE）＝180°﹣（40°+20°）＝120°，
故选：D．
【点评】本题重点考查了圆周角定理、三角形的内角和，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等．
27．（2023•阜阳三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝30°，BC＝4，则⊙O的直径为 8 ．
【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等边三角形，即可得到BO＝CO＝BC＝BC＝4，进而得出⊙O的直径为8．
【解答】解：如图，连接OB，OC，
∵∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
又∵BC＝4，
∴BO＝CO＝BC＝BC＝4，
∴⊙O的直径为8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
28．（2023•长丰县二模）如图，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，∠B＝75°，，则AB的弧长为 ．
【分析】根据三角形内角和求出∠C的度数，连接OA，OB，得到∠AOB＝2∠C＝90°，证得△AOB是等腰直角三角形，求出OA＝1，根据弧长公式计算可得．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠ABC＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝45°，
连接OA，OB，
∴∠AOB＝2∠C＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，，
∵，
∴OA＝1，
∴，
故答案为：．
【点评】此题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的判定和性质，正确掌握圆周角定理求出∠AOB＝2∠C＝90°是解题的关键．
29．（2023•怀宁县一模）如图，D是等腰Rt△ABC的斜边BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，并将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E恰好落在△ABD的外接圆上，若cs∠ADB＝，AB＝3．
①BE＝ 6 ；
②△ABD的外接圆的面积为 25π （结果保留π）．
【分析】①根据折叠的性质得到AC＝AE，根据等腰三角形的性质得到∠AEB＝∠ABE，过点A作AF⊥BE于F，解直角三角形即可得到结论；②设△ABD的外接圆与AC交于H，连接BH，根据圆周角定理得到BH是△ABD的外接圆的直径，设AH＝x，BH＝10x，根据勾股定理得到AB＝＝3x＝3，根据圆的面积公式即可得到结论．
【解答】解：①∵将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E恰好落在△ABD的外接圆上，
∴AC＝AE，
∵AC＝AB，
∴AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE，
过点A作AF⊥BE于F，
∴BE＝2BF，
∵∠ADB＝∠AEB，
∴∠ABF＝∠ADB，
∵cs∠ADB＝cs∠ABF＝＝，
∵AB＝3，
∴BF＝3，
∴BE＝2BF＝6；
故答案为：6；
②设△ABD的外接圆与AC交于H，连接BH，
∵∠BAH＝90°，
∴BH是△ABD的外接圆的直径，
∵∠AHB＝∠ADB，
∴cs∠AHB＝＝，
设AH＝x，BH＝10x，
∴AB＝＝3x＝3，
∴x＝1，
∴BH＝10，
∴△ABD的外接圆的面积为25π，
故答案为：25π．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角函数的定义，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
30．（2023•庐阳区校级模拟）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径，E为AC上一点，AB＝2EC，连接CD，∠A＝60°，．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：DE⊥AC．
【分析】（1）利用圆周角定理求得∠BCD＝90°，∠BDC＝60°，利用特殊角的三角形函数值即可求解；
（2）连接DA，利用两边对应成比例且夹角相等证明△DCE∽△DBA，即可证明结论．
【解答】（1）解：∵BD为⊙O的直径，∠A＝60°，
∴∠BCD＝90°，∠BDC＝60°，
∵，
∴，，
∴⊙O的半径为；
（2）证明：连接DA，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵＝，
∴∠DCE＝∠DBA，
∵AB＝2EC，
∴，，
∴，
∴△DCE∽△DBA，
∴∠DEC＝∠DAB＝90°，即DE⊥AC．
【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
31．（2023•利辛县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB于点D，交⊙O于点E，AF⊥BC于点F，交CE于点G，连
接AE．
（1）求证：AE＝AG；
（2）过点O作OH⊥BC于点H，求的值．
【分析】（1）由四边形内角和是360°，邻补角的性质推出∠AGE＝∠B，由圆周角定理得到∠E＝∠B，于是∠AGE＝∠E，因此AE＝AG；
（2）作直径BK，连接CK，由圆周角定理，垂直的定义得到∠ADC＝∠BCK＝90°，又∠DAC＝∠K，得到∠ACD＝∠CBK，因此＝，得到AE＝CK，由三角形中位线定理得到OH＝CK，于是得到OH＝AE．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，AF⊥BC，
∴∠BDG＝∠BFG＝90°，
∴∠B+∠DGF＝360°﹣∠BDG﹣∠BFG＝180°，
∵∠AGE+∠DGF＝180°，
∴∠AGE＝∠B，
∵∠E＝∠B，
∴∠AGE＝∠E，
∴AE＝AG；
（2）解：作直径BK，连接CK，
∴∠BCK＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠BCK，
∵∠DAC＝∠K，
∴∠ACD＝∠CBK，
∴＝，
∴AE＝CK，
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵OB＝OK，
∴OH是△BCK的中位线，
∴OH＝CK，
∴OH＝AE，
