5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题17图形的相似(真题1个考点模拟13个考点)特训（学生版+解析）

这是一份5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题17图形的相似(真题1个考点模拟13个考点)特训（学生版+解析），共99页。
1．（2019•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（ ）
A．3.6B．4C．4.8D．5
2．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．
一．比例的性质（共3小题）
1．（2023•无为市一模）若3a＝4b（ab≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023•合肥一模）若，那么的值等于（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
3．（2023•安徽模拟）已知，求k2﹣3k﹣4的值．
二．比例线段（共3小题）
4．（2023•庐阳区校级一模）已知线段a＝9，b＝4，则线段a和b的比例中项为 ．
5．（2023•定远县校级一模）已知三条线段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中项，则c＝ cm．
6．（2023•亳州模拟）如图，点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项．如果AB＝2，那么AP＝ ．
三．黄金分割（共5小题）
7．（2023•庐阳区一模）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（ ）
A．0.73mB．1.24mC．1.37mD．1.42m
8．（2023•濉溪县模拟）如图，在△ABC中，D为BC上一点，若AB＝AC＝CD＝2，∠ADB＝108°，则AD的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023•雨山区一模）数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为 cm．
10．（2023•庐阳区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，则csA＝（ ）
A．B．C．D．
11．（2023•合肥一模）设点C是长度为8cm的线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为 cm．
四．平行线分线段成比例（共6小题）
12．（2023•镜湖区校级一模）如图，如图，在△ABC中，D、E分别在边AB，AC上，DE∥BC，，AE＝9，则EC的长度为（ ）
A．4B．6C．12D．15
13．（2023•蚌山区模拟）AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE＝AD，BE的延长线交AC于F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023•舒城县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，点D是AC的中点，AE与BD交于点O，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
15．（2023•蜀山区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，角平分线BE与中线CD交于点F，若AC＝16，BC＝12，则的值为（ ）
A．B．C．D．
16．（2023•固镇县一模）如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB＝30米，AD＝20米．现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C．
（1）DQ＝10米时，求△APQ的面积．
（2）当DQ的长为多少米时，△APQ的面积为1600平方米．
17．（2023•庐阳区一模）正方形纸片ABCD中，E，F分别是AB、CB上的点，且AE＝CF，CE交AF于M．若E为AB中点，则＝ ；若∠CMF＝60°，则＝ ．
五．相似多边形的性质（共3小题）
18．（2023•潜山市模拟）如图，在平行四边形FBCE中，点J，G分别在边BC，EF上，JG∥BF，四边形ABCD～四边形HGFA，相似比k＝3，则下列一定能求出△BIJ面积的条件（ ）
A．四边形HDEG和四边形AHGF的面积之差
B．四边形ABCD和四边形HDEG的面积之差
C．四边形ABCD和四边形ADEF的面积之差
D．四边形JCDH和四边形HDEG的面积之差
19．（2023•舒城县二模）将一张平行四边形ABCD（AD＜AB＜2AD）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，则平行四边形ABCD的相邻两边AD与AB的比值是（ ）
A．B．
C．或D．或或
20．（2023•庐阳区校级一模）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元B．1080元C．720元D．2160元
六．相似三角形的性质（共4小题）
21．（2023•南陵县校级一模）如图，△ABC纸板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是AC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同剪法，那么AP长的取值范围（ ）
A．3＜AP＜4B．3≤AP＜4C．2＜AP＜3D．2≤AP＜3
22．（2023•定远县二模）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为（ ）
A．3B．5C．15D．45
23．（2023•凤台县校级二模）一个三边长分别为a，b，b的等腰三角形与另一个腰长为b的等腰三角形拼接，得到一个腰长为a的等腰三角形，其中a＞b，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
24．（2023•池州三模）如图，△ABC纸板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是边AC上一点，沿过点P的一条直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．
​（1）判断：△ABC为 （填“锐”“直”或“钝”）角三角形；
（2）如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是 ．
七．相似三角形的判定（共6小题）
25．（2023•瑶海区三模）如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC＝ ，BC＝ ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．
26．（2023•萧县一模）如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC，下列不正确的是（ ）
A．AB2＝AD•ACB．∠ADB＝∠ABCC．∠ABD＝∠CD．＝
27．（2023•霍邱县一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P为BC的中点，点Q在射线AD上，过点Q作QE⊥AP于点E，连接PQ，请探究下列问题：
​（1）AP＝ ；
（2）当△QEP∽△ABP时，PQ＝ ．
28．（2023•舒城县模拟）已知过点B（3，﹣1）的抛物线y＝x2﹣x+c与坐标轴交于点A、C如图所示，连结AC，BC，AB，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作AM⊥MP交y轴于点P，当点P在点A上方，且△AMP与△ABC相似时，点M的坐标为 ．
29．（2023•雨山区校级一模）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，F为DE边上一动点，FG⊥BC于G，GH∥BA交AC于H．
（1）FG＝ ；
（2）当△FGH和△ABC相似时，FH＝ ．
30．（2023•萧县三模）如图，在矩形ABCD和矩形CEFG中，，且CD＝CG，连接DE交BC于点M，连接BG交CE于点N，交DE于点O，则下列结论不正确的是（ ）
A．BG⊥DE
B．当CN＝EN时，CN2＝ON•NG
C．当∠BDE＝∠BCE时，△BMD∽△BNC
D．当∠BCE＝60°时，
八．相似三角形的判定与性质（共17小题）
31．（2023•霍邱县一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若，AB＝4，则 的值为（ ）
A．B．C．D．
32．（2023•包河区二模）如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE交AC于点F，则的值是（ ）
A．B．C．D．
33．（2023•宣城模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且＝，过点D的切线EF交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD，OE交于点G．
（1）求证：AE⊥EF；
（2）若，⊙O的半径为2，求BF的长．
34．（2023•无为市三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为⊙O的直径，点B为的中点，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交DB的延长线于点F，切点为A．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AF＝6，DF＝10，求DE的长．
35．（2023•全椒县二模）如图，已知等腰△ABC和等腰△ADE有公共的顶点A，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点E恰好落在边BC上（与B、C不重合），连接BD．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB与DE相交于点F，求证：CE•BE＝CA•BF；
（3）若∠BAC＝90°，AC＝4，且，请画出符合条件的图形，并求DE的长．
36．（2023•庐阳区校级三模）已知正方形EFGH的边EF在△ABC的边BC上，点G、H分别在AB和AC上，BC＝6，S正方形EFGH＝4，则AB+AC的最小值为（ ）
A．B．C．D．10
37．（2023•黄山二模）如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB＝4，CD＝6，则OM﹣EF值为（ ）
A．B．C．D．
38．（2023•安徽模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E是边AB的中点，连接DE交AC于点F，过点F作FG⊥DE交AB于点G，则下列结论正确的是（ ）
A．AG＝GFB．C．D．
39．（2023•瑶海区三模）如图，正方形ABCD和正方形BPQR有重叠部分，R点在AD上，CD与QR相交于S点，若正方形ABCD和正方形BPQR的边长分别为4和5，则阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
40．（2023•天长市校级二模）在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD上的点，连接EF，EF⊥FG且EF＝FG．
​
（1）如图1，当点G在CD上时，求证：DG＝BE；
（2）如图2，当点B与点E重合时，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD．
41．（2023•濉溪县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，点E在边AC上．以点D为圆心，DC为半径作⊙D与AB相切于点F，已知∠CED＝∠ABC．
（1）求证：BD＝ED；
（2）连接AD，若AC＝6，AB＝10，求线段AE的长．
42．（2023•天长市校级三模）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．
（1）如图1，AC平分∠BAD，若AB＝AC＝BD，AD＝AO，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点E在AB边上，EM垂直平分AD，垂足为M；EN垂直平分BC，垂足为N，若∠BAD＝∠ABC，求证：AC＝BD；
（3）如图3，E，F分别为AC，BD的中点，EF两端延长分别交BC，AD于H，G．若，△CEH，△ABE的面积分别为S1，S2，直接写出的值．
