5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题13四边形(真题3个考点模拟14个考点)特训（学生版+解析）

这是一份5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题13四边形(真题3个考点模拟14个考点)特训（学生版+解析），共87页。试卷主要包含了的图象经过点B等内容，欢迎下载使用。
一．平行四边形的性质（共1小题）
1．（2022•安徽）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝ ．
二．矩形的性质（共1小题）
2．（2022•安徽）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（ ）
A．α﹣90°B．α﹣45°C．180°﹣αD．270°﹣α
三．正方形的性质（共2小题）
3．（2023•安徽）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF＝2，FB＝1，则MG＝（ ）
A．2B．C．+1D．
4．（2019•安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（ ）
A．0B．4C．6D．8
一．多边形内角与外角（共1小题）
1．（2023•庐阳区校级一模）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3是外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．100°B．180°C．210°D．270°
二．平行四边形的性质（共10小题）
2．（2023•砀山县二模）如图，在▱ABCD中，M是AD上一点，E是BC上一动点，过点E作EF∥CM交BM于点F，若BC＝20，CD＝15，，则S△MEF的最大值为（ ）
A．40B．30C．20D．15
3．（2023•定远县校级一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AD＝2AB，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S平行四边形ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD：⑤OE＝AD．其中成立的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2023•滁州二模）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝9，AD＝6，点E为边AB上一动点，连接ED并延长至点F，使得，以EC，EF为邻边构造▱EFGC，连接EG交DC于点O．当EG的长最小时，AE的长为（ ）
A．B．1C．2D．
5．（2023•庐阳区模拟）如图，已知：平行四边形ABCD中，BE⊥CD于E，BE＝AB，∠DAB＝60°，∠DAB的平分线交BC于F，连接EF．则∠EFA的度数等于（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
6．（2023•阜阳模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，∠EFC＝30°，AB＝1．则CF的长为（ ）
A．B．C．4D．
7．（2023•定远县二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为（ ）
A．3B．2.5C．2.4D．2
8．（2023•阜阳三模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，，AC＝2，BD＝2，则AE的长为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023•花山区二模）如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，且满足BD＝CE＝BC，P是边AB上的动点，以P、D、E为顶点，DE为对角线构造▱PDQE，若AB＝10，则BQ的最小值为（ ）
A．B．C．D．10
10．（2023•六安模拟）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（2023•杜集区校级模拟）如图，在▱ABCD 中，AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，E是边BC上的一个动点，F是对角线BD上的一个动点，且BE＝DF，则（DE+CF）2的最小值为 ．
​
三．平行四边形的判定（共1小题）
12．（2023•蚌山区二模）在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上，添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件不可以是（ ）
A．AD＝CFB．△BDE≌△CFEC．△CFE∽△BCAD．∠A＝∠F
四．平行四边形的判定与性质（共1小题）
13．（2023•怀远县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝6，AB＝8，则四边形AEDF的周长为（ ）
A．16B．20C．18D．22
五．菱形的性质（共10小题）
14．（2023•太和县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在BD上取一点E，使得DE＝AD，连接AE，若BD＝16，，则BC的长为（ ）
A．10B．9C．D．
15．（2023•定远县模拟）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．32B．24C．40D．20
16．（2023•太和县二模）由6个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，若∠O＝60°，则tan∠ABC的值为 ．
17．（2023•安庆模拟）如图，菱形ABCD的对角线BD长度为4，边长，M为菱形外一个动点，满足BM⊥DM，N为MD中点，连接CN．则当M运动的过程中，CN长度的最大值为（ ）
A．1+B．C．1D．2
18．（2023•潜山市模拟）如图，菱形ABCD中，∠D＝135°，BE⊥CD于E，交AC于F，FG⊥BC于G．若△BFG的周长为6，则菱形的边长为 ．
19．（2023•南陵县模拟）已知菱形ABCD，边长为4，E，F分别在AB，AD上，BE＝，∠ABC＝∠ECF＝60°，则＝（ ）
A．B．C．D．
20．（2023•金寨县二模）在菱形ABCD中，AC与BD交于O，OA：OB：AB的值可以是（ ）
A．1：1：2B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
21．（2023•合肥三模）如图，菱形ABCD中，点E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，EF＝2，FG＝4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．12B．16C．20D．32
22．（2023•庐阳区一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．6B．C．D．
23．（2023•安徽模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以点D为圆心，适当长为半径作弧，交BA所在直线于点M、N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接DP交BA延长线于点E，连接OE，若AB＝，OE＝，则DE的长为 ．
六．菱形的判定（共2小题）
24．（2023•蚌埠三模）如图推理中，空格①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是（ ）
A．①②B．①④C．③④D．②③
