5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题15图形的对称与平移(真题4个考点模拟9个考点)特训（学生版+解析）

这是一份5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题15图形的对称与平移(真题4个考点模拟9个考点)特训（学生版+解析），共90页。试卷主要包含了为端点的线段AB等内容，欢迎下载使用。
一．作图-轴对称变换（共1小题）
1．（2023•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）．
（1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；
（2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；
（3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB．
二．轴对称-最短路线问题（共1小题）
2．（2023•安徽）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（ ）
A．PA+PB的最小值为3
B．PE+PF的最小值为2
C．△CDE周长的最小值为6
D．四边形ABCD面积的最小值为3
三．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
3．（2020•安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）∠PAQ的大小为 °；
（2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为 ．
四．作图-平移变换（共1小题）
4．（2019•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB．
（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD．
（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点．（作出一个菱形即可）
一．生活中的轴对称现象（共1小题）
1．（2023•蚌山区模拟）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（ ）
A．200个B．400个C．1000个D．2000个
二．轴对称的性质（共3小题）
2．（2023•黟县校级模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 ．
3．（2023•庐江县三模）如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC交BD于E，点F是C关于BD的对称点，连接EF．若∠BAC＝40°，则∠AEF的度数是（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
4．（2023•合肥三模）△ABC与△ABD关于直线AB对称，点E，F分别是边BC，BD上的点，且AE＝AF．
（1）如图1，若∠C为直角，求证：BE＝BF；
（2）若∠C为钝角如图2，∠C为锐角如图3，BE＝BF是否还成立？请分别写出你的结论，并选择其中一个结论解答．若成立，请补全图形并证明：若不成立，请画出反例（画反例时保留作图痕迹）．
​
三．轴对称图形（共1小题）
5．（2023•金安区校级三模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称的．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
四．作图-轴对称变换（共21小题）
6．（2023•安徽模拟）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，0），C（5，3）．
（1）请画出△ABC向下平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
7．（2023•蒙城县三模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）请写出点C1、B2的坐标．
8．（2023•霍邱县二模）图1，图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点（格点）上．
​（1）在图1中画出线段AC关于直线l的对称线段A1C1．
（2）在图2中画出一个以AC为对角线且面积为6的格点矩形ABCD（顶点均在格点上）．
9．（2023•蜀山区二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将△ABC向右平移1个单位，向上平移3个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1（点A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1）；
（2）画出△A1B1C1关于直线l的对称图形△A2B2C2（点A1、B1、C1的对应点分别是A2、B2、C2）．
10．（2023•长丰县二模）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中小正方形的边长为1个单位长度．
（1）将△ABC沿x轴方向向右平移7个单位长度，再向下平移6个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
（2）将△ABC关于x轴对称得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
11．（2023•瑶海区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在网格的格点上，其坐标分别为：A（﹣4，4），B（﹣2，1），C（4，2）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）在（1）的条件下，分别写出点A、C的对应点A1、C1的坐标．
12．（2023•庐阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标为A（2，4），B（1，2），C（4，1），△DEF各顶点的坐标为D（4，﹣4），E（5，﹣2），F（2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）若△ABC与△DEF关于点P成中心对称，则点P的坐标是 ．
13．（2023•合肥模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）画出△ABC以AC为对称轴的对称图形△AB1C．
（2）作出△ABC外接圆的圆心O，并求出AB弦所对的劣弧弧长．
14．（2023•舒城县二模）如图，在边长为1的正方形的网格中，已知△ABC及直线l．
（1）将△ABC向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于直线l的对称图形△A2B2C2．
15．（2023•六安三模）在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝2，D为BC的中点，作△ADC关于AC的对称图形△AD′C，并连接DD′．
（1）DD′的长为 ；（2）sin∠DAD′＝ ．
16．（2023•庐阳区校级三模）如图，在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，按下列要求画出对应的格点三角形
（1）在图1中将△ABC向右平移2个单位；
（2）在图2中画出△OPQ，使它与△ABC 关于某直线成轴对称，且点D在△OPQ的内部．
17．（2023•迎江区校级二模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（2，4）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）△A1B1C1的面积为 ．
18．（2023•池州三模）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有△ABC和直线MN，点A，B，C均在小正方形的顶点（网格点）上．
​（1）在方格纸中画出△DBC，使△ABC与△DCB关于直线MN对称；
（2）在方格纸的网格点中找一点E，使得CA＝CE，连接EA，EC，直接写出△ACE的面积．
19．（2023•金寨县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点．
（1）将△AOB沿y轴翻折得到△A1OB1，画出△A1OB1；
（2）将△AOB绕点O旋转 180°后得到△A2OB2，请在图中作△A2OB2．
20．（2023•瑶海区校级一模）如图，已知△ABC的顶点分别为A（﹣2，2），B（﹣4，5），C（﹣5，1）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．
（2）点P在x轴上运动，当AP+CP的值最小时，直接写出点P的坐标．
（3）求△ABC的面积．
21．（2023•芜湖一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（﹣4，1），B（﹣3，5），C（﹣1，2）均在正方形网格的格点上．
（1）画出将△ABC沿x轴方向向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标；
（3）在x轴上找一点M，使得MA+MC的值最小．（保留作图痕迹）
22．（2023•定远县校级三模）如图，在9×9的小正方形网络中（小正方形的边长为1个单位长过度），已知格点△ABC和对角线l．
（1）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，画出平移后的△A2B2C2；
（3）直接写出△A2AA1的面积： ．
23．（2023•安庆一模）△ABC在直角坐标系内的位置如图．
（1）分别写出A、B、C的坐标；
（2）请在这个坐标系内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，并写出B1的坐标；
（3）依次连接点B、B1、C1、C、得到四边形BB1C1C，则四边形BB1C1C的面积为 ．
24．（2023•庐江县三模）如图，在边长为1个单位长度的网格中，△ABC的顶点均在格点上，l为经过网格线的一条直线．
（1）作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC向右平移3个并位，再向下平移 个单位，使A、C两点的对应点落在直线l的两侧，请画出图形．
25．（2023•凤台县校级三模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2；
（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 ．
26．（2023•凤阳县二模）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，按下列要求解答：
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出△ABC关于x轴对称的图形△A2B2C2的各顶点坐标；
（3）在y轴上确定一点P，使△PAB的周长最短（只需作图、保留作图痕迹）．
五．轴对称-最短路线问题（共9小题）
27．（2023•庐江县二模）如图，∠A＝∠B＝45°，，点C，D分别在∠A，∠B的另一边上运动，并保持CD＝2，点M在边BC上，BM＝2，点N是CD的中点，若点P为AB上任意一点，则PM+PN的最小值为（ ）
A．B．C．D．
28．（2023•雨山区一模）直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2．BC＝DC＝5，P在BC上运动，则PA+PD取最小值时，△APD边AP上的高是多少（ ）
A．B．C．D．
29．（2023•定远县校级一模）如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，E为边AD的中点，P为对角线BD上的一个动点，连接PA、PE，则PA+PE的最小值是 ．
30．（2023•贵池区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，∠B＝30°，动点M，N分别在边AB，BC上，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2B．2C．6D．3
31．（2023•合肥二模）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是AB边上的一个动点，连接DE，∠DEB的角平分线EF交CD边于点F，若DM⊥EF于M点，连接AM、BM，则AM+BM的最小值是（ ）
A．B．C．D．5
32．（2023•岳西县校级模拟）如图，E是边长为4的正方形ABCD的边CD上的一个动点，F是以BC为直径的半圆上的一个动点，连接AE，EF，则AE+EF的最小值是 ．
33．（2023•定远县二模）如图，矩形ABCD的边AB＝2，BC＝4，E是AD上一点，DE＝1，F是BC上一动点，M、N分别是AE、EF的中点，则MN+EN的最小值是 ．
34．（2023•雨山区校级一模）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝6，G、F是直线AD上的动点，且GF＝3，点E是BC的中点．请完成下列问题：
（1）若DF＝，则∠FGE的大小为 ；
（2）当GE+FE的值最小时，CG的长度为 ．
35．（2023•龙子湖区二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是AD上的一点，且AE＝2，F，G是AB，CD上的动点，且BE＝FG，BE⊥FG，连接EF，BG，当EF+FG+BG的值最小时，CG的长为 ．
六．翻折变换（折叠问题）（共10小题）
36．（2023•包河区三模）已知：菱形ABCD中，，AC＝2，AC与BD交于点O，点E为BD上一点．
（1）求BD的长；
（2）若AE⊥AB，求证：OE＝DE；
（3）若点E在线段OB上（不与O、B重合），以AE为对称轴，折叠△ABE，使点B的对应点F恰好落在菱形的边上，画出图形并求OE的长．
​
37．（2023•安徽模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，将CB沿着AC翻折，使点B对应点B’恰好在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB＝（ ）
A．40°B．35°C．60°D．70°
38．（2023•包河区三模）已知：菱形ABCD中，，AC＝2，AC 与BD交于点O，点E为OB上一点，以AE为对称轴，折叠△ABE，使点B的对应点F恰好落在边CD上，则BE的长为（ ）
A．B．C．D．