∴＝．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定，三角形中位线定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是作直径BK，连接CK，应用三角形中位线定理得到OH＝CK，由圆心角、弧、弦的关系得到AE＝CK．
32．（2023•庐阳区校级一模）如图1，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD，交AC于点E．
（1）求证：∠CEB＝∠ABD+∠CDB；
（2）如图2，连接OE、AD，若OE∥AD，且AB＝10，BD＝8，求BC的长．
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠BAC＝∠CDB，再利用三角形外角的性质等量代换即可得证；
（2）由OE∥AD和点O为AB的中点，可得OE是△ADB的中位线，求得，根据圆周角定理得∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，由勾股定理求得AD，AE，设BC＝x，EC＝y，在Rt△ABC和Rt△BCE中，根据勾股定理建立关于x、y的方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAC，∠CDB都是弧BC所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CDB，
∵∠CEB＝∠ABD+∠BAC，
∴∠CEB＝∠ABD+∠CDB；
（2）解：方法一：
∵OE∥AD，点O为AB的中点，
∴OE为△ADB的中位线，
∴，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，
∴，
∴，
设BC＝x，EC＝y，
在Rt△ABC和Rt△BCE中，
有，
即，
整理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴BC的长为；
方法二：∵OE∥AD，点O为AB的中点，
∴OE为△ADB的中位线，
∴，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，
∵∠AED＝∠BEC，
∴△BCE∽△ADE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴BC＝．
【点评】本题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，中位线的判定与性质，熟练掌握知识点，运用方程思想建立直角三角形三边之间的数量关系是解题的关键．
33．（2023•瑶海区一模）如图，△ABC是⊙O内接三角形，AC是⊙O的直径，点E是弦DB上一点，连接CE，CD．
（1）若∠DCA＝∠ECB，求证：CE⊥DB；
（2）在（1）的条件下，若AB＝6，DE＝5，求sin∠DBC．
【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，求得∠BEC＝90°，根据垂直的定义得到CE⊥BD；（2）根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，根据垂直的定义得到∠CED＝90°，得到∠CED＝∠ABC，根据相似三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠DCA＝∠ECB，∠CAD＝∠CBD，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴CE⊥BD；
（2）解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠ABC，
∵∠D＝∠A，
∴△ABC∽△DEC，
∴，
∵AB＝6，DE＝5，
∴sin∠DBC＝＝＝．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
34．（2023•金安区校级模拟）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BA延长线上一点，连接EC交△ABC的外接圆于点D，连接AD、BD．
（1）求证：AD平分∠BDE；
（2）若∠BAC＝30°，AE＝AB，BC＝2，求CD的长．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠EDA＝∠ABC，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠ABC，等量代换得到∠ADB＝∠EDA，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，∠ACD＝∠E，求得∠BCE＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠EDA＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠EDA＝∠ACB，
又∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠EDA，
∴AD平分∠BDE；
（2）解：∵AE＝AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ACD＝∠E，
∴∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BCE＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC＝30°，BC＝2，
∴CD＝BC＝2．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
35．（2023•贵池区一模）如图，△ABC内接于半圆O，AB为直径，∠ABC的平分线交AC于点F，交半圆O于点
D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD，求证：
（1）∠CAD＝∠ABD；
（2）点P是线段AF的中点．
【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠ABD＝∠DBC，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠DBC＝∠CAD，然后利用等量代换即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠ADE+∠EDB＝90°，再根据垂直定义可得∠DEB＝90°，从而可得∠EDB+∠ABD＝90°，进而利用同角的余角相等可得∠ADE＝∠ABD，然后再利用（1）的结论可得∠ADE＝∠CAD，从而可得PA＝PD，最后再利用等角的余角相等可得∠DFP＝∠EDB，从而可得PD＝PF，即可解答．
