5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题20圆的基本性质(真题4个考点模拟7个考点)特训（学生版+解析）

这是一份5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题20圆的基本性质(真题4个考点模拟7个考点)特训（学生版+解析），共108页。
A．B．4C．D．5
二．圆周角定理（共1小题）
2．（2021•安徽）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．
三．切线的性质（共2小题）
3．（2022•安徽）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．
（1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；
（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE．求证：CE⊥AB．
4．（2020•安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．
四．命题与定理（共1小题）
5．（2020•安徽）已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形
B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120°
C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB
D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC
一．圆的认识（共2小题）
1．（2023•全椒县模拟）已知A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOB+∠COD＝90°，分别记△AOB，△COD的面积为S1，S2，若OA＝5，S1＝10，则S2＝（ ）
A．B．C．D．
2．（2023•怀宁县一模）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（ ）
A．42°B．29°C．21°D．20°
二．垂径定理（共10小题）
3．（2023•和县二模）如图，点C是⊙O的弦AB上一点．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC的长为（ ）
A．3B．4C．D．
4．（2023•烈山区一模）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝6，则弧CED所在圆的半径为（ ）
A．B．4C．5D．
5．（2023•砀山县一模）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD＝6，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．3C．D．
6．（2023•瑶海区三模）如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP交AP于点E，OF⊥PB交PB于点F，则EF等于（ ）
A．2B．3C．5D．6
7．（2023•金寨县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝6，AB＝10，则AE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2023•龙子湖区二模）如图，在半径为4.5的⊙O内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB＝8，CD＝6，垂足为E，则tan∠OEA的值是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023•蚌山区二模）如图，在⊙O中，AC为直径，点B，D在⊙O上，且AD＝DC，作DE⊥AB于点E，DE＝3．
（1）求点D到直线BC的距离；
（2）求四边形ABCD的面积．
10．（2023•庐江县模拟）在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP为（ ）
A．2cmB．cmC．3cmD．2cm
11．（2023•亳州三模）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点H．若AB＝10，CD＝8，则BH的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
12．（2023•怀远县校级二模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
三．垂径定理的应用（共4小题）
13．（2023•池州三模）如图1，圆形拱门是中国古代建筑喜欢采用的样式，美观且实用，图2是拱门的示意图，拱门底端宽2米，拱门高3米，拱门所在圆的半径为 米．
14．（2023•龙子湖区二模）如图是美妆小镇某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半径为2.5cm，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，EF＝4.8cm，则香水瓶的高度h是（ ）
A．5.6cmB．5.7cmC．5.8cmD．5.9cm
15．（2023•蜀山区一模）《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，弧AB是以点O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在弧AB上，且CD⊥AB．“会圆术”给出弧AB的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+．当OA＝2，∠AOB＝90°时，s＝ ．
16．（2023•蚌山区模拟）如图，是一架无人机俯视简化图，MN与PQ表示旋翼，旋翼长为24cm，A，B为旋翼的支点，各支点平分旋翼，飞行控制中心O到各旋翼支点的距离均为30cm，相邻两个支架的夹角均相等，当无人机静止且支架与旋翼垂直时，M与P之间的距离为（ ）
A．30﹣12B．30﹣12C．15﹣3D．15﹣24
四．圆周角定理（共16小题）
17．（2023•镜湖区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠CDB＝35°，则∠CBA的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
18．（2023•安徽模拟）如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC，CB于点D，E．若∠DOE＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
19．（2023•舒城县模拟）如图，点A、B、C在⊙O上，＝2，若∠A＝70°，则∠B的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．110°
20．（2023•濉溪县模拟）如图，⊙O中，OC⊥AB，∠CDB＝25°，则∠OAB的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
21．（2023•无为市四模）如图，CD是⊙O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，则∠BCE的度数是（ ）
A．34°B．36°C．38°D．42°
22．（2023•庐阳区校级模拟）如图，点P为矩形ABCD的外接圆上的动点，连接PB、PD、PO，AB＝1，，当PO平分∠BPD时，∠PBA的度数为（ ）
A．15°B．30°C．15°或105°D．30°或105°
23．（2023•全椒县一模）已知点A，B，C是⊙O上的点，且三点互不重合，下列结论错误的是（ ）
A．若点B是的中点，则∠BAC＝∠ACB
B．若∠AOB＝110°，则∠ACB＝55°或125°
C．若AB∥OC，OA⊥OB，则∠AOC＝135°
D．若四边形OABC是平行四边形，则四边形OABC一定是菱形
24．（2023•太和县二模）如图，以△ABC的边AB为直径作半圆O交AC于点D，且OD∥BC，半圆O交BC于点E．
（1）求证：∠C＝∠CED．
（2）若，AD＝4，求半圆O的半径r．
25．（2023•庐阳区二模）如图，在⊙O中，AB是直径，点C在圆上，AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC，AD的延长线交⊙O于点E，连接BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若AB＝10，BC＝6，求BE的长．
26．（2023•合肥二模）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，，求BC的长．
27．（2023•芜湖模拟）如图1，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于E，D为弧BC的中点，连接AD，分别交CE、CB于点F和点G．
（1）求证：CF＝CG；
（2）如图2，若AF＝DG，连接OG，求证：OG⊥AB．
28．（2023•太湖县一模）阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿．下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：如图1，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使AD＝DE，点F是上的一点，且，连接BF，求证：BF＝BE．
学习小组中的一位同学进行了如下证明：
如图2，连接AC，CE，BC
∵CD⊥AB，AD＝DE．
∴∠CAE＝∠CEA
∵∠CAE+∠F＝180°，∠CEA+∠CEB＝180°
∴∠F＝∠CEB
……
请完成下列的任务：
（1）完成上面的证明：
（2）如图3，将上述问题中弦AB改为直径AB，若CF∥AB，求证点E是AB的中点．
29．（2023•蜀山区校级三模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心恰好经过A、B、C三点，⊙O交BD于E，交AD于F，且＝，连接OA、OF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数．
30．（2023•蚌埠二模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点P，AB经过点O，E是AC的中点，连接OE，EP，延长EP交BD于点F．
（1）若AB＝10，，求AC的长；
（2）求证：EF⊥BD．
31．（2023•蒙城县模拟）如图，以BC为直径的⊙O经过△ABC的顶点A，弦BD平分∠ABC，E是弦BD上一点，且∠ACE＝∠BCE．
（1）求证：CD＝DE；
（2）若AC＝8，，求⊙O的半径．
32．（2023•安徽二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，BD，
（1）求证：∠ADC＝∠ABD．
（2）作OF⊥AD于点F，若⊙O的半径为5，OE＝3，求OF的长．
五．切线的性质（共9小题）
33．（2023•合肥三模）如图，点C是半⊙O直径AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点D，E为AB上一点，EF∥CD交AD于G，若∠AGF＝70°，⊙O的半径为2，则的长为（ ）
A．B．C．D．
34．（2023•凤台县校级二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E在AD边上，以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是（ ）
A．4B．4C．8D．9
35．（2023•东至县一模）如图，AB是⊙O的直径，C、D 是⊙O上的点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）
A．70°B．50°C．40°D．20°
36．（2023•瑶海区校级一模）如图，直线AB与⊙O相切于点A，CD是⊙O的一条弦，且CD∥AB，连接AC．若⊙O的半径为2，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．4πC．D．
37．（2023•安徽二模）已知，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，OD∥AC交劣弧BC于点D．∠A＝40°，则∠BOD的度数是（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
38．（2023•庐阳区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C是BD的中点，过点C的切线与AD的延长线交于E，连接CD，AC．
（1）求证：CE⊥AE；
（2）若CD∥AB，DE＝1，求⊙O的面积．
39．（2023•金安区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．⊙O分别与边AC，BC相切于点D和点E，连接CO．
（1）求证：CO为∠ACB的平分线．
（2）连接AE与CO交于点F，且满足2AF＝3FE，若BE＝8，求⊙O的半径．
40．（2023•明光市二模）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为点E，射线EP交弧AC于点F，交过点C的切线于点D．​
（1）求证：DC＝DP；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝4，F是弧AC的中点，求CP的长．
41．（2023•雨山区校级一模）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D．且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．
（1）求证：BC＝CF；
（2）若AD＝3，DE＝4，求BE的长．
六．切线的判定（共2小题）
42．（2023•定远县二模）已知，如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A＝30°．
（1）若⊙O半径为3，求弦CD的长；
（2）若∠ACB+∠ADC＝180°，求证：BC是⊙O的切线．