39．（2023•六安模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D、E分别在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF＝2，则BE的长为（ ）
A．6B．C．D．
40．（2023•泗县校级模拟）如图，将矩形ABCD沿直线BE折叠，使得∠CBE＝30°，点C，D分别落在点C′，D′处，连接DD′，其中AB＝3，，则DD′的长为（ ）
A．B．3C．D．
41．（2023•舒城县模拟）如图，将菱形ABCD的边AD以直线AN为对称轴翻折至AM，使点C恰好落在AM上．若此时CM＝CN，则∠D的度数为（ ）
A．30°B．54°C．45°D．36°
42．（2023•合肥三模）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E是边BC上一动点，沿AE翻折，若点B的对称点B′恰好落在矩形的对称轴上，则折痕AE的长是（ ）
A．B．C．D．
43．（2023•蚌埠模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，E是AB的中点，F是BC延长线上的一点，将△BEF沿EF折叠得到△GEF，连接BG并延长分别交EF、AD于O、H两点，若GO＝3GH，则BF的长度为（ ）
A．4B．4C．8+D．8+
44．（2023•滁州二模）如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝4．将∠C沿GM折叠，使点C与点恰好重合，下列结论：①DM＝4，②点E到AC的距离为3，③EM＝5，④四边形CGEM是菱形．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
45．（2023•滁州二模）如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为p．
（1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则p＝ ；
（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是 ．
小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB1C，再将△AB1C以B1C为轴翻折一次得△A1B1C，如图2所示．则由轴对称的性质可知，DF+FE1+E1D2＝p，根据两点之间线段最短，可得p≥DD2．老师听了后说：“你的想法很好，但DD2的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果．”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”．请参考他们的想法，写出你的答案．
七．胡不归问题（共4小题）
46．（2023•镜湖区校级一模）如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是 ．
47．（2023•合肥三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
48．（2023•合肥一模）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，点E为BD上动点，连接AE，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
49．（2023•歙县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为（ ）
A．B．C．D．
八．坐标与图形变化-平移（共2小题）
50．（2023•安徽模拟）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）先向右平移4个长度单位、再向下平移5个长度单位得到点B，则点B的坐标是（ ）
A．（4，5）B．（2，2）C．（2，﹣2）D．（﹣2，2）
51．（2023•合肥模拟）如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合．
观察图形得到下表：
按照以上规律，解答下列问题：
（1）在图⑤中，正方形的总数为 ；
（2）在图中，正方形的总数为 ；
（3）如图2，将图放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点A1坐标为（3，1），A2，A3，A4位置如图所示，则An的坐标为 ．
九．作图-平移变换（共9小题）
52．（2023•蜀山区校级一模）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，把△ABC先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可以得到△A′B′C′．
（1）画出三角形△A′B′C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标；
（2）求△A′B′C′的面积．
53．（2023•六安三模）如图，在网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，我们把以格点（网格的交点）为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC就是格点三角形．
（1）将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请借助无刻度直尺作出AC边的中点O．
54．（2023•禹会区二模）如图，在平面直角坐标系中A，B两点的坐标分别为（5，1）和（2，﹣2），过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AB，AC．
（1）请按题目要求补全图形，并写出点C的坐标 ；
（2）将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去2，纵坐标都加上1，分别得到A1，B1，C1，画出三角形A1B1C1，并写出三角形A1B1C1是由三角形ABC如何平移得到？
55．（2023•定远县校级一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC和格点O（网格线的交点，叫做格点）．
（1）作△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）
（2）将△A1B1C1先向上平移5个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（点A1，B1，C1的对应点分别为A2，B2，C2）
（3）连接OA，OC2，则∠AOC2＝ °．
56．（2023•合肥三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC．​
（1）将△ABC 向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1．​
（2）请仅用无刻度的直尺作出△A1B1C1 中A1B1 边上的中线C1D （保留作图痕迹）．​
57．（2023•蚌山区一模）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（1，﹣2），若先将三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A1B1C1，请解答下列问题：
（1）写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）在图中画出平移后的三角形A1B1C1；
（3）三角形A1B1C1的面积为 ．
58．（2023•花山区一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点）．
（1）将△ABC先向左平移5个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1，并画出平移后的△A1B1C1；
（2）请在网格中，用无刻度的直尺画出线段AC的垂直平分线PQ，交AB于点P，交AC于点Q（保留作图痕迹）．
59．（2023•蜀山区二模）我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制井平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2，图3，…
（1）观察以上图形并完成表格：猜想：在图（n）中，特征点的个数为 （用n表示）；
（2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为（x1，2），则x1＝ ；图（2023）的对称中心的横坐标为 ．
60．（2023•滁州二模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2.1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△ABC，已知点C1的坐标为（2，3），画出平移后的图形△A1B1C1．
（2）求△A1B1C1的面积．
（3）若点P是x轴上的一个动点，则PB+PC1的最小值为 ，此时点P的坐标为 ．
专题15 图形的对称与平移（真题4个考点模拟9个考点）
一．作图-轴对称变换（共1小题）
1．（2023•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）．
（1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；
（2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；
（3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB．
【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；
（2）根据平移的性质画出图形即可；
（3）根据线段垂直平分线的作法画出图形即可．
【解答】解：（1）线段A1B1如图所示；
（2）线段A2B2如图所示；
（3）直线MN即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了线段垂直平分线的性质．
二．轴对称-最短路线问题（共1小题）
2．（2023•安徽）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（ ）
A．PA+PB的最小值为3
B．PE+PF的最小值为2
C．△CDE周长的最小值为6
D．四边形ABCD面积的最小值为3
【分析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，由△ADE和△BCE是等边三角形，可得四边形DECM是平行四边形，而P为CD中点，知P为EM中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB＝PA'+PB最小，即可得PA+PB最小值A'B＝＝2，判断选项A错误；由PM＝PE，即可得当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，此时PE+PF的最小值为2，判断选项B正确；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等边三角形，得KT＝KE+TE＝AB＝2，有CD≥2，故△CDE周长的最小值为6，判断选项C正确；设AE＝2m，可得S四边形ABCD＝（m﹣1）2+3，即知四边形ABCD面积的最小值为3，判断选项D正确．
【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，如图：
∵△ADE和△BCE是等边三角形，
∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°，
∴DE∥BM，CE∥AM，
∴四边形DECM是平行四边形，
∵P为CD中点，
∴P为EM中点，
∵E在线段AB上运动，
∴P在直线l上运动，
由AB＝4知等边三角形ABM的高为2，
∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为，
作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB＝PA'+PB最小，
此时PA+PB最小值A'B＝＝＝2，故选项A错误，符合题意；
∵PM＝PE，
∴PE+PF＝PM+PF，
∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，
∵F为AB的中点，
∴MF⊥AB，
∴MF为等边三角形ABM的高，
∴PE+PF的最小值为2，故选项B正确，不符合题意；
过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图，
∵△ADE和△BCE是等边三角形，
∴KE＝AE，TE＝BE，
∴KT＝KE+TE＝AB＝2，
∴CD≥2，
∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，
∴DE+CE+CD≥6，
∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；
设AE＝2m，则BE＝4﹣2m，
∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DK＝AK＝m，CT＝BT＝2﹣m，
∴S△ADK＝m•m＝m2，S△BCT＝（2﹣m）（2﹣m）＝m2﹣2m+2，S梯形DKTC＝（m+2﹣m）•2＝2，
∴S四边形ABCD＝m2+m2﹣2m+2+2＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3，
∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为3，故选项D正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题，涉及等边三角形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是求出P的运动轨迹是直线l．
三．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
3．（2020•安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）∠PAQ的大小为 30 °；
（2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为 ．
【分析】（1）由折叠的性质可得∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C＝180°，∠AQP＝90°，可证AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAB＝90°，即可求解；