【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠DBC＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ABD；
（2）∵AB为半⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE+∠EDB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠EDB+∠ABD＝90°，
∴∠ADE＝∠ABD，
∵∠CAD＝∠ABD，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴PA＝PD，
∵∠ADF＝90°，
∴∠CAD+∠DFP＝90°，
∴∠DFP＝∠EDB，
∴PD＝PF，
∴PA＝PF，
∴点P是线段AF的中点．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
36．（2023•禹会区二模）如图，△ABC内接于半圆O，已知AB是半圆O的直径．AB＝10，AD平分∠BAC，分别交半圆O和BC于点D，E，过点D作DH⊥AB，垂足为点H，交BC于点F．
（1）求证：EF＝DF；
（2）连接OD交BC于点G，若EG＝FG，求的长．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于90°得到∠CEA+∠CAE＝90°，再根据垂直定义得到∠AHD＝90°及角平分线即可得到∠DEF＝∠EDF即可解答；
（2）根据直角三角形的性质及等边对等角即可得到EF⊥DG，再利用垂直平分线的定义及等边三角形的判定即可得到△EFD是等边三角形，最后利用弧长公式即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CEA+∠CAE＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠DAH，
∴∠DAH+∠CEA＝90°，
∵DH⊥AB，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠ADH＝∠CEA，
∵∠CEA＝∠DEF，
∴∠ADH＝∠DEF，
∴EF＝DF；
（2）解：连接OC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵DH⊥AB，
∴∠OAD+∠ADH＝90°，
∵∠ADH＝∠DEF，
∴∠ODA+∠DEF＝90°，
∴EF⊥DG，
∵EG＝FG，
∴点G是EF的中点，
∴DG垂直平分EF，
∴ED＝DF，
∴DE＝EF＝DF，
∴△EFD是等边三角形，
∴∠ADH＝60°，
∴，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAC＝2∠OAD＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵AB＝10，
∴OC＝5，
∴的长：，
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、角平分线的性质、垂径定理、圆周角定理以及弧长的计算，掌握直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键．
五．直线与圆的位置关系（共2小题）
37．（2023•黄山二模）如图，矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE．
（1）请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）当AB：AD＝ 时，直线CB与⊙O相切（只需填出比值即可）．
【分析】（1）连接OE，则OE是半径，结合矩形性质易证∠AEO＝∠DCE即∠AEO+∠DEC＝∠DCE+∠DEC＝90°，即可求得∠CEO＝180°﹣（∠AEO+∠DEC）＝90°，即OE⊥CE，即可证得结论；
（2）如图，当直线CB与⊙O相切时，假设直线CB与⊙O相切于点G，易证△OEC≌△OGC，可得∠OCE＝∠OCG，即∠OCE＝∠OCG＝∠DCE，求得∠OCG＝30°，在Rt△ABC中，，求得，结合矩形性质即可求解．
【解答】解：（1）CE与⊙O相切，
证明：连接OE，
⊙O与AD交于点E，
∴OE是半径，
在矩形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠DAC，
∴∠AEO＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠AEO＝∠DCE，
∴∠AEO+∠DEC＝∠DCE+∠DEC＝90°，
∴∠CEO＝180°﹣（∠AEO+∠DEC）＝90°，
∴OE⊥CE，
∵OE是半径，
∴CE与⊙O相切；
（2）如图，当直线CB与⊙O相切时，
假设直线CB与⊙O相切于点G，
由（1）可知CE与⊙O相切，
∴∠OEC＝∠OGC＝90°，
∵OE＝OG，OC＝OC，
∴△OEC≌△OGC，
∴∠OCE＝∠OCG，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠OCE＝∠OCG＝∠DCE，
由矩形性质可知∠BCD＝90°，AD＝BC，
∴∠OCE+∠OCG+∠DCE＝90°，
∴∠OCE＝∠OCG＝∠DCE＝30°，
在Rt△ABC中，，
∴，
∵AD＝BC，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，切线的证明和性质，全等三角形的判定和性质的应用，依据特殊角的三角函数值求解；解题的关键是熟练掌握相关知识，综合求解．
38．（2023•黟县校级模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB＝30°．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接BE，根据圆周角定理得到∠AEB＝∠C＝60°，连接OB，根据等边三角形的性质得到∠BOD＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，解直角三角形得到OB，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）直线BD与⊙O相切，
理由：连接BE，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AEB＝∠C＝60°，
连接OB，
∵OB＝OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵∠ADB＝30°，
∴∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴OB⊥BD，
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BD与⊙O相切；