​
43．（2023•池州三模）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，且AB＝AC＝5，BC＝6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE＝DF，连接CE并延长，CE的延长线与BA的延长线交于点G．
（1）如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE交于点N，．
①若M为BC中点，求证：EN＝NC；
②求AG的长；
（2）如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH．若∠HED＝∠CED，且HF＝2GH，求EF的长．
44．（2023•瑶海区校级一模）将矩形ABCD沿DE折叠，使点A落在点F处，折痕为DE，其中AB＝2，AD＝3．
（1）如图（1），若点F恰好在边BC上，连接AF，求证：△ABF∽△DAE；
（2）如图（2），若E是AB的中点，EF的延长线交BC于点G，求BG的长．
45．（2023•无为市一模）如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长交AC于点C，AE与BC交于点F．
（1）求证：∠DAC＝∠DEA；
（2）若点E是BD的中点，⊙O的半径为3，BF＝2，求AC的长．
46．（2023•庐阳区校级一模）已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，连接DA、DB，且DA⊥DB于点D．
（1）求证：DA＝DB；
（2）如图2，点E、F分别是边CD、AC上的点，且BE⊥EF于点E，求的值．
47．（2023•合肥模拟）在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF垂直于BD，垂足为F，
且CF＝DF．
（1）求证：△ACD∽△BCF；
（2）如图2，连接AF，点P、M、N分别为线段AB、AF、DF的中点，连接PM、MN、PN．
①求证：∠PMN＝135°；
②若AD＝2，求△PMN的面积．
九．相似三角形的应用（共2小题）
48．（2023•芜湖模拟）《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（ ）
A．cmB．1cmC．cmD．cm
49．（2023•庐阳区一模）如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离h＝（ ）
A．cmB．2cmC．cmD．3cm
一十．作图-相似变换（共2小题）
50．（2023•大观区校级二模）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点及线段MN的端点均在格点（网格线的交点）上．
（1）作出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
（2）画出一个格点△EFC，使△EFC∽△ABC（相似比不为1）．
51．（2023•安徽模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）请画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得到的图形△A1B1C1.（点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1）；
（2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比为2．
一十一．位似变换（共2小题）
52．（2023•庐阳区一模）△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A'B'O，则点A′的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，2）或（﹣1，﹣2）
C．（2，1）或（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
53．（2023•杜集区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△A'B'C'与△ABC位似，位似中心为原点O，已知点A（﹣1，﹣1），C（﹣4，﹣1），A'C'＝6，则点C'的坐标为（ ）
A．（2，2）B．（4，2）C．（6，2）D．（8，2）
一十二．作图-位似变换（共2小题）
54．（2023•利辛县模拟）已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，1），C（1，5）．
（1）以点O为位似中心，在第一象限将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
（2）若点P（x，y）是△ABC内任意一点，点P在△A1B1C1内的对应点为P1，则点P1的坐标为 ；
（3）请用无刻度直尺将线段AB三等分．
55．（2023•花山区二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移4个单位后得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．
一十三．相似形综合题（共5小题）
56．（2023•镜湖区校级二模）如图，为探究一类矩形ABCD的性质，小明在BC边上取一点E，连接DE，经探究发现：当DE平分∠ADC时，将△ABE沿AE折叠至△AFE，点F恰好落在DE上，据此解决下列问题：
（1）求证：△AFD≌△DCE；
（2）如图，延长CF交AE于点G，交AB于点H．
①求证：EF•DF＝GF•CF；
②求GE：GC的值．
57．（2023•花山区二模）点D是△ABC内一点，AD平分∠BAC，延长CD交AB于点E，延长BD交AC于点F．
（1）如图1，若AB＝AC，证明：DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC+∠BAC＝180°，证明：＝；
（3）如图3，若∠BAC＝60°，∠BDC＝120°，DF＝4，＝，求BD的值．
58．（2023•无为市四模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，E为BC上一点，且DE∥AB，过点B作BF∥AD交DE的延长线于点F，连接CF，CF＝BF．
（1）求证：△ADE≌△FCD；
（2）如图2，连接DB交AE于点G，且AG＝DC．
①连接CG，求证：四边形BFCG是菱形；
②若DB∥CF，求的值．
59．（2023•天长市校级二模）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是点D、点E，点F在DA的延长线上，连接BF交CE的延长线于点M，AD＝2CD．
（1）若AE＝2，则BD＝ ；
（2）若BM：MF＝6：7，EM＝1，则AF＝ ．
60．（2023•濉溪县模拟）如图，△ABC中，D，E两点分别在边AB，AC上，点F在DE上，连接BF，CD，CF，已知EC＝ED，FB＝FC，∠CED＝∠CFB．
（1）求证：∠ECF＝∠BFD；
（2）连接AF，若AB＝CD，AF＝DF，求证：AF＝AE；
（3）在（2）的条件下，若DF＝kEF，求的值（用含k的代数式来表示）．
专题17 图形的相似（真题1个考点模拟13个考点）
一．相似三角形的判定与性质（共2小题）
1．（2019•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（ ）
A．3.6B．4C．4.8D．5
【分析】根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得CD的长，本题得以解决．
【解答】解：作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，
∴，
∵EF⊥AC，∠C＝90°，
∴∠EFA＝∠C＝90°，
∴EF∥CD，
∴△AEF∽△ADC，
∴，
∴，
∵EG＝EF，
∴DH＝CD，
设DH＝x，则CD＝x，
∵BC＝12，AC＝6，
∴BD＝12﹣x，
∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，
∴EG∥AC∥DH，
∴△BDH∽△BCA，
∴，
即，
解得，x＝4，
∴CD＝4，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
2．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．
【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠PAB，即可得出结论；
（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；
（3）先作出两个直角三角形，再判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△PAB∽△PBC，判断出，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC
又∠APB＝135°，
∴∠PAB+∠PBA＝45°
∴∠PBC＝∠PAB
又∵∠APB＝∠BPC＝135°，
∴△PAB∽△PBC
（2）∵△PAB∽△PBC
∴
在Rt△ABC中，AC＝BC，
∴
∴
∴PA＝2PC
（3）如图，过点P作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于点F，
∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，
∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°
∴∠APC＝90°，
∴∠EAP+∠ACP＝90°，
又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°
∴∠EAP＝∠PCD，
∴Rt△AEP∽Rt△CDP，
∴，即，
∴h3＝2h2
∵△PAB∽△PBC，
∴，
∴
∴．
即：h12＝h2•h3．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．
一．比例的性质（共3小题）
1．（2023•无为市一模）若3a＝4b（ab≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积即可得出正确选项．
【解答】解：∵3a＝4b（ab≠0），
∴a：4＝b：3，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积，熟记比例的性质是解题的关键．
2．（2023•合肥一模）若，那么的值等于（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【分析】把化成1﹣＝，即可求出的值．
【解答】解：∵，
∴1﹣＝，
∴＝．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是关键．
3．（2023•安徽模拟）已知，求k2﹣3k﹣4的值．
【分析】根据等比性质得出＝k，再分两种情况进行讨论，当a+b+c+d≠0时和a+b+c+d＝0时，分别求出k的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝＝＝＝k，
∴由等比性质可得：＝k，
当a+b+c+d≠0时，k＝＝，
当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a，
∴k＝＝＝﹣2，
∴k2﹣3k﹣4＝（）2﹣3×﹣4＝﹣或k2﹣3k﹣4＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
二．比例线段（共3小题）
4．（2023•庐阳区校级一模）已知线段a＝9，b＝4，则线段a和b的比例中项为 6 ．
【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出结果．
【解答】解：设线段a和b的比例中项为c，
∵a＝9，b＝4，
∴＝，
∴c2＝ab＝4×9＝36，
解得：c＝±6，
又∵线段不能是负数，
∴﹣6舍去，
∴c＝6，
故答案为：6．
【点评】考查了比例中项的概念，掌握比例中项的概念是解决问题的关键．
5．（2023•定远县校级一模）已知三条线段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中项，则c＝ 2 cm．
【分析】由c是a、b的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c的长，注意线段不能为负．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
所以c2＝4×1，
解得：c＝±2（线段是正数，负值舍去）．
则c＝2cm．