43．（2023•宿州模拟）如图，点C是⊙O直径AB延长线上一点，BC＝OB，点P是⊙O上一个动点（不与点A，B重合），点E为半径OB的中点．
（1）如图1，若，求PC的长；
（2）如图2，当PE⊥OB时，求证：CP是⊙O的切线．
七．切线的判定与性质（共17小题）
44．（2023•花山区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC＝CD，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且AF＝AE．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，，求cs∠BAD的值．
45．（2023•泗县二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是圆外一点，连接DA，∠DAC＝∠ABC，连接DC交⊙O于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，E是CD的中点，求CE的长度．
46．（2023•庐阳区校级三模）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，连结AC，点D为 中点，过D作DE∥AC，交OC的延长线于点E．
（1）求证：DE是半圆O的切线．
（2）若OC＝15，CE＝10，求AC的长．
47．（2023•蒙城县三模）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，以点D为圆心的⊙D与AB相切于点E，与DC相交于点F．
（1）求证：⊙D与BC也相切；
（2）求劣弧的长（结果保留π）．
48．（2023•霍邱县二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AE＝5，，求线段BC的长．
​
49．（2023•泗县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，在⊙O上取一点D，使＝，过点C作EF⊥AD，交AD的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AD＝6，求AC的长．
50．（2023•庐阳区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求CE的值．
51．（2023•繁昌县校级模拟）如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，连接BC，AD，且BC经过点O，∠DCB＝45°，过点D的直线与AC的延长线交于点P，且∠CDP＝∠CAD．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）若AC＝12，，求CP的长．
52．（2023•安徽模拟）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D在AD左侧作∠ADP＝∠BCD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）求证：DP∥AB；
（2）求证：PD是⊙O的切线；
（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．
53．（2023•全椒县三模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，点D在BA的延长线上，∠DCA＝∠ABC，BE⊥DC，交DC的延长线于点E．
​（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若 ，BE＝4，求△BDE 的面积．
54．（2023•舒城县模拟）如图，以等腰△ABC的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE＝4，DC＝6，求⊙O的半径．
55．（2023•雨山区校级二模）如图，AB为圆O的直径，C，E为圆O上的两点，AC平分∠EAB，CF⊥AB于F，CD⊥AE于D．
（1）求证：CD为圆O的切线；
（2）若AD﹣OA＝1.5，AC＝3，求图中阴影部分的面积．
​
56．（2023•芜湖三模）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦．过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG．
（1）证明：CG是⊙O的切线；
（2）连接CD，当∠DCA＝2∠F，CE＝3时，求CF的长．
57．（2023•迎江区校级二模）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD．
（1）若∠AOD＝60°，则∠CBD＝ °；
（2）求证：AB为⊙O的切线；
（3）若AC＝8，tan∠BAC＝，求OD的长．
58．（2023•怀远县校级模拟）AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，P是半径OB上一点，PE⊥AB交BC于F，交AC的延长线于E，D是EF的中点，连接CD；
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连OD交BC于G，若G为OD的中点，AC＝6，求CE的长．
59．（2023•郊区校级模拟）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D．
（1）E为BD的中点，连接CE，求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AC＝3CD，求∠A的大小．
60．（2023•金安区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，若AB＝4，AD＝3，求OE的长．
专题20圆的基本性质（真题4个考点模拟7个考点）
一．垂径定理（共1小题）
1．（2022•安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，根据垂径定理可得AC＝BC＝5，所以PC＝PB﹣BC＝1，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
则OB＝7，
∵PA＝4，PB＝6，
∴AB＝PA+PB＝10，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝5，
∴PC＝PB﹣BC＝1，
在Rt△OBC中，根据勾股定理得：
OC2＝OB2﹣BC2＝72﹣52＝24，
在Rt△OPC中，根据勾股定理得：
OP＝＝＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．
二．圆周角定理（共1小题）
2．（2021•安徽）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．
【分析】（1）连接OD，由垂径定理推论可得∠OMD＝90°，在Rt△OMD中用勾股定理即可得半径；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，由已知可证△ACF是等腰三角形，∠FAE＝∠CAE，又弧BC＝弧BC，有∠CAE＝∠CDB，故∠FAE＝∠CDB，即可由∠CDB+∠B＝90°，得∠AGB＝90°，从而得证AF⊥BD．
【解答】解：（1）连接OD，如图：
∵M是CD的中点，CD＝12，
∴DM＝CD＝6，OM⊥CD，∠OMD＝90°，
Rt△OMD中，OD＝，且OM＝3，
∴OD＝＝3，即圆O的半径长为3；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，如图：
∵AB⊥CD，CE＝EF，
∴AB是CF的垂直平分线，
∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，
∵CE＝EF，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵＝，
∴∠CAE＝∠CDB，
∴∠FAE＝∠CDB，
Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，
∴∠FAE+∠B＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AG⊥BD，即AF⊥BD．
【点评】本题考查垂径定理及推论，涉及勾股定理、等腰三角形的性质及判定，解题的关键是证明∠FAE＝∠CDB．
三．切线的性质（共2小题）
3．（2022•安徽）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．
（1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；
（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE．求证：CE⊥AB．
【分析】（1）根据直角三角形的边角关系可求出OD，进而求出AD；
（2）根据切线的性质可得OC⊥CD，再根据等腰三角形的性质可得∠OCA＝∠OAC，由各个角之间的关系以及等量代换可得答案．
【解答】解：（1）∵OA＝1＝OC，CO⊥AB，∠D＝30°，
∴OD＝•OC＝，
∴AD＝OD﹣OA＝﹣1；
（2）∵DC与⊙O相切，
∴OC⊥CD，
即∠ACD+∠OCA＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵∠ACD＝∠ACE，
∴∠OAC+∠ACE＝90°，
∴∠AEC＝90°，
即CE⊥AB．
【点评】本题考查切线的性质，直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系、等腰三角形的性质是解决问题的前提．
4．（2020•安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE＝90°，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△CBA与Rt△DAB中，，
∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；
（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，
∴∠E＝∠BFE，
∵BE是半圆O所在圆的切线，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E+∠BAE＝90°，
由（1）知∠D＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠AFD＝∠E，
∵∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴AC平分∠DAB．
【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
四．命题与定理（共1小题）
5．（2020•安徽）已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形
B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120°
C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB
D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC
【分析】根据垂径定理，平行四边形的性质判断即可．
【解答】解：A、如图，
若半径OB平分弦AC，则四边形OABC不一定是平行四边形；原命题是假命题；
B、若四边形OABC是平行四边形，
则AB＝OC，OA＝BC，
∵OA＝OB＝OC，
∴AB＝OA＝OB＝BC＝OC，
∴∠ABO＝∠OBC＝60°，
∴∠ABC＝120°，是真命题；
C、如图，
过O作OQ⊥AC于Q，交⊙O于P，连接PA，PC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠APC＝120°，∠AOC＝360°﹣2×120°＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
在Rt△OQA中，OQ＝OA，
∴OQ＝OP，
∴AC平分OP，
∴只有当OB⊥AC时，弦AC平分半径OB，∴弦AC不一定平分半径OB，故C项是假命题；
若∠ABC＝120°，则弦AC不平分半径OB，原命题是假命题；
D、如图，
若弦AC平分半径OB，则半径OB不一定平分弦AC，原命题是假命题；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
一．圆的认识（共2小题）
1．（2023•全椒县模拟）已知A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOB+∠COD＝90°，分别记△AOB，△COD的面积为S1，S2，若OA＝5，S1＝10，则S2＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】如图，作AE⊥OB于E，DF⊥OC于F点，先利用三角形面积公式可计算出AE＝4，则利用勾股定理可计算出OE＝3，再证明△OAE≌△DOF得到DF＝OE＝3，然后利用三角形面积公式计算S2．
【解答】解：如图，作AE⊥OB于E，DF⊥OC于F点，
∵S1＝10，OA＝5，
∴OB•AE＝10，
∴AE＝＝4，
∴OE＝＝3．
∵∠AOB+∠COD＝90°，∠AOB+∠OAE＝90°，
∴∠COD＝∠OAE，
在△OAE和△DOF中，
，
∴△OAE≌△DOF（AAS），
∴DF＝OE＝3，
∴S2＝×3×5＝．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的认识：常常利用半径相等解决问题．
2．（2023•怀宁县一模）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（ ）
A．42°B．29°C．21°D．20°
【分析】利用半径相等得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E＝∠AOC进行计算即可．
【解答】解：连接OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，
∴DO＝DE，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE+∠E，
∴∠1＝2∠E，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠1，
∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，
∴∠E＝∠AOC＝×87°＝29°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．
二．垂径定理（共10小题）
3．（2023•和县二模）如图，点C是⊙O的弦AB上一点．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC的长为（ ）
A．3B．4C．D．
【分析】根据垂径定理可以得到CD的长，根据题意可知OD＝3，然后根据勾股定理可以求得OC的长．
【解答】解：作OD⊥AB于点D，如图所示，
由题意可知：AC＝6，BC＝2，OD＝3，
∴AB＝8，
∴AD＝BD＝4，
∴CD＝2，
∴OC＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是求出CD的长．
4．（2023•烈山区一模）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝6，则弧CED所在圆的半径为（ ）
A．B．4C．5D．
【分析】连接OC，设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6﹣R，根据垂径定理求出CM＝2，再在Rt△OMC中，根据勾股定理得出方程，求出即可．
【解答】解：如图，连接OC，
设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6﹣R，
∵EM经过圆心O，EM⊥CD于M，CD＝4，
∴CM＝DM＝CD＝2，
在Rt△OMC中，
由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2，
即R2＝（6﹣R）2+22，
解得：R＝，
∴弧CED所在圆的半径为．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
5．（2023•砀山县一模）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD＝6，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．3C．D．
【分析】连接OD，设圆的半径是r，由勾股定理，垂径定理得到r2＝+32，求出r的值即可．
【解答】解：连接OD，
设圆的半径是r，
∵P是OB中点，
∴OP＝r，
∵AB⊥CD，
∴PD＝CD＝×6＝3，
∵OD2＝OP2+PD2，
∴r2＝+32，
∴r＝2．
∴⊙O的半径长是2．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是连接OD构造直角三角形，应用勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程．
6．（2023•瑶海区三模）如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP交AP于点E，OF⊥PB交PB于点F，则EF等于（ ）
A．2B．3C．5D．6
【分析】先根据垂径定理得出AE＝PE，PF＝BF，故可得出EF是△APB的中位线，再根据中位线定理即可得出结论．
【解答】解：∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，AB＝10，
∴AE＝PE，PF＝BF，
∴EF是△APB的中位线，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理，中位线定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键．
7．（2023•金寨县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝6，AB＝10，则AE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】连接OC，由垂径定理求出EC的长，由勾股定理求出OE的长，即可得到AE的长．
【解答】解：连接OC，
∵直径AB⊥CD，
∴EC＝CD＝×6＝3，
∵AB＝10，
∴OC＝OA＝5，
∴OE＝＝4，
∴AE＝OA﹣OE＝1．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理求出CE的长，由勾股定理求出OE的长．
8．（2023•龙子湖区二模）如图，在半径为4.5的⊙O内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB＝8，CD＝6，垂足为E，则tan∠OEA的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，根据垂径定理得出BM＝AM＝4，DN＝CN＝CD＝3，根据勾股定理求出OM和ON，求出ME，解直角三角形求出即可．
【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
由垂径定理得：BM＝AM＝AB＝4，DN＝CN＝CD＝3，
由勾股定理得：OM＝＝＝，
同理：ON＝＝＝，
∵弦AB、CD互相垂直，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠MEN＝∠OME＝∠ONE＝90°，
∴四边形MONE是矩形，
∴ME＝ON＝，
∴tan∠OEA＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理和解直角三角形等知识点，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键．
9．（2023•蚌山区二模）如图，在⊙O中，AC为直径，点B，D在⊙O上，且AD＝DC，作DE⊥AB于点E，DE＝3．
（1）求点D到直线BC的距离；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）把△ADE绕D点旋转到△CDF处，使AD与DC重合，可得DF＝AE，∠DCF＝∠DAE，∠AED＝∠CFD，DE＝DF＝3，得到∠DCF+∠DCB＝180°，即F、C、B三点共线，由DE⊥AB，可知∠AED＝∠CFD＝90°，可知点D到直线BC的距离为DF的长度，即可求解；
（2）由（1）可知，S四边形ABCD＝S四边形DEBF，而四边形DEBF是正方形，即可得．
【解答】解：（1）∵在⊙O中，AC为直径，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠A+∠DCB＝180°，
∴∠DCF+∠DCB＝180°，
∴F、C、B三点共线，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∴点D到直线BC的距离为DF的长度，
即：点D到直线BC的距离为3；
（2）由（1）知，∠AED＝∠DEB＝∠CFD＝90°，∠ABC＝90°，F、C、B三点共线，DE＝DF＝3，S△ADE＝S△CDF，
∴四边形DEBF是正方形，
又∵S四边形ABCD＝S四边形DEBC+S△ADE，S△ADE＝S△CDF，S四边形DEBF＝S四边形DEBC+S△CDF，
∴．
【点评】本题考查了内接四边形的性质及圆周角定理，旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的判定及性质．
10．（2023•庐江县模拟）在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP为（ ）
A．2cmB．cmC．3cmD．2cm
【分析】由垂径定理求出CP的长，由勾股定理即可求出OP的长．
【解答】解：如图：AB是过P的最长的弦是圆的直径，CD是过P点的最短的弦，CD⊥AB，
∴AB＝8cm，CD＝4cm，
∴OC＝4cm，CP＝CD＝2cm，
∴OP＝＝＝2（cm），
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理和勾股定理，关键是明白过P的最长的弦是圆的直径，过P的最短的弦垂直于PO．
11．（2023•亳州三模）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点H．若AB＝10，CD＝8，则BH的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】根据垂径定理得到CH＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3，进而得出答案．
【解答】解：连接OC，
∵AB⊥CD，CD＝8，
∴，∠OHC＝90°，
∵AB＝10，
∴OB＝OC＝5，
∴，
∴BH＝OB﹣OH＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OH的长是解题的关键．
12．（2023•怀远县校级二模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
【分析】（1）先根据CD为⊙O的直径，CD⊥AB得出＝，故可得出∠C＝∠AOD，由对顶角相等得出∠AOD＝∠COE，故可得出∠C＝∠COE，再根据AO⊥BC可知∠AEC＝90°，故∠C＝30°，再由直角三角形的性质可得出BF的长，进而得出结论；
（2）在Rt△OCE中根据∠C＝30°即可得出OC的长．
【解答】解：（1）∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴＝，AF＝BF，
∴∠C＝∠AOD，
∵∠AOD＝∠COE，
∴∠C＝∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠C＝30°，
∵BC＝2，
∴BF＝BC＝，
∴AB＝2BF＝2；
（2）∵AO⊥BC，BC＝2，
∴CE＝BE＝BC＝，
∵∠C＝30°，
∴OC＝＝＝2，即⊙O的半径是2．
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．
三．垂径定理的应用（共4小题）
13．（2023•池州三模）如图1，圆形拱门是中国古代建筑喜欢采用的样式，美观且实用，图2是拱门的示意图，拱门底端宽2米，拱门高3米，拱门所在圆的半径为 米．
【分析】先连接OA，由垂径定理易得出AD的长，在Rt△OAD中，可用半径表示出OD的长，根据勾股定理即可求出半径的长度．
【解答】解：如图，取圆心为O，连接OA，
设OA＝x米，则OC＝x米，
∵CD＝3米，
∴OD＝（3﹣x）米，
∵CD⊥AB，
∴AD＝AB＝×2＝1m，
OA2＝OD2+AD2，
∴x2＝（3﹣x）2+12，
解得：x＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了垂径定理的应用，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形，列出方程．
14．（2023•龙子湖区二模）如图是美妆小镇某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半径为2.5cm，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，EF＝4.8cm，则香水瓶的高度h是（ ）
A．5.6cmB．5.7cmC．5.8cmD．5.9cm
【分析】作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．根据垂径定理求出BG、EH，解直角三角形求出OG，OH，根据h＝OH+OG+AB即可解决问题．
【解答】解：如图，作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．
∵EF∥BC，
∴OH⊥EF，
∴，，
∴；，
∴h＝OH+OG+AB＝0.7+2.4+2.6＝5.7cm．
即香水瓶的高度h为5.7cm，
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
15．（2023•蜀山区一模）《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，弧AB是以点O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在弧AB上，且CD⊥AB．“会圆术”给出弧AB的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+．当OA＝2，∠AOB＝90°时，s＝ 3 ．
【分析】根据垂径定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系求出AB，CD，再代入计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，由题意可知点O、C、D在同一条直线上，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，
∴AB＝OA＝2，
∵OC⊥AB，OA＝OB＝2，
∴OC＝AC＝OA＝，
∴s＝AB+
＝2+
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理以及直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系以及垂径定理是正确解答的关键．
16．（2023•蚌山区模拟）如图，是一架无人机俯视简化图，MN与PQ表示旋翼，旋翼长为24cm，A，B为旋翼的支点，各支点平分旋翼，飞行控制中心O到各旋翼支点的距离均为30cm，相邻两个支架的夹角均相等，当无人机静止且支架与旋翼垂直时，M与P之间的距离为（ ）
A．30﹣12B．30﹣12C．15﹣3D．15﹣24
【分析】如图，延长BP交AM的延长线于点J，连接OP，OM，OJ，OJ交PM于点K．首先求出PJ＝MJ＝10﹣12，再求出PK，可得结论．
【解答】解：如图，延长BP交AM的延长线于点J，连接OP，OM，OJ，OJ交PM于点K．
∵OJ＝OJ，OA＝OB，∠OAJ＝∠OBJ，
∴Rt△OAJ≌Rt△OBJ（HL），
∴JB＝JA，∠JOA＝∠JOB＝∠AOB＝30°，
∵OA＝30cm，
∴AJ＝BJ＝OB•tan30°＝10（cm），
∵PB＝AM＝12cm，
∴PJ＝JM＝（10﹣12）cm，
∵OJ⊥PM，
∴PK＝KM＝PJ•cs30°＝（10﹣12）×＝（15﹣6）cm，
∴PM＝2PK＝（30﹣12）cm．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
四．圆周角定理（共16小题）
17．（2023•镜湖区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠CDB＝35°，则∠CBA的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
