5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题18解直角三角形(真题4个考点模拟9个考点)特训（学生版+解析）

这是一份5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题18解直角三角形(真题4个考点模拟9个考点)特训（学生版+解析），共92页。试卷主要包含了，求点C到弦AB所在直线的距离，计算，0﹣2tan45°+|﹣2|+等内容，欢迎下载使用。
一．解直角三角形（共1小题）
1．（2020•安徽）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，csA＝，则BD的长度为（ ）
A．B．C．D．4
二．解直角三角形的应用（共2小题）
2．（2021•安徽）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC＝6cm．求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60．
3．（2019•安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．
（参考数据：sin41.3°≈0.66，cs41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
4．（2023•安徽）如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m，R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（精确到0.1m）．
参考数据：sin24.2°≈0.41，cs24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60，cs36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．
5．（2020•安徽）如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．
（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）
四．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
6．（2022•安徽）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．
参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．
一．锐角三角函数的定义（共3小题）
1．（2023•合肥一模）已知△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且c＝3b，则csA＝（ ）
A．B．C．D．
2．（2023•贵池区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为AC上任意一点，F为AB的中点，连接BD，E在BD上且∠BEC＝90°，连结EF，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
3．（2023•合肥一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点且AE：EB＝4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（ ）
A．B．C．D．
二．锐角三角函数的增减性（共2小题）
4．（2023•安徽模拟）比较大小：sin81° tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．
5．（2023•安徽一模）解不等式组：．
三．同角三角函数的关系（共1小题）
6．（2023•怀宁县一模）若∠A是锐角，且tanA＝2sinA，则∠A＝ ．
四．特殊角的三角函数值（共4小题）
7．（2023•亳州模拟）计算2sin30°的值（ ）
A．3B．1C．D．
8．（2023•来安县二模）计算：＝ ．
9．（2023•池州模拟）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．
10．（2023•庐阳区一模）计算：6tan230°﹣sin60°+2tan45°．
五．解直角三角形（共11小题）
11．（2023•来安县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D和点E分别是BC和AB上的点，已知DE⊥AB，，AC＝8，CD＝2，则DE的长为（ ）
A．3.2B．4C．4.5D．4.8
12．（2023•安徽模拟）如图，在Rt△ABC中，CE、CD分别为斜边AB上的中线、高线，若AB＝10，sinB＝，则下列结论错误的是（ ）
A．∠B＝∠BCEB．S△CDE＝
C．AD：DE：BE＝18：7：25D．BC2﹣AC2≠2DE⋅AB
13．（2023•亳州模拟）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝4，tanC＝2，则边AB的长为（ ）
A．2B．4C．3D．6
14．（2023•庐阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（3，1），则sinα的值为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023•蚌埠二模）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝120°，∠ABC＝70°，BC＝80，CD＝100，求AB的长．（结果取整数，参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，）
16．（2023•金寨县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点N，连接BD，若CD＝6，AD＝10，则tanA的值为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023•肥东县模拟）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠C＝90°，E为边BC上的点，△ADE为等边三角形，BE＝8，CE＝2，则tan∠AEB的值为（ ）
A．B．C．D．
18．（2023•亳州模拟）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则csC＝ ．
19．（2023•六安三模）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AC的中点，AC＝8，，则sin∠DBA等于（ ）
A．B．C．D．
20．（2023•东至县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：OB＝1：3，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P．若P（1，1），则tan∠ACO的值是（ ）
A．B．3C．D．2
21．（2023•瑶海区一模）在△ABC中，AB＝4，sin∠BAC＝，点D是点B关于AC的对称点，连接AD，CD，E，F是AD，BC上两点，作EM⊥BD，FN⊥BD，垂足分别为M，N，若AD∥BC，AE＝BF，则EM+FN的值是（ ）
A．B．5C．2D．10
六．解直角三角形的应用（共12小题）
22．（2023•镜湖区校级二模）如图1是一个简易手机支架，由水平底板DE、侧支撑杆BD和手机托盘长AC组成，侧面示意图如图2所示．已知手机托盘长AC＝10cm，侧支撑杆BD＝10cm，∠CBD＝75°，∠BDE＝60°，其中点A为手机托盘最高点，支撑点B是AC的中点，手机托盘AC可绕点B转动，侧支撑杆BD可绕点D转动．
（1）如图2，求手机托盘最高点A离水平底板DE的高度h（精确到0.1cm）．
（2）如图3，当手机托盘AC绕点B逆时针旋转15°后，再将BD绕点D顺时针旋转α，使点C落在水平底板DE上，求α（精确到0.1°）．（参考数据：tan26.6°≈0.5，≈1.41，≈1.73）
23．（2023•庐阳区校级三模）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中 AC＝60km，∠CAB＝30°，∠CBA＝50°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路
（Ⅰ）求改直的公路AB的长；
（Ⅱ）问公路改直后比原来缩短了多少km？
（参考数据：，sin50°≈0.77．cs50°≈0.66，tan50°≈1.19）（结果保留小数点后一位）
24．（2023•庐阳区校级模拟）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座ABCD的高BC为30cm，上部显示屏EF的长度为30cm，侧面支架EC的长度为100cm，∠ECD＝80°，∠FEC＝130°，求该机器人的最高点F距地面AB的高度．（参考数据sin80°≈0.98，cs80°＝0.17，tan80°≈5.67）
25．（2023•金安区一模）如图，某旅游景区开发一个三角形养殖池塘，记为△ABC，为方便游客垂钓，修建了栈道AD，已知∠C＝30°，∠ADB＝70°，AC＝200米，求栈道AD的长．
（参考数据：≈1.41，sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，结果取整数）
26．（2023•庐阳区校级模拟）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
27．（2023•繁昌县校级模拟）十一国庆节期间，小明（A）与小亮（B）两人来到广场，一前一后在水平地面AD上放风筝，结果两人的风筝在空中C处纠缠在一起．如图，小明和小亮测得∠CAD＝30°，∠ACB＝15°，且小明和小亮之间的距离AB为11.7m，求此时C处的风筝距离地面的高度．（结果保留一位小数．参考数据：）
28．（2023•阜阳三模）消防车是灭火救灾的主要装备，如图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图．当云梯OD升起时，OD与底盘OC的夹角为α，液压杆AB与底盘OC的夹角为β．已知液压杆AB＝4m，当α＝37°，β＝53°时，求AO的长．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan37°≈0.75）
29．（2023•凤台县校级三模）某校组织一个数学研究小组测量校园内的一块四边形空地，其平面图如图所示，测得BC＝CD，AD＝405米，∠A＝90°，∠B＝30°，∠D＝72°．求AB的长．（结果保留根号，参考数据：sin18°≈0.31，cs18°≈0.95，tan18°≈0.32）
30．（2023•花山区二模）如图，校园内有块三角形土地ABC，其中AB＝AC，∠C＝53°，学校准备向边AB的外围拓展得到三角形地块ACD，要求点D、B、C在同一条直线．经测量BD＝39m，∠D＝30°，求扩充部分的地块ABD的面积．（结果精确到1m2，参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，）
31．（2023•蒙城县三模）蒙城涡河五桥横跨涡河南北，为蒙改城标志建筑之一，图1是大桥的实物图，图2是建造大桥设计平面图一部分，平面图纸有桥护栏BG＝1.5米，拉索AB与护栏的夹角是26°，拉索ED与护栏的夹角是60°，两拉索底端距离BD为168m，两拉索顶端的距离AE＝48m，请求出立柱AH的长（tan26°≈0.5，sin26°≈0.4，≈1.7）．
32．（2023•庐阳区校级一模）由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1）
33．（2023•雨山区校级二模）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）
七．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共9小题）
34．（2023•贵池区二模）池州市创建文明城市，在市区各路口设立遮阳棚的立柱AB与地面PQ夹角∠PBA＝64°，棚顶CD与AB夹角∠CAB＝142°，AB＝100cm，点C到地面的距离为156cm，求AC的长度．（结果保留整数，参考数据；sin64°≈0.90，cs64°≈0.44，tan64°≈2.05）
35．（2023•阜阳模拟）数学测绘社团欲测算平台DB上旗杆的拉绳AC的长．从旗杆AB的顶端A拉直绳子，绳子末端正好与斜坡CD的底部C重合，此时拉绳AC与水平线CN所成的夹角∠ACN＝53°，已知斜坡CD的高DN＝4米，坡比为1：2.5（即DN：CN＝1：2.5），DB＝6米，求拉绳AC的长．（结果保留1位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