故答案为：2．
【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
6．（2023•亳州模拟）如图，点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项．如果AB＝2，那么AP＝ 3﹣ ．
【分析】根据黄金分割的定义结合已知条件得BP＝AB，即可得出结论．
【解答】解：∵点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项，
∴BP2＝AB•AP，
∴BP＝AB＝＝﹣1，
∴AP＝AB﹣BP＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故答案为：3﹣．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
三．黄金分割（共5小题）
7．（2023•庐阳区一模）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（ ）
A．0.73mB．1.24mC．1.37mD．1.42m
【分析】设下部高为x m，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．
【解答】解：设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
∴＝，
解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），
经检验，x＝﹣1是原方程的解，
∴x＝﹣1≈1.24，
故选：B．
【点评】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．
8．（2023•濉溪县模拟）如图，在△ABC中，D为BC上一点，若AB＝AC＝CD＝2，∠ADB＝108°，则AD的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先证明AD＝BD，设AD＝BD＝x，则BC＝2+x．作AE⊥BC于点E，根据AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2列方程求解即可．
【解答】解：∵∠ADB＝108°，
∴∠CDA＝180°﹣108°＝72°．
∵AB＝AC＝CD＝2，
∴∠CAD＝∠CDA＝72°，
∴∠B＝∠C＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠BAD＝∠CDA﹣∠B＝36°，
∴AD＝BD．
设AD＝BD＝x，则BC＝2+x．
如图，作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝CD＝2，
∴，
∴．
∵AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，
∴，
解得，（舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
9．（2023•雨山区一模）数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为 （12﹣4） cm．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
【解答】解：∵点P是AB的黄金分割点（AP＞BP），线段AB的长为8cm，
∴，
∴AP＝cm，
BP＝AB﹣AP＝12﹣4．
故答案为：（12﹣4）．
【点评】本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
10．（2023•庐阳区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，则csA＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】过B作BE⊥AC于E，设CD＝2a，证△BDC∽△ABC，得BC：AC＝CD：BC，再证CB＝BD＝AD，然后证点D是线段AC的黄金分割点，求出AD＝（+1）a，即可解决问题．
【解答】解：如图，过B作BE⊥AC于E，
设CD＝2a，
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，
∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∵∠C＝∠C，∠CDB＝∠ABC＝72°，
∴△BDC∽△ABC，
∴BC：AC＝CD：BC，
即BC2＝CD•AC，
∵∠A＝∠ABD＝36°，∠C＝∠BDC＝72°，
∴CB＝BD＝AD，
∴AD2＝CD•AC，
∴点D是线段AC的黄金分割点，
∴＝，
∴AD＝＝＝（+1）a，
∴AB＝AC＝AD+CD＝（3+）a，
∵BE⊥AC，BD＝CD，
∴DE＝CE＝CD＝a，
∴AE＝AD+DE＝（2+）a，
∴csA＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明点D为线段AC的黄金分割点是解题的关键．
11．（2023•合肥一模）设点C是长度为8cm的线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为 4﹣4 cm．
【分析】根据黄金比值为计算即可．
【解答】解：∵点C是长度为8cm的线段AB的黄金分割点，AC＞BC，
∴AC＝AB＝4﹣4（cm），
故答案为：4﹣4．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念和黄金比值，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．
四．平行线分线段成比例（共6小题）
12．（2023•镜湖区校级一模）如图，如图，在△ABC中，D、E分别在边AB，AC上，DE∥BC，，AE＝9，则EC的长度为（ ）
A．4B．6C．12D．15
【分析】由DE∥BC，得，进而即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴EC＝6．
故选B．
【点评】本题主要考查平行线截线段成比例定理，掌握平行线截得的对应线段成比例是解题的关键．
13．（2023•蚌山区模拟）AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE＝AD，BE的延长线交AC于F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，AE＝AD，
∴，
∴AF：FC＝1：6，
∴的值
故选：D．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14．（2023•舒城县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，点D是AC的中点，AE与BD交于点O，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【分析】过C作CN∥AB交AE延长线于N，过E作EM∥BD交AC于M，推出AC＝CN＝5，由相似三角形的性质得到BE：EC＝4：5，由平行线分线段成比例定理，得到CD：DM＝9：4，而AD＝CD，由此AD：DM＝9：4，于是即可解决问题．
【解答】解：过C作CN∥AB交AE延长线于N，过E作EM∥BD交AC于M，
∴∠BAE＝∠N，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠N＝∠CAE，
∴CN＝CA＝5，
∵AB∥CN，
∴△ABE∽△NCE，
∴BE：EC＝AB：CN＝4：5，
∵EM∥BD，
∴DM：MC＝BE：EC＝4：5，
∴DC：DM＝9：4，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∴AD：DM＝9：4，
∵OD∥EM，
∴＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，关键是通过平行线的性质，角平分线定义得到AC＝CN，由相似三角形的性质求出BE：EC．
15．（2023•蜀山区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，角平分线BE与中线CD交于点F，若AC＝16，BC＝12，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】作EH⊥AB于H，延长CD到M，使DM＝CD，连接BM，由勾股定理求出AB的长，由三角形面积公式求出CE的长，由△BDM≌△ADC（SAS），得到BM＝AC＝16，∠M＝∠ECF，得到CE∥MB，推出△CEF∽△MBF，因此＝＝＝．
【解答】解：作EH⊥AB于H，延长CD到M，使DM＝CD，连接BM，
∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴AB＝＝20，
∵BF平分∠ABC，
∴EH＝EC，
∵△ABC的面积＝△ABE的面积+△BCE的面积，
∴AC•BC＝AB•EH+BC•CE，
∴16×12＝20CE+12CE，
∴CE＝6，
∵AD＝BD，∠ADC＝∠BDM，
∴△BDM≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝16，∠M＝∠ECF，
∴CE∥MB，
∴△CEF∽△MBF，
∴＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是通过作辅助线，构造全等三角形，相似三角形．
16．（2023•固镇县一模）如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB＝30米，AD＝20米．现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C．
（1）DQ＝10米时，求△APQ的面积．
（2）当DQ的长为多少米时，△APQ的面积为1600平方米．
【分析】（1）由DC∥AP，得到＝，代入数据求得AP＝90，于是得到结论；
（2）设DQ＝x米，则AQ＝x+20，根据平行线分线段成比例定理得到＝，得到方程＝，求出AP＝，解一元二次方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DC∥AP，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝90，
∴S△APQ＝AQ•AP＝1350米2；
（2）设DQ＝x米，则AQ＝x+20，
∵DC∥AP，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝，
由题意得 ××（x+20）＝1600，
化简得3x2﹣200 x+1200＝0，
解x＝60或．
经检验：x＝60或是原方程的根，
∴DQ的长应设计为60或米．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，求三角形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
17．（2023•庐阳区一模）正方形纸片ABCD中，E，F分别是AB、CB上的点，且AE＝CF，CE交AF于M．若E为AB中点，则＝ 2 ；若∠CMF＝60°，则＝ 2 ．
【分析】（1）连接BD，根据相似三角形计算即可；
（2）把60°的角放到直角三角形中，所以过C作CN⊥AM所在直线，利用角平分线的性质求解即可．
【解答】解：（1）连接BD，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∴∠MEB＝∠MCD，∠MBE＝∠MDC，
∴△MCD∽△MEB，
∴，
∵E为AB中点，
∴；
（2）过点C作CN⊥AF，交AF的延长线于点N，如图2，
在Rt△CMN中，∠CMF＝60°，
∵sin60°＝，cs60°＝，
∴，，
即CM＝2MN，
∵AE＝CF，BA＝BC，
∴BA﹣AE＝BC﹣CF，
即BE＝BF，
∴Rt△ABF≌Rt△CBE（SAS），
∴∠FAB＝∠ECB，
∵∠AME＝∠CMF，AE＝CF，
∴△AME≌△CMF（AAS），
∴EM＝FM，
∵∠AFB＝∠CFN，∠B＝∠N＝90°
∴∠FAB＝∠FCN，
∴∠MCF＝∠NCF，
过点F作FG⊥CE于点G，
∴FG＝FN，∠FMG＝∠MCN，
∴cs∠FMG＝cs∠MCN＝，
∵，
∴，
∵＝，
MF＝EM，
∴
＝
＝2+2×
＝2+2×
＝2+．
故答案为：2；2+．
【点评】本题考查的是正方形的综合题，解题的关键是从题中找到作出正确的辅助线CN．
五．相似多边形的性质（共3小题）
18．（2023•潜山市模拟）如图，在平行四边形FBCE中，点J，G分别在边BC，EF上，JG∥BF，四边形ABCD～四边形HGFA，相似比k＝3，则下列一定能求出△BIJ面积的条件（ ）
A．四边形HDEG和四边形AHGF的面积之差
B．四边形ABCD和四边形HDEG的面积之差
C．四边形ABCD和四边形ADEF的面积之差