（2）由平行四边形和折叠的性质可得AR＝PR，由直角三角形的性质可得AP＝2PB＝2QR，AB＝PB，即可求解．
【解答】解：（1）由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，
∵∠QRA+∠QRP＝180°，
∴∠D+∠C＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠DAB＝180°，
∵∠DQR+∠CQR＝180°，
∴∠DQA+∠CQP＝90°，
∴∠AQP＝90°，
∴∠B＝∠AQP＝90°，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°，
故答案为：30；
（2）由折叠的性质可得：AD＝AR，CP＝PR，
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AD＝PC，
∴AR＝PR，
又∵∠AQP＝90°，
∴QR＝AP，
∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，
∴AP＝2PB，AB＝PB，
∴PB＝QR，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
四．作图-平移变换（共1小题）
4．（2019•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB．
（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD．
（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点．（作出一个菱形即可）
【分析】（1）直接利用平移的性质得出C，D点位置，进而得出答案；
（2）直接利用菱形的判定方法进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：线段CD即为所求；
（2）如图：菱形CDEF即为所求，答案不唯一．
【点评】此题主要考查了菱形的判定以及平移变换，正确掌握菱形的判定方法是解题关键．
一．生活中的轴对称现象（共1小题）
1．（2023•蚌山区模拟）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（ ）
A．200个B．400个C．1000个D．2000个
【分析】有五个数字的“数字对称”牌照，第一个数与第五个数相同，第二个数和第四个数相同．
【解答】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有10×10＝100种情况．
同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有10×10＝100种情况，所以最多可制作200个．
故选：A．
【点评】本题侧重考查生活中的轴对称现象，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
二．轴对称的性质（共3小题）
2．（2023•黟县校级模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 33° ．
【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B＝38°，再利用平行线的性质得∠ADB′＝∠A＝38°，接着根据轴对称的性质得到∠CDB′＝∠CDB，则可出∠CDB的度数，然后利用三角形内角和计算出∠BCD的度数．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝38°，
∵B′D∥AC，
∴∠ADB′＝∠A＝38°，
∵点B关于直线CD的对称点为B′，
∴∠CDB′＝∠CDB＝（38°+180°）＝109°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣38°﹣109°＝33°．
故答案为33°．
【点评】本题考查了轴对称的性质：轴对称的两个图形全等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质．
3．（2023•庐江县三模）如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC交BD于E，点F是C关于BD的对称点，连接EF．若∠BAC＝40°，则∠AEF的度数是（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【分析】由AE平分∠BAC，得到∠BAE＝∠CAE又AB＝AC，AE＝AE，推出△BAE≌△CAE（SAS），得到∠ACE＝∠ABE＝50°，由轴对称的性质可知，∠EFC＝∠ACE＝50°，由三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝20°，
∵AB＝AC，AE＝AE，
∴△BAE≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABE＝50°，
∵F是C关于BD的对称点，
∴∠EFC＝∠ACE＝50°，
∵∠EFC＝∠EAC+∠AEF，
∴∠AEF＝50°﹣20°＝30°．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由全等三角形的性质，轴对称的性质求出∠EFC的度数．
4．（2023•合肥三模）△ABC与△ABD关于直线AB对称，点E，F分别是边BC，BD上的点，且AE＝AF．
（1）如图1，若∠C为直角，求证：BE＝BF；
（2）若∠C为钝角如图2，∠C为锐角如图3，BE＝BF是否还成立？请分别写出你的结论，并选择其中一个结论解答．若成立，请补全图形并证明：若不成立，请画出反例（画反例时保留作图痕迹）．
​
【分析】（1）根据轴对称性得AC＝AD，BC＝BD，∠C＝∠D＝90°，据此可依据“HL”判定Rt△ACE和Rt△ADF全等，从而得CE＝DF，进而可得出结论；
（2）若∠C为钝角时，BE＝BF成立，若∠C为锐角时，BE＝BF不一定成立．
①当∠C为钝角时，过点A作AG⊥BC交BC的延长线于G，作AH⊥BD交BD的延长线于H，先依据“AAS”判定△AGB和△AHB全等，得BG＝BH，AG＝AH，再依据“HL”判定Rt△AGE和△AHF全等，得EG＝GH，进而可得出结论；
②当∠C为锐角时，举反例说明结论BE＝BF不成立即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC与△ABD关于直线AB对称，∠C为直角，
∴AC＝AD，BC＝BD，∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ACE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ADF（HL），
∴CE＝DF，
又∵BC＝BD，
∴BC﹣CE＝BD﹣DF，
∴BE＝BF．
（2）解：若∠C为钝角时，BE＝BF成立，若∠C为锐角时，BE＝BF不一定成立．
理由如下：
①当∠C为钝角时，过点A作AG⊥BC交BC的延长线于G，作AH⊥BD交BD的延长线于H，
∴∠AGB＝∠AHB＝90°，
∵△ABC与△ABD关于直线AB对称，
∴∠ABC＝∠ABD，
即：∠ABG＝∠ABH，
在△AGB和△AHB中，
，
∴△AGB≌△AHB（AAS），
∴BG＝BH，AG＝AH，
在Rt△AGE和△AHF中，
，
∴Rt△AGE≌△AHF（HL），
∴EG＝GH，
∴BG﹣EG＝BH﹣GH，
∴BE＝BF．
②当∠C为锐角时，BE＝BF不一定成立，举反例如下：
以点A为圆心，以AE为半径画弧，交BC于F，F'，则AE＝AF＝AF'，
很显然：BE＝BF≠BF'，
也就是说当点F落在点F'的位置上是，结论BE＝BF不成立．
【点评】此题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解如果一个三角形的两边分别与另一个三角形的两边相等，并且其中一边的对角相等，当相等的角为直角或钝角时这两个三角形全等，当相等的角是锐角时这两个不一定全等，这也是解答此题的难点之一．
三．轴对称图形（共1小题）
5．（2023•金安区校级三模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称的．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
四．作图-轴对称变换（共21小题）
6．（2023•安徽模拟）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，0），C（5，3）．
（1）请画出△ABC向下平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
【分析】（1）利用平移的性质得出对应顶点的位置，进而得出答案；
（2）利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
【点评】此题主要考查平移变换，得出对应点位置是解题关键．
7．（2023•蒙城县三模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）请写出点C1、B2的坐标．
【分析】（1）利用平移的性质得出对应点位置，然后依次连接各点得出结论；
（2）利用轴对称的性质作出三角形的对应顶点，然后依次连接各点得出结论；
（3）利用所画图象依据坐标的特征写出结论即可．
【解答】解：（1）如图所示，依次将点A，B，C三点的横坐标加4，纵坐标不变，分别得到它们的对称点A1，B1，C1，依次连接各点得到△A1B1C1为所作的图形．
（2）如图所示，依次将点A，B，C三点的横坐标取相反数，纵坐标不变，分别得到它们的对称点A2，B2，C2，依次连接各点得到△A2B2C2，为所作的图形．
（3）由图象得：C1（3，1），B2（﹣1，﹣2）．
【点评】本题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
8．（2023•霍邱县二模）图1，图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点（格点）上．
​（1）在图1中画出线段AC关于直线l的对称线段A1C1．
（2）在图2中画出一个以AC为对角线且面积为6的格点矩形ABCD（顶点均在格点上）．
【分析】（1）根据轴对称的性质找出对应点即可求解；
（2）根据矩形的性质，结合网格以及矩形的面积公式作出图形即可．
【解答】解：（1）如图，线段A1C1即为所求；
（2）如图，矩形ABCD即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
9．（2023•蜀山区二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将△ABC向右平移1个单位，向上平移3个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1（点A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1）；
（2）画出△A1B1C1关于直线l的对称图形△A2B2C2（点A1、B1、C1的对应点分别是A2、B2、C2）．
【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查了平移变换的性质与轴对称变换的性质，熟练掌握平移变换的性质与轴对称变换的性质是解题的关键．
10．（2023•长丰县二模）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中小正方形的边长为1个单位长度．
（1）将△ABC沿x轴方向向右平移7个单位长度，再向下平移6个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
（2）将△ABC关于x轴对称得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【分析】（1）根据平移的性质，找到A，B，C的对应点A1，B1，C1，顺次连接，△A1B1C1即为所求；
（2）根据轴对称的性质，找到A，B，C的对应点A2，B2，C2，顺次连接，△A2B2C2即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查了平移作图，画轴对称图形，熟练掌握平移的性质与轴对称的性质是解题的关键．
11．（2023•瑶海区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在网格的格点上，其坐标分别为：A（﹣4，4），B（﹣2，1），C（4，2）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）在（1）的条件下，分别写出点A、C的对应点A1、C1的坐标．
【分析】（1）作出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）根据作出的图形，写出点的坐标即可．
【解答】解：（1）作出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，顺次连接，则△A1B1C1即为所求作三角形，如图所示：
（2）点A、C的对应点坐标分别为：A1（﹣4，﹣4）；C1（4，﹣2）．
【点评】本题主要考查了轴对称作图，写出平面直角坐标系中点的坐标，解题的关键是作出△ABC三个顶点对应点的坐标．
12．（2023•庐阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标为A（2，4），B（1，2），C（4，1），△DEF各顶点的坐标为D（4，﹣4），E（5，﹣2），F（2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）若△ABC与△DEF关于点P成中心对称，则点P的坐标是 （3，0） ．
【分析】（1）由题意确定点A'，B'，C'的位置，再连线即可．
（2）根据中心对称的性质求解即可．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）∵B（1，2），E（5，﹣2），
∴P点的横坐标为＝3，纵坐标为＝0，
即点P的坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、中心对称，熟练掌握轴对称与中心对称的性质是解答本题的关键．
13．（2023•合肥模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）画出△ABC以AC为对称轴的对称图形△AB1C．
（2）作出△ABC外接圆的圆心O，并求出AB弦所对的劣弧弧长．
【分析】（1）过AC作点B的对称点B1，连接AB1，CB1即可．
（2）利用网格，分别作线段BC，AC的垂直平分线，交点即为△ABC外接圆的圆心O；由网格可得∠AOB＝90°，利用勾股定理求出AO的长，再利用弧长公式可得答案．
【解答】解：（1）过AC作点B的对称点B1，连接AB1，CB1．
如图，△AB1C即为所求.