（2）∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∵AB＝4，
∴sin∠AEB＝sin60°＝＝＝，
∴AE＝8，
∴OB＝4，
∴BD＝OB＝4，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBD﹣S扇形BOE＝4×﹣＝8﹣．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
六．三角形的内切圆与内心（共3小题）
39．（2023•庐阳区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°且AB＝10，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】在AB的下方作等腰直角三角形AKB，使得∠AKB＝90°，AK＝BK．连接DK，PK，过点K作KT⊥DB交DB的延长线于点T．判断出点P的运动轨迹，求出DK，PK，可得结论．
【解答】解：在AB的下方作等腰直角三角形AKB，使得∠AKB＝90°，AK＝BK．连接DK，PK，过点K作KT⊥DB交DB的延长线于点T．
∵点P是△ACB的内心，∠C＝90°，
∴∠PAB＝∠CAB，∠PBA＝∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，
∴点P在以K为圆心，KA为半径的圆上运动，
∵AB＝10，AK＝BK，∠AKB＝90°，
∴AK＝BK＝KP＝5，∠ABK＝45°，
∵∠ABT＝90°，
∴∠KBT＝45°，
∴KT＝BT＝5，
∵OA＝OB＝BD＝5，
∴DT＝10，
∴DK＝＝5，
∴DP≥DK﹣PK＝5﹣5，
∴DP的最小值为5﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的内心，解直角三角形，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
40．（2023•凤阳县二模）如图，⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，D为弧 上一点，P为△ABD的内心，过P作PE⊥AB，垂足为E，若 ，则BE﹣AE的值为（ ）
A．4B．C．2D．
【分析】作PM⊥AD于M，PN⊥BD于N，连接PA，在DB上截取BK＝AD，连接CK，可以证明△CDA≌△CKB，得到CD＝CK，∠DCA＝∠KCB，推出△DCK是等腰直角三角形，得到DK＝CD＝×2＝4，由P是△ADB的内心，推出BE﹣AE＝BD﹣AD＝DK＝4．
【解答】解：作PM⊥AD于M，PN⊥BD于N，连接PA，在DB上截取BK＝AD，连接CK，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∵∠DAC＝∠CBK，
∴△CDA≌△CKB（SAS），
∴CD＝CK，∠DCA＝∠KCB，
∵∠KCB+∠ACK＝90°，
∴∠DCA+∠ACK＝90°，
∴△DCK是等腰直角三角形，
∴DK＝CD＝×2＝4，
∵P是△ADB的内心，
∴PM＝PN＝PE，
∵∠MDN＝∠ACB＝90°，
∴四边形PMDN是正方形，
∴DM＝DN，
∵PA＝PA，PM＝PN，
∴Rt△PMA≌Rt△PEA（HL），
∴AM＝AE，
同理：BN＝BE，
∴BE﹣AE＝BN﹣AM＝（BN+DN）﹣（AM+DM）＝BD﹣AD，
∵BD﹣AD＝BD﹣BK＝DK＝4，
∴BE﹣AE＝4．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的内心，三角形外接圆与外心，等腰直角三角形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造全等三角形，并掌握三角形内心的性质．
41．（2023•蚌山区模拟）如图，在△ABC中，O是内心，点E，F都在大边BC上，已知BF＝BA，CE＝CA．
（1）求证：O是△AEF的外心；
（2）若∠B＝40°，∠C＝30°，求∠EOF的大小．
【分析】（1）连接OA、OB、OC、OE、OF，证△ABO≌△FBO，推出OA＝OF，OA＝OF即可；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠AFE＝90°﹣∠B，∠AEF＝90°﹣∠C，再根据三角形的内角和定理求出即可．
【解答】解：（1）证明：连接OA、OB、OC、OE、OF，
∵O是△ABC的内心，
∴∠OBA＝∠FBO，
在△ABO和△FBO中
∴△ABO≌△FBO（SAS），
∴OA＝OF，
同理OA＝OE，
∴OA＝OE＝OF，
∴O是△ABC的外心．
（2）∵O是△AEF的外心，
∴∠EOF＝2∠EAF，
在等腰三角形BO⊥AF，
∴∠AFE＝90°﹣∠B，
同理∠AEF＝90°﹣∠C，
∴∠EOF＝2∠EAF＝2（180°﹣∠AEF﹣∠AFE），
＝[180°﹣（90°﹣∠C）﹣（90°﹣∠B）＝2（∠B+∠C）＝70°，
答：∠EOF的度数是70°．
【点评】本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
七．正多边形和圆（共11小题）
42．（2023•合肥一模）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
A．B．2C．D．1
【分析】根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝OE，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴OE＝OA＝．
故选：A．
【点评】本题考查的是正方形和圆、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意画出图形，利用勾股定理是解答此题的关键，属于中考常考题型．
43．（2023•安徽模拟）已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ ）
A．B．C．D．
【分析】在边长为2的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出ON和半径OD，进而得出小正六边形对应点的距离MF，再根据正六边形的性质求出半径GF，即边长FH即可．
【解答】解：连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，
由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1，
由正六边形的性质可得ON＝2，
∴OD＝＝＝＝OF，
∴MF＝﹣1，
由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，