D．四边形JCDH和四边形HDEG的面积之差
【分析】分别过点A，D作BC的平行线，根据相似比，找出对应相似图形的面积关系，然后找出符合的选项即可．
【解答】解：如图，分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，
∵四边形ABCD～四边形HGFA，相似比k＝3，
∴CD＝3AF＝3ME，BC＝3FG＝3BJ，△BCD～△BJI，相似比k＝3，
则S平行四边形BCDN＝3S平行四边形MEFA＝2S△BCD，9S△BJI＝S△BCD，
∵S△ADN＝S△ADM，
∴S四边形ABCD﹣S四边形ADEF＝S▱BCDN﹣S▱MEFA＝S△BCD＝12S△BIJ，选项C符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了根据相似比求面积关系，平行四边形性质，相似三角形性质等知识，适当添加辅助线，找出对应面积关系，采用面积作差方法是解题关键．
19．（2023•舒城县二模）将一张平行四边形ABCD（AD＜AB＜2AD）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，则平行四边形ABCD的相邻两边AD与AB的比值是（ ）
A．B．
C．或D．或或
【分析】分两种情况进行讨论进而根据相似多边形的性质进行求解即可．
【解答】解：如图，设AD＝a，AB＝b．
根据题意，AH＝AD，
∴HB＝b﹣a，
∵HB＝FG＝GC，
∴BG＝a﹣（b﹣a）＝2a﹣b，
∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴对应边成比例，
分两种情况讨论：
①，
∴，
设，分子分母同时除以，得：，
解得：；
②，
∴，
设，则：，
解得：，
两个答案都满足AD＜AB＜2AD，
综上：平行四边形ABCD的相邻两边AD与AB的比值是或．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，相似多边形的性质，根据题意，正确的画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
20．（2023•庐阳区校级一模）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元B．1080元C．720元D．2160元
【分析】直接利用相似多边形的性质进而得出答案．
【解答】解：∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
∴面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的成本为：120×9＝1080（元）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出多边形面积比是解题关键．
六．相似三角形的性质（共4小题）
21．（2023•南陵县校级一模）如图，△ABC纸板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是AC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同剪法，那么AP长的取值范围（ ）
A．3＜AP＜4B．3≤AP＜4C．2＜AP＜3D．2≤AP＜3
【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围．
【解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
此时0＜AP＜4；
如图所示，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
此时0＜AP≤4；
如图所示，过P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，
此时，△CPG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CB2＝CP×CA，即22＝CP×4，
∴CP＝1，AP＝3，
∴此时，3≤AP＜4；
综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
22．（2023•定远县二模）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为（ ）
A．3B．5C．15D．45
【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为1：3，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3，
∵△ABC的周长为15，
∴△DEF的周长为45．
故选：D．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，正确记忆相似三角形周长的比等于相似比是解题关键．
23．（2023•凤台县校级二模）一个三边长分别为a，b，b的等腰三角形与另一个腰长为b的等腰三角形拼接，得到一个腰长为a的等腰三角形，其中a＞b，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】由条件可画图，如图所示，易得：△ADC、△ABC、△CBD均为等腰三角形，得到△ABC∽△CBD，列出比例式，解方程即可．
【解答】解：如图：
∵∠ABC＝∠CBD，且都为底角，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
即：，
整理得：a2﹣ab﹣b2＝0，
即：，
解得或（舍去），
因此．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，相关知识点有：等腰三角形的性质、相似三角形对应边成比例、解一元二次方程以及整体思想，根据相似列出比例式是解题的关键．
24．（2023•池州三模）如图，△ABC纸板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是边AC上一点，沿过点P的一条直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．
​（1）判断：△ABC为 钝角三角形 （填“锐”“直”或“钝”）角三角形；
（2）如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是 3≤AP＜4 ．
【分析】（1）由AC2+BC2＜AB2，可以判断△ABC为钝角三角形，
（2）分情况讨论，由相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AC2+BC2＝42+22＝20，AB2＝52＝25，
∴AC2+BC2＜AB2，
∴△ABC为钝角三角形，
故答案为：钝角三角形．
（2）当过P（不与A、C重合）的直线与BC或AB平行时，得到两种符合题意的情况，
显然此时0＜AP＜4；
当过P的直线与BC不平行，与AB交于D，
∴△APD∽△ABC，
显然此时0＜AP≤4，
当过P的直线与AB不平行，与BC交于E，
∴△CPE∽△CBA，
∴PC：BC＝CE：AC，
设AP＝x，则PC＝4﹣x，
∴（4﹣x）：2＝CE：4，
∴CE＝8﹣2x，
∵，
∴3≤x＜4，
∴AP长的取值范围是3≤AP＜4．
故答案为：3≤AP＜4．
【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是分情况讨论，由相似三角形的对应边成比例即可求解．
七．相似三角形的判定（共6小题）
25．（2023•瑶海区三模）如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC＝ 135° ，BC＝ 2 ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．
【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC的度数，根据，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC的长；
（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．
【解答】（1）解：∠ABC＝90°+45°＝135°，
BC＝＝＝2；
故答案为：135°；2．
（2）△ABC∽△DEF．
证明：∵在4×4的正方形方格中，
∠ABC＝135°，∠DEF＝90°+45°＝135°，
∴∠ABC＝∠DEF．
∵AB＝2，BC＝2，FE＝2，DE＝
∴＝＝，＝＝．
∴△ABC∽△DEF．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
26．（2023•萧县一模）如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC，下列不正确的是（ ）
A．AB2＝AD•ACB．∠ADB＝∠ABCC．∠ABD＝∠CD．＝
【分析】利用相似三角形的判定依次判断可求解．
【解答】解：A、若AB2＝AD•AC，则，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC，故选项A不符合题意，
B、若∠ADB＝∠ABC，且∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故选项B不符合题意，
C、若∠ABD＝∠C，且∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故选项C不符合题意，
D、若，无法证明△ADB∽△ABC，故选项D不符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
27．（2023•霍邱县一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P为BC的中点，点Q在射线AD上，过点Q作QE⊥AP于点E，连接PQ，请探究下列问题：
​（1）AP＝ 2 ；
（2）当△QEP∽△ABP时，PQ＝ 5 ．
【分析】（1）由勾股定理可求解；
（2）由相似三角形的性质可求EQ＝2EP，∠APB＝∠APQ，由平行线的性质可证∠APB＝∠PAD＝∠APQ，可得AQ＝PQ，由等腰三角形的性质可得AE＝EP＝，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，
∵点P为BC的中点，
∴BP＝CP＝2，
∴AP＝＝＝2，
故答案为：2；
（2）∵△QEP∽△ABP，
∴，∠APB＝∠APQ，
∴EQ＝2EP，
∵BC∥AD，
∴∠APB＝∠PAD，
∴∠PAD＝∠APQ，
∴AQ＝PQ，
又∵EQ⊥AP，
∴AE＝EP＝，
∴EQ＝2，
∴PQ＝＝＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出AE的长是解题的关键．
28．（2023•舒城县模拟）已知过点B（3，﹣1）的抛物线y＝x2﹣x+c与坐标轴交于点A、C如图所示，连结AC，BC，AB，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作AM⊥MP交y轴于点P，当点P在点A上方，且△AMP与△ABC相似时，点M的坐标为 （，）或（11，35） ．
【分析】由两点坐标公式可求AC，BC，AB，由勾股定理可证∠ACB＝90°，分两种情况讨论，由相似三角形的判定和锐角三角函数可求解．
【解答】解：如图，过点M作EM⊥AP于E，
∵抛物线y＝x2﹣x+c过点B（3，﹣1），
∴﹣1＝﹣+c，
∴c＝2，
∴点A（0，2），抛物线解析式为y＝x2﹣x+2，
当y＝0时，则0＝x2﹣x+2，
∴x1＝1，x2＝4，
∴点C（4，0），
∵点A（0，2），点C（4，0），点B（3，﹣1），
∴AC＝2，BC＝，AB＝3，
∵AB2+BC2＝20＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
设点M（m，m2﹣m+2），
∴ME＝m，AE＝m2﹣m+2﹣2＝m2﹣m，
当∠AMP＝∠ABC＝90°，∠ACB＝∠PAM时，△ACB∽△PAM，
∴tan∠ACB＝tan∠PAM＝＝，
∴＝，
∴m＝，
∴点M（，），
当∠AMP＝∠ABC＝90°，∠BAC＝∠PAM时，△ACB∽△APM，
∴tan∠BAC＝tan∠PAM＝＝，
∴＝，
∴m＝11，
∴点M（11，35），
综上所述：点M坐标为（，）或（11，36）．
故答案为：（，）或（11，35）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，二次函数的性质，锐角三角函数，勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
29．（2023•雨山区校级一模）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，F为DE边上一动点，FG⊥BC于G，GH∥BA交AC于H．
（1）FG＝ ；
（2）当△FGH和△ABC相似时，FH＝ 或 ．