（2）如图，分别作线段BC，AC的垂直平分线，交点即为△ABC外接圆的圆心O．
连接AO，BO，
由网格可知AO⊥BO，
∴∠AOB＝90°，
∵AO＝＝，
∴AB弦所对的劣弧弧长为＝．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的外接圆与圆心、弧长公式，熟练掌握轴对称的性质、三角形的外接圆与圆心、弧长公式是解答本题的关键．
14．（2023•舒城县二模）如图，在边长为1的正方形的网格中，已知△ABC及直线l．
（1）将△ABC向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于直线l的对称图形△A2B2C2．
【分析】（1）先画出A、B、C的对称点A1、B1、C1关即可；
（2）作出点A1、B1、C1关的对称点A2、B2、C2即可．
【解答】解：（1）△A1B1C1即为所求，如图所示；
（2）△A2B2C2即为所求，如图所示．
【点评】本题考查轴对称变换、平移变换等知识，解题的关键是作出对称点以及对应点解决问题，属于中考常考题型．
15．（2023•六安三模）在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝2，D为BC的中点，作△ADC关于AC的对称图形△AD′C，并连接DD′．
（1）DD′的长为 ；（2）sin∠DAD′＝ ．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠B＝90°，∠BCA＝45°，根据轴对称的性质得到∠D'CA＝∠DCA＝45°，得到∠D'CD＝90°，根据勾股定理得到DD'＝；（2）过点D作DF⊥AD′于点F．根据轴对称的性质得到AC垂直平分DD′，根据等腰直角三角形的性质得到CE＝，根据勾股定理得到，，根据三角形的面积公式得到DF＝＝，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠BCA＝45°，
∵△ADC与△AD'C关于AC对称，
∴∠D'CA＝∠DCA＝45°，
∴∠D'CD＝90°，
∵D为BC中点，AB＝BC＝2，
∴CD＝1．
∴DD'＝；
故答案为：；
（2）过点D作DF⊥AD′于点F．
∵△ADC与△AD′C关于AC对称，
∴AC垂直平分DD′，
∵∠DCA＝45°，
∴CE＝，
由勾股定理求得，，，
∴，
根据三角形面积公式得DD'•AE＝AD'•DF，
∴DF＝＝，
∴sin∠DAD'＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理，三角形的面积公式，三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16．（2023•庐阳区校级三模）如图，在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，按下列要求画出对应的格点三角形
（1）在图1中将△ABC向右平移2个单位；
（2）在图2中画出△OPQ，使它与△ABC 关于某直线成轴对称，且点D在△OPQ的内部．
【分析】（1）根据平移的规律画出图形即可；
（2）根据轴对称的性质画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1所示：
（2）如图2所示．
【点评】考查了作图﹣应用与设计作图，关键是熟练掌握平移作图的知识，轴对称变换作图的知识．
17．（2023•迎江区校级二模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（2，4）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）△A1B1C1的面积为 4 ．
【分析】（1）根据轴对称的定义，画出点A，B，C三点关于x轴的对称点，顺次连接即可；
（2）用组合图形的思想，用△A1B1C1所在的正方形的面积减去周围三角形面积求解．
【解答】解：（1）如图：
（2）△A1B1C1的面积＝×2×2＝4．
【点评】本题考查轴对称图形的画法，网格图中三角形面积求解，运用组合图形面积之间的和差关系是解题的关键．
18．（2023•池州三模）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有△ABC和直线MN，点A，B，C均在小正方形的顶点（网格点）上．
​（1）在方格纸中画出△DBC，使△ABC与△DCB关于直线MN对称；
（2）在方格纸的网格点中找一点E，使得CA＝CE，连接EA，EC，直接写出△ACE的面积．
【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出A点关于MN的对称点D即可；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，△DBC为所作；
（2）如图，△ACE的面积＝5×5﹣﹣﹣＝8．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：先确定图形的关键点；再利用轴对称性质作出关键点的对称点；然后按原图形中的方式顺次连接对称点．也考查了勾股定理．
19．（2023•金寨县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点．
（1）将△AOB沿y轴翻折得到△A1OB1，画出△A1OB1；
（2）将△AOB绕点O旋转 180°后得到△A2OB2，请在图中作△A2OB2．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可将△AOB沿y轴翻折得到△A1OB1；
（2）根据旋转的性质即可将△AOB绕点O旋转 180°后得到△A2OB2．
【解答】解：（1）如图，△A1OB1即为所求；
（2）如图，△A2OB2即为所求．
【点评】此题主要考查了作图﹣轴对称变换，坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是抓住图形变换时相应的坐标变换规律，然后利用这些规律即可解决问题．
20．（2023•瑶海区校级一模）如图，已知△ABC的顶点分别为A（﹣2，2），B（﹣4，5），C（﹣5，1）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．
（2）点P在x轴上运动，当AP+CP的值最小时，直接写出点P的坐标．
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到A1，B1，C1的坐标，然后描点连线即可；
（2）作点C关于x轴的对称点C′，连接C′A，与x轴相交于点P，点P即为所求；求出直线C′A的函数解析式，然后可求出点P的坐标；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）作点C关于x轴对称点C′（﹣5，﹣1），连接C′A，与x轴相交于点P，点P即为所求；设直线C′A的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把C′（﹣5，﹣1），A（﹣2，2）代入得y＝kx+b，
解得：
∴直线C′A的函数解析式为：y＝x+4，
把y＝0代入得：0＝x+4，
解得：x＝﹣4，
∴P（﹣4，0）．
（3）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了待定系数法求一次函数解析式，利用网格求三角形的面积等知识．
21．（2023•芜湖一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（﹣4，1），B（﹣3，5），C（﹣1，2）均在正方形网格的格点上．
（1）画出将△ABC沿x轴方向向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标；
（3）在x轴上找一点M，使得MA+MC的值最小．（保留作图痕迹）
【分析】（1）利用平移变换的性质作出图形即可；
（2）利用在成本和的性质作出图形即可；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接CA′交x轴于点M，连接AM，点M即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作三角形；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求作三角形；
由图可知，点B2的坐标为（2，﹣5）；
（3）如图所示，点M即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是周围轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
22．（2023•定远县校级三模）如图，在9×9的小正方形网络中（小正方形的边长为1个单位长过度），已知格点△ABC和对角线l．
（1）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，画出平移后的△A2B2C2；
（3）直接写出△A2AA1的面积： 4 ．
【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形即可；
（2）根据平移的性质作出图形即可；
（3）利用三角形三个顶点所在的矩形的面积减去三个顶点上的三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）如图，＝3×3﹣×1×3﹣×2×2﹣×1×3
＝9﹣﹣2﹣
＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，根据图形的性质得出对应点位置是解题关键．
23．（2023•安庆一模）△ABC在直角坐标系内的位置如图．
（1）分别写出A、B、C的坐标；
（2）请在这个坐标系内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，并写出B1的坐标；
（3）依次连接点B、B1、C1、C、得到四边形BB1C1C，则四边形BB1C1C的面积为 24 ．
【分析】（1）根据A，B，C的位置写出坐标即可．
（2）利用轴对称变换分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（3）根据梯形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）A（0，3），B（﹣4，4），C（﹣2，1）．
（2）如图，△A1B1C1即为所求，B1（4，4）．
（3）四边形BB1C1C的面积＝×（4+8）×4＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
24．（2023•庐江县三模）如图，在边长为1个单位长度的网格中，△ABC的顶点均在格点上，l为经过网格线的一条直线．
（1）作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC向右平移3个并位，再向下平移 3或4 个单位，使A、C两点的对应点落在直线l的两侧，请画出图形．
【分析】（1）利用轴对称求出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所作三角形：
（2）将△ABC向右平移3个并位，再向下平移3或4个单位，使A、C两点的对应点落在直线l的两侧，如图所示．
故答案为：3或4．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，得出对应点位置是解题关键．
25．（2023•凤台县校级三模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2；
（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 （a+4，﹣b） ．
【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用平移变换的性质得出点M2的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）由（1）（2）轴对称以及平移的性质得出对应A2C2上的点M2的坐标是：（a+4，﹣b）．