36．（2023•金安区校级模拟）伴随着北京冬奥会的成功举办，很多学校掀起了学习冰雪项目的热潮．如图，滑雪轨道由AB、BC两部分组成，AB为260m、BC为200m，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB的坡度为1：2.4，BC与水平面的夹角为42°，则他下降的高度为多少米？（精确到1米，参考数据：sin42°≈0.669，cs42°≈0.743，tan42°≈0.900）．
37．（2023•蚌埠一模）某校组织学生参与劳动实践活动，休息时小明发现，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的树AB（如图），当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，于是就提出一个数学问题：如何求树AB的高？若α＝18.34°，m＝10，请你解决这个问题．（参考数据：sin18.34°≈0.31，cs18.34°≈0.95）
38．（2023•安徽模拟）如图是一个山坡的纵向剖面图，坡面DE的延长线交地面AC于点B，点E恰好在BD的中点处，∠CBD＝60°，坡面AE的坡角为45°，山坡顶点D与水平线AC的距离，即CD的长为1000m．
（1）求BE的长度；
（2）求AB的长度．（结果保留根号）
39．（2023•六安三模）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足60°≤α≤75°．现有一架5m长的梯子．
（1）当梯子底端距离墙面2m时，人能否安全地使用这架梯子？
（2）若人站在梯子上，伸出手臂，最高可以够到梯子顶端上方25cm处的物体，使用这架梯子能安全够到墙上距离地面5m处的物体吗？（参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin23.6°≈0.40，cs66.4°≈0.40，tan 21.8°≈0.40．）
40．（2023•合肥三模）如图，古塔位于平台BC之上，为了测量古塔的高，几位同学在阳光明媚时去测量，他们发现此时古塔AB的影子一部分落在平台上，影长BC为6米，落在斜坡上的影长CD为4米，AB⊥BC，同一时刻，光线与古塔的夹角∠A为37°，斜坡CE的坡角为30°，求古塔的高度AB． （参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73，结果精确到0.1米）
41．（2023•长丰县二模）安徽浮山是中国第一文山，爬山是居民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．如图，某个周末小明同学从浮山山底沿斜坡AB爬了260米到达B处，紧接着又向上爬了坡角为45°的山坡90米，最后到达山顶P处，若AB的坡度为1：2.4，请你计算浮山的高度PC（结果精确到0.1米，参考数据：）．
42．（2023•六安模拟）空中缆车是旅游时上、下山和进行空中参观的交通工具．小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C．从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡，长度为1200米；从B到C的缆车路线可看作是直线，其与水平线的夹角为45°，且缆车从B到C的平均速度为6米/秒，运行时间为10分钟，求山顶C到AD的距离（结果保留根号）．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共11小题）
43．（2023•泗县二模）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．随着春季的来临，放风筝已成为孩子们的最爱．周末小冬和爸爸一起去公园放风筝，如图，当小冬站在G处时，风筝在空中的位置为点B，仰角为53°，小冬站在G处继续放线，当再放2米长的线时，风筝飞到点C处，此时点B、C离地面MN的高度恰好相等，C点的仰角为44°，若小冬的眼睛与地面MN的距离AG为1.6米，请计算风筝离地面MN的高度．（结果保留整数，参考数据：sin44°≈0.7，sin53°≈0.8，cs53°≈0.6）
44．（2023•霍邱县一模）如图，小陈在数学实践活动中，利用所学知识对他所在学校实验楼AB的高度进行测量，从小陈的教室走廊C处测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝18m，求实验楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，cs33°≈0.84，tan33°≈0.65）．
45．（2023•舒城县模拟）如图，为测量某建筑物的高度，某人在点F处测得建筑物顶端C处的仰角为37°，往前走10米到达点G处，测得建筑物顶端C处的仰角为45°，已知测量工具距离地面的高度AF为1.7米，求这个建筑物的高度DE．（精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，）
46．（2023•庐阳区校级三模）风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视．小燕和小慧五一假期出外门旅游，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，她们想知道风力发电机塔架的高度．如图，小燕站在C点测得C点与塔底D点的距离为25米，小慧站在斜坡BC的坡顶B处，测得轮毂A点的仰角α＝38°，已知斜坡BC的坡度i＝：1，坡面BC长30米，请根据测量结果帮她们计算风力发电机塔架AD的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin38°≈0.62，cs38°≈0.79，tan38°≈0.78，≈1.41，≈1.73）
47．（2023•濉溪县模拟）某运载火箭从发射点O处发射，当火箭到达A处时，在地面雷达站C处测得点A的仰角为37°，在地面雷达站B处测得点A的仰角为45°，已知AO＝10km，O，B，C三点在同一条直线上，求B，C两个雷达站之间的距离（sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，结果精确到0.01km）．
48．（2023•无为市四模）如图，数学兴趣小组成员使用遥控无人机在A处对大桥BC进行航拍，并观测B，C两点的俯角分别为53°和45°，已知大桥BC的长度为75米，试求此时无人机相对大桥的高度．（参考数据：）
49．（2023•蜀山区模拟）如图，某大楼上树立一块高为3米的广告牌CD．数学活动课上，立新老师带领小燕和小娟同学测量楼DH的高．测角仪支架高AE＝BF＝1.2米，小燕在E处测得广告牌的顶点C的仰角为22°，小娟在F处测得广告牌的底部点D的仰角为45°，AB＝45米．请你根据两位同学测得的数据，求出楼DH的高．（结果取整数，参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
50．（2023•肥东县模拟）如图，为了测量小山坡坡顶上宝塔AC的高，数学兴趣小组在坡底B处测得塔顶A的仰角为45°，测得塔底C的仰角为18°，且坡底B到塔底C的距离BC为80米，求塔高AC．（结果保留1位小数；参考数据：≈1.40，sin27≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51）
51．（2023•霍邱县二模）如图，有一宽为AB米的旗子，小明在点D处测得点B的仰角为53°，随后小明沿坡度为i＝1：的斜坡DE走到点E处，又测得点A的仰角为45°，已知DE＝2米，DC＝6米，求旗子AB的长度（测角器的高度忽略不计，结果保留整数．参考数据：，，sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
52．（2023•明光市二模）九年级学生王强在春节期间来到海边游玩．他发现有一座灯塔屹立在海岛上．喜欢探究的他想知道灯塔的高度，但身边没有测量仪器．于是他查阅资料，得知这座海岛的海拔约256m，他继续运用业余时间接触的目测知识，在海滩（海拔看成0m）上C处目测海岛顶部B的仰角约28°，灯塔顶部A的仰角约44°，据此估计出了灯塔的高度．请你根据王强同学得到的数据求出灯塔的高度AB．（王强身高忽略不计，计算结果精确到1m，参考数据：tan28°≈0.532，tan44°≈0.966）．
53．（2023•定远县校级一模）如图，小明在M处用高1米（DM＝1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高．
九．解直角三角形的应用-方向角问题（共7小题）
54．（2023•天长市校级二模）如图，三角形花园△AB​C紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东45°方向，点D处有直饮水，小红从A出发经过点E到达点D．求小红所走的路程．（结果保留整数）（参考数据：，）
55．（2023•利辛县模拟）如图，某巡逻艇在巡逻任务中沿正北方向航行，行至点A处时接到位于其正前方35海里的点B处一艘渔船发出的求救信号，渔船发出信号后继续沿东南方向缓慢航行，巡逻艇接到信号后立刻调转方向以每小时40海里的速度沿北偏东37°方向前往救援，行至点C处与渔船汇合，求巡逻艇从接到求救信号到与渔船汇合所需要的时间（结果精确到1分钟．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．​
56．（2023•安徽模拟）在一场足球比赛中，进攻方甲队三名球员A、C、D，与乙队的防守球员B的位置如图所示．此时足球在球员A脚下，他想将球绕过对手B传至队友D处，再由D经线路DC回传给队友C．已知对手B在A的北偏东60°方向，AB＝12米．球员C在对手B的正东方向，BC＝3米．球员D在队友C的正北方向，且在队友A的北偏东37°方向．（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈，≈1.41，≈1.73）
（1）求传球线路CD的长（结果精确到1米）；
（2）根据对手B的跑动和拦截范围估计，对手B可以破坏掉在B点5米范围内的球．球员D经线路DC传球给队友C的同时，队友C沿CD方向去接球，已知球速为10m/s，球员C的平均速度为8m/s．计算说明球员C是否能避开防守顺利接到球？
57．（2023•合肥三模）如图，海岸线AB是一条直线，某渔船从海岸线AB上一点C出发沿北偏西37°方向行驶100km，到达D处作业，然后再沿北偏西53°方向行驶120km，到达E处作业，求此时渔船的位置E到海岸线AB的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
58．（2023•杜集区校级模拟）某市开展一项全民健身跑步运动，线路需顺次经过A，B，C，D四地．如图，A，B，C三地在同一条直线上，D地在A地北偏东30°的方向上，在C地北偏西45°的方向上，C地在A地北偏东75°的方向上，且CD＝10km，请问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少．（参考数据：）
59．（2023•包河区三模）数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处测得河的北岸点B在其北偏东13°方向，然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东53°方向，求河宽．（结果精确到0.1，参考数据sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin77°≈0.97，cs77°≈0.22，tan77°≈4.33）
60．（2023•瑶海区三模）如图，某军港有一雷达站P，军舰M停泊在雷达站P的南偏东60°方向20海里处，另一艘军舰N位于军舰M的正西方向，与雷达站P相距10海里．
求：（1）军舰N在雷达站P的什么方向？
（2）两军舰M、N的距离．（结果保留根号）
专题18 解直角三角形（真题4个考点模拟9个考点）
一．解直角三角形（共1小题）
1．（2020•安徽）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，csA＝，则BD的长度为（ ）
A．B．C．D．4
【分析】在△ABC中，由锐角三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由锐角三角函数求得BD．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，csA＝，
∴AB＝，
∴，
∵∠DBC＝∠A．
∴cs∠DBC＝cs∠A＝，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．
二．解直角三角形的应用（共2小题）
2．（2021•安徽）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC＝6cm．求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60．
【分析】由四边形AEFD为矩形，可得AD∥EF，则∠BAD＝∠EBA，又AB＝10cm，结合三角函数值可求出AE与BE的长度，又∠ABC是90°，在Rt△BCF中，结合三角函数值可求出BF，CF的长度，由零件的截面面积＝矩形AEFD的面积﹣△ABE的面积﹣△BCF的面积，即可得出结论．
【解答】解：法一、如图，
∵四边形AEFD为矩形，∠BAD＝53°，
∴AD∥EF，∠E＝∠F＝90°，