【分析】（1）过A作AM⊥BC于M交DE于N，根据勾股定理得到BC＝＝10，根据三角形的中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC＝5，根据相似三角形的性质得到＝＝，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）过A作AM⊥BC于M交DE于N，
在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC＝5，
∴AN⊥DE，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵FG⊥BC，
∴FG＝MN，
∵AB•AC＝BC•AM，
∴6×8＝10AM，
∴AM＝，
∵AN＝，
∴FG＝MN＝﹣＝，
故答案为：；
（2）∵FG⊥BC，
∴∠FGC＝90°，
∴∠FGH+∠CGH＝90°，
∵GH∥AB，
∴∠HGC＝∠B，
∵∠B+∠C＝90°，
∴∠HGC+∠C＝90°，
∴∠FGH＝∠C，
∵GH∥AB，
∴∠CHG＝∠AHG＝∠BAC＝90°，
∴∠FHG＜90°，
当△FGH和△ABC相似时，
∴△FHG∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴FH＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
30．（2023•萧县三模）如图，在矩形ABCD和矩形CEFG中，，且CD＝CG，连接DE交BC于点M，连接BG交CE于点N，交DE于点O，则下列结论不正确的是（ ）
A．BG⊥DE
B．当CN＝EN时，CN2＝ON•NG
C．当∠BDE＝∠BCE时，△BMD∽△BNC
D．当∠BCE＝60°时，
【分析】说明△DCE∽△BCG，得∠CDE＝∠CBG．再利用三角形内角和定理可说明A选项正确；根据△ONE∽△CNG，得，可知B选项正确；当∠BDE＝∠BCE时，∠BMD≠∠BNC，不能判定△BMD∽△BNC，故C选项错误；过点B分别作BP⊥CE于点P，BQ⊥CG于点Q，设CD＝3m．分别表示出△BCE和△BCG的面积，即可说明D正确．
【解答】解：A、∵四边形ABCD和四边形CEFG是矩形，
∴∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴∠BCD+∠BCE＝∠ECG+∠BCE，
∴∠DCE＝∠BCG．
又∵，
∴△DCE∽△BCG，
∴∠CDE＝∠CBG．
∴∠CDE+∠DMC＝90°，∠CBG+∠BME＝90°，
∴BG⊥DE，故A正确；
B、∵BG⊥DE，
∴∠EON＝90°，
∴∠EON＝∠GCN．
∵∠ONE＝∠CNG，
∴△ONE∽△CNG，
∴，
∴NE•CN＝ON•NG．
∵CN＝EN，
∴CN2＝ON•NG，
故B正确；
C、当∠BDE＝∠BCE时，
∵∠CGN≠∠CDM，
∴∠BMD≠∠BNC，
∴不能判定△BMD∽△BNC，
故C错误；
D、如图，过点B分别作BP⊥CE于点P，BQ⊥CG交GC的延长线于点Q，设CD＝3m．
∵，
∴．
∵∠BCE＝60°，
∴∠BCQ＝30°，
∴，
，
∴，
，
∴，
故D正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
八．相似三角形的判定与性质（共17小题）
31．（2023•霍邱县一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若，AB＝4，则 的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据勾股定理求得BC的长度，然后根据CD⊥AB得出∠BCD＝∠A，继而可求得＝tan∠BCD的值．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，
∴BC＝＝2，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
则＝tan∠BCD＝tanA＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．
32．（2023•包河区二模）如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE交AC于点F，则的值是（ ）
​
A．B．C．D．
【分析】在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，根据DE＝DC，可得，再由AB∥CD得到△ABF∽△CEF，最后根据相似三角形对应边成比例即可求出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵DE＝DC，
∴，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
33．（2023•宣城模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且＝，过点D的切线EF交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD，OE交于点G．
（1）求证：AE⊥EF；
（2）若，⊙O的半径为2，求BF的长．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质推出∠ODF＝90°，根据等腰三角形的性质推出∠CAD＝∠ODA，则OD∥AE，根据平行线的性质及垂直的定义即可得解；
（2）根据题意推出△OGD∽△EGA，△ODF∽△AEF，根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴∠ODF＝90°，
∵＝，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∴∠AEF＝∠ODF＝90°
∴AE⊥EF；
（2）解：∵∠CAD＝∠ODA，∠AGE＝∠OGD，
∴△OGD∽△EGA，
∴，
∵∠AEF＝∠ODF，∠F＝∠F，
∴△ODF∽△AEF，
∴，
∵AB＝2OB＝4，
∴，
∴BF＝2．
【点评】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质，熟记切线的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
34．（2023•无为市三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为⊙O的直径，点B为的中点，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交DB的延长线于点F，切点为A．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AF＝6，DF＝10，求DE的长．
【分析】（1）由点B为的中点，可得∠CDB＝∠ADB，根据AB为⊙O的直径，有∠AEF＝∠DEC＝90°﹣∠CDB，又AF是⊙O的切线，AD为⊙O的直径，有∠F＝90°﹣∠ADB，即得∠AEF＝∠F，AE＝AF；
（2）由∠DAF＝90°，AF＝6，DF＝10，得AD＝8，由等面积法得AB＝，由勾股定理得BD＝＝，BE＝＝，即DE＝BD﹣BE＝．
【解答】（1）证明：∵点B为的中点，
∴＝，
∴∠CDB＝∠ADB，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠AEF＝∠DEC＝90°﹣∠CDB，
∵AF是⊙O的切线，AD为⊙O的直径，
∴∠DAF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠ADB，
∴∠AEF＝∠F，
∴AE＝AF；
（2）解：∵∠DAF＝90°，AF＝6，DF＝10，
∴AD＝＝8，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴2S△ADF＝AD•AF＝DF•AB，
∴AB＝＝，
在Rt△ABD中，BD＝＝，
由（1）知AE＝AF＝6，
在Rt△ABE中，BE＝＝，
∴DE＝BD﹣BE＝．
答：DE的长为．
【点评】本题考查圆的性质及应用，涉及勾股定理、等面积法等知识，解题的关键是掌握切线的性质及应用，熟练应用勾股定理解决问题．
35．（2023•全椒县二模）如图，已知等腰△ABC和等腰△ADE有公共的顶点A，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点E恰好落在边BC上（与B、C不重合），连接BD．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB与DE相交于点F，求证：CE•BE＝CA•BF；
（3）若∠BAC＝90°，AC＝4，且，请画出符合条件的图形，并求DE的长．
【分析】（1）先证明∠DAB＝∠EAC，再证明△ABD≌△ACE（SAS），从而可得结论；
（2）先证明∠C＝∠ABC，∠CAE＝∠BEF，可得△CAE∽△BEF，则，从而可得结论；
（3）根据题意先画图，过点A作AM⊥BC于点M，求解，结合，可得，，证明，在Rt△AEM中，，再利用勾股定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴，∠C＝∠ABC，
∵AD＝AE，
∴，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠ACB＝∠AED，
∴∠CAE+∠ACE＝∠BEF+∠AEF，
∴∠CAE＝∠BEF，
∴△CAE∽△BEF，
∴，
∴CE•BE＝CA•BF；
（3）解：如图即为所画，过点A作AM⊥BC于点M，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴，
∵，
∴，，
∵AM⊥BC，AB＝AC，
∴BM＝CM，
∴，，
在Rt△AEM中，，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠DAE＝90°，
∵，
∴．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识解题是关键．
36．（2023•庐阳区校级三模）已知正方形EFGH的边EF在△ABC的边BC上，点G、H分别在AB和AC上，BC＝6，S正方形EFGH＝4，则AB+AC的最小值为（ ）
A．B．C．D．10
【分析】过点A作AM⊥BC，根据相似三角形的判定和性质得出AM＝3，作直线l∥BC，作点C关于直线l的对称点D，连接BD交直线l于点A，根据两点之间线段最短及勾股定理求解即可．
【解答】解：如图所示，过点A作AM⊥BC，
∵S正方形EFGH＝4，
∴EF＝GF＝HG＝HE＝2，GH∥BC，
∴△AHG∽△ACB，
∴＝＝，
∴＝，
∵GF∥AM，
∴△BGF∽△BAM，
∴＝＝，
∴AM＝3，
作直线l∥BC，作点C关于直线l的对称点D，连接BD交直线l于点A，
此时AB+AC＝AB+AD＝BD取得最小值，
∴CD＝2AM＝6，
∴BD＝＝6，
∴AB+AC的最小值为6，
故选：A．
【点评】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
37．（2023•黄山二模）如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB＝4，CD＝6，则OM﹣EF值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的判定方法得到OM∥AB∥CD，根据相似三角形的性质得到OM＝，根据三角形中位线定理得到EF＝EG﹣FG＝1，于是得到结论．
【解答】解：∵AB⊥BC、DC⊥BC，OM⊥BC，
∴OM∥AB∥CD，
∴△COM∽△CAB，△BOM∽△BDC，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
∴+＝＝1，
∴OM＝，
∵EF⊥BC，
∴EG∥AB∥CD，
∵点E是BD的中点，
∴BE＝DE，
∴BG＝CG，
∴CF＝AF，
∴EG＝CD＝3，FG＝AB＝2，
∴EF＝EG﹣FG＝1，
∴OM﹣EF＝，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
38．（2023•安徽模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E是边AB的中点，连接DE交AC于点F，过点F作FG⊥DE交AB于点G，则下列结论正确的是（ ）
A．AG＝GFB．C．D．
【分析】根据矩形性质，点E是边AB的中点，判定△DCF∽△EAF，得到DF：FE＝DC：AE＝2，可得B不符合题意；结合等腰直角三角形性质得到AE＝EF，再根据等腰直角三角形的判定确定△EFG为等腰直角三角形，得EF＝FG，GE＝EF，求出AG可得选项A不符合题意；求出AG+FG＝EF，在Rt△ADG中，利用勾股定理求出DG＝EF，可得选项C不符合题意；根据前面得出，AG＝EF，GE＝EF，求得AG＝AE，再根据AE＝DC，得出AG＝DC，由此得出结论．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E是边AB的中点，