25．（2023•杜集区校级模拟）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，下列条件中，不能使四边形DBCE成为菱形的是（ ）
A．AB＝BEB．BE⊥DCC．∠ABE＝90°D．BE平分∠DBC
七．菱形的判定与性质（共3小题）
26．（2023•池州模拟）如图，某同学剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（ ）
A．3B．2C．3D．6
27．（2023•庐阳区校级一模）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．B．C．D．1
28．（2023•安徽二模）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB于点D，再分别以C、D为圆心，OC的长为半径，两弧在∠AOB的内部交于点E，作射线OE，若OC＝10，OE＝16，则C、D两点之间距离为（ ）
A．10B．12C．13D．
八．矩形的性质（共9小题）
29．（2023•砀山县一模）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝6，则BE的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
30．（2023•庐阳区校级三模）如图，E，F为矩形ABCD内两点，AE⊥EF，CF垂直EF，垂足分别为E、F，若AE＝1，CF＝2，EF＝4，则BD＝（ ）
A．B．5C．D．6
31．（2023•来安县二模）如图，P为矩形ABCD的边AB的延长线上的动点，AH⊥PC于H，点E在边AD上，若AB＝6，BC＝8，AE＝2，则线段EH的最大值为（ ）
A．B．C．D．
32．（2023•合肥三模）如图，a∥b，矩形ABCD的顶点B在直线a上，若∠1＝34°，则∠2的度数为（ ）
A．34°B．46°C．56°D．66°
33．（2023•合肥三模）将一直角三角形和矩形如图放置，若∠1＝42°，则∠2＝（ ）
A．58°B．54°C．48°D．44°
34．（2023•砀山县二模）如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，将△ABM沿AM折叠，使点B落在B'处，若∠AMB＝α，则∠B'AD等于（ ）
A．α﹣90°B．α﹣45°C．90°﹣2αD．90°﹣α
35．（2023•肥西县二模）如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，4）
36．（2023•龙子湖区二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝120°，矩形ABCD的面积是9，那么这个矩形的周长是（ ）
A．3+3B．4+4C．D．
37．（2023•亳州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P从点A出发，按A→B→C的方向在边AB和BC上移动，记AP＝x，点D到直线AP的距离DE为y，则y的最小值是（ ）
A．6B．C．5D．4
九．矩形的判定与性质（共2小题）
38．（2023•金安区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
​
A．B．C．D．
39．（2023•繁昌县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，M为斜边AB上的一个动点，过点M作MD⊥AC于点D，ME⊥BC于点E．若线段DE的最小值是，则此时BM＝ ．
一十．正方形的性质（共9小题）
40．（2023•蚌埠二模）如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠CAB交DC的延长线于点E，交BC于点F，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
41．（2023•庐阳区校级三模）在边长为2的正方形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两个动点，且始终保持BF﹣BE＝1，连接AE、CF，则AE+CF的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
42．（2023•芜湖一模）如图，在正方形ABCD中，已知边AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
​
A．5B．C．D．
43．（2023•蜀山区校级三模）如图，正方形ABCD的边长为2，延长CB至点E，BE＝1，连接DE交AB于点G，连接AE，并取AE的中点F，连接FG并延长交BC于点H，则FH＝（ ）
​
A．B．C．D．
44．（2023•蜀山区三模）在边长为8的正方形ABCD中，E为AB边上一点，AE＝3BE，连接DE，G为DE中点，若点M在正方形ABCD的边上，且MG＝5，则满足条件的点M的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
45．（2023•定远县校级三模）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．（清）陆以活《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
46．（2023•阜阳三模）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E在边AD上，且DE＝1．△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
47．（2023•淮南二模）如图，在△BCP 中，BP＝2，PC＝4，现以BC为边在BC的下方作正方形ABCD并连接AP，则AP的最大值为（ ）
​
A．B．6C．D．
48．（2023•安徽模拟）如图，正方形ABCD的边长AB＝8，E为平面内一动点，且AE＝4，F为CD上一点，CF＝2，连接EF，ED，则EF+ED的最小值为（ ）
A．6B．4C．4D．6
一十一．正方形的判定与性质（共3小题）
49．（2023•禹会区模拟）下列说法：
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
（4）两组对角相等的四边形是平行四边形；
其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
50．（2023•池州模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连结EF，给出四种情况：
①若G为BD上任意一点，则AG＝EF；
②若BG＝AB，则∠DAG＝22.5°；
③若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；
④若DG：BG＝1：3，则．
则其中正确的是 ．
51．（2023•六安三模）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，F是对角线AC的中点，点G、E分别在AD、CD边上运动，且保持AG＝DE，连接GE、GF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE不可能为正方形，③GE长度的最小值为；④四边形DGFE的面积保持不变；⑤△DGE面积的最大值为8，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①③④⑤C．①③④D．③④⑤
一十二．梯形（共1小题）
52．（2023•定远县一模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6，则CE的长为（ ）
A．B．C．2.5D．2.3
一十三．中点四边形（共1小题）
53．（2023•安庆模拟）如图，D、E、F、G分别为AC、AB、BO、CO的中点，∠BOC＝90°，若AO＝3，BO＝4，CO＝3，则四边形DEFG的周长 ．
一十四．四边形综合题（共7小题）