∴∠BAD＝∠EBA＝53°，
在Rt△ABE中，∠E＝90°，AB＝10cm，∠EBA＝53°，
∴sin∠EBA＝≈0.80，cs∠EBA＝≈0.60，
∴AE＝8cm，BE＝6cm，
∵∠ABC＝90°，
∴∠FBC＝90°﹣∠EBA＝37°，
∴∠BCF＝90°﹣∠FBC＝53°，
在Rt△BCF中，∠F＝90°，BC＝6cm，
∴sin∠BCF＝≈0.80，cs∠BCF＝≈0.60，
∴BF＝4.8cm，FC＝3.6cm，
∴EF＝6+4.8＝10.8cm，
∴S四边形EFDA＝AE•EF＝8×10.8＝86.4（cm2），
S△ABE＝＝×8×6＝24（cm2），
S△BCF＝•BF•CF＝×4.8×3.6＝8.64（cm2），
∴截面的面积＝S四边形EFDA﹣S△ABE﹣S△BCF＝86.4﹣24﹣8.64＝53.76（cm2）．
法二、如图，延长AB交DC的延长线于点M，
∴∠BCM＝∠A＝53°，
∴cs53°＝≈0.6，
∴CM＝10，
∴BM＝8，
∴AM＝AB+BM＝18，
∵AD＝AM•sinA＝14.4，
DM＝AM•csA＝10.8，
∴截面的面积＝S△ADM﹣S△BCM＝＝AD•DM﹣BC•BM＝53.76（cm2）．
【点评】本题主要考查解直角三角形，题目本身不难，但是计算比较复杂，清楚了解每一步如何计算是解题基础．
3．（2019•安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．
（参考数据：sin41.3°≈0.66，cs41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
【分析】连接CO并延长，与AB交于点D，由CD与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出OA，进而求出OD，由CO+OD求出CD的长即可．
【解答】解：连接CO并延长，与AB交于点D，
∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝3（米），
在Rt△AOD中，∠OAD＝41.3°，
∴cs41.3°＝，即OA＝＝＝4（米），
tan41.3°＝，即OD＝AD•tan41.3°＝3×0.88＝2.64（米），
则CD＝CO+OD＝4+2.64＝6.64（米）．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
4．（2023•安徽）如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m，R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（精确到0.1m）．
参考数据：sin24.2°≈0.41，cs24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60，cs36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．
【分析】在不同的直角三角形中，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：如图，由题意可知，∠ORB＝36.9°，∠ORA＝24.2°，
在Rt△AOR中，AR＝40m，∠ORA＝24.2°，
∴OA＝sin∠ORA×AR
＝sin24.2°×40
≈16.4（m），
OR＝cs24.2°×40
≈36.4（m），
在Rt△BOR中，
OB＝tan36.9°×36.4≈27.3（m），
∴AB＝OB﹣OA
＝27.3﹣16.4
＝10.9（m），
答：无人机上升高度AB约为10.9m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
5．（2020•安徽）如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．
（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）
【分析】根据三角函数的定义和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：由题意，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴tan42.0°＝≈0.9，
∴AD≈0.9BD，
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，
∴tan36.9°＝≈0.75，
∴CD≈0.75BD，
∵AC＝AD﹣CD，
∴15＝0.15BD，
∴BD＝100（米），
∴CD＝0.75BD＝75（米），
答：山高CD为75米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，注意方程思想与数形结合思想的应用．
四．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
6．（2022•安徽）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．
参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．
【分析】由三角形内角和定理证得△CBD和△ABD是直角三角形，解直角三角形即可求出AB．
【解答】解：∵CE∥AD，
∴∠A＝∠ECA＝37°，
∴∠CBD＝∠A+∠ADB＝37°+53°＝90°，
∴∠ABD＝90°，
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°﹣53°＝37°，CD＝90米，cs∠BDC＝，
∴BD＝CD•cs37°≈90×0.80＝72（米），
在Rt△ABD中，∠A＝37°，BD＝72米，tanA＝，
∴AB＝≈＝96（米）．
答：A，B两点间的距离约96米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，证得△CBD和△ABD是直角三角形是解决问题的关键．
一．锐角三角函数的定义（共3小题）
1．（2023•合肥一模）已知△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且c＝3b，则csA＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知条件可知csA＝，又知AC＝b，AB＝c＝3b，根据这些条件直接求解即可．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠C＝90°，c＝3b，
∴csA＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，牢记定义是关键．
2．（2023•贵池区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为AC上任意一点，F为AB的中点，连接BD，E在BD上且∠BEC＝90°，连结EF，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【分析】根据锐角三角函数得到，再利用中位线定理得到，最后根据E、F、Q三点共线的时，EF的值最小即可解答．
【解答】解：取BC的中点Q，连接DQ，FQ，
∵F为AB的中点，
∴，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，
∴，
∴，
∵∠BEC＝90°，
∴，
当E、F、Q三点共线的时，EF的值最小，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
3．（2023•合肥一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点且AE：EB＝4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC＝x，则BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．
【解答】解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BC，
∴
∵AE：EB＝4：1，
∴＝5，
∴＝，
设AB＝2x，则BC＝x，AC＝x．
∴在Rt△CFB中有CF＝x，BC＝x．
则tan∠CFB＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
二．锐角三角函数的增减性（共2小题）
4．（2023•安徽模拟）比较大小：sin81° ＜ tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．
【分析】根据sin81°＜1，tan47°＞1即可求解．
【解答】解：∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，
∴sin81°＜1＜tan47°，
∴sin81°＜tan47°．
故答案为＜．
【点评】本题考查了锐角三角函数值的增减性：当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
也考查了不等式的传递性．
5．（2023•安徽一模）解不等式组：．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：解不等式cs30°≥，得：x≤+1，
解不等式﹣＜1，得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤+1．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组和特殊角的三角函数值，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
三．同角三角函数的关系（共1小题）
6．（2023•怀宁县一模）若∠A是锐角，且tanA＝2sinA，则∠A＝ 60° ．
【分析】根据tanA＝和tanA＝2sinA得出＝2sinA，求出csA＝，再根据特殊角的三角函数值得出答案即可．
【解答】解：∵tanA＝，
又∵∠A是锐角，tanA＝2sinA，
∴＝2sinA，
∴csA＝，
∴∠A＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系和特殊角的三角函数值，能熟记tanA＝是解此题的关键．
四．特殊角的三角函数值（共4小题）
7．（2023•亳州模拟）计算2sin30°的值（ ）
A．3B．1C．D．
【分析】根据特殊角的正弦值解决此题．
【解答】解：2sin30°＝2×＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查特殊角的正弦值，熟练掌握特殊角的正弦值是解决本题的关键．
8．（2023•来安县二模）计算：＝ ﹣1 ．
【分析】根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可．
【解答】﹣解：．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂，准确计算．
9．（2023•池州模拟）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3
＝1﹣2+2+3
＝4．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根，正确化简各数是解题关键．
10．（2023•庐阳区一模）计算：6tan230°﹣sin60°+2tan45°．
【分析】tan30°＝，sin60°＝，tan45°＝1，代入后运算即可．
【解答】解：原式＝6×﹣×+2×1＝2﹣+2＝．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值．
五．解直角三角形（共11小题）
11．（2023•来安县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D和点E分别是BC和AB上的点，已知DE⊥AB，，AC＝8，CD＝2，则DE的长为（ ）
A．3.2B．4C．4.5D．4.8
【分析】先在Rt△ABC中根据正弦的定义和勾股定理可得AB＝10、BC＝6，进而得到BD＝4，最后根据DE⊥AB运用正弦的定义即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，
∴，即，
解得AB＝10，
∴，
∵CD＝2，
∴BD＝BC﹣CD＝4，
∵DE⊥AB，
∴，即，
解得DE＝3.2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦的定义、勾股定理等知识点，灵活运用正弦的定义成为解答本题的关键．
12．（2023•安徽模拟）如图，在Rt△ABC中，CE、CD分别为斜边AB上的中线、高线，若AB＝10，sinB＝，则下列结论错误的是（ ）
A．∠B＝∠BCEB．S△CDE＝
C．AD：DE：BE＝18：7：25D．BC2﹣AC2≠2DE⋅AB