【分析】由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB＝90°，则∠A和∠ABC互余，欲求∠ABC需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A＝∠CDB，由此得解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即∠A+∠ABC＝90°；
又∵∠A＝∠CDB＝35°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝55°．
故选：D．
【点评】此题主要考查的是圆周角定理及其推论；半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等．
18．（2023•安徽模拟）如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC，CB于点D，E．若∠DOE＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【分析】连接AE，根据圆周角定理可得∠AEC＝∠AEB＝90°，∠EAC＝20°，再根据三角形内角和定理求出∠C即可．
【解答】解：连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∵∠DOE＝40°，
∴∠EAC＝20°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣20°＝70°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理以及圆心角、弧、弦之间的关系定理，熟知半圆（或直径）所对的圆周角是直角，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．
19．（2023•舒城县模拟）如图，点A、B、C在⊙O上，＝2，若∠A＝70°，则∠B的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．110°
【分析】取的中点D，连接OD，结合已知条件，利用圆心角、弧、弦的关系求得∠AOC＝∠BOD＝∠COD，然后利用等边对等角及三角形内角和定理先求得∠AOC的度数，从而求得∠BOC的度数，再利用等边对等角及三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】解：如图，取的中点D，连接OD，
∴＝2＝2，
∵＝2，
∴∠AOC＝∠BOD＝∠COD，
∵∠A＝70°，OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝70°，
∴∠AOC＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠BOC＝40°+40°＝80°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝＝50°，
故选：A．
【点评】本题考查圆与等腰三角形性质的综合运用，取的中点D，连接OD求得∠AOC＝∠BOD＝∠COD是解题的关键．
20．（2023•濉溪县模拟）如图，⊙O中，OC⊥AB，∠CDB＝25°，则∠OAB的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
【分析】连接OB，根据圆周角定理得出∠BOC的度数，由直角三角形两锐角互余及等腰三角形的性质即可得到答案．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠OEB＝90°，
∵∠CDB＝25°，
∴∠BOE＝50°，
∴∠OBE＝90°﹣50°＝40°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBE＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理及圆周角定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据垂径定理及圆周角定理得到∠AOC＝2∠CDB＝50°．
21．（2023•无为市四模）如图，CD是⊙O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，则∠BCE的度数是（ ）
A．34°B．36°C．38°D．42°
【分析】连接BD，根据圆周角定理可求得∠BDC＝∠BEC，∠CBD＝90°，再结合已知条件，利用三角形外角性质求得∠BEC的度数，继而求得∠BCD的度数，最后利用角的和差即可求得答案．
【解答】解：如题，连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，∠BDC＝∠BEC，
∵∠BEC＝∠A+∠ACE＝22°+16°＝38°，
∴∠BDC＝38°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BDC＝90°﹣38°＝52°，
∴∠BCE＝∠BCD﹣∠ACE＝52°﹣16°＝36°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理及三角形外角性质，结合已知条件求得∠BDC的度数是解题的关键．
22．（2023•庐阳区校级模拟）如图，点P为矩形ABCD的外接圆上的动点，连接PB、PD、PO，AB＝1，，当PO平分∠BPD时，∠PBA的度数为（ ）
A．15°B．30°C．15°或105°D．30°或105°
【分析】连接BD，推出BD是⊙O的直径，利用三角函数的定义求得∠ABD＝60°，再分类讨论，当点P在BD上方和点P在BD下方时，据此求解即可．
【解答】解：∵点P为矩形ABCD的外接圆上的动点，
∴∠A＝∠C＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BPD＝90°，
∵AB＝1，，
∴，
∴∠ABD＝60°，
当点P在BD上方时，
∵PO平分∠BPD，
∴，
∵OP＝OB，
∴∠BPO＝∠PBO＝45°，
∴∠PBA＝∠ABD﹣∠PBD＝15°；
当点P在BD下方时，
同理可得∠BPO＝∠PBO＝45°，
∴∠PBA＝∠ABD+∠PBD＝105°；
综上，∠PBA的度数为15°或105°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，根据矩形的性质证明BD是⊙O的直径是解题的关键．
23．（2023•全椒县一模）已知点A，B，C是⊙O上的点，且三点互不重合，下列结论错误的是（ ）
A．若点B是的中点，则∠BAC＝∠ACB
B．若∠AOB＝110°，则∠ACB＝55°或125°
C．若AB∥OC，OA⊥OB，则∠AOC＝135°
D．若四边形OABC是平行四边形，则四边形OABC一定是菱形
【分析】根据等弧对等角可判断A正确；依据圆周角定理可判断B正确；依据垂直及平行线的性质可判断C错误；依据圆的基本性质及菱形的判定方法可判断D正确．
【解答】解：如答图1，∵点B是的中点，
∴，
∴∠BAC＝∠ACB，选项A正确；
当∠AOB＝110°时，分两种情况，
如答图5，当点C位于优弧AB上时，
由圆周角定理，得，
如答图6，当点C位于劣弧AB上时，在优弧AB上任选一点C'，连接AC'，BC'，
∵∠AOB＝110°，
∴，
∴∠ACB＝180°﹣∠C'＝180°﹣55°＝125°，
∴∠ACB＝55°或125°，选项B正确；
当AB∥OC时，分两种情况．
如答图3，∵OA⊥OB，OA＝OB，
∴∠AOB＝90°，∠OAB＝45°，
∵AB∥OC，
∴∠AOC+∠OAB＝180°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAB＝180°﹣45°＝135°，
如答图4，∵AB∥OC，
∴∠AOC＝∠OAB＝45°，
∴∠AOC的度数为135°或45°，选项C错误；
如答图2，∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA＝BC，OC＝AB，
又OA＝OC，
∴OA＝AB＝BC＝OC，
∴四边形OABC是菱形，选项D正确；
综上所述，
故选：C．
【点评】本题考查了等弧对等角、圆周角定理、垂直及平行线的性质、基本性质及菱形的判定；熟练掌握相关性质是解题的关键．
24．（2023•太和县二模）如图，以△ABC的边AB为直径作半圆O交AC于点D，且OD∥BC，半圆O交BC于点E．
（1）求证：∠C＝∠CED．
（2）若，AD＝4，求半圆O的半径r．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质证明即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质计算即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC的边AB为直径作半圆O交AC于点D，且OD∥BC，
∴∠C＝∠ADO，∠CED＝∠A，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠A，
∴∠C＝∠CED．
（2）解：△ABC的边AB为直径作半圆O交AC于点D，且OD∥BC，
根据解析（1）可知，∠C＝∠CED，
∴DC＝DE，
∵OD∥BC，OA＝OB，
∴，
∴AD＝DC，
∴AD＝DC＝DE＝4，
∴AC＝8，
∴∠C＝∠C，∠CED＝∠A，
∴△CED∽△CAB，
∴，
∴，
解得：AB＝12，
故圆的半径为6．
【点评】本题考查了圆的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
25．（2023•庐阳区二模）如图，在⊙O中，AB是直径，点C在圆上，AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC，AD的延长线交⊙O于点E，连接BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若AB＝10，BC＝6，求BE的长．
​
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAD，∠CBD＝∠DBA，再根据圆周角定理得到∠CBE＝∠CAE，然后证明∠EBD＝∠EDB，从而得到BE＝DE；
（2）AE与BC相交于点F，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理计算出AC＝8，再根据角平分线性质和三角形面积公式可得到＝，则可计算出CF＝，BF＝，接着利用勾股定理计算出AF＝，然后证明△ACF∽△BEF，于是利用相似比可计算出BE的长．
【解答】（1）证明：∵AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠CAE＝∠BAD，∠CBD＝∠DBA，
∵∠CBE＝∠CAE，
∴∠EBD＝∠CBE+∠DBC＝∠CAE+∠CBD＝∠BAD+∠DBA，
∵∠EDB＝∠BAD+∠DBA，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE；
（2）解：AE与BC相交于点F，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，
∵AF平分∠BAC，
∴点F到AC和AB的距离相等，
∴S△ACF：S△ABF＝AC：AB，
∵S△ACF：S△ABF＝CF：BF，
∴＝＝＝，
∴CF＝BC＝，BF＝BC＝，
在Rt△ACF中，AF＝＝＝，
∵∠CAF＝∠EBF，∠C＝∠E，
∴△ACF∽△BEF，
∴AC：BE＝AF：BF，即8：BE＝：，
解得BE＝，
即BE的长为．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了角平分线的性质和相似三角形的判定与性质．
26．（2023•合肥二模）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，，求BC的长．
【分析】（1）由角平分线的定义、结合等量代换可得∠BED＝∠DBE，即BD＝ED；然后再根据直径所对的圆周角为90°即可解答；
（2）如图：连接OC，CD，OD，OD交BC于点F．先说明OD垂直平分BC．进而求得BD、OD、OB的长，设OF＝t，则DF＝5﹣t．然后根据勾股定理列出关于t的方程求解即可．
【解答】解：（1）△BDE为等腰直角三角形，理由如下：
∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE，
∴BD＝ED，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°．
∴△BDE为等腰直角三角形；
（2）如图：连接OC，CD，OD，OD交BC于点F．
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD，
∴BD＝DC．
∵OB＝OC，
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，，
∴．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，，
解得t＝3，
∴BF＝4，
∴BC＝8．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用、垂直平分线的判定与性质、圆的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
27．（2023•芜湖模拟）如图1，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于E，D为弧BC的中点，连接AD，分别交CE、CB于点F和点G．
（1）求证：CF＝CG；
（2）如图2，若AF＝DG，连接OG，求证：OG⊥AB．
【分析】（1）连接AC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而可得∠CAG+∠AGC＝90°，根据垂直定义可得∠CEA＝90°，从而可得∠FAE+∠AFE＝90°，然后根据已知可得＝，从而可得∠CAG＝∠FAE，进而可得∠AGC＝∠AFE，最后根据对顶角相等可得∠AFE＝∠CFG，从而可得∠AGC＝∠CFG，进而根据等角对等边即可解答；
（2）连接AC，CD，利用（1）的结论，再根据等角的补角相等可得∠AFC＝∠CGD，然后根据SAS证明△AFC≌△DGC，从而可得AC＝CD，进而可得＝＝，最后根据等弧所对的圆周角相等可得∠ABC＝∠DAB，从而可得GA＝GB，进而利用等腰三角形的三线合一性质即可解答，