54．（2023•定远县二模）菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，E，F分别是AB，AD上的动点，且BE＝AF，连接EF，交AC于G，则下列结论：①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③CE的最小值为2．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①③D．②③
55．（2023•宣州区三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，F为BC中点，P是线段BF上一点，设BP＝m（0＜m≤2），连接AP并将它绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接CE，EF，则在点P从点B向点F运动的过程中，下列说法错误的是（ ）
A．∠EFC＝45°B．点D始终在直线EF上
C．△FCE的面积为mD．CE的最小值为
56．（2023•庐阳区校级一模）如图，四边形ABCD是矩形，CE平分∠BCD，AE⊥CE，EA、CB的延长线交于点F，连接DE，连接BD交CE于点G．下列结论错误的是（ ）
A．图中共有三个等腰直角三角形
B．∠DGC＝∠EBC
C．AB•AD＝CG•CE
D．△CDG∽△CEB
57．（2023•太和县一模）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAD，△PAB，△PBC，△PCD，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4，下列结论错误的是（ ）
A．若S1＝S3，则P点在AB边的垂直平分线上
B．S2+S4＝S1+S3
C．若AB＝4，BC＝3，则PA+PB+PC+PD的最小值为10
D．若△PAB∽△PDA，且AB＝4，BC＝3，则PA＝2.5
58．（2023•安徽模拟）如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD的边DA，AB，BC，CD的中点，连接AH，BE，CF，DG，它们分别相交于点M，N，P，Q，连接NQ．若AB＝4，则下列结论错误的是（ ）
A．△ABE≌△DAHB．四边形MNPQ是正方形
C．D．
（多选）59．（2023•裕安区校级二模）若一个平行四边形的四个顶点分别在矩形的四条边上，且一边和矩形的对角线平行，则称这样的平行四边形为该矩形的“反射平行四边形”．已知▱EFGH为矩形ABCD的“反射平行四边形”，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，EF∥AC，设▱EFGH的周长为l，▱EFGH和矩形ABCD的面积分别为S1，S2，则下列结论正确的有（ ）
A．∠AEH＝∠CFGB．FG∥BDC．l＝2ACD．
60．（2023•宣州区三模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，连结对角线AC，E为AC的中点，F为AB边上的动点，连结EF，作点C关于EF的对称点C′，连结C′E，C′F，若△EFC′与△ACF的重叠部分（△EFG）面积等于△ACF的，则BF＝ ．
专题13 四边形（真题3个考点模拟14个考点）
一．平行四边形的性质（共1小题）
1．（2022•安徽）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝ 3 ．
【分析】设出C点的坐标，根据C点的坐标得出B点的坐标，然后计算出k值即可．
【解答】解：由题知，反比例函数y＝的图象经过点C，
设C点坐标为（a，），
作CH⊥OA于H，过A点作AG⊥BC于G，
∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC，
∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形，
∴OH＝CG＝BG＝a，
即B（3a，），
∵y＝（k≠0）的图象经过点B，
∴k＝3a•＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键．
二．矩形的性质（共1小题）
2．（2022•安徽）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（ ）
A．α﹣90°B．α﹣45°C．180°﹣αD．270°﹣α
【分析】根据矩形的性质和三角形外角的性质，可以用含α的式子表示出∠2．
【解答】解：由图可得，
∠1＝90°+∠3，
∵∠1＝α，
∴∠3＝α﹣90°，
∵∠3+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝90°﹣α+90°＝180°﹣α，
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质、三角形外角的性质，解答本题的关键是明确题意，用含α的代数式表示出∠2．
三．正方形的性质（共2小题）
3．（2023•安徽）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF＝2，FB＝1，则MG＝（ ）
A．2B．C．+1D．
【分析】根据相似三角形的判定结合正方形的性质证得△AEF∽△ACB，求得AC＝3，根据相似三角形的性质求得AE＝2，CE＝，证得△ADE∽△CME，根据相似三角形的性质得到CM＝＝BM，证得△CDM≌△BGM，求出BG，根据勾股定理即可求出MG．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AF＝2，FB＝1，
∴CD＝AD＝AB＝BC＝3，∠ADC＝∠DAB＝∠ABC＝90°，DC∥AB，AD∥BC，
∴AC＝＝3，
∵EF⊥AB，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝2，
∴AE＝＝2，
∴CE＝AC﹣AE＝，
∵AD∥CM，
∴△ADE∽△CME，
∴＝，
∴＝＝2，
∴CM＝＝BM，
在△CDM和△BGM中，
，
∴△CDM≌△BGM（SAS），
∴CD＝BG＝3，
∴MG＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
4．（2019•安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（ ）
A．0B．4C．6D．8
【分析】作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，可得点H到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【解答】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，
∴EC＝8，FC＝4＝AE，
∵点M与点F关于BC对称
∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°
∴∠ACM＝90°
∴EM＝＝4
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9
在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝12
∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12
在点H左侧，当点P与点B重合时，BF＝＝2
∵AB＝BC，AE＝CF，∠BAE＝∠BCF
∴△ABE≌△CBF（SAS）
∴BE＝BF＝2
∴PE+PF＝4
∴点P在BH上时，4＜PE+PF≤4
∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．
即共有8个点P满足PE+PF＝9，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．
一．多边形内角与外角（共1小题）
1．（2023•庐阳区校级一模）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3是外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．100°B．180°C．210°D．270°