∴DA＝AE＝BE＝BC，AB∥DC，
∴△DCF∽△EAF，
∴DF：FE＝DC：AE＝2，即DF＝2EF，故B不符合题意；
∵DF＝2EF，
∴EF＝DE，
在Rt△ADE中，∠DAE＝90°，DA＝EA，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，DE＝AE，则AE＝EF，
∵FG⊥DE，
∴△EFG为等腰直角三角形，即EF＝FG，GE＝EF，
∴AG＝AE﹣GE＝EF﹣EF＝EF≠GF，故A不符合题意；
∴AG+FG＝EF+EF＝EF，
在Rt△ADG中，∠DAG＝90°，DA＝EA＝EF，AG＝EF，
∴DG＝EF，
∴AG+FG≠DG，故C不符合题意；
∵AG＝EF，GE＝EF，
∴＝＝，即AG＝AE，
∵AE＝DC，
∴＝＝，即AG＝DC，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查几何综合，涉及到矩形性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理求线段长、相似的性质与判定等知识点，根据题意求出各个线段，按照选项判定各个线段之间的关系是解决问题的关键
39．（2023•瑶海区三模）如图，正方形ABCD和正方形BPQR有重叠部分，R点在AD上，CD与QR相交于S点，若正方形ABCD和正方形BPQR的边长分别为4和5，则阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据正方形的边长，根据勾股定理求出AR，求出△ABR∽△DRS，求出DS，根据面积公式求出即可．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，正方形BPQR的边长为5，
在Rt△ABR中，AB＝4，BR＝5，由勾股定理得：AR＝3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝∠BRQ＝90°，
∴∠ABR+∠ARB＝90°，∠ARB+∠DRS＝90°，
∴∠ABR＝∠DRS，
∵∠A＝∠D，
∴△ABR∽△DRS，
∴＝，
∴＝，
∴DS＝
∴阴影部分的面积S＝S正方形ABCD﹣S△ABR﹣S△RDS＝4×4﹣×4×3﹣××1＝
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，能求出△ABR和△RDS的面积是解此题的关键．
40．（2023•天长市校级二模）在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD上的点，连接EF，EF⊥FG且EF＝FG．
​
（1）如图1，当点G在CD上时，求证：DG＝BE；
（2）如图2，当点B与点E重合时，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD．
【分析】（1）由正方形的性质得AB＝AD，∠A＝∠D＝90°，而∠EFG＝90°，则∠AEF＝∠DFG＝90°﹣∠AFE，即可证明△AEF≌△DFG，得AF＝DG，AE＝DF，则BE＝AF，所以DG＝BE；
（2）作GH⊥AD交AD的延长线于点H，可证明△HFG≌△ABF，则HF＝AB＝AD，HG＝AF，可推导出HD＝AF，则HG＝HD，所以∠HDG＝∠HGD＝45°，则∠MGN＝∠MDG＝45°，而∠GMN＝∠DMG，即可证明△MGN∽△MDG，得＝，所以MG2＝MN•MD．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠A＝∠D＝90°，
∵EF⊥FG，
∴∠EFG＝90°，
∴∠AEF＝∠DFG＝90°﹣∠AFE，
在△AEF和△DFG中，
，
∴△AEF≌△DFG（AAS），
∴AF＝DG，AE＝DF，
∴AB﹣AE＝AD﹣DF，
∴BE＝AF，
∴DG＝BE．
（2）如图2，作GH⊥AD交AD的延长线于点H，则∠H＝∠A＝90°，
∵点E与点B重合，EF⊥FG且EF＝FG，
∴BF⊥FG，BF＝FG，
∴∠BFG＝90°，
∴∠HFG＝∠ABF＝90°﹣∠AFB，
在△HFG和△ABF中，
，
∴△HFG≌△ABF（AAS），
∴HF＝AB＝AD，HG＝AF，
∴HF﹣DF＝AD﹣DF，
∴HD＝AF，
∴HG＝HD，
∴∠HDG＝∠HGD＝45°，
∵∠MDH＝90°，
∴∠MDG＝45°，
∵∠MGN＝∠GBF＝45°，
∴∠MGN＝∠MDG，
∵∠GMN＝∠DMG，
∴△MGN∽△MDG，
∴＝，
∴MG2＝MN•MD．
【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解直角的关键．
41．（2023•濉溪县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，点E在边AC上．以点D为圆心，DC为半径作⊙D与AB相切于点F，已知∠CED＝∠ABC．
（1）求证：BD＝ED；
（2）连接AD，若AC＝6，AB＝10，求线段AE的长．
【分析】（1）连接DF，根据⊙D与AB相切于点F得到DF⊥AB，结合∠C＝90°，即可得到∠DFB＝∠DCE＝90°，结合∠CED＝∠ABC，DC＝DF，得到△DFB≌△DCE（AAS），即可得到证明；
（2）根据DC＝DF，AD＝AD得到Rt△ADC≌Rt△ADF（HL），即可得到AC＝AF，结合AC＝6，AB＝10即可得到BF，即可得到答案；
【解答】（1）证明：连接DF，
∵⊙D与AB相切于点F，
∴DF⊥AB，
∴∠DFB＝∠DCE，又∠CED＝∠ABC，DC＝DF，
∴△DFB≌△DCE（AAS），
∴BD＝ED；
（2）解：在Rt△ADC和Rt△ADF中，
∵DC＝DF，AD＝AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADF（HL），
∴AC＝AF，
在Rt△ABC中，
∵AC＝6，AB＝10，
∴BF＝AB﹣AF＝10﹣6＝4，
由（1）△DFB≌△DCE，
∴CE＝FB＝4，
∴AE＝AC﹣CE＝6﹣4＝2；
【点评】本题考查圆的切线性质，三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据三角形全等的性质转换线段关系．
42．（2023•天长市校级三模）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．
（1）如图1，AC平分∠BAD，若AB＝AC＝BD，AD＝AO，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点E在AB边上，EM垂直平分AD，垂足为M；EN垂直平分BC，垂足为N，若∠BAD＝∠ABC，求证：AC＝BD；
（3）如图3，E，F分别为AC，BD的中点，EF两端延长分别交BC，AD于H，G．若，△CEH，△ABE的面积分别为S1，S2，直接写出的值．
​
【分析】（1）先根据等腰三角形性质求出∠BAC＝∠ABO＝36°，根据角平分线的定义可知∠DAC＝∠BAC，再利用全等三角形的判定与性质得到∠ACD＝∠ABD，从而可得∠ACD＝∠BAC即可证明AB∥CD；
（2）连接EC，ED，根据线段的垂直平分线得到EA＝ED，EB＝EC，再证明∠AEC＝∠DEB，再利用全等三角形的判定与性质即可解答；
（3）根据全等三角形的判定与性质得到AG＝CP，BH＝DQ，再利用平行线的性质得到∠CPH＝∠DIQ，∠CHP＝∠DQG，进而得到△CHP∽△DQG，最后利用相似三角形的性质即可解得．
【解答】（1）证明：设∠BAC＝∠CAD＝α，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝2α，
∵AD＝AO，
∴∠AOD＝∠ADO＝2α，
在△AOD中，5α＝180°，
∴α＝36°，∠AOD＝72°，
∵∠AOD＝∠OAB+∠OBA，
∴∠ABO＝36°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，
在△ACD和△ABO中，
，
∴△ACD≌△ABO（SAS）（SAS），
∴∠ACD＝∠ABO＝36°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图1，分别连接EC，ED，
∵EM，EN分别垂直平分AD，BC，
∴EA＝ED，EB＝EC，
∴∠BAD＝∠ADE，∠ABC＝∠ECB
∴∠AED＝180°﹣2∠BAD，∠BEC＝180°﹣2∠ABC．
∵∠BAD＝∠ABC，
∴∠AED＝∠BEC，
∴∠AED+∠DEC＝∠BEC+∠DEC，即∠AEC＝∠DEB，
在△AEC和△DEB中，
，
∴△AEC≌△DEB（SAS），
∴AC＝BD；
（3）＝，
解：如图2，分别过C，D作AD，BC的平行线交直线GH于P，Q，
∵E，F分别是AC，BD的中点，
∴AE＝CE，
在△AEG和△CEP中，
，
∴△AEG≌△CEP（AAS），
同理△BFH≌△DFQ，
∴AG＝CP，BH＝DQ，
∵CP∥AD，DQ∥BC，
∴∠CPH＝∠DGQ，∠CHP＝∠DQG，
∴∠CHP∽△DQG，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵E为AC的中点，
∴S2＝S△BEC，
∴＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键
43．（2023•池州三模）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，且AB＝AC＝5，BC＝6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE＝DF，连接CE并延长，CE的延长线与BA的延长线交于点G．
​
（1）如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE交于点N，．
①若M为BC中点，求证：EN＝NC；
②求AG的长；
（2）如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH．若∠HED＝∠CED，且HF＝2GH，求EF的长．
【分析】（1）①根据平行四边形的性质和全等三角形的判定定理解答即可；
②根据相似三角形的判定定理解答即可；
（2）连接CF，通过相似三角形的判定定理和方程思想解答即可．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝6，
∵AE＝DF＝，
∴EF＝AD﹣AE＝DF＝3，
∵BM＝CM＝3，
∴EF＝CM＝3，
∵∠NFE＝∠NMC，∠ENF＝∠CNM，
∴△ENF≌△CNM（AAS），
∴EN＝NC；
②解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，DC＝AB＝5，AD＝BC＝6，
∴∠GAE＝∠CDE，∠AGE＝∠DCE，
∴△AGE∽△DCE，
∴＝，
∵AE＝，
∴DE＝，
∴AG＝5×，
∴AG＝；
（2）解：连接CF.
∵AB＝AC，AB＝DC，
∴AC＝DC，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵AE＝DF，
∴△AEC≌△DFC（SAS），
∴CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∵∠EHG＝∠EFG+∠CEF，
∴∠EHG＝∠EFG+∠CFE＝∠CFG，
∴EH∥CF，
∴＝，
∵HF＝2GH，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴∠GAE＝∠CDE，∠AGE＝∠DCE，
∴△AGE∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝2AE，
设AE＝x，则DE＝2x，
∵AD＝6，
∴x+2x＝6，
∴x＝2，
即AE＝2，
∴DF＝2，
∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝2．
【点评】本题主要考查了四边形的相关知识，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理，等腰三角形的性质定理，全等三角形的判定定理是解答本题关键．
44．（2023•瑶海区校级一模）将矩形ABCD沿DE折叠，使点A落在点F处，折痕为DE，其中AB＝2，AD＝3．
（1）如图（1），若点F恰好在边BC上，连接AF，求证：△ABF∽△DAE；
（2）如图（2），若E是AB的中点，EF的延长线交BC于点G，求BG的长．
【分析】（1）根据矩形，可得∠BAD＝∠B，根据折叠可知AF⊥DE，即∠FAD+∠ADE＝90°，由此即可求解；
（2）根据题意可证，△EFM∽△FDN，再证△EMF∽△EBG，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
由翻折可知，AF⊥DE，
∴∠BAF+∠FAD＝∠FAD+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∴△ABF∽△DAE；