【解答】证明：（1）连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAG+∠AGC＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEA＝90°，
∴∠FAE+∠AFE＝90°，
∵D为弧BC的中点，
∴＝，
∴∠CAG＝∠FAE，
∴∠AGC＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠CFG，
∴∠AGC＝∠CFG，
∴CF＝CG；
（2）连接AC，CD，
∵∠CFG＝∠CGF，
∴180°﹣∠CFG＝180°﹣∠CGF，
∴∠AFC＝∠CGD，
∵CF＝CG，AF＝CD，
∴△AFC≌△DGC（SAS），
∴AC＝CD，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴∠ABC＝∠DAB，
∴GA＝GB，
∵OA＝OB，
∴GO⊥AB．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
28．（2023•太湖县一模）阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿．下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：如图1，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使AD＝DE，点F是上的一点，且，连接BF，求证：BF＝BE．
学习小组中的一位同学进行了如下证明：
如图2，连接AC，CE，BC
∵CD⊥AB，AD＝DE．
∴∠CAE＝∠CEA
∵∠CAE+∠F＝180°，∠CEA+∠CEB＝180°
∴∠F＝∠CEB
……
请完成下列的任务：
（1）完成上面的证明：
（2）如图3，将上述问题中弦AB改为直径AB，若CF∥AB，求证点E是AB的中点．
【分析】（1）证明△BCF≌△BCEC（AAS），即可得出答案；
（2）先证明，再证明△ACE为等边三角形，进而得出四边形BECF为菱形，推出AE＝BE，即可得出结论．
【解答】解：（1），
∴∠CBF＝∠CBE，
又∵BC＝BC，
∴△BCF≌△BCEC（AAS），
∴BF＝BE；
（2）证明：如图，连接AC，CE，BC．
∵CF∥AB，
∴∠BCF＝∠ABC，
∵，
∴∠CBF＝∠ABC，
∴∠BCF＝∠CBF，
∴，BF＝CF，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠CAE＝∠ABF＝60°，
∵CD⊥AB，AD＝DE，
∴∠CAE＝∠CEA＝60°，
∴△ACE为等边三角形，
∴AE＝CE，
∵∠CEA＝∠ABF＝60°，
∴CE∥BF，
又∵CF∥AB，BF＝CF，
∴四边形BECF为菱形，
∴CE＝BE，
∴AE＝BE，
∴点E是AB的中点．
【点评】本题考查菱形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点是解题的关键．
29．（2023•蜀山区校级三模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心恰好经过A、B、C三点，⊙O交BD于E，交AD于F，且＝，连接OA、OF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数．
【分析】（1）先根据圆的性质得：∠CBD＝∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD＝∠CDB，根据直径和等式的性质得＝，则AB＝BC，即可得出结论；
（2）设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，根据∠ABC+∠BAD＝180°，列方程求出x的值即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵CD∥AB，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∵BE是⊙O的直径，
∴＝，
∴AB＝BC＝CD，
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是菱形；．
（2）∵∠AOF＝3∠FOE，
设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，
∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝（180°﹣3x），
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝2x，
∴∠ABC＝4x，
∵BC∥AD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴4x+2x+（180°﹣3x）＝180°，
解得：x＝20°，
∴∠ABC＝4x＝80°．
【点评】本题考查圆周角定理，菱形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是学会设未知数，列方程求角的度数，属于中考常考题型．
30．（2023•蚌埠二模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点P，AB经过点O，E是AC的中点，连接OE，EP，延长EP交BD于点F．
（1）若AB＝10，，求AC的长；
（2）求证：EF⊥BD．
【分析】（1）根据垂径定理可得OE垂直平分AC，从而可得OE⊥AC，AC＝2AE，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的长，进行计算即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠APC＝∠BPD＝90°，从而可得∠DPF+∠BPF＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得EP＝EC，从而可得∠EPC＝∠C，再利用对顶角相等，以及同弧所对的圆周角相等可得∠DPF＝∠B，最后利用等量代换可得∠B+∠BPF＝90°，从而利用三角形内角和定理进行计算可得∠BFP＝90°，即可解答．
【解答】（1）解：∵E是AC的中点，
∴OE垂直平分AC，
∴OE⊥AC，AC＝2AE，
∵AB＝10，
∴OA＝AB＝5，
在Rt△AOE中，OE＝，
∴，
∴，
∴AC的长为2；
（2）证明：∵AB⊥CD，
∴∠APC＝∠BPD＝90°，
∴∠DPF+∠BPF＝90°，
∵E是AC的中点，
∴EP＝EC＝AC，
∴∠EPC＝∠C，
∵∠EPC＝∠DPF，∠B＝∠C，
∴∠DPF＝∠B，
∴∠B+∠BPF＝90°，
∴∠BFP＝180°﹣（∠B+∠BPF）＝90°，
∴EF⊥BD．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．
31．（2023•蒙城县模拟）如图，以BC为直径的⊙O经过△ABC的顶点A，弦BD平分∠ABC，E是弦BD上一点，且∠ACE＝∠BCE．
（1）求证：CD＝DE；
（2）若AC＝8，，求⊙O的半径．
【分析】（1）由角平分线的定义和圆周角定理可知，∠BCE＝∠ACE，∠ABE＝∠EBC＝∠ACD，可得∠CED＝∠DCE，即可证明；
（2）连接OA、AD、OD，OD交AC于点F，由圆周角定理可得：∠BCA＝∠BDA，利用各角之间的关系及等角对等边得出AD＝DC，再由垂直平分线的判定定理得出OD垂直平分AC，利用圆周角定理及勾股定理得出，再由垂径定理及勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：由圆周角定理可得：∠ACD＝∠ABD，
∵BE平分∠ABC，∠BCE＝∠ACE，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ACD，
∵∠CED＝∠BCE+∠CBE，∠DCE＝∠DCA+∠ACE，
∴∠CED＝∠DCE．
∴CD＝DE；
（2）解：连接OA、AD、OD，OD交AC于点F，
由圆周角定理可得：∠BCA＝∠BDA，
由（1）知∠CBD＝∠ABD＝∠CAD，
∴∠ACD＝∠CAD＝∠ABD＝∠CBD，
∴AD＝DC，
∵OA＝OC，
∴OD垂直平分AC．
∵CB为直径，CD＝DE，
∴∠CDB＝90°，则△CDE是等腰直角三角形．
∵，CE2＝CD2+ED2＝2CD2，
∴．
∵AC＝8，
∴AF＝FC＝4，
∴，
设⊙O的半径为r，
∴OC＝OD＝r，OF＝r﹣2，
在Rt△OCF中，OC2＝OF2+CF2，即r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5，
∴⊙O的半径为5．
【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理及等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明△CDE是等腰直角三角形是解题关键．
32．（2023•安徽二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，BD，
（1）求证：∠ADC＝∠ABD．
（2）作OF⊥AD于点F，若⊙O的半径为5，OE＝3，求OF的长．
【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；
（2）利用勾股定理求出DE，AD，再利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ADC+∠CDB＝90°，∠CDB+∠ABD＝90°，
∴∠ADC＝∠ABD；
解法二：∵AB⊥CD，AB是直径，
∴＝，
∴∠ADC＝∠ABD．
（2）解：如图，连接OD．
在Rt△OED中，DE＝＝＝4，
在Rt△ADE中，AD＝＝＝4，
∵sin∠A＝＝，
∴＝，
∴OF＝．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
五．切线的性质（共9小题）
33．（2023•合肥三模）如图，点C是半⊙O直径AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点D，E为AB上一点，EF∥CD交AD于G，若∠AGF＝70°，⊙O的半径为2，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OD，由切线的性质得出∠ODC＝90°，求出∠BOD＝40°，由弧长公式可得出答案．
【解答】解：连接OD，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥DC，
∴∠ODC＝90°，
∵EF∥CD，
∴∠EGD+∠GDC＝180°，
∵∠AGF＝∠EGD＝70°，
∴∠GDC＝180°﹣∠EGD＝110°，
∴∠ADO＝110°﹣90°＝20°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝20°，
∴∠BOD＝40°，
∴的长为＝．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质，平行线的性质，弧长公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
34．（2023•凤台县校级二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E在AD边上，以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是（ ）
A．4B．4C．8D．9
【分析】设∠AEF＝n°，由题意得：＝12π，解得n＝120，推出∠AEF＝120°，在Rt△EFD中，求出DE即可解决问题．
【解答】解：设∠AEF＝n°，
∵以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，
∴r＝6，
由题意得：＝12π，解得n＝120，
∴∠AEF＝120°，
∴∠FED＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，∠D＝90°，
∴∠EFD＝30°，
∴DE＝EF＝3，
∴BC＝AD＝6+3＝9．
故选：D．
【点评】本题考查切线的性质、矩形的性质、扇形的面积公式、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
35．（2023•东至县一模）如图，AB是⊙O的直径，C、D 是⊙O上的点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）
A．70°B．50°C．40°D．20°
【分析】方法一：连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，由OA＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出∠COE的度数，即可求出∠E的度数．
方法二：连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，再根据圆周角定理，即可得到∠COE的度数，再根据∠OCE＝90°，即可得到∠E的度数．
【解答】解：方法一：连接OC，
∵CE为圆O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠COE＝90°，
∵∠CDB与∠BAC都对，且∠CDB＝20°，
∴∠BAC＝∠CDB＝20°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝20°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE＝40°，
则∠E＝50°．
故选：B．
方法二：连接OC，
∵CE为圆O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠COE＝90°，
∵∠CDB＝20°，
∴∠CAB＝∠CDB＝20°，
∴∠COE＝2∠CAB＝40°，
∴∠E＝∠OCE﹣∠COE＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
36．（2023•瑶海区校级一模）如图，直线AB与⊙O相切于点A，CD是⊙O的一条弦，且CD∥AB，连接AC．若⊙O的半径为2，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．4πC．D．
【分析】如图所示，过点O作EF∥AB，作OH⊥CD于H，可得∠OCH＝30°，∠AOC＝120°，结合图形可求出扇形OAC的面积，△OAC的面积，由此即可求解．
【解答】解：如图所示，过点O作EF∥AB，作OH⊥CD于H，则点H是CD的中点，
∵直线AB与⊙O相切于点A，CD∥AB，
∴A，O，H在同一条直线上，且AB∥EF∥CD，