【分析】先根据平行线的性质得出∠4+∠5＝180°，再由多边形的外角和为360°即可得出结论．
【解答】解：延长AB，DC，
∵AB∥CD，
∴∠4+∠5＝180°．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠4+∠5）＝360°﹣180°＝180°．
故选：B．
【点评】本题考查的是多边形的外角与内角，熟知多边形的外角和等于360°是解题的关键．
二．平行四边形的性质（共10小题）
2．（2023•砀山县二模）如图，在▱ABCD中，M是AD上一点，E是BC上一动点，过点E作EF∥CM交BM于点F，若BC＝20，CD＝15，，则S△MEF的最大值为（ ）
A．40B．30C．20D．15
【分析】过点C作CN⊥AD于点N，设BE＝x（0＜x＜20），先解直角三角形可得CN＝12，从而可得S△BCM＝120，S△MBE＝6x，再根据相似三角形的判定可证△BEF∽△BCM，根据相似三角形的性质可得S△BEF＝，从而可得S△MEF＝，然后利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：如图，过点C作CN⊥AD干点N，
设BE＝x（0＜x＜20），
∴sinD＝，CD＝15，
∴CN＝CD•sinD＝×15＝12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴S△BCM＝BC•CN＝120，S△MBE＝BE•CN＝6x，
∵EF∥CM，
∴△BEF∽△BCM，
∴＝（）2＝，
∴S△MEF＝S△MBE﹣S△BEF＝6x﹣＝，
由二次函数的性质可知，在0＜x＜20内，当x＝10时，S△MEF取得最大值，最大值为30，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用，正确求出△MEF的面积的函数表达式是解题关键．
3．（2023•定远县校级一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AD＝2AB，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S平行四边形ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD：⑤OE＝AD．其中成立的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由BC＝AD＝2AB，可判断①，证明∠BAC＝90°，可判断②；由平行四边形的面积公式可判断③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判断④，由三角形中位线定理可求AB＝2OE，即可判断⑤，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，AO＝CO，
∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，
∵BC＝AD＝2AB，
∴EC＝AE＝BE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，故②错误；
∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；
∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD＝1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD＝3：4，
∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，
∵S△AOD：S▱ABCD＝1：4，
∴S四边形OECD＝S△AOD，故④正确．
∵AO＝OC，BE＝EC，
∴AB＝2OE，
∵AD＝2AB，
∴OE＝AD，故⑤正确，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
4．（2023•滁州二模）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝9，AD＝6，点E为边AB上一动点，连接ED并延长至点F，使得，以EC，EF为邻边构造▱EFGC，连接EG交DC于点O．当EG的长最小时，AE的长为（ ）
A．B．1C．2D．
【分析】利用▱EFGC证明△DOE∽△COG，根据已知条件求出EG与OE的线段比例关系，从而得出OE的长最小时，EG的长最小，即可求出OE⊥AB．根据▱ABCD和AM⊥DC推出四边形AEMO的形状，进而证明AE＝OM，即可求出AE的长度．
【解答】解：过点A作AM⊥DC交CD于M，
∵，
∴．
∵EFGC为平行四边形，
∴EF＝CG，EF∥CG，
∴∠EDO＝∠OCG，∠DEO＝∠OGC，
∴△DOE∽△COG．
∴，
∴．
∴OE的长最小时，EG的长最小，
∴OE⊥AB．
∵在▱ABCD中，∠B＝∠ADC＝60°，AD＝6，AM⊥DC，
∴．
∵OE⊥CD，AM⊥DC，
∴AM∥OE，
∵在▱ABCD中，AB∥CD，
∴四边形AEOM为平行四边形．
∴AE＝OM＝DO﹣DM＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的综合运用，涉及到的知识点有三角形相似，30°所对应的直角边是斜边的一半等，综合性较强．解题的关键在于是否能根据线段之间比例关系推出OE⊥AB，从而求出AE长度，解题的重点在于能否想到作辅助线AM⊥DC．
5．（2023•庐阳区模拟）如图，已知：平行四边形ABCD中，BE⊥CD于E，BE＝AB，∠DAB＝60°，∠DAB的平分线交BC于F，连接EF．则∠EFA的度数等于（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠DAF＝∠AFB，根据角平分线的定义得到∠DAF＝∠BAF＝DAB＝30°，求得∠BAF＝∠AFB＝30°，求得∠EBF＝30°，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
∵AF平分∠∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF＝DAB＝30°，
∴∠BAF＝∠AFB＝30°，
∴AB＝BF，
∵BE＝AB，
∴BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∵DAB＝60°，
∴∠C＝∠DAB＝60°，
∴∠EBF＝30°，
∴∠BFE＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠EFA＝∠BFE﹣∠BFA＝45°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6．（2023•阜阳模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，∠EFC＝30°，AB＝1．则CF的长为（ ）
A．B．C．4D．
【分析】首先证明四边形ABDE是平行四边形，可得AB＝DE＝CD，即D为CE中点，然后再得CE，再利用三角函数可求出HF和CH的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∵AE∥DB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE＝CD，
即D为CE中点．
∵AB＝1，
∴CE＝2，
∵AB∥CD，
∴∠ECF＝∠ABC＝45°，
过E作EH⊥BF于点H，
∵CE＝2，∠ECF＝45°，
∴EH＝CH＝，
∵∠EFC＝30°，
∴，
∴．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是掌握平行四边形对边相等．
7．（2023•定远县二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为（ ）
A．3B．2.5C．2.4D．2