∴FH＝MF＝，
故选：D．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．
44．（2023•滁州二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，直线EF⊥OA且平分OA，交⊙O于点E，F．若OA＝1，则阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OB，OE，由题意可知，△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB，即可求出答案．
【解答】解：如图：连接OB，OE，
∵直线EF⊥OA且平分OA，
∴EA＝EO，
∵OA＝OE，
∴EA＝EO＝OA，
∴△AOE为等边三角形，
∴∠AOE＝60°，OA边上的高为：，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣60°＝30°，
∵S弓形AE＝S扇形AOE﹣S△AOE，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AE﹣S△AOB
＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB
＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB
＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB
＝
＝
故选：A．
【点评】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，正确运用扇形面积公式是解题的关键．
45．（2023•庐阳区校级一模）已知，如图，⊙O的半径为6，正六边形ABCDEF与⊙O相切于点C、F，则的长度是 4π ．
【分析】连接OC、OF，根据⊙O与正六边形ABCDEF相切于点C，F，得到∠OFE＝∠OCD＝90°，求出∠COF的度数，根据弧长公式计算可得答案
【解答】解：连接OC、OF，
∵⊙O与正六边形ABCDEF相切于点C，F，
∴∠OFE＝∠OCD＝90°，
∵∠E＝∠D＝120°，
∴∠COF＝540°﹣90°×2﹣120°×2＝120°，
∴的长＝＝4π，
故答案为：4π．
【点评】此题考查了切线的性质定理，正六边形的性质，弧长计算公式，熟练掌握切线的性质定理得到∠OFE＝∠OCD＝90°是解题的关键．
46．（2023•六安三模）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，点O是其中心，点P是AB上一点，且AP：BP＝1：2，连接OP，则OP＝（ ）
​
A．2B．C．4D．6
【分析】过点O作OM⊥AB于M，连接OA、OB，由正六边形的性质可得AB＝OA＝OB＝6，利用勾股定理得OG的长，最后再次利用勾股定理可得答案．
【解答】解：过点O作OM⊥AB于M，连接OA、OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝＝60°，AG＝GB＝3，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝6，
∴AG＝BG＝AB＝＝3，
∴OG＝，
∵AP：BP＝1：2，
∴AP＝2，
∴PG＝1，
∴OP＝＝2，
故选：B．
【点评】此题考查的是正多边形和圆，正确作出辅助线是解决此题的关键．
47．（2023•潜山市模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上．若∠CDF＝96°，则∠FCD的大小为（ ）
A．38°B．42°C．48°D．58°
【分析】连接OE，OD，CE，根据正五边形的性质得出∠CDE的度数，从而得出∠FDE的度数即∠FCE的度数，再根据正五边形ABCDE内接于⊙O，得出∠ECD的度数即可求解．
【解答】解：如图，连接OE，OD，CE，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∵∠CDF＝96°，
∴∠FDE＝∠CDE﹣∠CDF＝108°﹣96°＝12°，
∴∠FCE＝12°，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠EOD＝360°÷5＝72°，
∴∠ECD＝＝36°，
∴∠FCD＝∠FCE+∠ECD＝36°+12°＝48°，
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形的性质，圆周角定理，根据正五边形的性质得出∠CDE与∠EOD的度数是解题的关键．
48．（2023•蚌埠一模）如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆O中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O重合，且AB＝BC，则阴影部分面积与圆的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，设正六边形的边长为1，进而求出圆的面积以及圆的内接正六边形面积，进一步计算可得答案．
【解答】解：如图所示，连接OA，OB，OC，
设正六边形的边长为1，则OA＝1，∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，则∠BOA＝∠OBA＝60°，OA＝OB＝AB＝1，AC＝2，
∴∠BCO＝∠BOC，
又∵∠ABO＝∠BCO+∠BOC，
∴∠BCO＝∠BOC＝30°，则∠AOC＝90°，
∴，即圆的半径为，
所以圆的面积为3π，正六边形的面积为6S△AOB＝6×AB•OA•sin60°＝6××1×1×＝，
则阴影部分面积与圆的面积之比为，
故选：B．
【点评】本题考查了圆面积的计算，正六边形的性质，正确作出辅助线和正确的识别图形是解题的关键．
49．（2023•蜀山区校级一模）如图，正方形ABCD和等边三角形AEF均内接于⊙O，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】构造一个由正多边形的半径、边心距和半边组成的直角三角形来解决问题．
【解答】解：连接OA、OB、OE、OF，过点O作OM⊥AE于点M，如图，
设⊙O的半径r，则OA＝OB＝OE＝OF＝r，
∵正方形ABCD和等边三角形AEF均内接于⊙O，
∴∠AOB＝90°，∠AOE＝120°，
∴AB＝OA＝r，AM＝EM，∠AOM＝∠EOM＝60°，
∴AM＝EM＝r，
∴AE＝r，
∴＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆，能够构造一个由正多边形的半径、边心距和半边组成的直角三角形．该正多边形的半径即是圆的半径，其半边所对的角是它的中心角的一半．