∴，
在Rt△COH中，CO＝2，
∴，
∴∠OCH＝30°，
∵AB∥EF∥CD，
∴∠HCO＝∠COF＝30°，∠FOA＝∠OAB＝90°，
∴∠AOC＝120°，
∴，，，
∴，
∴阴影部分的面积为，
故选：A．
【点评】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握垂径定理，平行线的性质，特殊角的直角三角形，扇形面积的计算方法是解题的关键．
37．（2023•安徽二模）已知，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，OD∥AC交劣弧BC于点D．∠A＝40°，则∠BOD的度数是（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
【分析】由切线的性质定理得到∠ACO＝90°，∠ABO＝90°，即可求出∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，由平行线的性质得到∠DOC＝90°，即可求出∠BOD的度数．
【解答】解：连接OC，
∵AB，AC是⊙O的切线，
∴半径OC⊥AC，OB⊥AB，
∴∠ACO＝90°，∠ABO＝90°，
∵∠A+∠BOC+∠ACO+∠ABO＝360°，∠A＝40°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∵OD∥AC，
∴∠DOC+∠ACO＝180°，
∴∠DOC＝90°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝140°﹣90°＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质，平行线的性质，关键是掌握切线的性质定理．
38．（2023•庐阳区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C是BD的中点，过点C的切线与AD的延长线交于E，连接CD，AC．
（1）求证：CE⊥AE；
（2）若CD∥AB，DE＝1，求⊙O的面积．
​
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OCA，再由等弧所对的圆周角相等可得∠OAC＝∠CAD，从而证明∠CAD＝∠OCA，可得OC∥AE，即可证明．
（2）连接OD，由题意可证四边形AOCD是菱形，可得△AOD是等边三角形，从而可得∠DCE＝30°，根据直角三角形的性质可得DC＝2DE，即可求出结果．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵点C是的中点，
∴，
∴∠CAB＝∠CAD，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴OC∥AE，
∴CE⊥AE；
（2）解：如图，连接OD，
∵CD∥AB，OC∥AE，
∴四边形AOCE是平行四边形，
又∵OA＝OC，
∴四边形AOCD是菱形，
∴AD＝CD＝OA，
∴OA＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°，
∵CD∥AB，
∴∠CDE＝∠OAD＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴CD＝2DE＝2，
∴OA＝CD＝2，
∴⊙O的面积＝2π×22＝8π．
即⊙O的面积为8π．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、圆的切线的性质定理和圆周角定理、等边三角形的性质和菱形的判定和性质及平行线的性质，熟练综合运用这些知识点，并能准确作出辅助线是解决问题的关键．
39．（2023•金安区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．⊙O分别与边AC，BC相切于点D和点E，连接CO．
（1）求证：CO为∠ACB的平分线．
（2）连接AE与CO交于点F，且满足2AF＝3FE，若BE＝8，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，OE，由切线的性质定理，得到OD⊥AC，OE⊥BC，又OD＝OE，因此CO为∠ACB的平分线．
（2）由△OEF∽△CAF，得到OE：AC＝2：3，由△BOE∽△BAC，即可求出BE的长，得到CE的长，即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OD，OE，
∵⊙O分别与边AC，BC相切于点D和点E，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∵OD＝OE，
∴CO为∠ACB的平分线．
（2）解：∵OE∥AC，
∴△OEF∽△CAF，
∴OE：AC＝EF：AF，
∵2AF＝3FE，
∴EF：AF＝2：3，
∴OE：AC＝2：3，
∵△BOE∽△BAC，
∴BE：BC＝OE：AC＝2；3，
∵BE＝8，
∴BC＝12，
∴CE＝BC﹣BE＝4，
∵OE∥AC，OD∥CE，OD＝OE，∠ACB＝90°，
∴四边形ODCE是正方形，
∴OD＝CE＝4，
∴⊙O的半径是4．
【点评】本题考查切线的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线，关键是由△OEF∽△CAF，得到OE：AC＝2：3，由△BOE∽△BAC，求出BE的长．
40．（2023•明光市二模）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为点E，射线EP交弧AC于点F，交过点C的切线于点D．​
（1）求证：DC＝DP；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝4，F是弧AC的中点，求CP的长．
【分析】（1）连接OC由切线的性质得到∠DCP+∠ACO＝90°，由直角三角形的性质得到∠OAC+∠APE＝90°，由等腰三角形的性质，对顶角的性质即可得到∠DCP＝∠DPC，因此CD＝PD；
（2）连接OF，CF，由圆周角定理可以证明△OCF、△DCP是等边三角形，得到CF的长，由锐角的正弦即可求出PC的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵DC切圆于C，
∴半径OC⊥DC，
∴∠DCP+∠ACO＝90°，
∵PE⊥AB，
∴∠OAC+∠APE＝90°，
∵∠DPC＝∠APE，
∴∠OAC+∠DPC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DCP＝∠DPC，
∴CD＝PD；
（2）解：连接OF，CF，
∵∠CAB＝30°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵F是的中点，
∴∠FOC＝∠FOA＝60°，
∵OF＝OC，
∴△OFC是等边三角形，
∴FC＝OC＝2
∵∠APE＝90°﹣∠BAC＝60°，
∴∠DPC＝∠APE＝60°，
∵DP＝DC，
∴△DPC是等边三角形，
∵∠CFO＝∠AOF＝60°，
∴CF∥BE，
∵BE⊥DE，
∴CF⊥DP，
∵sin∠CPF＝＝，FC＝2，
∴PC＝．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，关键是掌握证明△OFC是等边三角形，得到FC的长，从而求出PC的长．
41．（2023•雨山区校级一模）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D．且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．
（1）求证：BC＝CF；
（2）若AD＝3，DE＝4，求BE的长．
【分析】（1）根据切线的性质首先得出CO⊥ED，再利用平行线的判定得出CO∥AD，进而利用圆周角、圆心角定理得出BC＝CF；
（2）首先求出△EOC∽△EAD，进而得出r的长，即可求出BE的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵ED切⊙O于点C，
∴CO⊥ED，
∵AD⊥EC，
∴CO∥AD，
∴∠OCA＝∠CAD，
∵∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＝∠CAD，
∴＝，
∴BC＝CF；
（2）解：在Rt△ADE中，
∵AD＝3，DE＝4，
根据勾股定理得AE＝5，
∵CO∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴＝，
设⊙O的半径为r，
∴OE＝5﹣r，
∴＝，
∴r＝，
∴BE＝5﹣2r＝，
答：BE的长为．
【点评】本题考查了切线的性质定理和圆周角及弧的关系、相似三角形的判定与性质，解题的关键是得出＝．
六．切线的判定（共2小题）
42．（2023•定远县二模）已知，如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A＝30°．
（1）若⊙O半径为3，求弦CD的长；
（2）若∠ACB+∠ADC＝180°，求证：BC是⊙O的切线．
【分析】（1）连接OC、OD，则OC＝OD＝3，由圆周角定理得∠DOC＝60°，得出△OCD是等边三角形，即可得出结果；
（2）连接CO并延长交⊙O于点M，连AM，则∠MAC＝90°，∠M+∠ADC＝180°，由三角形内角和定理得∠M+∠ACM＝90°，易证∠M＝∠ACB，得出∠BCM＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）解：连接OC、OD，如图1所示：
则OC＝OD＝3，
∵∠A＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝3；
（2）证明：连接CO并延长交⊙O于点M，连AM，如图2所示：
则∠MAC＝90°，∠M+∠ADC＝180°，
∴∠M+∠ACM＝90°，
∵∠ACB+∠ADC＝180°，
∴∠M＝∠ACB，
∴∠ACB+∠ACM＝90°，
即∠BCM＝90°，且CM是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、三角形内角和定理、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理与切线的判定是解题的关键．
43．（2023•宿州模拟）如图，点C是⊙O直径AB延长线上一点，BC＝OB，点P是⊙O上一个动点（不与点A，B重合），点E为半径OB的中点．
（1）如图1，若，求PC的长；
（2）如图2，当PE⊥OB时，求证：CP是⊙O的切线．
【分析】（1）连接OP．由已知条件得到＝＝，进而征得△OEP∽△OPC，根据相似三角形的性质即可求得PC；
（1）连接OP，PB．由已知条件求得cs∠EOP＝＝，得到∠EOP＝60°．征得△OPB是等边三角形，进而得到∠OBP＝∠BPO＝60°，OB＝PB，由三角形外角定理求得∠BPC＝30°，进而求得∠OPC＝90°，即可证得结论．
【解答】（1）解：如图1，连接OP．
∵OP＝OB＝BC＝2OE，
∴＝＝，
又∵∠COP＝∠POE，
∴△OEP∽△OPC，
∴＝＝＝，
∵PE＝，
∴PC＝2；
（2）证明：如图2，连接OP，PB．
∵点E为半径OB的中点，
∴OE＝OB＝OP．
∵PE⊥OB，
∴∠PEO＝90°．
∴cs∠EOP＝＝，
∴∠EOP＝60°．
又∵OP＝OB，
∴△OPB是等边三角形，
∴∠OBP＝∠BPO＝60°，OB＝PB，
∵BC＝OB，
∴BC＝PB，
∴∠C＝∠BPC＝∠OBP＝30°，
∴∠OPC＝∠BPO+∠BPC＝90°，
∵OP是⊙O的半径，
∴CP是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，三角函数的定义，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
七．切线的判定与性质（共17小题）
44．（2023•花山区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC＝CD，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且AF＝AE．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，，求cs∠BAD的值．
【分析】（1）由圆周角定理可得∠CAD＝∠ABC，由等腰直角三角形的性质可得∠FAC＝∠CAD，由余角的性质可证AF⊥AB，可得结论；
（2）利用锐角三角函数和勾股定理可求AE，CE，AB，BE的长，通过证明△ACE∽△BDE，可得，可求DE的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AC＝CD，
∴，
∴∠CAD＝∠ABC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵AE＝AF，∠ACB＝90°，
∴∠FAC＝∠CAD，CE＝FC，
∴∠FAC＝∠CAD＝∠ABC，
∴∠FAC+∠CAB＝90°，
∴AF⊥AB，
又∵AB是直径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BD，
∵cs∠ABC＝cs∠CAD＝，AC＝4，
∴AE＝5，
∴AF＝AE＝5，CE＝＝＝3，
∴CE＝CF＝3，
∵tanF＝，
∴，
∴AB＝，
∵cs∠ABC＝＝，
∴BF＝，
∴BE＝BF﹣EF＝﹣（3+3）＝，
∵∠CAD＝∠CBD，∠AEC＝∠BED，
∴△ACE∽△BDE，
∴，
∴，
∴DE＝，
∴AD＝+5＝，
∴cs∠BAD＝＝＝．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．
45．（2023•泗县二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是圆外一点，连接DA，∠DAC＝∠ABC，连接DC交⊙O于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，E是CD的中点，求CE的长度．
【分析】（1）作圆的直径AF，连接CF，由圆周角定理得到∠ABC＝∠AFC，∠ACF＝90°，由条件推出∠DAC+∠CAF＝90°，即可证明AD是⊙O的切线．
（2）由圆内接四边形的性质推出△DAE∽△DCA，得到，代入有关数据，即可求出CE的长．
【解答】解：（1）证明：作圆的直径AF，连接CF，
∵∠DAC＝∠ABC，∠ABC＝∠AFC，
∴∠DAC＝∠AFC，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ACF＝90°，
∴∠CAF+∠AFC＝90°，
∴∠DAC+∠CAF＝90°，