【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝＝＝4，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴＝，
∴＝，
∴OP′＝，
∴则PQ的最小值为2OP′＝2.4，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作出高线构造出相似三角形．
8．（2023•阜阳三模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，，AC＝2，BD＝2，则AE的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平行四边形的性质可求解OA，OB的长，利用勾股定理的逆定理可得∠BAO＝90°，再根据勾股定理可求解BC的长，由△ABC得面积公式可计算求解AE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝2，BD＝2，
∴OA＝AC＝1，OB＝BD＝，
∵AB＝，
∴AB2+OA2＝OB2，
∴△AOB为直角三角形，且∠BAO＝90°，
∴BC＝＝＝3，
∵S△ABC＝AC•AB＝BC•AE，
∴2×＝3AE，
解得AE＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理及逆定理，三角形的面积，利用勾股定理求解BC的长是解题的关键．
9．（2023•花山区二模）如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，且满足BD＝CE＝BC，P是边AB上的动点，以P、D、E为顶点，DE为对角线构造▱PDQE，若AB＝10，则BQ的最小值为（ ）
A．B．C．D．10
【分析】依据题意，建立平面直角坐标系，由直线AB的解析式可设P（m，m），Q（x，y），再根据平行四边形的对角线互相平分进而求出x，y的关系，最后根据垂线段最短可以得解．
【解答】解：由题意，建立平面直角坐标系，如图，设平行四边形对角线交于点M．
由题意，∵BD＝CE＝BC＝AB＝，
∴D（，0），E（，）．
∵M是DE的中点，
∴M（，）．
由题意，设直线AB为y＝kx，A为（5，），
∴5＝5k．
∴k＝．
∴直线AB为y＝x．
∵P在直线AB上，
∴可设P（m，m）．
再设Q（x，y），
∴＝，＝．
∴上面两式消去m得，x﹣y＝10．
∴Q在直线y＝x﹣10上（如上图）．
∴当BQ垂直于直线y＝x﹣10时，BQ最小．
对于直线y＝x﹣10，
令x＝0，∴y＝﹣10；
令y＝0，∴x＝10．
∴利用面积法可得BQ的最小值为＝5．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
10．（2023•六安模拟）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由AB＝BC可判定①，证明∠BAC＝90°，可判定②；由平行四边形的面积公式可判定③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，
∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，
∵AB＝BC，
∴EC＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，故②错误；
∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；
∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD＝1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD＝3：4，
∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，
∵S△AOD：S▱ABCD＝1：4，
∴S四边形OECD＝S△AOD，故④正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键．
11．（2023•杜集区校级模拟）如图，在▱ABCD 中，AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，E是边BC上的一个动点，F是对角线BD上的一个动点，且BE＝DF，则（DE+CF）2的最小值为 92﹣8 ．
​
【分析】延长DA到M，使DM＝DB，连接FM，CM，作CN⊥AD于N，作DH⊥BC交BC延长线于H，由平行四边形的性质推出△DMF≌△BDE（SAS），得到FM＝DE，
因此当点M、F、C共线时，（FC+ED）2最小，求出DH的长，CH的长，得到MN的长，CN的长，由勾股定理求出MC2，即可解决问题．
【解答】解：延长DA到M，使DM＝DB，连接FM，CM，作CN⊥AD于N，作DH⊥BC交BC延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，CD＝AB＝4，BC＝AD＝6，
∴∠MDF＝∠DBE，
∵DF＝BE，
∴△DMF≌△BDE（SAS），
∴FM＝DE，
∴DE+CF＝FM+CF，
∴当点M、F、C共线时，（FC+ED）2最小，
∵AB∥CD，
∴∠DCH＝∠ABC＝60°，
∴CH＝CD＝2，DH＝CH＝2，
∴BH＝BC+CH＝6+2＝8，
∴BD＝＝2，
∵DN∥CH，CN⊥AD，DH⊥CH，
∴四边形NCHD是矩形，
∴DN＝CH＝2，CN＝DH＝2，
∴MN＝DM﹣DN＝2﹣2，
∴CM2＝MN2+CN2＝92﹣8，
∴（DE+CF）2的最小值为＝92﹣8．
故答案为：92﹣8．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，关键是通过作辅助线构造全等三角形，得到FM＝DE，因此当点M、F、C共线时，（FC+ED）2最小，由勾股定理求出CM2，即可解决问题．
三．平行四边形的判定（共1小题）
12．（2023•蚌山区二模）在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上，添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件不可以是（ ）
A．AD＝CFB．△BDE≌△CFEC．△CFE∽△BCAD．∠A＝∠F
【分析】利用三角形中位线定理得到DE∥AC且，结合平行四边形的判定定理进行选择．
【解答】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC且，即：FD∥AC，
A、根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；
B、根据△BDE≌△CFE可得DE＝EF，即：，可得DF＝AC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、根据△CFE∽△BCA可得∠BCF＝∠B，即：AD∥CF，由“两组组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、根据FD∥AC可得∠A＝∠BDF，结合∠A＝∠F可得∠BDF＝∠F，即：AD∥CF，由“两组组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定，关键在于理解三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
四．平行四边形的判定与性质（共1小题）
13．（2023•怀远县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝6，AB＝8，则四边形AEDF的周长为（ ）
A．16B．20C．18D．22
【分析】根据勾股定理先求出BC的长，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出DE和AE的长，进而由已知可判定四边形AEDF是平行四边形，从而不难求得其周长．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AC＝6，AB＝8，
∴BC＝10，
∵E是BC的中点，
∴AE＝BE＝5，
∴∠BAE＝∠B，