（2）解：如图2中，过点F作MN∥BC交AB于M，交CD于N，
四边形AMND是矩形，设EM＝x，
∵∠A＝∠EFD＝90°，∠EMF＝∠DNF＝90°，
∴∠EFM+∠DFN＝90°，∠DFN+∠FDN＝90°，
∴△EFM∽△FDN，
∴，
∴FN＝3EM＝3x，FM＝3﹣3x，
在Rt△EFD中，EF＝EA＝1，
x2+（3﹣3x）2＝12，解得x1＝1（舍去），，
∴，
∵FM∥BC，
∴△EMF∽△EBG，
∴，即，
∴．
【点评】本题主要考查矩形，折叠，相似三角形的综合，掌握矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
45．（2023•无为市一模）如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长交AC于点C，AE与BC交于点F．
（1）求证：∠DAC＝∠DEA；
（2）若点E是BD的中点，⊙O的半径为3，BF＝2，求AC的长．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径得到∠DAB+∠DBA＝90°，由AC与⊙O相切于点A得∠DAC+∠DAB＝90°，进而得到∠DAC＝∠DBA，然后由圆周角定理得到∠DEA＝∠DBA，最后得到∠DAC＝∠DEA；
（2）先由点E是弧BD的中点得到∠DAE＝∠BAE，然后由∠CAD＝∠DBA得到∠CAF＝∠CFA，进而得到CA＝CF，然后设CA＝CF＝x，最后用勾股定理列出方程求得x的值，即可得到AC的长．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵AC与⊙O相切于点A，
∴∠DAC+∠DAB＝90°，
∴∠DAC＝∠DBA，
∵∠DEA＝∠DBA，
∴∠DAC＝∠DEA；
（2）解：∵点E是弧BD的中点，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵∠CAD＝∠DBA，∠CAF＝∠CAD+∠DAF，∠CFA＝∠EAB+∠DBA，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴CA＝CF，
设CA＝CF＝x，则BC＝BF+CF＝2+x，
在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，
∴62+x2＝（2+x）2，
解得：x＝8，
∴AC＝8．
【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理，解题的关键是利用同角的余角相等求得∠CAD＝∠DBA．
46．（2023•庐阳区校级一模）已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，连接DA、DB，且DA⊥DB于点D．
（1）求证：DA＝DB；
（2）如图2，点E、F分别是边CD、AC上的点，且BE⊥EF于点E，求的值．
【分析】（1）证明点A，C，B，D四点共圆，即可解决问题；
（2）结合（1）可得△DAB是等腰直角三角形，再证明点F，C，B，E四点共圆，可得∠EFB＝∠BCD＝45°，然后证明△ABF∽△DBE，即可解决问题．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∵DA⊥DB，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴点A，C，B，D四点共圆，
∵∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴DA＝DB；
（2）解：∵DA⊥DB，DA＝DB，
∴△DAB是等腰直角三角形，
∴∠DBA＝45°，＝，
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝∠ACB＝90°，
∴点F，C，B，E四点共圆，
∴∠EFB＝∠BCD＝45°，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴∠EBF＝45°，
∴∠ABF＝45°﹣∠ABE＝∠DBE，
∵点A，C，B，D四点共圆，
∴∠BAF＝∠BDE，
∴△ABF∽△DBE，
∴＝＝．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，四点共圆，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是得到△ABF∽△DBE．
47．（2023•合肥模拟）在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF垂直于BD，垂足为F，
且CF＝DF．
（1）求证：△ACD∽△BCF；
（2）如图2，连接AF，点P、M、N分别为线段AB、AF、DF的中点，连接PM、MN、PN．
①求证：∠PMN＝135°；
②若AD＝2，求△PMN的面积．
【分析】（1）根据两边成比例夹角相等，两三角形相似证明即可；
（2）①如图中，延长PM交AD于H，证明四边形MNDH是平行四边形，推出∠HMN＝∠ADB＝45°，推出∠PMN＝135°；
②如图，延长MN，作PG⊥MN交于点G，由△ACD∽△BCF，得出BF＝2，由PM为△ABF中位线，得出PM＝1，同理得出MN＝，再判断出△PMG为等腰直角三角形，得出PG＝，最后根据三角形面积公式即可求出面积．
【解答】（1）证明：∵△ABC、△CDF都是等腰直角三角形，
∴∠BCF＝45°+∠ECF，∠ACD＝45°+∠ECF，
∴∠ACD＝∠BCF，
∵BC：AC＝CF：CD＝1：，
∴BC：CF＝AC：CD，
∴△ACD∽△BCF；
（2）①证明：∵△ACD∽△BCF，
∴∠ADC＝∠BFC＝90°，
∵∠CDF＝45°，
∴∠ADB＝45°，
如图，作PM延长线，交AD于点H，
∵点P、M、N分别为线段AB、AF、DF的中点，
∴MH∥DN、MN∥DH，
∴四边形MNDH为平行四边形，
∴∠HMN＝∠ADB＝45°，
∴∠PMN＝135°；
②如图，作PG⊥NM，交NM延长线于点G，
∵△ACD∽△BCF，
∴，
∴BF＝＝2，
∵PM为△ABF中位线，
∴PM＝BF＝1，
同理MN＝AD＝，
又∵∠PMN＝135°，
∴∠PMG＝180°﹣135°＝45°，
∴PG＝＝，
∴S△PMN＝•MN•PG＝××＝．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题关键是正确寻找相似三角形解决问题．
九．相似三角形的应用（共2小题）
48．（2023•芜湖模拟）《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（ ）
A．cmB．1cmC．cmD．cm
【分析】据小孔成像原理可知△AOB∽△COD，利用它们的对应边成比例就可以求出CD之长．
【解答】解：如图过O作直线OE⊥AB，交CD于F，
依题意AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴OE＝12，OF＝2，
而AB∥CD可以得△AOB∽△COD，
∵OE，OF分别是它们的高，
∴＝，
∵AB＝6cm，
∴CD＝1cm，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，还有会用相似三角形对应边成比例．
49．（2023•庐阳区一模）如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离h＝（ ）
A．cmB．2cmC．cmD．3cm
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【解答】解：如图：过O作ON⊥CD于N，交AB于M，
∵CD∥AB，
∴OM⊥AB，
∵OC＝OD，
∴CN＝CD＝3cm，
∴ON＝＝＝4（cm），
∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO，
∴＝，
∴＝，
∴OM＝cm，
∴h＝4﹣＝（cm），
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
一十．作图-相似变换（共2小题）
50．（2023•大观区校级二模）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点及线段MN的端点均在格点（网格线的交点）上．
（1）作出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
（2）画出一个格点△EFC，使△EFC∽△ABC（相似比不为1）．
【分析】（1）先作出点A、B、C关于直线MN的对称点，再一次连接即可；
（2）连接点C和A1B1中点F，连接CM，连接MF，△MFC即为△EFC，点E和点M重合．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示：△EFC即为所求．
【点评】本题主要考查了轴对称的作图，以及作相似三角形，解题的关键是熟练掌握轴对称的作图方法，以及相似三角形对应边成比例，对应角相等．
51．（2023•安徽模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）请画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得到的图形△A1B1C1.（点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1）；
（2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比为2．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把边长扩大两倍，作出三角形即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查作图﹣相似变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握相似变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
一十一．位似变换（共2小题）
52．（2023•庐阳区一模）△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A'B'O，则点A′的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，2）或（﹣1，﹣2）
C．（2，1）或（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的，得到△A'B'O，点A的坐标为（2，4），
则点A'的坐标为（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]，即（1，2）或（﹣1，﹣2），
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
53．（2023•杜集区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△A'B'C'与△ABC位似，位似中心为原点O，已知点A（﹣1，﹣1），C（﹣4，﹣1），A'C'＝6，则点C'的坐标为（ ）
A．（2，2）B．（4，2）C．（6，2）D．（8，2）
【分析】根据位似变换的概念得到△A'B'C'∽△ABC，根据题意求出△A'B'C'与△ABC的相似比为2：1，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△A'B'C'与△ABC位似，
∴△A'B'C'∽△ABC，
∵点A（﹣1，﹣1），C（﹣4，﹣1），
∴AC＝3，
∵A'C'＝6，
∴＝，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：1，
∵△A'B'C'与△ABC位似，位似中心为原点O，点C的坐标为（﹣4，﹣1），点C′在第一象限，
∴点C′的坐标为（8，2），
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
一十二．作图-位似变换（共2小题）
54．（2023•利辛县模拟）已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，1），C（1，5）．
（1）以点O为位似中心，在第一象限将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
（2）若点P（x，y）是△ABC内任意一点，点P在△A1B1C1内的对应点为P1，则点P1的坐标为 （2x，2y） ；
（3）请用无刻度直尺将线段AB三等分．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）根据位似的性质可得答案．
（3）取格点M，N，P，Q，连接MP，NQ，分别交AB于点G，H，此时，，即点G，H 将线段AB三等分．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