50．（2023•定远县校级一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为 144° ．
【分析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．
【解答】解：正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠E＝∠D＝108°，
连接OA、OC，
∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，
故答案为：144°．
【点评】本题考查了正五边形的内角和、内角的度数、切线的性质，本题的五边形内角可通过外角来求：180°﹣360°÷5＝108°．
51．（2023•金安区校级一模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠CDF的度数是（ ）
A．18°B．36°C．54°D．72°
【分析】正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴，，∠BAE＝∠BCD＝108°，
∴，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°，
∵∠BCD＝108°，BC＝CD，
∴∠BDC＝108°＝（180°﹣108°）＝36°，
∠CDF＝∠BDF﹣∠BDC＝54°﹣36°＝18°．
故选：A．
【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
52．（2023•六安模拟）如图，点M是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不包括边界），且AM⊥BM，P是FC上的一点，N是AF的中点，则PN+PM的最小值为（ ）
A．B．C．3D．2
【分析】如图，取EF，AB的中点J，K，连接PJ，JK，MK，JK交CF于点Q，则△FJQ是等边三角形，四边形FQKA是平行四边形．求出JK，MK，根据PJ+PM+MK≥JK＝3，推出PN+PM≥3﹣1＝2，可得结论．
【解答】解：如图，取EF，AB的中点J，K，连接PJ，JK，MK，JK交CF于点Q，则△FJQ是等边三角形，四边形FQKA是平行四边形．
∴JQ＝JF＝1，QK＝AF＝2，
∴JK＝JQ+QK＝1+2＝3，
∵FN＝AN＝1，FJ＝JE＝1，
∴FJ＝FN，
∵∠PFJ＝∠PFN＝60°，FP＝FP，
∴△PFJ≌△PFN（SAS），
∴PN＝PJ，
∵∠AMB＝90°，AK＝KB，
∴MK＝AB＝1，
∵PJ+PM+MK≥JK＝3，
∴PN+PM≥3﹣1＝2，
∴PN+PM的最小值为2．
故选：D．
【点评】本题考查正多边形与圆，轴对称最短问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．
八．圆的综合题（共8小题）
53．（2023•蚌埠模拟）如图，⊙P与y轴相切，圆心为P（﹣2，1），直线MN过点M（2，3），N（4，1）．
（1）请你在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′；（不要求写作法）
（2）求⊙P在x轴上截得的线段长度；
（3）直接写出圆心P′到直线MN的距离．
【分析】（1）根据⊙P的半径以及P点位置得出P′点位置，进而得出⊙P关于y轴对称的⊙P′；
（2）利用P点坐标以及勾股定理求出⊙P在x轴上截得的线段长度即可；
（3）利用三角形面积得出圆心P′到直线MN的距离即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）⊙P在x轴上截得的线段长度为：；
（3）由图可知，P′M＝2，P′N＝2，△P′MN为直角三角形
∴MN＝＝2，
∴点P′到直线MN的距离＝．
【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及关于y轴对称点图形画法和勾股定理、三角形面积公式应用等知识，利用P点坐标得出相关线段长度是解题关键．
54．（2023•庐阳区校级一模）【问题提出】如图1，AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？
【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若AB＝4，线段AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小芳以AB为底边构造了一个Rt△AOB，再以点O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】
（1）若AB＝6，平面内一点C满足∠ACB＝60°，若点C所在圆的圆心为O，则∠AOB＝ 120° ，劣弧AB的长为 π ．
（2）如图3，已知正方形ABCD以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE，其中AB＝AE，过点E作EF⊥AB于点F，若点P是△AEF的内心．
①求∠BPE的度数；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为4，求CP的最小值．
【分析】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过O作OM⊥AB，求得∠AOB＝120°，进而求得∠OAM＝30°，根据可求得AO，根据∠AOB＝120°即可求出劣弧AB的长度；
（2）①根据已知条件可得，证明△APE≌△APB，即可求得∠BPA，根据三角形内角和定理即可求出∠BPE；
②如图，作△APB的外接圆，圆Q，连接AQ，BQ，CQ，过Q作QN⊥BC交的CB延长线于点N，由题意的由“定弦定角”模型，可知∠APB＝135°，AB＝4，作出△APB的外接圆，圆Q，设圆的半径为r，则PC的最小值即为CQ﹣r，根据勾股定理即可求得r，CQ，从而求得最小值．
【解答】解：（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过O作OM⊥AB，
∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，OM⊥AB，
∴，，
∴∠OAM＝30°，
∴，
∴劣弧AB的长为
故答案为：120°，；
（2）①∵EF⊥AB，
∴∠EFA＝90°，
∴∠EAF+∠AEF＝90°，
∵点P是△AEF的内心，
∴PA，PE平分∠EAF，∠AEF，
∴，
∴，
∵AE＝AB，∠EAP＝∠BAP，AP＝AP，
∴△APE≌△APB（SAS），
∴∠BPA＝∠APE＝135°，
∴∠BPE＝360°﹣∠BPA﹣∠APE＝90°；
②如图，作△APB的外接圆，圆Q，连接AQ，BQ，CQ，过Q作QN⊥BC交的CB延长线于点N，