∵∠FDA＝∠B，
∴∠FDA＝∠BAE，
∴DF∥AE，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC＝3
∴四边形AEDF是平行四边形
∴四边形AEDF的周长＝2×（3+5）＝16．
故选：A．
【点评】熟悉直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定．熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理是解题的关键．
五．菱形的性质（共10小题）
14．（2023•太和县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在BD上取一点E，使得DE＝AD，连接AE，若BD＝16，，则BC的长为（ ）
A．10B．9C．D．
【分析】根据菱形的性质，得△AEO，△ADO是直角三角形，根据DE＝AD，设AD＝a，可用含a的式子表示OE，AO的长，根据直角三角形的勾股定理即可求解．
【解答】解：在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BD＝16，
∴，BD⊥AC，∠AOE＝∠AOD＝90°，
∴△AEO，△ADO是直角三角形，
∵DE＝AD，设AD＝a，
∴DE＝DO+OE，则OE＝DE﹣DO＝a﹣8，
在Rt△AEO中，，，
在Rt△ADO中，AO2＝AD2﹣DO2＝a2﹣82，
∴，解得，a1＝﹣2（舍去），a2＝10，
∴AD＝10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AD＝10，
故选：A．
【点评】本题主要考查菱形与直角三角形的综合，掌握菱形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形中勾股定理的计算是解题的关键．
15．（2023•定远县模拟）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．32B．24C．40D．20
【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO＝OD，AO＝OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．
【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC＝8，BD＝6，由菱形对角线互相垂直平分，
∴BO＝OD＝3，AO＝OC＝4，
∴AB＝＝5，
故菱形的周长为20，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，以及菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．
16．（2023•太和县二模）由6个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，若∠O＝60°，则tan∠ABC的值为 ．
【分析】如图，连接EA、EC，先证明∠AEC＝90°，E、C、B共线，再根据，求出AE、EB即可求解．
【解答】解：如图，连接EA，EC，
设菱形的边长为a，由题意得∠AEF＝30°，∠BEF＝60°，
∴AE＝，EB＝2a，
∴∠AEC＝90°，
∵∠ACE＝∠ACG＝∠BCG＝60°，
∴∠ECB＝180°，
∴E、C、B共线，
在Rt△AEB中，，
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题．
17．（2023•安庆模拟）如图，菱形ABCD的对角线BD长度为4，边长，M为菱形外一个动点，满足BM⊥DM，N为MD中点，连接CN．则当M运动的过程中，CN长度的最大值为（ ）
A．1+B．C．1D．2
【分析】连接AC，交BD于点O，连接ON，易得ON是△BDM的中位线，得到ON∥BM，取OD的中点E，连接CE，NE，得到CN≤CE+NE，得到当C，N，E三点共线时，CN最长，进行求解即可．
【解答】解：连接AC，交BD于点O，连接ON，
∵菱形ABCD的对角线BD长度为4，边长，
∴AC⊥BD，，，
∴，
∵N为MD中点，
∴ON∥BM，
∵BM⊥DM，
∴ON⊥DM，
∴∠OND＝90°，
取OD的中点E，连接CE，NE，
则：，
∵CN≤CE+NE，
∴当C，N，E三点共线时，CN的长度最大为；
故选：A．
【点评】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线．掌握并灵活运用相关知识点，构造三角形的中位线是解题的关键．
18．（2023•潜山市模拟）如图，菱形ABCD中，∠D＝135°，BE⊥CD于E，交AC于F，FG⊥BC于G．若△BFG的周长为6，则菱形的边长为 6 ．
【分析】根据AAS证明CGF≌△CEF，可得FG＝FE，CG＝CE，由△BFG的周长为6，可得BG+GF+BF＝BG+EF+BF＝BG+CG＝BC＝6．
【解答】解：菱形ABCD中，∠D＝135°，
∴∠BCD＝45°，
∵BE⊥CD于E，交AC于F，FG⊥BC于G，
∴△BFG和△BEC是等腰直角三角形，
在△CGF和△CEF中，
，
∴△CGF≌△CEF（AAS），
∴FG＝FE，CG＝CE，
∵△BFG的周长为6，
∴BG+GF+BF＝BG+EF+BF＝BG+CG＝BC＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
19．（2023•南陵县模拟）已知菱形ABCD，边长为4，E，F分别在AB，AD上，BE＝，∠ABC＝∠ECF＝60°，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】证明△BCE≌△ACF（ASA），则BE＝AF＝，过E点作EM∥BC交AC于点M，可得△AEM是等边三角形，＝，求出AE＝EM＝，即可求＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵∠ECF＝60°，
∴∠BCE＝∠ACF，
∵∠B＝∠DAC＝60°，
∴△BCE≌△ACF（ASA），
∴BE＝AF，
∵AB＝4，BE＝，
∴AE＝，AF＝，
过E点作EM∥BC交AC于点M，
∴EM∥AD，
∴＝，∠FAC＝∠GME＝60°，∠AEM＝∠ABC＝60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AE＝EM＝，
∴＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
20．（2023•金寨县二模）在菱形ABCD中，AC与BD交于O，OA：OB：AB的值可以是（ ）
A．1：1：2B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
【分析】根据矩形的性质可得AO＝BO，结合三角形的三边关系AO+BO＞AB可求解．
【解答】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴AO：BO：AB可能是3：4：5．
故选：D．
【点评】本题主要考查矩形的性质，三角形的三边关系，由矩形的性质得AO＝BO是解题的关键．
21．（2023•合肥三模）如图，菱形ABCD中，点E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，EF＝2，FG＝4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．12B．16C．20D．32
【分析】连接BD、AC，由三角形中位线定理得AC＝2EF＝4，BD＝2FG＝8，再由菱形面积公式即可得出结论．
【解答】解：如图，连接BD、AC，
∵点E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，
∴EF是△ABC的中位线，FG是△BDC的中位线，
∴AC＝2EF＝4，BD＝2FG＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×4×8＝16，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质，由三角形中位线定理求出AC和BD的长是解题的关键．