∴直径AF⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：连接AE．
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∵∠DEA+∠AEC＝180，
∴∠DEA＝∠ABC，
∵∠DAC＝∠ABC，
∴∠DEA＝∠DAC．
∵∠D＝∠D，
∴△DAE∽△DCA，
∴，
∵E是CD的中点，
∴CD＝2DE＝2CE．
∵AD＝4，
∴，
∴CE＝2．
【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，关键是由圆周角定理证明∠DAO＝90°，由圆内接四边形的性质推出△DAE∽△DCA．
46．（2023•庐阳区校级三模）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，连结AC，点D为 中点，过D作DE∥AC，交OC的延长线于点E．
（1）求证：DE是半圆O的切线．
（2）若OC＝15，CE＝10，求AC的长．
【分析】（1）由点D为中点，根据垂径定理得OD垂直平分AC，由DE∥AC，得∠ODE＝∠OFC＝90°，即可证明DE是半圆O的切线；
（2）由FC∥DE，得△OFC∽△ODE，则＝＝，所以OF＝OD＝9，由勾股定理得FC＝＝12，则AC＝2FC＝24．
【解答】（1）证明：∵点D为中点，
∴OD垂直平分AC，
∵DE∥AC，
∴∠ODE＝∠OFC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，
即DE是半圆O的切线．
（2）解：∵OD＝OC＝15，CE＝10，
∴OE＝OC+CE＝15+10＝25，
∵FC∥DE，
∴△OFC∽△ODE，
∴＝＝＝，
∴OF＝OD＝×15＝9，
∴FC＝＝＝12，
∴AC＝2FC＝2×12＝24，
∴AC的长是24．
【点评】此重点考查垂径定理、平行线的性质、切线的判定定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明OD垂直平分AC是解题的关键．
47．（2023•蒙城县三模）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，以点D为圆心的⊙D与AB相切于点E，与DC相交于点F．
（1）求证：⊙D与BC也相切；
（2）求劣弧的长（结果保留π）．
【分析】（1）连接DE，过D作DM⊥BC于M，根据菱形的性质得到AD＝CD，∠C＝∠A＝60°，根据全等三角形的性质得到DE＝DM，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到AB∥CD，AD＝AB，求得∠ADC＝120°，△ADB是等边三角形，得到AD＝BD，∠ADB＝60°，∠CDB＝60°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接DE，过D作DM⊥BC于M，
∵⊙D与AB相切于点E，
∴∠AED＝∠CMD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠C＝∠A＝60°，
∴△ADE≌△CDM（AAS），
∴DE＝DM，
∴⊙D与BC也相切；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD＝AB，
∵∠A＝60°，
∴∠ADC＝120°，△ADB是等边三角形，
∴AD＝BD，∠ADB＝60°，∠CDB＝60°，
∴∠EDB＝30°，
∴∠EDC＝60°+30°＝90°，
∴劣弧的长为＝π．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
48．（2023•霍邱县二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AE＝5，，求线段BC的长．
​
【分析】（1）连接OD，则∠AOD＝2∠AED＝∠AOD＝90°，即可证明CD是⊙O的切线．
（2）连接BE，则∠ABE＝∠ADE，由AB是⊙O的直径∠AEB＝90°，则＝sin∠ABE＝sin∠ADE＝，所以AB＝AE＝6，则OD＝OA＝3，由勾股定理得AD＝＝3，则BC＝AD＝3．
【解答】（1）证明：连接OD，则∠AOD＝2∠AED，
∵∠AED＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：连接BE，则∠ABE＝∠ADE，
∵AB是⊙O的直径，AE＝5，
∴∠AEB＝90°，
∴＝sin∠ABE＝sin∠ADE＝，
∴AB＝AE＝×5＝6，
∴OD＝OA＝AB＝×6＝3，
∵∠AOD＝90°，
∴AD＝＝＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝3，
∴线段BC的长是3．
【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、平行四边形的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
49．（2023•泗县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，在⊙O上取一点D，使＝，过点C作EF⊥AD，交AD的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AD＝6，求AC的长．
【分析】（1）连接OC，利用＝，可得∠EAC＝∠CAB，根据EF⊥AD，可得∠EAC+∠ACE＝90°，再根据OC＝OA，可得∠EAC＝∠OCA，即有∠ACO+∠ACE＝90°，问题随之得证；
（2）连接BD，交OC于点G，先证明OG为△ABD中位线，即，DG＝BG，进而有DG＝BG＝CE，DB⊥OC，GC＝OC﹣OG＝2，利用勾股定理可得，即DG＝BG＝4，再证明四边形DECG是矩形，即有DE＝CG＝2，EC＝DG＝4，在△AEC中，利用勾股定理可作答．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵＝，
∴∠EAC＝∠CAB，
∵EF⊥AD，
∴∠EAC+∠ACE＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴∠ACO+∠ACE＝90°，即半径OC⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，交OC于点G，如图，
∵AE⊥EF，OC⊥EF，
∴AE∥OC，
∵O为AB为中点，
∴OG为△ABD中位线，
∴，DG＝BG，
∴DG＝BG＝CE，DB⊥OC，GC＝OC﹣OG＝2，
∵AB＝10，
∴OB＝5，
∴，
∴DG＝BG＝4，
∵AE⊥EF，OC⊥EF，DB⊥OC，
∴四边形DECG是矩形，
∴DE＝CG＝2，EC＝DG＝4，
∴AE＝8，
∴在△AEC中，．
【点评】本题考查了切线的判定，三角形中位线的判定与性质，勾股定理，构筑辅助线，并掌握以上知识是解题的关键．
50．（2023•庐阳区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求CE的值．
【分析】（1）连接OD，由题可知，D已经是圆上一点，欲证EF为切线，只需证明∠ODF＝90°即可；
（2）连接BC，根据勾股定理求出BC，进而根据三角形的中位线定理可得OH的长，从而得DH的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠EAD，
∴OD∥AE，
∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接BC，交OD于H，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴BC∥EF，
∴∠OHB＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥BC，
∴CH＝BC＝4，
∵CH＝BH，OA＝OB，
∴OH＝AC＝3，
∴DH＝5﹣3＝2，
∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，
∴四边形ECHD是矩形，
∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2．
【点评】本题考查了切线的判定，掌握三角形的中位线定理，勾股定理，角平分线的定义，切线的判定等知识点是解题的关键．
51．（2023•繁昌县校级模拟）如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，连接BC，AD，且BC经过点O，∠DCB＝45°，过点D的直线与AC的延长线交于点P，且∠CDP＝∠CAD．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）若AC＝12，，求CP的长．
【分析】（1）圆周角定理，得到∠BDC＝90°，∠CAD＝∠CBD，连接OD，易得：∠BOD＝∠DOC＝90°，推出∠CDP＝∠CBD＝45°＝∠BCD，进而得到BC∥OP，得到∠ODP＝∠BOD＝90°，即可得证；
（2）勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理求出AB的长，进而得到，过点C作CE⊥PD于点E，得到，根据平行，得到，利用PC＝CE÷sinP，计算求解即可．
【解答】（1）证明：∵，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，BC经过点O，
∴∠BDC＝90°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD，
∴D为的中点，
连接OD，
则：∠BOD＝∠DOC＝90°，
∵∠CDP＝∠CAD，∠CAD＝∠CBD，
∴∠CDP＝∠CBD＝45°＝∠BCD，
∴BC∥OP，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，即：OD⊥DP，
又：OD为半径，
∴PD是⊙O的切线．
（2）解：由（1）知：，
∴，
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∴，
∴，
过点C作CE⊥PD于点E，
则：四边形ODEC为矩形，
∴，
∵BC∥OP，
∴∠P＝∠ACB，
∴，
在Rt△CEP中，．
【点评】本题考查切线的证明，圆周角定理，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，构造直角三角形是解题的关键．
52．（2023•安徽模拟）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D在AD左侧作∠ADP＝∠BCD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）求证：DP∥AB；
（2）求证：PD是⊙O的切线；
（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．
【分析】（1）由∠ADP＝∠BCD，∠BAD＝∠BCD，得∠ADP＝∠BAD，所以DP∥AB；
（2）连接OD，由∠ACD＝∠BCD，且∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，得∠AOD＝∠BOD＝90°，由DP∥AB，得∠ODP＝∠BOD＝90°，即可证明PD是⊙O的切线；
（3）由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，所以∠ACD＝∠BCD＝45°，AB＝＝10，由AE⊥CD于点E，得∠AEC＝∠AED＝90°，所以∠EAC＝∠ECA＝45°，则AE＝CE＝AC•sin45°＝3，由∠ADC＝∠ABC，得＝tan∠ADC＝tanABC＝＝，则DE＝AE＝4，所以CD＝CE+DE＝7，由∠AOD＝90°，OD＝OA＝AB＝5，得AD＝5，再证明△PAD∽△DBC，得＝，即可求得PD＝＝．
【解答】（1）证明：∵∠ADP＝∠BCD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ADP＝∠BAD，
∴DP∥AB．
（2）证明：连接OD，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD＝×180°＝90°，
∵DP∥AB，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且PD⊥OD，
∴PD是⊙O的切线．
（3）解：∵AB是⊙O的直径，AC＝6，BC＝8，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，AB＝＝＝10，
∵AE⊥CD于点E，
∴∠AEC＝∠AED＝90°，
∴∠EAC＝∠ECA＝45°，
∴AE＝CE＝AC•sin45°＝6×＝3，
∵∠ADC＝∠ABC，
∴＝tan∠ADC＝tanABC＝＝＝，
∴DE＝AE＝×3＝4，
∴CD＝CE+DE＝3+4＝7，
∵∠AOD＝90°，OD＝OA＝AB＝×10＝5，
∴AD＝＝5，
∵∠PAD+∠CAD＝180°，∠DBC+∠CAD＝180°，
∴∠PAD＝∠DBC，
∵∠ADP＝∠BCD，
∴△PAD∽△DBC，
∴＝，
∴PD＝＝＝，
∴线段PD的长是．
【点评】此题重点考查圆周角定理、平行线的判定、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大．
53．（2023•全椒县三模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，点D在BA的延长线上，∠DCA＝∠ABC，BE⊥DC，交DC的延长线于点E．
​（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若 ，BE＝4，求△BDE 的面积．
【分析】（1）连接OC，由AB为直径，∠ACO+∠BCO＝90°，由OC＝OB，得出∠OCB＝∠OBC，得出∠ACO+∠ABC＝90°，由∠DCA＝∠ABC，得出∠ACO+∠DCA＝90°，得出∠OCD＝90°，由OC为半径，得出DC是⊙O的切线；
（2）连接OC，由，设OA＝OB＝OC＝x，OD＝3x，OC∥BE，，，即可得出AD的值．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠ACO+∠ABC＝90°，
∵∠DCA＝∠ABC，
∴∠ACO+∠DCA＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∵OC为半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：∵，
设OA＝r，
∴OD＝3r，
∵OC⊥DE，BE⊥DE，
∴OC∥BE，
∴△DOC∽△DBE，