【分析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得CE＝BE，根据等边对等角即可判断A；利用锐角三角函数和勾股定理算出AC＝6，BC＝8，再根据等面积法求出CD＝，在Rt△CED中，根据勾股定理求出DE＝，利用三角形面积公式计算即可判断B；根据AD＝AE﹣DE算出AD＝，以此可判断C选项；将线段的长分别代入BC2﹣AC2，2DE•AB中计算即可判断D．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CE为斜边AB上的中线，AB＝10，
∴CE＝BE＝AE＝＝5，
∴∠B＝∠BCE，故A选择正确，不符合题意；
∵CD为斜边AB上的高线，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵在Rt△ABC中，sinB＝，
∴sinB＝，即，
∴AC＝6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得＝8，
∵，
∴AC•BC＝AB•CD，即6×8＝10•CD，
∴CD＝，
在Rt△CED中，∠CDE＝90°，由勾股定理得＝＝，
∴＝＝，故B选项正确，不符合题意；
∵AE＝BE＝5，DE＝，
∴AD＝AE﹣DE＝5﹣＝，
∴AD：DE：BE＝：：5＝18：7：25，故C选项正确，不符合题意；
∵BC＝8，AC＝6，DE＝，AB＝10，
∴BC2﹣AC2＝82﹣62＝28，
2DE•AB＝＝28，
∴BC2﹣AC2＝2DE•AB，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
13．（2023•亳州模拟）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝4，tanC＝2，则边AB的长为（ ）
A．2B．4C．3D．6
【分析】利用题目信息得到AD的长度，然后根据AD和BD的长度判断出△ABD的形状，然后根据特殊直角三角形的三边关系得到AB的长度．
【解答】解：由题意可知，
tanC＝＝2，
∵CD＝2，
∴AD＝4，
∴AD＝BD＝4，
∵AD⊥BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD＝＝4．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形与三角形的高，能够充分利用含有45°角的直角三角形的三边关系是解答本题的关键．
14．（2023•庐阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（3，1），则sinα的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点A作AB⊥x轴，根据点A的坐标得到OA，再根据正弦的定义可得答案．
【解答】解：过点A作AB⊥x轴，
∵点A坐标为（3，1），
∴AB＝1，OB＝3，OA＝＝，
∴sinα＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，由勾股定理得到OA的长度是解题关键．
15．（2023•蚌埠二模）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝120°，∠ABC＝70°，BC＝80，CD＝100，求AB的长．（结果取整数，参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，）
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥CE于点F，利用垂直的定义得到两个角为直角，再由∠DAB为直角，利用三个角为直角的四边形是矩形得到四边形AEFD为矩形，可得出矩形的内角∠ADF为直角，AE＝DF，由∠ADC﹣∠ADF求出∠CDF的度数，在Rt△CDF中，利用余弦函数定义求出DF的长，即为AE的长，在Rt△CEB中，利用正弦函数定义求出EB的长，由AE+EB求出AB的长即可．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥CE于点F，
∴∠AEF＝∠DEE＝90°，
又∵∠DAB＝90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴∠ADF＝90°，AE＝DF，
∵∠ADC＝120°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝30°，
在Rt△CDF中，cs30°＝，CD＝100，
∴DF＝CD•cs30°＝100×＝50，
∴AE＝DF＝50≈86.6，
∵∠ABC＝70°，CE⊥AB，
∴∠BEE＝90°﹣70°＝20°，
在Rt△CEB中，BC＝80，sin20°＝，sin20°≈0.34，
∴BE＝BC•sin20°≈27.2，
则AB＝AE+EB≈114．
【点评】此题考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的性质与判定，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
16．（2023•金寨县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点N，连接BD，若CD＝6，AD＝10，则tanA的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据垂直平分线的性质得出BD＝AD，再利用勾股定理求出BC的长，再利用正切的定义即可求解．
【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点N，
∴BD＝AD＝10，
∵∠C＝90°，CD＝6，
∴BC＝＝＝8，AC＝AD+CD＝10+6＝16，
∴tanA＝＝＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出BD＝AD＝10，进而利用勾股定理求出BC的长是解决问题的关键．
17．（2023•肥东县模拟）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠C＝90°，E为边BC上的点，△ADE为等边三角形，BE＝8，CE＝2，则tan∠AEB的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】作EF⊥AB于点F，AH⊥BE于点H．解直角△BEF，得出BF＝BE＝4，证明△AEF≌△EDC，得出AF＝EC＝2，再求出AH＝，HE＝5，然后利用正切函数定义即可求解．
【解答】解：如图，作EF⊥AB于点F，AH⊥BE于点H．
∵∠B＝60°，BE＝8，
∴∠BEF＝90°﹣∠B＝30°，
∴BF＝BE＝4．
∵△ADE为等边三角形，
∴∠AED＝60°，AE＝DE．
∵∠BAE+∠B+∠AEB＝180°，∠DEC+∠AED+∠AEB＝180°，
∴∠BAE＝∠DEC．
在△AEF与△EDC中，
，
∴△AEF≌△EDC（AAS），
∴AF＝EC＝2，
∴AB＝AF+BF＝2+4＝6，
∵∠AHB＝90°，∠BAH＝90°﹣∠B＝30°，
∴BH＝AB＝3，AH＝BH＝，
∴HE＝BE﹣BH＝8﹣3＝5，
∴．
故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义等知识．准确作出辅助线，构造全等三角形以及直角三角形是解题的关键．
18．（2023•亳州模拟）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则csC＝ ．
【分析】作△ABC的高AH．利用勾股定理求出AC，可得结论．
【解答】解：如图，作△ABC的高AH，
∵∠H＝90°，AH＝2，CH＝4，
∴AC＝＝，
∴csC＝．
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
19．（2023•六安三模）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AC的中点，AC＝8，，则sin∠DBA等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】过D作DE⊥AB于E，由锐角的正切求出BC的长，由勾股定理求出DB长，由∠A的正切，勾股定理求出DE长，即可求解．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD＝AC＝8＝4，
，tanA＝＝，AC＝8，
∴BC＝4，
∵∠C＝90°，
∴BD2＝CD2+BC2＝42+42＝32，
∴BD＝4，
∵tanA＝＝，
∴令DE＝x，AE＝2x，
∴AD＝＝x＝4，
∴x＝，
∴DE＝，
∴sin∠ABD＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形．
20．（2023•东至县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：OB＝1：3，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P．若P（1，1），则tan∠ACO的值是（ ）
A．B．3C．D．2
【分析】根据OP∥AB，证明出△OCP∽△BCA，结合OC：OB＝1：3得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根据P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，则可求得AQ＝3，根据正切的定义即可得到tan∠APQ的值，从而可求tan∠ACO的值．
【解答】解：∵OP∥AB，
∴△OCP∽△BCA，
∴，
∵OC：OB＝1：3，
∴，
∴，
过点P作PQ⊥x轴于点Q，如图，
∴∠AOC＝∠AQP＝90°，
∴CO∥PQ，
∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∠ACO＝∠APQ，
∵P（1，1），
∴PQ＝OQ＝1，
∴AO＝2OQ＝2，
∴AQ＝3，
∴tan∠APQ＝＝3，
∴tan∠ACO＝tan∠APQ＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2是解题的关键．
21．（2023•瑶海区一模）在△ABC中，AB＝4，sin∠BAC＝，点D是点B关于AC的对称点，连接AD，CD，E，F是AD，BC上两点，作EM⊥BD，FN⊥BD，垂足分别为M，N，若AD∥BC，AE＝BF，则EM+FN的值是（ ）
A．B．5C．2D．10
【分析】作出相应的图形，由轴对称的性质可得AD＝AB＝4，BO＝DO，AC⊥BD，从而可求得BO＝3，由勾股定理求得AO＝，再由平行线的性质可得∠CBO＝∠ADO，可判定△BCO≌△DAO，则有BC＝AD，AO＝CO，再由线段的比即可求解．
【解答】解：如图，
∵点D是点B关于AC的对称点，AB＝4，
∴AD＝AB＝4，AC⊥BD，BO＝DO，
∵sin∠BAC＝，
∴，
即，
解得：BO＝3，
∴AO＝，
∵AD∥BC，
∴∠CBO＝∠ADO，
在△BCO≌△DAO中，
，
∴△BCO≌△DAO（ASA），
∴BC＝AD＝4，AO＝CO＝，
∵EM⊥BD，FN⊥BD，
∴EM∥AO，FN∥CO，
∴，，
∴，，
∵AE＝BF，
∴，
即1﹣，
∴1﹣，
∴，
即EM+NF＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查解直角三角形，轴对称的性质，平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚各边的关系．
六．解直角三角形的应用（共12小题）
22．（2023•镜湖区校级二模）如图1是一个简易手机支架，由水平底板DE、侧支撑杆BD和手机托盘长AC组成，侧面示意图如图2所示．已知手机托盘长AC＝10cm，侧支撑杆BD＝10cm，∠CBD＝75°，∠BDE＝60°，其中点A为手机托盘最高点，支撑点B是AC的中点，手机托盘AC可绕点B转动，侧支撑杆BD可绕点D转动．
（1）如图2，求手机托盘最高点A离水平底板DE的高度h（精确到0.1cm）．
（2）如图3，当手机托盘AC绕点B逆时针旋转15°后，再将BD绕点D顺时针旋转α，使点C落在水平底板DE上，求α（精确到0.1°）．（参考数据：tan26.6°≈0.5，≈1.41，≈1.73）
【分析】（1）作BF⊥DE于点F，BG∥DE，AG⊥BG于点G，构造直角三角形，根据题中的已知条件，可求出AG，BF的长，可得答案．
（2）由题意可得∠DBC＝90°，在Rt△DBC中，已知两直角边，可求得∠BDC的正切值，进而可求得α的度数．
【解答】解：（1）如图2，作BF⊥DE于点F，BG∥DE，AG⊥BG于点G，
∵∠BDE＝60°，
∴∠DBF＝30°，
又∵BD＝10cm，
∴，
∵∠CBD＝75°，
∴∠CBF＝45°，
∴∠ABG＝45°，
∵AC＝10cm，B是AC的中点，
∴AB＝5cm
∴，
∴；
（2）由条件，得：∠DBC＝90°，
又∵BD＝10cm，BC＝5cm，
∴，
∴∠BDC≈26.6°，
∴α＝60°﹣26.6°＝33.4°．
【点评】本题主要考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造出直角三角形是解题的关键．