22．（2023•庐阳区一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．6B．C．D．
【分析】根据点A的坐标为（0，3），可以得到AO＝3，根据tan∠ABO＝，可以求出BO，根据勾股定理可以求出AB，最后由菱形的性质可以求出菱形的周长．
【解答】解：∵点A的坐标为（0，3），
∴AO＝3，
∵tan∠ABO＝，
∴＝，
∴＝，
∴BO＝，
∵△AOB是直角三角形，
∴AB＝＝＝＝2，
∵菱形的四条边相等，
∴菱形ABCD的周长为2×4＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理和菱形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义、勾股定理和菱形的性质是解题的关键．
23．（2023•安徽模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以点D为圆心，适当长为半径作弧，交BA所在直线于点M、N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接DP交BA延长线于点E，连接OE，若AB＝，OE＝，则DE的长为 ．
【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，OB＝OD，AB＝AD＝，由作图过程可知：DE⊥BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD＝2，根据勾股定理得OA＝1，方法一：然后利用勾股定理列出方程求出AE，进而可以解决问题．方法二：根据sin∠ABO＝＝，得＝，进而可以解决问题．
【解答】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，OB＝OD，AB＝AD＝，
由作图过程可知：DE⊥BE，
∴OE＝OB＝OD＝，
∴BD＝2，
∴OA＝＝1，
方法一：在Rt△ADE和Rt△BDE中，根据勾股定理得：
DE2＝AD2﹣AE2，DE2＝BD2﹣BE2，
∴（）2﹣AE2＝（2）2﹣（+AE）2，
∴AE＝
∴AE2＝，
∴DE2＝AD2﹣AE2＝6﹣＝，
∴DE＝．
方法二：∵sin∠ABO＝＝，
∴＝，
∴DE＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，二次根式的应用，解直角三角形，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
六．菱形的判定（共2小题）
24．（2023•蚌埠三模）如图推理中，空格①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是（ ）
A．①②B．①④C．③④D．②③
【分析】由菱形，矩形，正方形的判定，即可解决问题．
【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴②处应该填上条件“对角线相等”；
∵对角线相等的菱形是正方形，
∴③处应该填上条件“对角线相等”．
故选：D．
【点评】本题考查菱形，矩形，正方形的判定，关键是掌握菱形，矩形，正方形的判定方法．
25．（2023•杜集区校级模拟）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，下列条件中，不能使四边形DBCE成为菱形的是（ ）
A．AB＝BEB．BE⊥DCC．∠ABE＝90°D．BE平分∠DBC
【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可；
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AD＝DE，
∴DE∥BC，且DE＝BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；
B、∵BE⊥DC，∴对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故本选项正确；
C、∵∠ABE＝90°，∴BD＝DE，∴邻边相等的平行四边形为菱形，故本选项正确；
D、∵BE平分∠DBC，∴对角线平分对角的平行四边形为菱形，故本选项正确．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定，正确掌握菱形的判定与性质是解题关键．
七．菱形的判定与性质（共3小题）
26．（2023•池州模拟）如图，某同学剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（ ）
A．3B．2C．3D．6
【分析】过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，则AE＝AF＝，先证四边形ABCD是平行四边形，再证BC＝CD，则平行四边形ABCD是菱形，得AB＝BC，然后由锐角三角函数定义求出AB＝2，即可解决问题．
【解答】解：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
则AE＝AF＝，∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE＝∠ADF＝60°，S平行四边形ABCD＝BC•AE＝CD•AF，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵sin∠ABE＝＝sin60°＝，
∴AB＝＝＝2，
∴BC＝2，
∴S菱形ABCD＝BC•AE＝2×＝2，
故选：B．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
27．（2023•庐阳区校级一模）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．B．C．D．1
【分析】过D'作D'M⊥AB于M，求出正方形ABCD的面积＝AB2，再由含30°角的直角三角形的性质得AM＝AD'，D'M＝AM＝AD'，然后求出菱形ABCD的面积＝AB×D'M＝AB2，即可求解．
【解答】解：过D'作D'M⊥AB于M，如图所示：
则∠D'MA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积＝AB2，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠DAD′＝30°，
∴∠D'AM＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AD'M＝30°，
∴AM＝AD'，D'M＝AM＝AD'，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AB＝AD'＝AD，菱形ABCD的面积＝AB×D'M＝AB2，
∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和正方形的性质，证出D'M＝AD'是解题的关键．
28．（2023•安徽二模）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB于点D，再分别以C、D为圆心，OC的长为半径，两弧在∠AOB的内部交于点E，作射线OE，若OC＝10，OE＝16，则C、D两点之间距离为（ ）
A．10B．12C．13D．
【分析】根据作图过程可证明四边形OCED是菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分，再根据勾股定理即可求得CD的长．
【解答】解：由作图过程可知：OC＝OD，OC＝CE＝DE，
∵OC＝OD＝DE＝CE，
∴四边形ODEC是菱形．
如图，连接CD交OE于点F
，
∵四边形OCED是菱形，
∴OE⊥CD，OF＝FE＝OE＝8，OC＝10，
∴CF＝DF＝6，
∴CD＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
八．矩形的性质（共9小题）