∴，
∴，
∵BD＝4r＝12，DE＝，
∴．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
54．（2023•舒城县模拟）如图，以等腰△ABC的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE＝4，DC＝6，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接AD，OD，利用圆周角定理，等腰三角形的三线合一的性质，三角形的中位线定理，垂直的意义和平行线的性质，圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用勾股定理求得线段EC的长度，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】（1）证明：连接AD，OD，如图，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵DE⊥AC，
∴CE＝．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADB＝∠DEC＝90°，
∴△ADB∽△DEC，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：⊙O的半径为 ．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
55．（2023•雨山区校级二模）如图，AB为圆O的直径，C，E为圆O上的两点，AC平分∠EAB，CF⊥AB于F，CD⊥AE于D．
（1）求证：CD为圆O的切线；
（2）若AD﹣OA＝1.5，AC＝3，求图中阴影部分的面积．
​
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，角平分线的定义得出∠DAC＝∠OCA，进而得出OC∥OC，再根据平行线的性质得出OC⊥CD即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质，求出⊙O的半径，进而求出圆心角∠BOC的度数，由S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC进行计算即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AC平分∠BAD，CD⊥AD，CF⊥AB，
∴CD＝CF，
∵AC＝AC，
∴Rt△ADC≌Rt△AFC（HL），
∴AD＝AF，
∵AD﹣OA＝1.5，即AF﹣OA＝1.5，
∴OF＝1.5，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CF⊥AB，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACB＝∠AFC＝90°，
又∵∠CAF＝∠BAC，
∴△AFC∽△ACB，
∴＝，
即AC2＝AF•AB，
设半径为x，则AB＝2x，AF＝x+1.5，AC＝3，
∴（3）2＝2x（x+1.5），
解得x＝3或x＝﹣4.5＜0（舍去），
∴AB＝2x＝6，
在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝6，
∴cs∠BAC＝＝＝，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∴S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC
＝﹣×3×（×3）
＝﹣．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，角平分线，扇形面积的计算以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，求出圆的半径以及相应的圆心角度数是正确求出阴影部分面积的关键．
56．（2023•芜湖三模）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦．过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG．
（1）证明：CG是⊙O的切线；
（2）连接CD，当∠DCA＝2∠F，CE＝3时，求CF的长．
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得OC⊥CG即可；
（2）根据圆周角定理以及三角形内角和定理可求出∠CDE＝67.5°＝∠DEC，进而得出CD＝CE＝3，再根据等腰直角三角形的性质求出DH＝HC＝，再根据相似三角形的性质，列方程即可求出FC．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦．
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝180°﹣90°＝90°，
在Rt△ECF中，点G是EF的中点，
∴CG＝DG＝FG，
∴∠GCE＝∠GEC，
∵OF⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠AEO+∠A＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，
∴∠GCE+∠OCA＝90°，
即OC⊥CG，
∵OC是半径，
∴CG是⊙O的切线；
（2）解：连接CD，过点D作DH⊥FC，垂足为H，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF＝90°，
∴∠DCA＝∠AOD＝45°，
又∵∠DCA＝2∠F，
∴∠F＝22.5°，
∴∠FEC＝90°﹣∠F＝67.5°，
∴∠CDE＝180°﹣45°﹣67.5°＝∠DEC，
∴CD＝CE＝3，
在Rt△CDH中，CD＝3，∠DCH＝90°﹣45°＝45°，
∴DH＝CH＝CD＝，
∵∠FHD＝∠FCE＝90°，∠F＝∠F，
∴△FHD∽△FCE，
∴＝，
即＝，
解得FC＝3+3，
经检验，FC＝3+3是方程的解，
答：FC＝3+3．
【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，圆周角定理、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
57．（2023•迎江区校级二模）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD．
（1）若∠AOD＝60°，则∠CBD＝ 30 °；
（2）求证：AB为⊙O的切线；
（3）若AC＝8，tan∠BAC＝，求OD的长．
【分析】（1）根据切线的性质、垂线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可；
（2）过点O作AB的垂线，证明OE＝OC即可；
（3）根据锐角三角函数的定义以及勾股定理可求出OC，BC，OA，进而求出OB，再由相似三角形的性质可得答案．
【解答】（1）解：∵AD⊥BO，
∴∠D＝90°，
即∠OAD+∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝90°﹣∠AOD＝30°，
∵BC是⊙O的切线，点C是切点，
∴OC⊥BC，
即∠OCB＝90°，
∴∠BOC+∠OBC＝90°，
又∵∠AOD＝∠BOC＝60°，
∴∠CBD＝∠OAD＝30°，
故答案为：30；
（2）证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E，
由（1）可得∠CBD＝∠OAD，
∵AD⊥BO，
∴∠D＝90°，
即∠OAD+∠AOD＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠AOD＝∠BAD，
∴∠OAD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠CBD，
即BD是∠ABC的平分线，
又∵OC⊥BC，OE⊥AB，
∴OC＝OE，
∵OC是半径，
∴点O到AB的距离OE等于半径，
∴AB是⊙O的切线；
（3）解：∵AC＝8，tan∠BAC＝＝，
∴BC＝6，
在Rt△AOE中，由于tan∠EAO＝＝，
设OE＝3k，则AE＝4k，
∴OA＝＝5k，
∵AC＝OA+OC＝8＝5k+3k，
∴k＝1，
即OC＝3，OA＝5，
在Rt△BOC中，
OB＝＝3，
∵∠ADO＝∠BCO＝90°，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴＝，
即＝，
∴OD＝．
【点评】本题考查切线的判定和性质，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
58．（2023•怀远县校级模拟）AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，P是半径OB上一点，PE⊥AB交BC于F，交AC的延长线于E，D是EF的中点，连接CD；
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连OD交BC于G，若G为OD的中点，AC＝6，求CE的长．
【分析】（1）连接OC，欲证明CD是⊙O的切线只要证明OC⊥CD即可．
（2）想办法证明BA＝BE，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵D是EF的中点，
∴DC＝DE，
∴∠E＝∠ECD，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∵PE⊥AB，
∴∠APE＝90°，
∴∠E+∠A＝90°，
∴∠ACO+∠ECD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：连接BE，PC，OC．
∵∠OCD＝∠OPD＝90°，
∴O，P，D，C四点共圆，
∠COD＝∠CPD，
∵∠ECB＝∠EPB＝90°，
∴E，C，P，B四点共圆，
∴∠CPE＝∠CBE，
∴∠COD＝∠CBE，
∵∠OCD＝90°，OG＝GD，
∴CG＝GO＝GD，
∴∠COD＝∠OCG，
∵OC＝OB，
∴∠OCG＝∠OBC，
∴∠ABC＝∠CBE，
∵∠A+∠ABC＝90°，∠E+∠CBE＝90°，
∴∠A＝∠E，
∴BA＝BE，
∵BC⊥AE，
∴EC＝AC＝6．
【点评】本题考查切线的判定，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
59．（2023•郊区校级模拟）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D．
（1）E为BD的中点，连接CE，求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AC＝3CD，求∠A的大小．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠1，根据三角形的中位线的性质得到OE∥AD，得到∠2＝∠3，根据全等三角形的性质得到∠OCE＝∠ABD＝90°，于是得到CE是⊙O的切线；
（2）由AB为⊙O的直径，得到BC⊥AD，根据相似三角形的性质得到BC2＝AC•CD，得到tan∠A＝＝，于是得到结论．
【解答】解：（1）连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠1，
∵AO＝OB，E为BD的中点，
∴OE∥AD，
∴∠1＝∠3，∠A＝∠2，
∴∠2＝∠3，
在△COE与△BOE中，，
∴△COE≌△BOE，
∴∠OCE＝∠ABD＝90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AD，
∵AB⊥BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
∴BC2＝AC•CD，
∵AC＝3CD，
∴BC2＝AC2，
∴tan∠A＝＝，
∴∠A＝30°．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
60．（2023•金安区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，若AB＝4，AD＝3，求OE的长．
【分析】（1）连接OD，BD，由AB为圆O的直径，得到∠ADB为直角，可得出三角形BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE＝DE，利用等边对等角得到一对角相等，再由OA＝OD，利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形ABC中两锐角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为圆O的切线；
（2）连接OE，由E为BC的中点，O为AB的中点，即OE为三角形ABC的中位线，可得出OE等于AC的一半，接下来求出AC，在直角三角形ABD中，由AB与AD的长，利用勾股定理求出BD的长，由一对角为公共角，一对直角相等，得到三角形ADB与三角形ABC相似，由相似得比例将AB，AD，及BD的长代入求出BC的长，在直角三角形ABC中，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，即可得出OE的长．
【解答】（1）证明：连接OD，BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴CE＝DE＝BE＝BC，
∴∠C＝∠CDE，
∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，
∵∠ABC＝90°，即∠C+∠A＝90°，
∴∠ADO+∠CDE＝90°，即∠ODE＝90°，
∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，
∴DE为圆O的切线；
（2）解：在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，
根据勾股定理得：BD＝＝，
∵∠DAB＝∠BAC，∠ADB＝∠CBA＝90°，
∴△ADB∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：BC＝，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC＝＝，
∵E为BC的中点，O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
则OE＝AC＝．
【点评】此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．