23．（2023•庐阳区校级三模）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中 AC＝60km，∠CAB＝30°，∠CBA＝50°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路
（Ⅰ）求改直的公路AB的长；
（Ⅱ）问公路改直后比原来缩短了多少km？
（参考数据：，sin50°≈0.77．cs50°≈0.66，tan50°≈1.19）（结果保留小数点后一位）
【分析】（I）过点C作CD⊥AB与H，根据AC＝60km，∠CAB＝30°，求出CH、AH，根据∠CBA＝50°，求出BH、BC，最后根据AB＝AH+BH列式计算即可，
（Ⅱ）首先求出BC得长度，进而得出公路改直后该段路程比原来缩短的路程．
【解答】解：（I）过点C作CH⊥AB于点H，
在Rt△ACH中，AC＝60km，∠CAB＝30°，
∴CH＝AC•sin∠CAB＝AC•sin30°＝60×＝30（km）；
AH＝AC•cs∠CAB＝AC•cs30°＝60×＝30≈30×1.732≈52.0（km）；
在Rt△BCH中，∠CBA＝50°，
∴BH＝＝≈≈25.2（km），
∴AB＝AH+BH≈52.0+25.2＝77.2（km）．
答：改直后的公路AB的长为77.2km；
（Ⅱ）在Rt△BCH中，sin∠CBH＝，BC＝，
∵CH＝30km，
∴BC＝＝≈39.0，
∴AC+BC﹣AB＝60+39.0﹣77.2＝21.8（km），
答：改直后的路程缩短了21.8km．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是三角函数、特殊角的三角函数值，关键是作出辅助线，构造直角三角形，求出有关线段的长．
24．（2023•庐阳区校级模拟）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座ABCD的高BC为30cm，上部显示屏EF的长度为30cm，侧面支架EC的长度为100cm，∠ECD＝80°，∠FEC＝130°，求该机器人的最高点F距地面AB的高度．（参考数据sin80°≈0.98，cs80°＝0.17，tan80°≈5.67）
【分析】过点E，F分别 作EH⊥CD，FN⊥CD，垂足为N，H，过点E作EM⊥FH，垂足为M，分别解Rt△EHC，Rt△EMF，求出EH，FM的长，进而求出最高点F距地面AB的高度即可．
【解答】解：过点E，F分别 作EH⊥CD，FN⊥CD，垂足为N，H，过点E作EM⊥FH，垂足为M，
则：四边形EMNH为矩形，MN＝EH，EM＝HN，
在Rt△EHC中，，
∴EH≈98cm，
∵∠EHC＝90°，∠HCE＝80°，
∴∠CEH＝10°，
∴∠FEM＝∠FEC﹣∠MEH﹣∠CEH＝130°﹣90°﹣10°＝30°，
∴，
∴点F到CD的高度为MN+FM＝EH+FM≈113cm，
∵矩形底座ABCD的高BC为30cm，
∴点F到底面的高度约为113+30＝143cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
25．（2023•金安区一模）如图，某旅游景区开发一个三角形养殖池塘，记为△ABC，为方便游客垂钓，修建了栈道AD，已知∠C＝30°，∠ADB＝70°，AC＝200米，求栈道AD的长．
（参考数据：≈1.41，sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，结果取整数）
【分析】过点A作AE⊥BC，先在Rt△ACE中利用直角三角形的边角间关系求出AE，再在Rt△ADE中利用直角三角形的边角间关系求出AD．
【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为点E，
在Rt△ACE中，
∵sinC＝，
∴AE＝sin30°×AC
＝×200
＝100米．
在Rt△ADE中，
∵∠ADB＝70°，
∴∠DAB＝20°．
∵cs∠DAE＝，
∴AD＝≈≈106.4≈106（米）．
答：栈道AD的长约为106米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
26．（2023•庐阳区校级模拟）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
【分析】（1）开通隧道前，汽车从A地到B地要走的距离为AC+BC的长，利用角的正弦值和余弦值即可算出．
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地要走的距离为AB的长，汽车从A地到B地比原来少走的路程为AC+BC﹣AB的长，利用角的余弦值和正切值即可算出．
【解答】解：（1）如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
∵AB⊥CD，sin30°＝，BC＝80千米，
∴CD＝BC•sin30°＝80×＝40（千米），AC＝＝＝40（千米），
∴AC+BC＝80+40≈1.41×40+80＝136.4（千米）．
∴开通隧道前，汽车从地到地大约要走136.4千米．
（2）∵cs30°＝，BC＝80千米，
∴BD＝BC•cs30°＝80×＝40（千米），
∵tan45°＝，CD＝40（千米），
∴AD＝＝＝40（千米），
∴AB＝AD+BD＝40+40≈40+40×1.73＝109.2（千米）．
∴汽车从A地到B地比原来少走的路程为：
AC+BC﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）．
∴开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2千米．
【点评】本题主要考查了三角函数在解直角三角形中的应用，明确三角函数的定义式及其变形是解题的关键．
27．（2023•繁昌县校级模拟）十一国庆节期间，小明（A）与小亮（B）两人来到广场，一前一后在水平地面AD上放风筝，结果两人的风筝在空中C处纠缠在一起．如图，小明和小亮测得∠CAD＝30°，∠ACB＝15°，且小明和小亮之间的距离AB为11.7m，求此时C处的风筝距离地面的高度．（结果保留一位小数．参考数据：）
【分析】过点C作CE⊥AD于点E，设CE＝x，分别解Rt△AEC，Rt△BEC，求出AE，BE的长，利用AB＝AE﹣BE，列式计算即可．
【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，如图所示：
则：∠AEC＝∠BEC＝90°，
设CE＝x，
在Rt△AEC中，，
在Rt△BEC中，∠CBE＝∠CAB+∠ACB＝45°，
∴BE＝CE＝xm，
∵，
解得：x≈16.0．
即：CE＝16.0m．
答：此时C处的风筝距离地面的高度16.0m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
28．（2023•阜阳三模）消防车是灭火救灾的主要装备，如图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图．当云梯OD升起时，OD与底盘OC的夹角为α，液压杆AB与底盘OC的夹角为β．已知液压杆AB＝4m，当α＝37°，β＝53°时，求AO的长．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan37°≈0.75）
【分析】利用锐角三角函数可求AE，OE的长，即可求解，结合图形求得AO的长度．
【解答】解：∵sinβ＝sin53°＝＝cs37°，
∴≈0.8，
∴BE≈3.2m．
∵tanα＝tan37°＝，
∴0.75≈，
∴OE＝4.27m，
∵csβ＝cs53°＝sin37°＝，
∴AE＝AB•sin37°＝4×0.6＝2.4（m），
∴OA＝OE﹣AE＝4.27﹣2.4≈1.9（m）．
答：AO的长约为1.9m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．
29．（2023•凤台县校级三模）某校组织一个数学研究小组测量校园内的一块四边形空地，其平面图如图所示，测得BC＝CD，AD＝405米，∠A＝90°，∠B＝30°，∠D＝72°．求AB的长．（结果保留根号，参考数据：sin18°≈0.31，cs18°≈0.95，tan18°≈0.32）
【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出BE、CF即可．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，作CF⊥AD于点F，则∠AEC＝∠AFC＝90°．
又∵∠A＝90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴AE＝CF，AF＝CE．
设BC＝CD＝x米．
在Rt△BCE中，∠B＝30°，BC＝x米，
∴CE＝BC＝0.5x（米），BE＝BC＝x（米），
在Rt△CDF中，∠DCF＝90°﹣∠D＝90°﹣72°＝18°，CD＝x米，
∴DF＝CD⋅sin18°≈0.31x（米），
∵AD＝DF+AF＝DF+CE，
∴0.31x+0.5x＝405，
解得x＝500，
即CE＝500米，BE＝500×＝250（米），
在Rt△CDF中，
CF＝CD•cs18°≈500×0.95＝475（米），
∴米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键．
30．（2023•花山区二模）如图，校园内有块三角形土地ABC，其中AB＝AC，∠C＝53°，学校准备向边AB的外围拓展得到三角形地块ACD，要求点D、B、C在同一条直线．经测量BD＝39m，∠D＝30°，求扩充部分的地块ABD的面积．（结果精确到1m2，参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，）
【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据垂直定义可得∠AED＝90°，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝53°，从而可得∠BAE＝37°，然后设AE＝xm，分别在Rt△ABE和Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE和BE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
∴∠AED＝90°，
∵AB＝AC，∠C＝53°，
∴∠ABC＝∠C＝53°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABC＝37°，
设AE＝xm，
在Rt△ABE中，BE＝AE•tan37°≈0.75x（m），
在Rt△ADE中，∠D＝30°，
∴DE＝＝＝x（m），
∵DE﹣BE＝BD，
∴x﹣0.75x＝39，
解得：x≈41.1，
∴AE＝41.1m，
∴△ABD的面积＝BD•AE＝×39×41.1≈801（m2），
∴扩充部分的地块ABD的面积约为801m2．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
31．（2023•蒙城县三模）蒙城涡河五桥横跨涡河南北，为蒙改城标志建筑之一，图1是大桥的实物图，图2是建造大桥设计平面图一部分，平面图纸有桥护栏BG＝1.5米，拉索AB与护栏的夹角是26°，拉索ED与护栏的夹角是60°，两拉索底端距离BD为168m，两拉索顶端的距离AE＝48m，请求出立柱AH的长（tan26°≈0.5，sin26°≈0.4，≈1.7）．
【分析】根据题意可得：CH＝BG＝1.5m，BC⊥AH，然后设CD＝xm，则BC＝（x+168）m，在Rt△ECD中，利用锐角三角函数的定义求出EC的长，从而求出AC的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：CH＝BG＝1.5m，BC⊥AH，
设CD＝xm，
∵BD＝168m，
∴BC＝CD+BD＝（x+168）m，
在Rt△ECD中，∠EDC＝60°，
∴EC＝CD•tan60°＝x（m），
∵AE＝48m，
∴AC＝AE+CE＝（48+x）m，
在Rt△ABC中，∠ABC＝26°，
∴AC＝BC•tan26°≈0.5（x+168）m，
∴48+x＝0.5（x+168），
解得：x＝30，
∴EC＝x＝30（m），
∴AH＝AE+EC+CH＝48+30+1.5≈100.5（m），
∴立柱AH的长约为100.5m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
32．（2023•庐阳区校级一模）由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1）
【分析】根据锐角三角函数可以求得点C到地面的距离，从而可以解答本题．
【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，
由题意可知，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，
设CD＝x米，
则BD＝，AD＝，
∵AB＝2米，AD＝AB+BD，
∴AD＝2+BD，
∴2+＝，
解得，x≈1.7
即生命所在点C的深度是1.7米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
33．（2023•雨山区校级二模）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）