故答案为：（a+4，﹣b）．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
26．（2023•凤阳县二模）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，按下列要求解答：
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出△ABC关于x轴对称的图形△A2B2C2的各顶点坐标；
（3）在y轴上确定一点P，使△PAB的周长最短（只需作图、保留作图痕迹）．
【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；
（2）直接利用关于x轴对称点的性质得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置即可．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）A2（﹣3，﹣2），B2（﹣4，3），C2（﹣1，﹣1）；
（3）连接A1B交y轴于点P，则点P即为所求．
【点评】此题主要考查了利用轴对称求短路线以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
五．轴对称-最短路线问题（共9小题）
27．（2023•庐江县二模）如图，∠A＝∠B＝45°，，点C，D分别在∠A，∠B的另一边上运动，并保持CD＝2，点M在边BC上，BM＝2，点N是CD的中点，若点P为AB上任意一点，则PM+PN的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】延长AD，BC，交于点O，作点M关于AB的对称点M'，连接BM'，OM'，OM'交AB于点P'，MM'交AB于点F，则PM＝PM'，所以PM+PN＝PM'+PN＝PM'+OP﹣1，当O、N、P、M'四点在同一条直线上时，ON+PN+PM'＝OM'最小，即PM+PN＝OM'﹣1最小，利用勾股定理求出OM'＝＝＝2，即求出PM+PN的最小值为2﹣1．
【解答】解：如图，延长AD，BC，交于点O，作点M关于AB的对称点M'，
连接BM'，OM'，OM'交AB于点P'，MM'交AB于点F，则PM＝PM'，
∵∠A＝∠B＝45°，
∴∠COD＝90°，
∵CD＝2，N是CD的中点，连接ON，
∴ON＝CD＝1，即点N在以O为圆心，半径为1的圆位于△ABO的内部的弧上运动，
∵PM+PN＝PM'+PN＝PM'+OP﹣1，
∴当O、N、P、M'四点在同一条直线上时，ON+PN+PM'＝OM'最小，
即PM+PN＝OM'﹣1最小，
∵点M、M'关于AB对称，
∴AB垂直平分MM'，
∴BM'＝BM＝2，∠M'BF＝∠MBF＝∠BMM'＝∠BM'M＝45°，
∴∠MBM'＝90°，
∵，
∴OA＝OB＝4，
∴OM＝OB﹣BM＝4﹣2＝2，
∴OM'＝＝＝2．
∴PM+PN的最小值为2﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了最短路线问题，熟练运用勾股定理、点与圆的位置关系是解题的关键．
28．（2023•雨山区一模）直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2．BC＝DC＝5，P在BC上运动，则PA+PD取最小值时，△APD边AP上的高是多少（ ）
A．B．C．D．
【分析】过D作DF⊥BC于F，作A关于BC的对称点E，连接DE交BC于P，此时AP+PD的值最小，求出矩形ADFB，求出DF，求出AB、BE，根据相似求出BP，根据勾股定理求出AP，在△APD中，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：过D作DF⊥BC于F，作A关于BC的对称点E，连接DE交BC于P，此时AP+PD的值最小，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴DF∥AB，∠ABF＝90°，
∵AD∥BC，
∴四边形ADFB是矩形，
∴AD＝BF＝2，AB＝DF，
∴CF＝5﹣2＝3，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF＝4＝AB，
∵A和E关于BC对称，
∴AB＝BE＝4，
∵BP∥AD，
∴△EPB∽△EDA，
∴＝，
∴＝，
BP＝1，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP＝＝，
设△APD的边AP上的高是h，
由三角形的面积公式得：AD×DF＝AP×h，
即2×4＝h，
解得：h＝，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，直角梯形等知识点的应用，解此题的关键是正确找出P点，并进一步求出各个线段的长，通过做此题培养了学生综合运用性质进行计算的能力．
29．（2023•定远县校级一模）如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，E为边AD的中点，P为对角线BD上的一个动点，连接PA、PE，则PA+PE的最小值是 ．
【分析】首先证明△ABP≌△CBP得AP＝CP，当E、P、C三点共线时，CP+PE最小值为CE，利用勾股定理即可求出答案．
【解答】解：连接CP，CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∵BP＝BP，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝CP，
∴PA+PE＝CP+PE，
∴当E、P、C三点共线时，CP+PE最小值为CE，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
CE＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称﹣最短路线问题，利用全等三角形证明AP＝CP是解题的关键．
30．（2023•贵池区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，∠B＝30°，动点M，N分别在边AB，BC上，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2B．2C．6D．3
【分析】作点C关于AB的对称点E，过点E作EF⊥BC 交BC于点F，再根据两点之间线段最短和垂线段最短，把CM+MN进行转化求解．
【解答】解：作点C关于AB的对称点E，过点E作EF⊥BC 交BC于点F，交AB于点H，
∴CM＝EM，
∴CM+NM＝EM+MN≥EN≥EF，
由轴对称得：BE＝BC，∠ABE＝∠ABC＝30°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝6，BF＝BC＝3
由勾股定理得：EF＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了最短路径问题，转化思想的应用是解题的关键．
31．（2023•合肥二模）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是AB边上的一个动点，连接DE，∠DEB的角平分线EF交CD边于点F，若DM⊥EF于M点，连接AM、BM，则AM+BM的最小值是（ ）
A．B．C．D．5
【分析】作MG⊥DE，MH⊥AB，证明△MAH≌△MDG（AAS），推出MA＝MD，当D、M、B三点共线时，AM+BM有最小值，最小值是BD的长，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：作MG⊥DE，MH⊥AB，
∵EF是∠DEB的平分线，
∴MG＝MH，
∵∠DAE＝∠DME＝90°，
∴A、D、M、E四点共圆，
∴∠MAH＝∠MDG，
∴△MAH≌△MDG（AAS），
∴MA＝MD，
∴AM+BM＝DM+BM，
当D、M、B三点共线时，AM+BM有最小值，最小值是BD的长，
∴AM+BM的最小值是，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，证明△MAH≌△MDG是解题的关键．
32．（2023•岳西县校级模拟）如图，E是边长为4的正方形ABCD的边CD上的一个动点，F是以BC为直径的半圆上的一个动点，连接AE，EF，则AE+EF的最小值是 2（﹣1） ．
【分析】延长AD到点G，使得AD＝DG，设半圆的圆心为点O，连接OG交CD于点M，交半圆于点N，则AE+EF的最小值是GN，根据GN＝OG﹣ON用勾股定理计算即可．
【解答】解：延长AD到点G，使得AD＝DG，设半圆的圆心为点O，连接OG交CD于点M，交半圆于点N，则AE+EF的最小值是GN，如图：
∵E是边长为4的正方形ABCD的边CD上的一个动点，点F是以BC为直径的半圆上的一个动点，
∴AD＝DG＝BC＝4，ON＝OC＝2，
过点⊙O作OH⊥AD于H，
∴∠ADC＝∠DCB＝90°，
∴四边形OCDH是矩形，
∴OH＝CD＝4，DH＝OC，
∴OG＝＝2，
当点F与点N重合，点E与点M重合时，AE+EF最小，
且GN＝OG﹣ON＝2﹣2＝2（﹣1）．
故答案为：2（﹣1）．
【点评】本题考查了正方形的性质，线段和最小原理，圆的最值性质，熟练掌握线段和最小原理，圆的最值性质，是解题的关键．
33．（2023•定远县二模）如图，矩形ABCD的边AB＝2，BC＝4，E是AD上一点，DE＝1，F是BC上一动点，M、N分别是AE、EF的中点，则MN+EN的最小值是 ．
【分析】延长AB到A'，使A'B＝AB＝2，连接A'F，则AA'＝4，A'F＝AF，当A'、F、E在同一直线上时，A'F+FE最小，最小值为A'E．根据P、Q分别是EF、AE的中点，得到PE＝EF，PQ＝AF，PE+PQ的最小值为（A'F+FE）．
【解答】解：∵AB＝2，BC＝4，DE＝1，
∴AD＝BC＝4，AE＝AD﹣DE＝4﹣1＝3，
如图，延长AB到A'，使A'B＝AB＝2，连接A'F，
则AA'＝4，A'F＝AF，
当A'、F、E在同一直线上时，
A'F+FE最小，最小值为A'E．
在Rt△AA'E中，
A'E＝＝＝5，
即AF+FE最小为5，
∵P、Q分别是EF、AE的中点，
PE＝PQ＝AF，PQ＝AF，
PE+PQ的最小值为×5＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称﹣最小值问题，熟练运用轴对称的性质和中位线定理是解题的关键．
34．（2023•雨山区校级一模）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝6，G、F是直线AD上的动点，且GF＝3，点E是BC的中点．请完成下列问题：
（1）若DF＝，则∠FGE的大小为 60° ；
（2）当GE+FE的值最小时，CG的长度为 ．
【分析】（1）过点G作CH⊥BC于点H，得出∠HGE＝30°，即可求解；
（2）过BC作点G的对称点G′，过BC作点F的对称点H，连接FG′，则E为FG′的中点，过点E作EM⊥AD，则M是GF的中点，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）过点G作CH⊥BC于点H，由题意知，AD＝6，DF＝，BE＝BC＝3，
∴AG＝BH＝3﹣，
∴HE＝3﹣（3﹣）＝，
在Rt△GHE中，GH＝HE，
∴，
∴tan，
即∠HEG＝60°，
∴∠HGE＝30°，
∵∠HGD＝90°，
∴∠FGE＝60°，
故答案为：60°；
（2）过BC作点G的对称点G′，过BC作点F的对称点H，连接FG′，此时，GE+EF的值最小，则E为FG′的中点，过点E作EM⊥AD，则M是GF的中点，
∴，
在Rt△CGD中，CG＝，
∵GD＝GM+MD＝，
∴CG＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
35．（2023•龙子湖区二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是AD上的一点，且AE＝2，F，G是AB，CD上的动点，且BE＝FG，BE⊥FG，连接EF，BG，当EF+FG+BG的值最小时，CG的长为 3 ．