由题意的由“定弦定角”模型，可知∠APB＝135°，AB＝4，
作出△APB的外接圆，圆心为Q，设圆的半径为r，则PC的最小值即为CQ﹣r，
∵∠APB＝135°，
设优弧所对的圆心角优角为α，
则α＝270°，
∴∠AQB＝90°，
∵QA＝QB，
∴∠ABQ＝∠BAQ＝45°，
∵AB＝4，
∴，
∵QN⊥BC，四边形ABCD是正方形，
∴AB⊥BC，
∴AB∥QN，
∴∠BQN＝∠ABQ＝45°，
∵，
∴QN＝NB＝2，
∴CN＝BC+BN＝6，
∴，
∴．
∴PC的最小值为．
【点评】本题考查了“定弦定角”模型，圆周角定理，解直角三角形，线段最短距离，勾股定理正方形的性质，三角形全等的性质与判定，理解题意作出图形是解题的关键．
55．（2023•瑶海区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AB＝BC，延长DA到点E，使得BE＝BD．
（1）若AF平分∠CAD，求证：BA＝BF；
（2）试探究线段AD，CD与BD之间的数量关系．
【分析】（1）根据圆周角定理及等腰三角形的性质推出∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ADB＝∠CDB＝45°，根据角平分线定义得到∠CAF＝∠DAF，根据角的和差及三角形外角性质推出∠BAF＝∠BFA，根据等腰三角形的判定即可得解；
（2）结合（1）得到∠ADB＝45°，根据等腰三角形的性质推出∠E＝∠BDE＝45°，进而得到∠DBE＝90°，根据角的和差求出∠ABE＝∠CBD，结合题意利用SAS证明△ABE≌△CBD，根据全等三角形的性质得到
AE＝CD，根据勾股定理得到BD2+BE2＝DE2，等量代换即可得解．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，＝，
∴∠BAC＝45°，∠ADB＝∠CDB＝45°，
∵AF平分∠CAD，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠BAF＝∠BAC+∠CAF，∠BFA＝∠ADB+∠DAF，
∴∠BAF＝∠BFA，
∴BA＝BF；
（2）解：2BD2＝（AD+CD）2，理由如下：
由（1）知，∠ADB＝45°，
∵BE＝BD，
∴∠E＝∠BDE＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBE＝∠ABC，
∴∠DBE﹣∠ABD＝∠ABC﹣∠ABD，
即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD，
在Rt△BDE中，∠DBE＝90°，BE＝BD，
∴BD2+BE2＝DE2，
即BD2+BD2＝（AD+AE）2，
∴2BD2＝（AD+CD）2．
【点评】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
56．（2023•裕安区校级二模）已知：如图1，AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC＝AB，连接BC交⊙O于D．
（1）若AC为⊙O的切线，求证：OD⊥AB；
（2）如图2，若∠BAC＞90°时，请用尺规作图在△ABC内部选一点P，使∠APB＝45°，以下是部分作图步骤：
第一步：过点O作AB的垂线，交⊙O于点E；
第二步：连接AE、BE；
⋯
问题：
①请完成接下来的作图，并保留作图痕迹；
②在操作中得到∠APB＝45°的依据是 在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 ．
【分析】（1）证明：连接AD，根据切线的性质得到∠BAC＝90°，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）①如图2：根据题意作出图形即可；
②根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接AD，
∵AC为⊙O切线，
∴∠BAC＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OB＝OA，
∴OD∥AC，
∴OD⊥AB；
（2）解：①如图2：
第一步：过点O作AB的垂线，交⊙O于点E；
第二步：连接AE、BE；
第二步：以E为圆心，以AE为半径作⊙E，在⊙E上且在△ABC的内部取一点P连接AP，BP，则∠APB即为所求；
②在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
故答案为：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，复杂作图，平行线的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键．
57．（2023•金安区校级模拟）我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I为△ABC的内心．
（1）如图1，连接AI并延长交BC于点D，若AB＝AC＝BC＝6，求ID的长；
（2）如图2，过点I作直线交AB于点M，交AC于点N．
①若MN⊥AI，求证：MI2＝BM•CN；
②如图3，AI交BC于点D，若∠BAC＝60°，AI＝4，求的值．
【分析】（1）如图1中，作IE⊥AB于E．设ID＝x．由△BEI≌△BDI，可得ID＝IE＝x，BD＝BE＝1，AE＝2，在Rt△AEI中，根据AE2+EI2＝AI2，可得22+x2＝（2﹣x）2，解方程即可；
（2）①如图2中，连接BI、CI．首先证明△AMI≌△ANI（ASA），再证明△BMI∽△INC，可得＝，推出NI2＝BM•CN，由此即可解决问题；
②过点N作NG∥AD交MA的延长线于G．由∠ANG＝∠AGN＝30°，推出AN＝AG，NG＝AN，由AI∥NG，推出＝，可得＝，即可推出+＝．
【解答】（1）解：如图1中，作IE⊥AB于E．设ID＝x．
∵AB＝AC＝3，AI平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝1，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，
∵∠EBI＝∠DBI，∠BEI＝∠BDI＝90°，BI＝BI，
∴△BEI≌△BDI（AAS），
∴ID＝IE＝x，BD＝BE＝1，AE＝2，
在Rt△AEI中，
∵AE2+EI2＝AI2，
∴22+x2＝（2﹣x）2，
∴x＝，
∴ID＝．
（2）①证明：如图2中，连接BI、CI．
∵I是内心，
∴∠MAI＝∠NAI，
∵AI⊥MN，
∴∠AIM＝∠AIN＝90°，
在△AMI和△ANI中，
，
∴△AMI≌△ANI（ASA），
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠BMI＝∠CNI，
设∠BAI＝∠CAI＝α，∠ACI＝∠BCI＝β，