【分析】（1）过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，由AB＝5m，∠ABE＝37°，可求AE和BE，即可得出AC的长；
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．
【解答】
解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，
在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，
∵sin∠ABE＝，cs∠ABE＝，
∴＝0.60，＝0.80，
∴AE＝3m，BE＝4m，
∴CE＝6m，
在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，
∴FD＝AO＝1m，
∴CF＝5m，
在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．
∴OD＝2≈4.5m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
七．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共9小题）
34．（2023•贵池区二模）池州市创建文明城市，在市区各路口设立遮阳棚的立柱AB与地面PQ夹角∠PBA＝64°，棚顶CD与AB夹角∠CAB＝142°，AB＝100cm，点C到地面的距离为156cm，求AC的长度．（结果保留整数，参考数据；sin64°≈0.90，cs64°≈0.44，tan64°≈2.05）
【分析】如图，过点A作AA′垂直PQ交PQ于点A′，过点C作CC′垂直PQ交PQ于点C′，过点A作AM⊥CC′交CC′于点M，则CC′＝156cm，然后在Rt△AA′B中解直角三角形可得AA′＝90，进而得到CM＝66；然后运用四边形的内角和定理求得∠C＝64°，最后在Rt△AMC中解直角三角形即可解答．
【解答】解：如图，过点A作AA′⊥PQ交PQ于点A′，过点C作CC′⊥PQ交PQ于点C′，过点A作AM⊥CC′交CC′于点M，则CC′＝156cm，四边形AMC′A′是矩形，
∴AA′＝MC′，
在Rt△AA′B中，AA′＝AB⋅sin64°≈100×0.90＝90（cm），
∴CM＝CC′﹣MC＝156﹣90＝66（cm），
在四边形CABC′中，∵∠C+∠ABC′+∠BAC+∠C′＝360°，∴∠C＝360°﹣64°﹣142°﹣90°＝64°，在Rt△AMC中，AC＝CM÷cs64°≈66÷0.44＝150（cm）．
答：AC的长度为150cm．
【点评】本题主要考查了解直角三角形、四边形的内角和等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键．
35．（2023•阜阳模拟）数学测绘社团欲测算平台DB上旗杆的拉绳AC的长．从旗杆AB的顶端A拉直绳子，绳子末端正好与斜坡CD的底部C重合，此时拉绳AC与水平线CN所成的夹角∠ACN＝53°，已知斜坡CD的高DN＝4米，坡比为1：2.5（即DN：CN＝1：2.5），DB＝6米，求拉绳AC的长．（结果保留1位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【分析】延长AB交CN于E，则四边形DBEN为矩形，那么NE＝DB＝6米．解Rt△CDN，求出CN＝10米，得出CE＝CN+NE＝16米．解Rt△ACE，即可求出拉绳AC的长．
【解答】解：如图，延长AB交CN于E，则四边形DBEN为矩形，
∴NE＝DB＝6米．
∵斜坡CD的高DN＝4米，坡比为1：2.5（即DN：CN＝1：2.5），
∴CN＝10米，
∴CE＝CN+NE＝16米．
在Rt△ACE中，∵∠AEC＝90°，CE＝16米，∠ACE＝53°，
∴AC＝≈≈26.7（米）．
故拉绳AC的长约为26.7米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
36．（2023•金安区校级模拟）伴随着北京冬奥会的成功举办，很多学校掀起了学习冰雪项目的热潮．如图，滑雪轨道由AB、BC两部分组成，AB为260m、BC为200m，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB的坡度为1：2.4，BC与水平面的夹角为42°，则他下降的高度为多少米？（精确到1米，参考数据：sin42°≈0.669，cs42°≈0.743，tan42°≈0.900）．
【分析】过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，
∵AB的坡度为1：2.4，AB为260米，
∴设AE＝5x米，则BE＝12x米，
故AB＝13x＝260（米），
解得：x＝20，
则AE＝20×5＝100（米）．
在Rt△BCG中，
∵sinβ＝，
∴BG＝BC×sin42°≈134（米），
∴他下降的高度为：AE+BG＝234米，
答：他下降的高度为234米．
【点评】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．
37．（2023•蚌埠一模）某校组织学生参与劳动实践活动，休息时小明发现，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的树AB（如图），当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，于是就提出一个数学问题：如何求树AB的高？若α＝18.34°，m＝10，请你解决这个问题．（参考数据：sin18.34°≈0.31，cs18.34°≈0.95）
【分析】过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于D，根据正弦的定义求出BD，根据余弦的定义求出CD，根据等腰直角三角形的性质求出AD，计算即可．
【解答】解：过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于D，
则∠BCD＝α，
在Rt△BCD中，BC＝m，∠BCD＝α，
则BD＝BC⋅sin∠BCD＝msinα，CD＝BC⋅cs∠BCD＝mcsα，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
则AD＝CD＝mcsα，
∴AB＝AD﹣BD＝mcsα﹣msinα＝m（csα﹣sinα），
∵α＝18.34°，m＝10，
∴AB≈10×（0.95﹣0.31）＝6.4，
答：树AB的高为6.4．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
38．（2023•安徽模拟）如图是一个山坡的纵向剖面图，坡面DE的延长线交地面AC于点B，点E恰好在BD的中点处，∠CBD＝60°，坡面AE的坡角为45°，山坡顶点D与水平线AC的距离，即CD的长为1000m．
（1）求BE的长度；
（2）求AB的长度．（结果保留根号）
【分析】（1）过点E作EF⊥AC于点F．由题意可得EF＝＝m，在Rt△BEF中，sin∠EBF＝sin60°＝＝，解方程求出BE即可．
（2）在Rt△AEF中，可得AF＝EF＝500m，在Rt△BEF中，tan∠EBF＝tan60°＝，求出BF的长，根据AB＝AF﹣BF可得答案．
【解答】解：（1）过点E作EF⊥AC于点F.
∵点E为BD的中点，
∴EF＝＝m，
在Rt△BEF中，sin∠EBF＝sin60°＝＝，
解得BE＝1000，
经检验，BE＝1000是原方程的解且符合题意，
∴BE的长度为1000m．
（2）在Rt△AEF中，∠EAF＝45°，
∴AF＝EF＝500m，
在Rt△BEF中，tan∠EBF＝tan60°＝，
解得BF＝500，
经检验，BF＝500是原方程的解且符合题意，
∴AB＝AF﹣BF＝（﹣500）m．
∴AB的长度为（﹣500）m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
39．（2023•六安三模）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足60°≤α≤75°．现有一架5m长的梯子．
（1）当梯子底端距离墙面2m时，人能否安全地使用这架梯子？
（2）若人站在梯子上，伸出手臂，最高可以够到梯子顶端上方25cm处的物体，使用这架梯子能安全够到墙上距离地面5m处的物体吗？（参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin23.6°≈0.40，cs66.4°≈0.40，tan 21.8°≈0.40．）
【分析】（1）解Rt△ABC得到csα＝，由此即可得到答案；
（2）解Rt△ABC得到AC＝ABsinα，则当α＝75°时，AC的最大值为4.85米，从而得出结论．
【解答】解：如图所示：
（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
∴α≈66.4°，
∵60°＜664°＜75°，
∴此时人能够安全地使用这架梯子，
（2）∵60°≤α≤75°，
∴当α＝75°时，这架梯子可以安全攀上的墙高度最大，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
∴AC＝AB•sinα＝5×sin75°≈5×0.97≈4.85（m），
∴使用这架梯子最高可以够到墙上4.85+0.25＝5.1（m）处的物体，
∴能安全够到距离地面5m处的物体．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
40．（2023•合肥三模）如图，古塔位于平台BC之上，为了测量古塔的高，几位同学在阳光明媚时去测量，他们发现此时古塔AB的影子一部分落在平台上，影长BC为6米，落在斜坡上的影长CD为4米，AB⊥BC，同一时刻，光线与古塔的夹角∠A为37°，斜坡CE的坡角为30°，求古塔的高度AB． （参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73，结果精确到0.1米）
【分析】过点D作DN⊥AB，垂足为N，过点C作CM⊥DN，垂足为M，根据题意可得：CM＝BN，BC＝NM＝6米，然后在Rt△DCM中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出CM，DM的长，从而求出DN的长，再在Rt△DAN中，利用锐角三角函数的定义求出AN的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点D作DN⊥AB，垂足为N，过点C作CM⊥DN，垂足为M，
由题意得：CM＝BN，BC＝NM＝6米，
在Rt△DCM中，∠CDM＝30°，CD＝4米，
∴CM＝CD＝2（米），DM＝CM＝2（米），
∴DN＝MN+DM＝（6+2）米，
在Rt△DAN中，∠A＝37°，
∴AN＝≈≈12.61（米），
∴AB＝AN﹣BN＝12.61﹣2≈10.6（米），
答：塔高大约10.6米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
41．（2023•长丰县二模）安徽浮山是中国第一文山，爬山是居民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．如图，某个周末小明同学从浮山山底沿斜坡AB爬了260米到达B处，紧接着又向上爬了坡角为45°的山坡90米，最后到达山顶P处，若AB的坡度为1：2.4，请你计算浮山的高度PC（结果精确到0.1米，参考数据：）．
【分析】过点B作BE⊥AC于点E，结合坡度比以及AB的长度，根据勾股定理列方程求出DC的长，再根据∠PBD＝45°解直角三角形求出PD的长，最后相加即可．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，则四边形DCEB为矩形，
∴DC＝BE，
∵AB的坡度为1：2.4，AB＝260米，
∴设BE＝5x（米），则AE＝12x（米），
在Rt△ABE中，，
解得x＝20，
则BE＝20×5＝100（米），
在Rt△PBD中，∠PBD＝45°，PB＝90米，
∴（米），
∴PC＝PD+DC＝163.6米，
答：浮山的高度PC约为163.6米．
【点评】本题主要考查坡度的概念以及解直角三角形，熟练掌握坡度的概念并能够利用勾股定理列方程，运用三角函数值解直角三角形是解决本题的关键．
42．（2023•六安模拟）空中缆车是旅游时上、下山和进行空中参观的交通工具．小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C．从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡，长度为1200米；从B到C的缆车路线可看作是直线，其与水平线的夹角为45°，且缆车从B到C的平均速度为6米/秒，运行时间为10分钟，求山顶C到AD的距离（结果保留根号）．
【分析】过C点作CG⊥AD于G，过B点作BF⊥AD于F，BE⊥CG于E，则四边形BEGF是矩形，那么EG＝BF．解直角△ABF求出BF，解直角△DAE求出CE，代入CG＝CE+EG，即可求出答案．
【解答】解：如图，过C点作CG⊥AD于G，过B点作BF⊥AD于F，BE⊥CG于E，则四边形BEGF是矩形．
在直角△ABF中，∠A＝30°，
∴BF＝AB•sin30°＝1200×＝600（米），
∴EG＝BF＝600（米）．