【分析】过点G作GT⊥AB于T，证明△ABE≌△TGF（ASA），推出AE＝FT＝2，设CG＝BT＝x，则AF＝AB﹣FT﹣BT＝6﹣2﹣x＝4﹣x可得EF+BG＝+，欲求 +的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），使得点P到M（0，6），N（4，2）的距离和最小．求出EF+BG最小时，x的值，可得结论．
【解答】解：过点G作GT⊥AB于T．则四边形BCGT是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
∵CT⊥AB，
∴∠GHB＝90°，
∴四边形BCGT是矩形，
∴BC＝GT，
∵BE＝GF，∠A＝∠GTF＝90°
∴△ABE≌△TGF（ASA），
∴AE＝FT＝2，
设CG＝BT＝x，则AF＝AB﹣FT﹣BT＝6﹣2﹣x＝4﹣x
∴EF+BG＝+，
欲求 +的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），使得点P到M（0，6），N（4，2）的距离和最小．
如图，作点M关于x轴的对称点M′（0，﹣6），连接NM′交x轴于P，连接PM，此时PM+PN的值最小．
∵N（4，2），M′（0，﹣6），
∴直线M′N的解析式为y＝2x﹣6，
∴P（3，0），
∴x＝3时，EF+BG的值最小，
∵BE＝FG＝定值，
∴当CG＝3时，EF+FG+BG的值最小．
故答案为：3．
【点评】本题考查轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
六．翻折变换（折叠问题）（共10小题）
36．（2023•包河区三模）已知：菱形ABCD中，，AC＝2，AC与BD交于点O，点E为BD上一点．
（1）求BD的长；
（2）若AE⊥AB，求证：OE＝DE；
（3）若点E在线段OB上（不与O、B重合），以AE为对称轴，折叠△ABE，使点B的对应点F恰好落在菱形的边上，画出图形并求OE的长．
​
【分析】（1）四边形ABCD是菱形，AO⊥BD，AO＝AC＝1，勾股定理求得BO，进而即可求解．
（2）由AE⊥AB，AO⊥BE，证明△AOE∽△BOA，根据相似三角形的性质即可求解．
（3）如图，当点F在BC边上时，延长AE交BC于点H，AH⊥BC，则∠EAD＝90°，由（2）可知OE＝，进而即可求解；当点F落在CD边上时，证明△ABE∽△DBA，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，AO⊥BD，AO＝AC＝1，AB＝，
∴OB＝，
∴BD＝2OB＝2，
（2）证明：∵AE⊥AB，AO⊥BE，
∴∠AOE＝∠BOA＝90°，∠EAD＝90°，
∴∠AEO+∠EBA＝90°，∠OBA+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠AEO，
∴△AOE∽△BOA，
∴，即，
∴OE＝，
∵OD＝，
∴OE＝DE．
（3）解：如图，当点F在BC边上时，延长AE交BC于点H，
由折叠知AH⊥BC，则∠EAD＝90°，
由（2）可知OE＝，
如图，当点F落在CD边上时，
由折叠可知AF＝AB＝ADA，
∴∠ADC＝∠AFD，
∵AB∥CD，∠BAE＝∠FAE，
∴∠BAF＝，
∵∠ABD＝∠ABD，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴
∴BE＝，
∴OE＝OB﹣BE＝＝．
∴OE的长为或．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题关键．
37．（2023•安徽模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，将CB沿着AC翻折，使点B对应点B’恰好在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB＝（ ）
A．40°B．35°C．60°D．70°
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD，再根据直角三角形的性质与翻折变换的性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣∠BAD．
【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝55°，
又∵∠AEC＝90°，
∴∠ACB＝∠ACB'＝35°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了翻折变换，解决问题的关键是作辅助线构造出直角三角形，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
38．（2023•包河区三模）已知：菱形ABCD中，，AC＝2，AC 与BD交于点O，点E为OB上一点，以AE为对称轴，折叠△ABE，使点B的对应点F恰好落在边CD上，则BE的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝1，利用勾股定理求出OB＝，则BD＝，由折叠的性质得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE＝，由等边对等角得∠AFD＝∠ADF，再根据AB∥CD得∠BAF＝∠AFD＝∠ADF，进而得到∠BAE＝∠BDA，于是可证明△ABE∽△DBA，利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AC＝2，
∴AB＝AD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝1，AB∥CD，OB＝OD，∠ADB＝∠CDB＝，
在Rt△AOB中，OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝，
根据折叠的性质可得，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE＝，
∴∠AFD＝∠ADF，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD＝∠ADF，
∴∠BAF＝∠ADC，
∴∠BAE＝∠BDA，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴，即，
∴BE＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查菱形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质，利用折叠的性质和菱形的性质得出∠BAE＝∠BDA，以此证明△ABE∽△DBA是解题关键．
39．（2023•六安模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D、E分别在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF＝2，则BE的长为（ ）
A．6B．C．D．
【分析】过点F作FG⊥AB于G，先求出，则，设AE＝x，则，在Rt△EFG中，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：过点F作FG⊥AB于G，
∴∠BGF＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，CF＝2，
∴，
∴，
∴，
设AE＝x，则，
在Rt△EFG中，由勾股定理得EG2+FG2＝EF2，
即，
解得，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的性质，勾股定理，能够准确作出辅助线是解题的关键．
40．（2023•泗县校级模拟）如图，将矩形ABCD沿直线BE折叠，使得∠CBE＝30°，点C，D分别落在点C′，D′处，连接DD′，其中AB＝3，，则DD′的长为（ ）
A．B．3C．D．
【分析】先证明∠AEB＝∠CBE＝30°，即在Rt△ABE中，，进而有，由∠AEB＝30°，可得∠DEB＝150°，根据折叠的性质有D′E＝DE，∠D′EB＝∠DEB＝150°，即∠D′ED＝360°﹣150°×2＝60°，可得△D′DE是等边三角形，问题得解．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE＝30°，
∵AB＝3，
∴在Rt△ABE中，，
∴，
∵∠AEB＝30°，
∴∠DEB＝150°，
∵根据折叠的性质有∠D′EB＝∠DEB，D′E＝DE，
∴∠D′EB＝∠DEB＝150°，
∴∠D′ED＝360°﹣150°×2＝60°，
∵D′E＝DE，
∴△D′DE是等边三角形，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的折叠问题，涉及解直角三角形，平行的性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
41．（2023•舒城县模拟）如图，将菱形ABCD的边AD以直线AN为对称轴翻折至AM，使点C恰好落在AM上．若此时CM＝CN，则∠D的度数为（ ）
A．30°B．54°C．45°D．36°
【分析】根据菱形性质得出AD＝CD，求出∠ACD＝∠CAD，根据折叠得出∠M＝∠D，根据CM＝CN，得出∠CNM＝∠M，得出∠ACD＝∠CAD＝2∠D，根据三角形内角和定理得出5∠D＝180°，即可求出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝∠CAD，
根据折叠可知，∠M＝∠D，
∵CM＝CN，
∴∠CNM＝∠M，
∵∠ACD＝∠M+∠CNM，
∴∠ACD＝2∠D，
∴∠ACD＝∠CAD＝2∠D，
∵∠ACD+∠CAD+∠D＝180°，
∴2∠D+2∠D+∠D＝180°，
即5∠D＝180°，
∴∠D＝36°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形外界的性质，解题的关键是熟练掌握等边对等角，证明∠ACD＝∠CAD＝2∠D．
42．（2023•合肥三模）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E是边BC上一动点，沿AE翻折，若点B的对称点B′恰好落在矩形的对称轴上，则折痕AE的长是（ ）
A．B．C．D．
【分析】分两种情况，根据折叠的性质和勾股定理进行解答即可．
【解答】解：分两种情况：
①如图1所示：
当F恰好在矩形的对称轴MN上时，
则MN⊥AD，MN⊥BC，BN＝AM＝BC＝4，MN＝AB＝4，
由折叠的性质得：AF＝AB＝4，BE＝FE，
由勾股定理得：MF＝＝0，即，点F与M重合，点E与点N重合，
∴AE＝＝4；
②如图2所示：
当F恰好在矩形的对称轴GH上时，过F作PQ平行AB交AD于P，交BC于Q，
则GH⊥AB，GH⊥CD，PF＝QF＝AB＝2，AP＝BQ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
由折叠的性质得：AF＝AB＝4，BE＝FE，
由勾股定理得：AP＝，
∴BQ＝AP＝2，
设BE＝FE＝x，则EQ＝BQ﹣BE＝2﹣x，
在Rt△EFQ中，由勾股定理得：，
解得：x＝，
即BE＝；
综上所述，当点F恰好在矩形的对称轴上时，BE的长为4或；
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质等知识；熟练掌握翻折变换和勾股定理是解题的关键．
43．（2023•蚌埠模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，E是AB的中点，F是BC延长线上的一点，将△BEF沿EF折叠得到△GEF，连接BG并延长分别交EF、AD于O、H两点，若GO＝3GH，则BF的长度为（ ）
A．4B．4C．8+D．8+
【分析】根据四边形ABCD是正方形，AB＝8，E是AB的中点，得BC＝AB＝8，AE＝EB＝AB＝4，根据折叠的性质，得EF垂直平分BG，设GH＝m，则OB＝OG＝3m，NH＝7m，证明△BOE∽△BAH，可得＝，求出m＝，OB＝，所以OE＝，再证明△EBF∽△EOB，得＝，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，E是AB的中点，
∴BC＝AB＝8，∠EBF＝∠B＝90°，
∴AE＝EB＝AB＝4，
∵△BEF沿EF折叠得到△GEF，
∴EF垂直平分BG，