（2）由题意得，点P1的坐标为 （2x，2y）．
故答案为：（2x，2y）．
（3）如图，点G，H 将线段AB三等分．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
55．（2023•花山区二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移4个单位后得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，平移变换的性质．
一十三．相似形综合题（共5小题）
56．（2023•镜湖区校级二模）如图，为探究一类矩形ABCD的性质，小明在BC边上取一点E，连接DE，经探究发现：当DE平分∠ADC时，将△ABE沿AE折叠至△AFE，点F恰好落在DE上，据此解决下列问题：
（1）求证：△AFD≌△DCE；
（2）如图，延长CF交AE于点G，交AB于点H．
①求证：EF•DF＝GF•CF；
②求GE：GC的值．
【分析】（1）利用矩形的性质和翻折的性质可得AF＝CD，从而利用AAS证明结论；
（2）①利用等腰三角形两个底角相等，通过计算角度，可证明△GEF∽△DCF，由相似三角形的性质得，从而解决问题；
②利用等腰直角三角形的性质表示出DE＝CD，可得EF的长，再利用△EFC∽△GEC，由相似三角形的性质得GE：GC＝EF：CE，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∵ED平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC＝45°，
∴∠DEC＝90°﹣∠EDC＝45°，
∵将△ABE沿AE折叠至△AFE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF，∠AFD＝∠B＝90°，
∴AF＝AB＝DC，
在△AFD与△DCE中，
，
∴△AFD≌△DCE（AAS）；
（2）①证明：∵△AFD≌△DCE，
∴AD＝DE，AF＝DF＝DC＝CE，
∴∠DCF＝∠DFC＝（180°﹣∠EDC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，
由折叠知：△ABE≌△AFE，
∴∠BEA＝∠FEA＝（180°﹣∠DEC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，
即∠GEF＝∠EFG＝∠DCF＝∠DFC，
∴△GEF∽△DCF，
∴，
∴EF•DF＝GF•CF；
②解：在Rt△CED中，∠CDE＝45°，
∴DE＝CD，
∵DF＝DC＝CE，
∴EF＝DE﹣DF＝（﹣1）CD＝（﹣1）CE，
∴，
由①知：∠BEA＝∠DFC＝67.5°，
∴∠EFC＝∠GEC＝112.5°，
∵∠ECF＝∠GCE，
∴△EFC∽△GEC，
∴GE：GC＝EF：EC＝．
【点评】本题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，翻折的性质以及全等三角形的判定与性质，是解题的关键．
57．（2023•花山区二模）点D是△ABC内一点，AD平分∠BAC，延长CD交AB于点E，延长BD交AC于点F．
（1）如图1，若AB＝AC，证明：DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC+∠BAC＝180°，证明：＝；
（3）如图3，若∠BAC＝60°，∠BDC＝120°，DF＝4，＝，求BD的值．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACD，可得∠ABF＝∠ACE，BD＝CD，由“ASA”可证△ABF≌△ACE，可得BF＝CE，可得结论；
（2）通过证明△CDF∽△BDH，可得，即可求解；
（3）通过证明点A，点E，点D，点F四点共圆，可得∠DEF＝∠DFE＝30°，可求DE＝DF＝4，DC＝6，由勾股定理可求CF＝2，由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AB＝AC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠ABF＝∠ACE，BD＝CD，
又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE，
∴△ABF≌△ACE（ASA），
∴BF＝CE，
∴DE＝DF；
（2）证明：如图2，作∠HBD＝∠ACD，交CE的延长线于点H，
∵∠BDC+∠BAC＝180°，
∴∠BAC+∠EDF＝180°，
∴∠AFD+∠AED＝180°，
∵∠AFD+∠DFC＝180°，
∴∠AED＝∠CFD＝∠BEH，
∵∠HBD＝∠ACD，∠CDF＝∠BDH，
∴△CDF∽△BDH，
∴，∠CFD＝∠H，
∴∠H＝∠BEH，
∴BE＝BH，
∴；
（3）解：如图3，连接EF，过点E作EN⊥BF于N，过点F作FH⊥EC于H，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵∠BAC+∠BDC＝180°，
∴∠BAC+∠EDF＝180°，
∴点A，点E，点D，点F四点共圆，
∴∠DFE＝∠DAE＝30°，∠DEF＝∠DAF＝30°，
∴∠DEF＝∠DFE＝30°，
∴DE＝DF＝4，
∵，
∴DF＝6，
∵∠EDB＝∠FDC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠DEN＝∠DFH＝30°，
∴DN＝DH＝2，FH＝EN＝2，
∴CH＝4，
∴CF＝＝＝2，
∵，
∴，
设BD＝6x，则BE＝2x，
∵BE2＝EN2+BN2，
∴28x2＝12+（6x﹣2）2，
解得：x＝1或x＝2，
∴BD＝6或12．
【点评】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
58．（2023•无为市四模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，E为BC上一点，且DE∥AB，过点B作BF∥AD交DE的延长线于点F，连接CF，CF＝BF．
（1）求证：△ADE≌△FCD；
（2）如图2，连接DB交AE于点G，且AG＝DC．
①连接CG，求证：四边形BFCG是菱形；
②若DB∥CF，求的值．
【分析】（1）先证DE＝CD，再证四边形ABFD是平行四边形，则AD＝BF，∠ADE＝∠ABF，然后证∠ABF＝∠DCF，则∠ADE＝∠FCD，由SAS即可得出结论；
（2）①连接CG，先证四边形AGCD是平行四边形，得CG∥AD，CG＝AD，再证四边形BFCG是平行四边形，然后证平行四边形BFCG是菱形，即可得出结论；
②先证△ABE∽△DEC，得，再由AB＝DF，得，进而证△BDE∽△CFE，得，则，然后求出，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠CBA＝∠CED＝∠CBA，
∵∠ABC＝∠DCB，
∴∠DEC＝∠DCB，
∴ED＝DC，
∵BF∥AD，DE∥AB，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴DA＝FB，∠ADE＝∠ABF，
∵CF＝BF，
∴∠FBC＝∠FCB，AD＝CF，
∴∠ABC+∠FBC＝∠DCB+∠FCB，
即∠ABF＝∠DCF，
∴∠ADE＝∠FCD，
在△ADE和△FCD中，
，
∴△ADE≌△FCD（SAS）；
（2）①证明：如图2，连接CG，
由（1）得：△ADE≌△FCD，
∴∠AED＝∠FDC，
∴EA∥DC，
∵GA＝CD，
∴四边形CDAG是平行四边形，
∴AD∥CG，AD＝CG，
∵AD＝BF，AD∥BF，
∴CG∥BF，CG＝BF，
∴四边形BFCG是平行四边形，
∵CF＝BF，
∴平行四边形BFCG是菱形，
∴BC平分∠DBF；
②解：由（1）可知，△ADE≌△FCD，
∴∠AED＝∠FDC，
∵DE∥AB，
∴∠BAE＝∠AED，∠ABE＝∠DEC，
∴∠BAE＝∠FDC，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB＝DF，
∴，
由①可知，四边形BFCG是平行四边形，
∴BD∥FC，
∴△BDE∽△CFE，
∴，
∴，
∵DF＝DE+EF，
∴，
即DE2＝DE•EF+EF2，
两边除以DE2得：，
解得或（舍去），
∴．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
59．（2023•天长市校级二模）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是点D、点E，点F在DA的延长线上，连接BF交CE的延长线于点M，AD＝2CD．
（1）若AE＝2，则BD＝ 3 ；
（2）若BM：MF＝6：7，EM＝1，则AF＝ ．
【分析】（1）证明△ADC≌△CEA（AAS），推出AE＝CD＝2，推出AD＝2CD＝4，设BE＝BD＝x，在Rt△ABD中，则有（x+2）2＝x2+42，求出x即可解决问题；
（2）过F作FH⊥BA交BA的延长线于H，首先利用AAS证明△ABD≌△CBE，得BD＝BE，设AD＝2a，则DC＝a，则BD＝BE＝a，由△BEM∽△BHF得FH，再由△AFH∽△ABD，即可解决问题．
【解答】（1）解：∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（AAS）；
∴BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，
∴∠DAC＝∠ACE，
∵∠AEC＝∠ADC＝90°，AC＝CA，
∴△ADC≌△CEA（AAS），
∴AE＝CD＝2，
∴AD＝2CD＝4，
设BE＝BD＝x，
在Rt△ABD中，则有（x+2）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴BD＝3；
故答案为：3；
（2）解：过F作FH⊥BA交BA的延长线于H，
由（1）知：△ADC≌△CEA（AAS），
∴AE＝CD，
∵AD⊥BC，AD＝2CD，
设AD＝2a，则DC＝a，
设BE＝BD＝x，
在Rt△ABD中，则有（x+a）2＝x2+（2a）2，
∴x＝a，
∴BD＝a，
∵△ABD≌△CBE（AAS），
∴BD＝BE＝a，
∵CE⊥AB，FH⊥BA，
∴EM∥FH，
∴△BEM∽△BHF，
∴＝，
∵BM：MF＝6：7，
∴BM：BF＝6：13，
∵EM＝1，
∴＝，
∴FH＝，
∵∠BAD＝∠FAH，∠ADB＝∠FHA＝90°，
∴△AFH∽△ABD，
∴＝，
∵AB＝AE+BE＝a+a＝a，BD＝a，
∴＝，
∴AF＝．
故答案为：．
【点评】本题属于相似三角形综合题，属于中考填空题的压轴题．考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
60．（2023•濉溪县模拟）如图，△ABC中，D，E两点分别在边AB，AC上，点F在DE上，连接BF，CD，CF，已知EC＝ED，FB＝FC，∠CED＝∠CFB．
（1）求证：∠ECF＝∠BFD；
（2）连接AF，若AB＝CD，AF＝DF，求证：AF＝AE；
（3）在（2）的条件下，若DF＝kEF，求的值（用含k的代数式来表示）．
【分析】（1）根据三角形外角的性质可得∠DFC＝∠FEC+∠ECF，再结合∠DFC＝∠DFB+∠BFC可得∠FEC+∠ECF＝∠BFD+∠BFC，最后结合∠FEC＝∠BFC即可证明结论；
（2）先证△ABF≌△DCF（SSS）可得∠AFB＝∠DFC，进而证得∠AFD＝∠FEC，即∠AFE＝∠AEF，然后根据等边对等角即可证明结论；
（3）如图：过点F作FG∥AC交CD于点G，则∠FGD＝∠ECD＝∠EDC，∠CFG＝∠ECF＝∠DFB，即DF＝GF；再证△DBF≌△GCF（SAS）可得DB＝GC，进而得到AD＝DG；再根据平行线等分线段定理可得，最后结合进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵∠DFC是△ECF的外角，
∴∠DFC＝∠FEC+∠ECF，
∵∠DFC＝∠DFB+∠BFC，
∴∠FEC+∠ECF＝∠BFD+∠BFC，
∵∠FEC＝∠BFC，
∴∠ECF＝∠BFD．
（2）证明：在△ABF和△DCF中，
AB＝CD，AF＝DF，FB＝FC，
∴△ABF≌△DCF（SSS），
∴∠AFB＝∠DFC，
∴∠AFD＝∠AFB﹣∠BFD，∠FEC＝∠DFC﹣∠ECF，
由（1）知∠ECF＝∠BFD，
∴∠AFD＝∠FEC，
∴∠AFE＝180°﹣∠AFD＝180°﹣∠FEC＝∠AEF，
∴AF＝AE．
（3）解：如图：过点F作FG∥AC交CD于点G，
∴∠FGD＝∠ECD＝∠EDC，∠CFG＝∠ECF＝∠DFB，
∴DF＝GF，
又∵FB＝FC，
∴△DBF≌△GCF（SAS），
∴DB＝GC，
∴AB﹣BD＝CD﹣CG，即AD＝DG，
∵FG∥AC，
∴，
∵，
∴．
【点评】本题主要考查了三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用所学知识是解答本题的关键．