由题意，可得BC＝6×10×60＝3600（米），
在直角△BEC中，∠CBE＝45°，
∴CE＝BC＝×3600＝1800（米），
∴CG＝CE+EG＝600+1800＝600（1+3）米，
则山顶C到AD的距离是600（1+3）米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．要求学生能借助坡角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想的应用．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共11小题）
43．（2023•泗县二模）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．随着春季的来临，放风筝已成为孩子们的最爱．周末小冬和爸爸一起去公园放风筝，如图，当小冬站在G处时，风筝在空中的位置为点B，仰角为53°，小冬站在G处继续放线，当再放2米长的线时，风筝飞到点C处，此时点B、C离地面MN的高度恰好相等，C点的仰角为44°，若小冬的眼睛与地面MN的距离AG为1.6米，请计算风筝离地面MN的高度．（结果保留整数，参考数据：sin44°≈0.7，sin53°≈0.8，cs53°≈0.6）
【分析】过点A作AD∥MN，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，设AB＝x米，则AC＝（x+2）米，可求BE≈0.8x，CF≈0.7（x+2），即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AD∥MN，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．
由题意得∠BAE＝53°，∠CAF＝44°，BE＝CF，AC＝（AB+2）米，
设AB＝x米，则AC＝（x+2）米，
在Rt△ABE中，，
∴BE≈0.8x米；
在Rt△ACF中，，
∴CF≈0.7（x+2）米，
∴0.8x≈0.7（x+2），解得x≈14；
∴BE≈0.8x≈11.2米，
∴11.2+1.6≈13米．
答：风筝离地面MN的高度约为13米．
【点评】本题考查了三角函数在解直角三角形中的应用，掌握三角函数的定义是解题的关键．
44．（2023•霍邱县一模）如图，小陈在数学实践活动中，利用所学知识对他所在学校实验楼AB的高度进行测量，从小陈的教室走廊C处测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝18m，求实验楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，cs33°≈0.84，tan33°≈0.65）．
【分析】通过作高，构造直角三角形，在两个直角三角形中用直角三角形的边角关系可求出AE、BE即可．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
由题意得，CD＝18m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，
∴BE＝CE＝CD＝18m，
在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，
∴AE＝CE•tan33°≈18×0.65≈11.7（m），
∴AB＝AE+BE＝18+11.7＝29.7≈30（m），
答：居民楼AB的高度约为30m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
45．（2023•舒城县模拟）如图，为测量某建筑物的高度，某人在点F处测得建筑物顶端C处的仰角为37°，往前走10米到达点G处，测得建筑物顶端C处的仰角为45°，已知测量工具距离地面的高度AF为1.7米，求这个建筑物的高度DE．（精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，）
【分析】如图，过点B作BI⊥DE分别交建筑物于点H、I．设BH＝x米，则DI＝CH＝x米，根据三角函数的定义得到x＝30，根据矩形的性质得到IE＝AF＝1.7米，于是得到结论．
【解答】解：如图，过点B作BI⊥DE分别交建筑物于点H、I．
由题意得：∠CAB＝37°，∠CBH＝45°，AB＝10米，AF＝1.7米．
设BH＝x米，则DI＝CH＝x米，
在Rt△CHA中，∠CHA＝90°，
∵ 5，
∴x≈0.75（x+10），
解得x＝30，
又∵四边形IEFA为矩形，
∴IE＝AF＝1.7米，
此时DE＝30+1.7＝31.7≈32（米），
答：这个建筑物的高度DE约为32米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角、俯角，能构造直角三角形是解此题的关键．
46．（2023•庐阳区校级三模）风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视．小燕和小慧五一假期出外门旅游，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，她们想知道风力发电机塔架的高度．如图，小燕站在C点测得C点与塔底D点的距离为25米，小慧站在斜坡BC的坡顶B处，测得轮毂A点的仰角α＝38°，已知斜坡BC的坡度i＝：1，坡面BC长30米，请根据测量结果帮她们计算风力发电机塔架AD的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin38°≈0.62，cs38°≈0.79，tan38°≈0.78，≈1.41，≈1.73）
【分析】过点B作BE⊥DC，垂足为E，过点B作BF⊥AD，垂足为F，根据题意可得：BE＝DF，BF＝ED，CD＝25米，再根据已知可得：在Rt△BEC中，tan∠BCE＝，从而可得∠BCE＝60°，然后利用锐角三角函数的定义求出BE，CE的长，从而求出ED的长，再在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而利用利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点B作BE⊥DC，垂足为E，过点B作BF⊥AD，垂足为F，
由题意得：BE＝DF，BF＝ED，CD＝25米，
∵斜坡BC的坡度i＝：1，
∴＝，
在Rt△BEC中，tan∠BCE＝＝，
∴∠BCE＝60°，
∵BC＝30米，
∴BE＝BC•sin60°＝30×＝15（米），
CE＝BC•cs60°＝30×＝15（米），
∴DF＝BE＝15米，BF＝DE＝EC+CD＝40（米），
在Rt△ABF中，∠ABF＝38°，
∴AF＝BF•tan38°≈40×0.78＝31.2（米），
∴AD＝AF+DF＝31.2+15≈57.2（米），
∴风力发电机塔架AD的高度约为57.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
47．（2023•濉溪县模拟）某运载火箭从发射点O处发射，当火箭到达A处时，在地面雷达站C处测得点A的仰角为37°，在地面雷达站B处测得点A的仰角为45°，已知AO＝10km，O，B，C三点在同一条直线上，求B，C两个雷达站之间的距离（sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，结果精确到0.01km）．
【分析】在Rt△AOC中根据∠C＝37°，AO＝10得到OC，在Rt△AOB中结合∠ABO＝45°即可得到OB，即可得到答案．
【解答】解：在Rt△AOC中，
∵∠C＝37°，AO＝10，
∴，
∴，
在Rt△AOB中，
∵∠ABO＝45°，
∴AO＝OB＝10km，
∴（km），
答：B，C两个雷达站之间的距离为23.33km．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握仰俯角及三角函数的定义．
48．（2023•无为市四模）如图，数学兴趣小组成员使用遥控无人机在A处对大桥BC进行航拍，并观测B，C两点的俯角分别为53°和45°，已知大桥BC的长度为75米，试求此时无人机相对大桥的高度．（参考数据：）
【分析】过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，根据题意可得：∠EAB＝53°，∠EAC＝45°，AE∥CD，从而可得∠ACD＝∠EAC＝45°，∠ABD＝∠EAB＝53°，然后设BD＝x米，则CD＝（x+75）米，在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，再在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，
由题意得：∠EAB＝53°，∠EAC＝45°，AE∥CD，
∴∠ACD＝∠EAC＝45°，∠ABD＝∠EAB＝53°，
设BD＝x米，
∵BC＝75米，
∴CD＝BD+BC＝（x+75）米，
在Rt△ACD中，AD＝CD•tan45°＝（x+75）米，
在Rt△ABD中，AD＝BD•tan53°≈x（米），
∴x＝x+75，
解得：x＝225，
∴AD＝x＝300（米），
∴此时无人机相对于大桥的高度约为300米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
49．（2023•蜀山区模拟）如图，某大楼上树立一块高为3米的广告牌CD．数学活动课上，立新老师带领小燕和小娟同学测量楼DH的高．测角仪支架高AE＝BF＝1.2米，小燕在E处测得广告牌的顶点C的仰角为22°，小娟在F处测得广告牌的底部点D的仰角为45°，AB＝45米．请你根据两位同学测得的数据，求出楼DH的高．（结果取整数，参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【分析】延长EF交CH于点G，可得DG＝FG，再根据锐角三角函数可得DG的长，进而可得DH的高度．
【解答】解：延长EF交CH于点G，则∠CGF＝90°，
∵∠DFG＝45°，
∴DG＝FG，
设DG＝x米，则CG＝CD+DG＝（x+3）米，
EG＝FG+EF＝（x+45）米，
在Rt△CEG中，tan∠CEG＝，
∴tan22°＝，
∴0.4≈，
解得：x≈25，
∴DH＝DG+GH＝25+1.2≈26（米），
答：楼DH的高度约为26米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
50．（2023•肥东县模拟）如图，为了测量小山坡坡顶上宝塔AC的高，数学兴趣小组在坡底B处测得塔顶A的仰角为45°，测得塔底C的仰角为18°，且坡底B到塔底C的距离BC为80米，求塔高AC．（结果保留1位小数；参考数据：≈1.40，sin27≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51）
【分析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，由题意得到∠ABC＝45°﹣18°＝27°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
由题意可知，∠ABC＝45°﹣18°＝27°，
在Rt△BCD中，∵，
∴，
∴CD＝80×sin27°≈80×0.45＝36（米），
在Rt△ACD中，∠A＝45°，
∴AC＝CD＝36≈36×1.4＝50.4（米），
答：塔高AC约为50.4米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
51．（2023•霍邱县二模）如图，有一宽为AB米的旗子，小明在点D处测得点B的仰角为53°，随后小明沿坡度为i＝1：的斜坡DE走到点E处，又测得点A的仰角为45°，已知DE＝2米，DC＝6米，求旗子AB的长度（测角器的高度忽略不计，结果保留整数．参考数据：，，sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
【分析】过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点E作EF⊥CD，交CD的延长线于F，根据题意可得：EF＝CG，FC＝EG，根据已知可得在Rt△DEF中，tan∠EDF＝，从而可得∠EDF＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得EF＝1米，DF＝米，从而可得CG＝EF＝1米，EG＝FC＝（+6）米，再在Rt△AEG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，最后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点E作EF⊥CD，交CD的延长线于F，
由题意得：EF＝CG，FC＝EG，
∵斜坡DE的坡度为i＝1：，
∴＝＝，
在Rt△DEF中，tan∠EDF＝＝，
∴∠EDF＝30°，
∵DE＝2米，
∴EF＝DE＝1（米），DF＝EF＝（米），
∴CG＝EF＝1米，
∵DC＝6米，
∴EG＝FC＝DF+CD＝（+6）米，
在Rt△AEG中，∠AEG＝45°，
∴AG＝EG•tan45°＝（6+）米，
在Rt△BCD中，∠BDC＝53°，
∴BC＝DC•tan53°≈6×＝8（米），
∴AB＝AG+CG﹣BC＝6++1﹣8＝﹣1≈0.7（米），