∴OB＝OG＝3GH，∠BOE＝90°，
设GH＝m，则OB＝OG＝3m，NH＝7m，
∵∠BOE＝∠A＝90°，∠EBO＝∠HBA，
∴△BOE∽△BAH，
∴＝，
∴＝，
∴m＝，
∴OB＝，
∴OE＝＝，
∵∠FBE＝∠BOE，∠FEB＝∠BEO，
∴△EBF∽△EOB，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝4．
故选：A．
【点评】此题考查了正方形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△BOE∽△BAH及△EBF∽△EOB是解题的关键．
44．（2023•滁州二模）如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝4．将∠C沿GM折叠，使点C与点恰好重合，下列结论：①DM＝4，②点E到AC的距离为3，③EM＝5，④四边形CGEM是菱形．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝DC＝BC＝8，如图，过点E作EF⊥AB于点F，EH⊥AC于点H，根据角平分线的性质得到EH＝EF，EF＝ED，求得EH＝ED＝4，故②错误；由折叠性质得到EM＝MC，DM+MC＝DM+EM＝CD＝8，设DM＝x，则EM＝8﹣x，根据勾股定理得到EM＝MC＝5，故③正确；得到DM＝DC﹣CM＝3，故①错误；连接CE，由内心可知CE平分∠ACD，求得∠GCE＝∠ECD，由折叠可知CM＝EM，根据平行线的性质得到∠EMG＝∠CGM，求得∠CGGM＝∠CMG，根据菱形的判定定理得到四边形CGEM是菱形；故④正确．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC＝8，
如图，过点E作EF⊥AB于点F，EH⊥AC于点H，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴AE平分∠BAC，
∴EH＝EF，
∵BE是∠ABD的角平分线，
∵ED⊥BC，EF⊥AB，
∴EF＝ED，
∴EH＝ED＝4，故②错误；
由折叠性质可得：EM＝MC，DM+MC＝DM+EM＝CD＝8，
设DM＝x，则EM＝8﹣x，
Rt△EDM中，EM2＝DM2+DE2，
∴（8﹣x）2＝42+x2，
解得：x＝3，
∴EM＝MC＝5，故③正确；
∴DM＝DC﹣CM＝3，故①错误；
连接CE，由内心可知CE平分∠ACD，
∴∠GCE＝∠ECD，
由折叠可知CM＝EM，
∴∠MEC＝∠ECM，
∴∠MEC＝∠GCE，
∴EM∥AC，
∴∠EMG＝∠CGM，
∴∠CGM＝∠CMG，
∴CM＝CG，
∴EM＝CM＝CG＝EG，
∴四边形CGEM是菱形；故④正确，
故选：B．
【点评】本题考查解翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，角平分线的性质，菱形的判定，掌握相关性质定理，正确添加辅助线是解题的关键．
45．（2023•滁州二模）如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为p．
（1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则p＝ ；
（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是 ≤p＜3 ．
小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB1C，再将△AB1C以B1C为轴翻折一次得△A1B1C，如图2所示．则由轴对称的性质可知，DF+FE1+E1D2＝p，根据两点之间线段最短，可得p≥DD2．老师听了后说：“你的想法很好，但DD2的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果．”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”．请参考他们的想法，写出你的答案．
【分析】（1）根据三角形的中位线的性质即可求得答案；
（2）根据翻折变换的性质将△ABC翻折5次，再利用梯形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵等边△ABC的边长为1，
∴AB＝AC＝BC＝1，
∵D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，
∴DE＝AC＝，EF＝AB＝，DF＝BC＝，
∴△DEF的周长为p＝++＝；
（2）
根据题意与由轴对称的性质可知，D2F2+F2E3+E3D4＝p，
∵D2，F2，E3D4分别是各边的中点时，D2、F2、E3、D4共线，
∴当D2与D4分别是A1B1与A2B2的中点时，p最小值为：（A1B2+A2B1）＝，
∵p＜AB+AC+BC＝3，
∴p的取值范围是：≤p＜3．
故答案为：（1），（2）≤p＜3．
【点评】此题考查了三角形与梯形中位线的性质，以及翻折变换的性质．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用．
七．胡不归问题（共4小题）
46．（2023•镜湖区校级一模）如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是 ．
【分析】以A为顶点，AC为一边，在AC下方作∠CAM＝45°，过B作BD⊥AM于D，交AC于P，由△ADP是等腰直角三角形的AD＝PD＝，即AP+PB＝PD+PB，故AP+PB取最小值即是PD+PB取最小值，此时B、P、D共线，且BD⊥AD，AP+PB的最小值即是BD的长，根据∠BAC＝15°，∠CAM＝45°，可得BD＝AD＝，即可得答案．
【解答】解：以A为顶点，AC为一边，在AC下方作∠CAM＝45°，过B作BD⊥AM于D，交AC于P，如图：
由作图可知：△ADP是等腰直角三角形，
∴AD＝PD＝AP，
∴AP+PB＝PD+PB，
∴AP+PB取最小值即是PD+PB取最小值，此时B、P、D共线，且BD⊥AD，AP+PB的最小值即是BD的长，
∵∠BAC＝15°，∠CAM＝45°，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝1，BD＝＝，
∴AP+PB的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查三角形中的最小路径，解题的关键是作辅助线，把AP+PB的最小值转化为求PD+PB的最小值．
47．（2023•合肥三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长．
【解答】解：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：
在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，
∴，
∵
＝2（AD+DF），
∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，
此时，∠B＝∠ADB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝4，
在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝4，
∴BC＝8，
∴DC＝BC﹣BD＝4，
∴2AD+DC＝2×4+4＝12，
∴2AD+DC的最小值为12，
故选：D．
【点评】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．
48．（2023•合肥一模）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，点E为BD上动点，连接AE，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【分析】过E作EM⊥BC于M，过H作AH⊥BC于H，交BD于E'，由△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，可得EM＝BE，当AE+BE最小时，AE+EM最小，此时E与E'重合，M与H重合，AE+BE的最小值为AH的长度，在Rt△ABH中，有AH＝AB•sin∠ABH＝2×sin60°＝，故AE+BE最小值为．
【解答】解：过E作EM⊥BC于M，过H作AH⊥BC于H，交BD于E'，如图：
∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠EBM＝30°，
∴EM＝BE，
∴AE+BE＝AE+EM，
当AE+BE最小时，AE+EM最小，此时E与E'重合，M与H重合，AE+BE的最小值为AH的长度，
在Rt△ABH中，
AH＝AB•sin∠ABH＝2×sin60°＝，
∴AE+BE最小值为，
故选：C．
【点评】本题考查等边三角形的性质，涉及胡不归问题，解题的关键是转化思想的应用．
49．（2023•歙县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】作射线BA，作PE⊥BA于E，作DF⊥BA于F，交y轴于P′，可求得∠ABO＝30°，从而得出PE＝，进而得出PD+，进一步得出结果．
【解答】解：如图，
作射线BA，作PE⊥BA于E，作DF⊥BA于F，交y轴于P′，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
∴OD＝，
当x＝0时，y＝﹣，
∴OB＝，
当y＝0时，﹣x﹣0，
∴x1＝﹣1，x2＝2，
∴A （﹣1，0），
∴OA＝1，
∵tan∠ABO＝，
∴∠ABO＝30°，
∴PE＝，
∴＝PD+PE≥DF，当点P在P′时，PD+PE最小，最小值等于DF，
在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ABO＝60°，AD＝OD+PA＝，
∴DF＝AD•sin∠DAF＝×＝，
∴（）最小＝DF＝，
故选：A．
【点评】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造．
八．坐标与图形变化-平移（共2小题）
50．（2023•安徽模拟）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）先向右平移4个长度单位、再向下平移5个长度单位得到点B，则点B的坐标是（ ）
A．（4，5）B．（2，2）C．（2，﹣2）D．（﹣2，2）
【分析】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求解即可．
【解答】解：∵点A（﹣2，3）先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点B，
∴点B的横坐标为﹣2+4＝2，纵坐标为3﹣5＝﹣2，
∴点B的坐标为（2，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
51．（2023•合肥模拟）如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合．
观察图形得到下表：
按照以上规律，解答下列问题：
（1）在图⑤中，正方形的总数为 19 ；
（2）在图中，正方形的总数为 4n﹣1 ；
（3）如图2，将图放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点A1坐标为（3，1），A2，A3，A4位置如图所示，则An的坐标为 （2n+1，1） ．
【分析】（1）根据从第3个图形开始，每多一个基本图形就会多出4个菱形解答即可．
（2）根据图形的特征解决问题即可．
（3）根据规律解答即可．
【解答】解：（1）由题意可知，图③中菱形的个数7＝3+4×（3﹣2），
图④中，菱形的个数为3+4×（4﹣2）＝11，
∵当n≥3时，每多一个基本图形就会多出4个菱形，
∴图（n）中，菱形的个数为3+4（n﹣2）＝4n﹣5，
在图⑤中，正方形的总数为4×5﹣1＝19；
故答案为：19；
（2）在图中，正方形的总数为4n﹣1；
故答案为：4n﹣1．
（3）∵知基础图形的交点A1坐标为（3，1），
∴A2坐标为（5，1），A3坐标为（7，1），A4坐标为（9，1），
∴An的坐标为（2n+1，1），