∴∠NIC＝90°﹣α﹣β，
∵∠ABC＝180°﹣2α﹣2β，
∴∠MBI＝90°﹣α﹣β，
∴∠MBI＝∠NIC，
∴△BMI∽△INC，
∴＝，
∴NI2＝BM•CN，
∵NI＝MI，
∴MI2＝BM•CN．
②解：过点N作NG∥AD交MA的延长线于G．
∴∠ANG＝∠AGN＝30°，
∴AN＝AG，NG＝AN，
∵AI∥NG，
∴＝，
∴＝，
∴+＝．
【点评】本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、三角形的内心、角平分线的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
58．（2023•蚌山区模拟）问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为 ．
（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值．
【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD＝；
（2）连接CP，在CA上取点D，使CD＝，则有，可证△PCD∽△ACP，得到PD＝AP，即：AP+BP＝BP+PD，从而AP+BP的最小值为BD；
（3）延长OA到点E，使CE＝6，连接PE、OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP＝2PA，得到2PA+PB＝EP+PB，当E、P、B三点共线时，得到最小值．
【解答】解：（1）如图1，
连接AD，
∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，
即：AP+BP最小值为AD，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，
∴AD＝＝，
AP+BP的最小值为，故答案为：；
（2）如图2，
连接CP，在CA上取点D，使CD＝，
∴，
∵∠PCD＝∠ACP，
∴△PCD∽△ACP，
∴，
∴PD＝AP，
∴AP+BP＝BP+PD，
∴同（1）的方法得出AP+BP的最小值为BD＝＝．
故答案为：；
（3）如图3，
延长OA到点E，使CE＝6，
∴OE＝OC+CE＝12，
连接PE、OP，
∵OA＝3，
∴，
∵∠AOP＝∠AOP，
∴△OAP∽△OPE，
∴，
∴EP＝2PA，
∴2PA+PB＝EP+PB，
∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE＝＝13．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出△PCD∽△ACP和△OAP∽△OPE，也是解本题的难点．
59．（2023•庐江县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC＝∠ABC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，AC＝2BC，求线段CE的长．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°，得出∠A+∠ABC＝90°，根据圆周角定理得出∠A＝∠D，推出∠DCE＝90°即可得出结论；
（2）根据tanA＝tanD得出，再根据勾股定理得出CE即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵BC＝BC，
∴∠A＝∠D，
又∵∠DEC＝∠ABC，
∴∠D+∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴CD⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，CD⊥CE，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵∠A＝∠D，AC＝2BC，
∴tanA＝tanD，
即，
∴CD＝2CE，
在Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，DE＝4，
∴（2CE）2+CE2＝（4）2，
解得CE＝4，
即线段CE的长为4．
【点评】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识是解题的关键．
60．（2023•庐阳区校级三模）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB．
（1）按要求尺规作图：作AD的垂直平分线（保留作图痕迹）；
（2）若AD的垂直平分线与AB相交于点O，以O为圆心作圆，使得圆O经过AD两点．
①求证：BC是⊙O的切线；
②若CD＝2，AD＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据尺规作图﹣﹣垂直平分线作法即可作出AD的垂直平分线；
（2）①由∠C＝90°可知，只需证明AC∥OD即可，而根据AD平分∠CAB，O在AD垂直平分线上即可得证；
②过D作DM⊥AB于M，求出DM＝CD＝2，AM＝4，在Rt△ODM中，用勾股定理列方程可求⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图：
分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径作弧，两弧交于M、N，作直线MN，
则直线MN即为AD的垂直平分线；
（2）①如图：
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠OAD，
∵O在AD的垂直平分线上，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥OD，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
又OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
②过D作DM⊥AB于M，如图：
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DM⊥AB，
∴DM＝CD＝2，
在Rt△ADM中，
AM＝＝＝4，
设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，
∴OM＝AM﹣OA＝4﹣r，
在Rt△ODM中，OM2+DM2＝OD2，
∴（4﹣r）2+（2）2＝r2，
解得r＝3，
∴⊙O的半径为3．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及尺规作图，勾股定理的应用，线段垂直平分线及角平分线性质等知识，解题的关键是掌握作辅助线，构造直角三角形解决问题．