∴旗子的宽度AB约为0.7米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
52．（2023•明光市二模）九年级学生王强在春节期间来到海边游玩．他发现有一座灯塔屹立在海岛上．喜欢探究的他想知道灯塔的高度，但身边没有测量仪器．于是他查阅资料，得知这座海岛的海拔约256m，他继续运用业余时间接触的目测知识，在海滩（海拔看成0m）上C处目测海岛顶部B的仰角约28°，灯塔顶部A的仰角约44°，据此估计出了灯塔的高度．请你根据王强同学得到的数据求出灯塔的高度AB．（王强身高忽略不计，计算结果精确到1m，参考数据：tan28°≈0.532，tan44°≈0.966）．
【分析】根据题意可得：AM⊥CM，BM＝256m，然后在Rt△BMC中，利用锐角三角函数的定义求出CM的长，再在Rt△ACM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：AM⊥CM，BM＝256m，
在Rt△BMC中，∠BCM＝28°，
∴CM＝≈≈481.2（m），
在Rt△ACM中，∠ACM＝44°，
∴AM＝CM•tan44°≈481.2×0.966≈464.8（m），
∴AB＝AM﹣BM＝464.8﹣256≈209（m），
∴灯塔的高度AB约为209m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
53．（2023•定远县校级一模）如图，小明在M处用高1米（DM＝1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高．
【分析】求出∠CBD＝∠BDE，得到△BCD是等腰三角形，从而求出BC的长，然后在△BEC中，求出BE的长，然后求出AB 的长．
【解答】解：∵∠BDE＝30°，∠BCE＝60°，
∴∠CBD＝60°﹣∠BDE＝30°＝∠BDE，
∴BC＝CD＝10米，
在Rt△BCE中，sin∠BCD＝，
即BE＝BC•sin60°＝10×＝5米，
AB＝BE+AE＝（5+1）米．
答：旗杆AB的高度是（5+1）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，会解直角三角形是解题的关键．
九．解直角三角形的应用-方向角问题（共7小题）
54．（2023•天长市校级二模）如图，三角形花园△AB​C紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东45°方向，点D处有直饮水，小红从A出发经过点E到达点D．求小红所走的路程．（结果保留整数）（参考数据：，）
【分析】过D作DF⊥AE于点F，则四边形ACDF是矩形，得DF＝AC＝200米，AF＝CD，AE∥CD，再证△DEF是等腰直角三角形，得EF＝DF＝200米，DE＝DF＝200米，然后由含30°角的直角三角形的性质得AB＝400米，则BC＝200米，进而得CD＝（200+100）米，即可解决问题．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AE于点F，
则四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC＝200米，AF＝CD，AE∥CD，
∴∠ABC＝∠BAE＝30°，
在Rt△EFD中，∠DEF＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴EF＝DF＝200米，DE＝DF＝×200＝200（米），
在Rt△ABC中，AC＝200米，
∴AB＝2AC＝2×200＝400（米），
∴BC＝＝＝200（米），
∵BD＝100米，
∴CD＝BC+BD＝（200+100）米，
∴AF＝CD＝（200+100）米，
∴AE＝AF﹣EF＝200+100﹣200＝（200﹣100）米，
∴AE+DE＝200﹣100+200≈529（米），
答：小红所走的路程约为529米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理的应用等知识，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
55．（2023•利辛县模拟）如图，某巡逻艇在巡逻任务中沿正北方向航行，行至点A处时接到位于其正前方35海里的点B处一艘渔船发出的求救信号，渔船发出信号后继续沿东南方向缓慢航行，巡逻艇接到信号后立刻调转方向以每小时40海里的速度沿北偏东37°方向前往救援，行至点C处与渔船汇合，求巡逻艇从接到求救信号到与渔船汇合所需要的时间（结果精确到1分钟．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．​
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据题意可：∠ABC＝45°，∠BAC＝37°，AB＝35海里，然后设AD＝x海里，则BD＝（35﹣x）海里，在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而列出关于x的方程，进行计算可求出AD的长，最后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，进行计算即可解答．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝37°，AB＝35海里，
设AD＝x海里，
∴BD＝AB﹣AD＝（35﹣x）海里，
在Rt△BDC中，CD＝BD•tan45°＝（35﹣x）海里，
在Rt△ADC中，CD＝AD•tan37°≈0.75x（海里），
∴0.75x＝35﹣x，
解得：x＝20，
∴AD＝20海里，
在Rt△ADC中，AC＝≈＝25（海里），
∴巡逻艇从接到求救信号到与渔船汇合所需要的时间＝×60≈38（分钟），
∴巡逻艇从接到求救信号到与渔船汇合所需要的时间约为38分钟．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
56．（2023•安徽模拟）在一场足球比赛中，进攻方甲队三名球员A、C、D，与乙队的防守球员B的位置如图所示．此时足球在球员A脚下，他想将球绕过对手B传至队友D处，再由D经线路DC回传给队友C．已知对手B在A的北偏东60°方向，AB＝12米．球员C在对手B的正东方向，BC＝3米．球员D在队友C的正北方向，且在队友A的北偏东37°方向．（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈，≈1.41，≈1.73）
（1）求传球线路CD的长（结果精确到1米）；
（2）根据对手B的跑动和拦截范围估计，对手B可以破坏掉在B点5米范围内的球．球员D经线路DC传球给队友C的同时，队友C沿CD方向去接球，已知球速为10m/s，球员C的平均速度为8m/s．计算说明球员C是否能避开防守顺利接到球？
【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系以及图形中线段之间的和差关系进行计算即可；
（2）计算出球与队员C相遇的时间，再求出相遇时，队员C所行进的路程，比较得出答案．
【解答】解：（1）如图，过点B、点C分别作AM的垂线，垂足分别为E、F，
由题意可知，AB＝12米，∠NAB＝60°，∠NAD＝37°，BC＝EF＝3米，
在Rt△ABE中，∠BAE＝90°﹣60°＝30°，AB＝12米，
∴BE＝CF＝AB＝6（米），AE＝AB＝6（米），
∴AF＝AE+EF＝（6+3）米，
在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣37°＝53°，AF＝（6+3）米，
∴DF＝tan53°•AF≈×（6+3）＝8+4≈17.84（米），
∴CD＝17.84﹣6≈12（米），
答：传球线路CD的长约为12米；
（2）设以B为圆心，5米为半径的圆与DF相交于点G，连接BG，则BG＝5米，
在Rt△BCG中，BG＝5米，BC＝3米，
∴CG＝＝4（米），
球与队员C相遇的时间为：12÷（10+8）＝（s），
而s，队员C移动的路程为：8×＝（米），
∵＞4，
∴球员C可以避开防守顺利接到球．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
57．（2023•合肥三模）如图，海岸线AB是一条直线，某渔船从海岸线AB上一点C出发沿北偏西37°方向行驶100km，到达D处作业，然后再沿北偏西53°方向行驶120km，到达E处作业，求此时渔船的位置E到海岸线AB的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，根据题意可得：DF＝HG，然后分别在Rt△DCF和Rt△EDH中，利用锐角三角函数的定义求出DF和EH的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，
由题意得：DF＝HG，
在Rt△DCF中，∠DCF＝90°﹣37°＝53°，CD＝100km，
∴DF＝CD•sin53°≈100×0.8＝80（km），
∴HG＝DF＝80km，
在Rt△EDH中，∠EDH＝90°﹣53°＝37°，ED＝120km，
∴EH＝ED•sin37°≈120×0.6＝72（km），
∴EG＝EH+HG＝152（km），
∴此时渔船的位置E到海岸线AB的距离约为152km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
58．（2023•杜集区校级模拟）某市开展一项全民健身跑步运动，线路需顺次经过A，B，C，D四地．如图，A，B，C三地在同一条直线上，D地在A地北偏东30°的方向上，在C地北偏西45°的方向上，C地在A地北偏东75°的方向上，且CD＝10km，请问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少．（参考数据：）
【分析】过点D作DG⊥AC，垂足为G，根据题意可得：∠EAD＝30°，∠EAC＝75°，∠FCD＝45°，从而可得∠DAC＝45°，再根据题意可得：AE∥CF，从而可得∠ACD＝60°，然后在Rt△CDG中，利用锐角三角函数的定义求出CG和DG的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：过点D作DG⊥AC，垂足为G，
由题意得：∠EAD＝30°，∠EAC＝75°，∠FCD＝45°，
∴∠DAC＝∠EAC﹣∠EAD＝45°，
由题意得：AE∥CF，
∴∠EAC+∠ACF＝180°，
∴∠EAC+∠ACD+∠FCD＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣∠EAC﹣∠FCD＝60°，
在Rt△CDG中，CD＝10km，
∴CG＝CD•cs60°＝10×＝5（km），
DG＝CD•sin60°＝10×＝5（km），
在Rt△ADG中，AG＝＝5（km），
∴AC+CD＝AG+CG+CD＝5+5+10≈23.5（km），
∴沿上述线路从A地到D地的路程大约为23.5km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
59．（2023•包河区三模）数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处测得河的北岸点B在其北偏东13°方向，然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东53°方向，求河宽．（结果精确到0.1，参考数据sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin77°≈0.97，cs77°≈0.22，tan77°≈4.33）
【分析】过B作BD⊥CA于D，设AD＝x米，则在Rt△ABD中得到BD＝4.33x，在Rt△CBD中，得到，解方程即可．
【解答】解：过B作BD⊥CA于D，设AD＝x米，
在Rt△ABD中，∵，即，
∴BD＝4.33x，
在Rt△CBD中，
∵，
即，
∴0.75（80+x）≈4.33x，
解得x≈16.76，
∴BD＝4.33x＝4.33×16.76≈72.6（米）．
答：河宽大约为72.6米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方向角、准确计算是解题的关键．
60．（2023•瑶海区三模）如图，某军港有一雷达站P，军舰M停泊在雷达站P的南偏东60°方向20海里处，另一艘军舰N位于军舰M的正西方向，与雷达站P相距10海里．
求：（1）军舰N在雷达站P的什么方向？
（2）两军舰M、N的距离．（结果保留根号）
【分析】（1）根据题意画出图形，作出辅助线，由直角三角形的性质求出OD的长，再根据特殊角的三角函数值得出∠ONP的度数，由直角三角形的性质即可得出结论；
（2）在Rt△OPM中，先根据勾股定理求出OM的长，在Rt△ONP中求出ON的长，进而可得出MN的长．
【解答】解：（1）如图所示，
∵∠OPM＝60°，PM＝20海里，
∴∠OMP＝30°，
∴OP＝10海里，
∴PN＝10海里，
∴cs∠OPN＝＝＝，
∴∠OPN＝45°，
∴军舰N在雷达站P的东南方向（5分）
（2）∵Rt△OPM中，PM＝20海里，OP＝10海里，
∴OM＝＝＝10，
∵∠OPN＝45°，
∴ON＝OP＝10海里，
∴MN＝10﹣10（海里）．（10分）
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．