故答案为：（2n+1，1）．
【点评】本题考查平移设计图案，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
九．作图-平移变换（共9小题）
52．（2023•蜀山区校级一模）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，把△ABC先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可以得到△A′B′C′．
（1）画出三角形△A′B′C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标；
（2）求△A′B′C′的面积．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的位置，然后再连接即可；
（2）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求，
A′（﹣4，﹣2），B′（0，﹣4），C′（1，﹣1）；
（2）△A′B′C′的面积：3×5﹣×1×5﹣2×4﹣×1×3＝7．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．
53．（2023•六安三模）如图，在网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，我们把以格点（网格的交点）为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC就是格点三角形．
（1）将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请借助无刻度直尺作出AC边的中点O．
【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据矩形对角线互相平分可知，连接格点DE交AC于点O，则点O即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，点O即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
54．（2023•禹会区二模）如图，在平面直角坐标系中A，B两点的坐标分别为（5，1）和（2，﹣2），过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AB，AC．
（1）请按题目要求补全图形，并写出点C的坐标 （2，0） ；
（2）将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去2，纵坐标都加上1，分别得到A1，B1，C1，画出三角形A1B1C1，并写出三角形A1B1C1是由三角形ABC如何平移得到？
【分析】（1）根据题意补全图形即可，再根据图形即可得到点C的坐标；
（2）根据题意画出图形即可，再根据平移的性质即可得到答案．
【解答】解：（1）补图如图；
根据图形可知，点C的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）三角形A1B1C1如图；
根据平移性质可知，三角形A1B1C1是由三角形ABC向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换，在直角坐标系中准确找出各点的位置是解题关键．
55．（2023•定远县校级一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC和格点O（网格线的交点，叫做格点）．
（1）作△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）
（2）将△A1B1C1先向上平移5个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（点A1，B1，C1的对应点分别为A2，B2，C2）
（3）连接OA，OC2，则∠AOC2＝ 90 °．
【分析】（1）根据题意找到点A1，B1，C1，再连线即可．
（2）根据题意找到A2，B2，C2，再连线即可．
（3）由OA＝，OC2＝，AC2＝5，可得，则∠AOC2＝90°．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）∵OA＝，OC2＝，AC2＝5，
且，
∴，
∴∠AOC2＝90°．
故答案为：90．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、中心对称、勾股定理，熟练掌握中心对称及平移的性质、勾股定理是解答本题的关键．
56．（2023•合肥三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC．​
（1）将△ABC 向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1．​
（2）请仅用无刻度的直尺作出△A1B1C1 中A1B1 边上的中线C1D （保留作图痕迹）．​
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格找到A1B1 边上的中点D，连接C1D即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求；
（2）如图所示，C1D 即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换，正确地作出图形是解题的关键．
57．（2023•蚌山区一模）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（1，﹣2），若先将三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A1B1C1，请解答下列问题：
（1）写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）在图中画出平移后的三角形A1B1C1；
（3）三角形A1B1C1的面积为 6 ．
【分析】（1）利用平移变换的规律，写出坐标即可；
（2）根据点的坐标画出图形即可；
（3）利用三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）A1（0，4），B1（﹣1，1），C1（3，1）；
（2）如图，△A1B1C1即为所求；
（3）三角形A1B1C1的面积＝×4×3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
58．（2023•花山区一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点）．
（1）将△ABC先向左平移5个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1，并画出平移后的△A1B1C1；
（2）请在网格中，用无刻度的直尺画出线段AC的垂直平分线PQ，交AB于点P，交AC于点Q（保留作图痕迹）．
【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC先向左平移5个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1，并画出平移后的△A1B1C1；
（2）根据网格作AB所在1×3格的另外一条对角线交AB于点P，然后作AC所在1×2格的另外一条对角线交AC于点Q，连接PQ即可画出线段AC的垂直平分线．
【解答】解：（1）如图：△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，PQ即为所求．
∵BC2＝AC2＝5，AB2＝10，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC⊥BC，
作AB所在1×3格的另外一条对角线交AB于点P，
然后作AC所在1×2格的另外一条对角线交AC于点Q，连接PQ，
根据网格可知：PQ是△ABC的中位线，
∴PQ∥BC，
∴PQ⊥AC，
∴PQ是线段AC的垂直平分线．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握平移的性质．
59．（2023•蜀山区二模）我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制井平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2，图3，…
（1）观察以上图形并完成表格：猜想：在图（n）中，特征点的个数为 2+5n （用n表示）；
（2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为（x1，2），则x1＝ ；图（2023）的对称中心的横坐标为 4047 ．
【分析】（1）探究规律，理由规律解决问题即可；
（2）求出O1，O2，O2，……，On的坐标，探究规律解决问题．
【解答】解：（1）图1中，特征点个数7，图2中，特征点个数12＝7+1×5，
图3中，特征点个数17＝7+2×5，
图4中，特征点个数22＝7+3×5，
图n中，特征点个数7+（n﹣1）×5＝2+5n，
故答案为：22，2+5n；
（2）由题意O1（，2），O2（3，2），O3（5，2），•••，On（（2n+1），2）．
∴图（2023）的对称中心的横坐标为4047．
故答案为：，4047．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，正多边形与圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
60．（2023•滁州二模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2.1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△ABC，已知点C1的坐标为（2，3），画出平移后的图形△A1B1C1．
（2）求△A1B1C1的面积．
（3）若点P是x轴上的一个动点，则PB+PC1的最小值为 4 ，此时点P的坐标为 （﹣1，0） ．
【分析】（1）利用C点和C1点坐标得到平移的规律，然后利用此规律写出A1的坐标和B1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作；
（2）利用割补法求解即可；
（2）作点C1关于x轴的对称点为C′（2，﹣3），连接BC′交x轴于P点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PB+PC1最小，然后利用待定系数法法求出直线BA′的解析式，再计算出自变量为0对应的函数值即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）∵C（﹣1，3）平移后C1（2，3），
∴B1（1，1），A1（0，5）；如图：
（2）三角形A1B1C1面积＝2×4﹣×1×4﹣﹣＝3；
（2）作点C1关于x轴的对称点为C′（2，﹣3），连接BC′交x轴于P点，如图，根据最短路径可知PB+PC1＝BC′＝4，
设直线BC′的解析式为y＝kx+b，
把B（﹣2，1），C′（2，﹣3）代入得，
，
解得，，
所以直线CA′的解析式为y＝﹣x﹣1，
当y＝0时，﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，
此时P点坐标为（﹣1，0），
故答案为：4；P（﹣1，0）．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
图①
图②
图③
图④
…
大正方形数量/个
2
3
4
5
…
小正方形数量/个
1
4
7
10
…
图形的名称
基本图的个数
特征点的个数
图1
l
7
图2
2
12
图3
3
17
图4
4

图①
图②
图③
图④
…
大正方形数量/个
2
3
4
5
…
小正方形数量/个
1
4
7
10
…
图形的名称
基本图的个数
特征点的个数
图1
l
7
图2
2
12
图3
3
17
图4
4
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