29．（2023•砀山县一模）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝6，则BE的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据矩形的性质得出∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝6，证出∠AEB＝∠EAD＝45°，得出BE＝BA．证出△OAB为等边三角形，得出BO＝BA＝6，则可得出答案．
【解答】解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝6，
∴∠AEB＝∠EAD＝45°，
∴BE＝BA．
∵∠CAE＝15°，∠BAE＝45°，
∴∠BAC＝60°，
又∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴BO＝BA＝6，
∴BO＝BE＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
30．（2023•庐阳区校级三模）如图，E，F为矩形ABCD内两点，AE⊥EF，CF垂直EF，垂足分别为E、F，若AE＝1，CF＝2，EF＝4，则BD＝（ ）
A．B．5C．D．6
【分析】连接AC，交EF于点M，BD于O，根据相似三角形的判定和性质和勾股定理解答．
【解答】解：连接AC，交EF于点M，BD于O，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEM＝∠CFM＝90°，
∵∠AME＝∠CMF，
∴△AEM∽△CFM，
∴＝，
∵AE＝1，EF＝4，CF＝2，
∴EM＝，MF＝，
在Rt△AEM中，AM＝＝＝，
在Rt△CFM中，MC＝＝＝，
∴AC＝AM+CM＝+＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝5，
故选：B．
【点评】本题主要考查矩形的性质及相似三角形的判定和性质，构造三角形相似利用相似三角形的对应边成比例求得AC的长是解题的关键，注意勾股定理的应用．
31．（2023•来安县二模）如图，P为矩形ABCD的边AB的延长线上的动点，AH⊥PC于H，点E在边AD上，若AB＝6，BC＝8，AE＝2，则线段EH的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接AC，以AC为直径作△ABC的外接圆⊙O，当E，O，H三点共线时，EH取最大值，再过O作OF⊥AD于F，根据勾股定理求出，而，即可求出线段EH的最大值．
【解答】解：连接AC，以AC为直径作△ABC的外接圆⊙O，
∵AH⊥PC，
∴点H在⊙O上，
当E，O，H三点共线时，EH取最大值，
过O作OF⊥AD于F，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
∵F为AD的中点，
∴，
在Rt△OEF中，，，
∴线段EH的最大值为．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，圆的性质，三角形的任意两边之和大于第三边，作辅助线并判断出 EH最大时的情况是解题的关键．
32．（2023•合肥三模）如图，a∥b，矩形ABCD的顶点B在直线a上，若∠1＝34°，则∠2的度数为（ ）
A．34°B．46°C．56°D．66°
【分析】过点A作AE∥a，利用矩形的性质和平行线的判定与性质解答即可．
【解答】解：过点A作AE∥a，如图，
∴∠EAB＝∠1＝34°．
∵a∥b，AE∥a，
∴AE∥b，
∴∠2＝∠DAE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠EAB＝56°，
∴∠2＝56°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，本题是猪脚模型，过点A作AE∥a是解题的关键．
33．（2023•合肥三模）将一直角三角形和矩形如图放置，若∠1＝42°，则∠2＝（ ）
A．58°B．54°C．48°D．44°
【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，根据对顶角的性质得到∠3＝∠1＝42°，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝42°，
∵∠GEF＝∠3＝42°，∠G＝90°，
∴∠2＝∠GFE＝180°﹣90°﹣42°＝48°，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
34．（2023•砀山县二模）如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，将△ABM沿AM折叠，使点B落在B'处，若∠AMB＝α，则∠B'AD等于（ ）
A．α﹣90°B．α﹣45°C．90°﹣2αD．90°﹣α
【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AD∥BC，求出∠DAM＝∠AMB＝α，∠BAM＝90°﹣α，根据折叠可知∠B'AM＝∠BAM＝90°﹣α，最后求出结果即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠DAM＝∠AMB＝α，∠BAM＝90°﹣α，
根据折叠可知，∠B'AM＝∠BAM＝90°﹣α，
∴∠B'AD＝∠B'AM﹣∠DAM＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形与折叠，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握矩形性质，求出∠DAM＝∠AMB＝α，∠BAM＝90°﹣α．
35．（2023•肥西县二模）如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，4）
【分析】过C作CE⊥y轴于E，过A作AF⊥y轴于F，得到∠CEO＝∠AFB＝90°，根据矩形的性质得到AB＝OC，AB∥OC，根据全等三角形的性质得到CE＝AF，OE＝BF，BE＝OF，于是得到结论．
【解答】解：过C作CE⊥y轴于E，过A作AF⊥y轴于F，
∴∠CEO＝∠AFB＝90°，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AB＝OC，AB∥OC，
∴∠ABF＝∠COE，
∴△OCE≌△ABF（AAS），
同理△BCE≌△OAF，
∴CE＝AF，OE＝BF，BE＝OF，
∵A（2，1），B（0，5），
∴AF＝CE＝2，BE＝OF＝1，OB＝5，
∴OE＝4，
∴点C的坐标是（﹣2，4）；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
36．（2023•龙子湖区二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝120°，矩形ABCD的面积是9，那么这个矩形的周长是（ ）
A．3+3B．4+4C．D．
【分析】根据矩形的性质得出OA＝OB，进而利用等边三角形的性质和判定解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝AC，
∴BC＝AB，
∵矩形ABCD的面积是9，
∴AB•BC＝AB•AB＝9，
∴AB＝3，BC＝3，
∴这个矩形的周长＝6+6，
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理、矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AB是解决问题的关键关键．
37．（2023•亳州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P从点A出发，按A→B→C的方向在边AB和BC上移动，记AP＝x，点D到直线AP的距离DE为y，则y的最小值是（ ）
A．6B．C．5D．4
【分析】根据题意和图形可知，当点P在AB段时，y的值是定值8，当点P在BC段时，y随x的变化而变化，然后根据相似三角形的判定和性质，可以得到y和x的关系，再根据题意，可以得到x的取值范围，从而可以得到y的最小值．
【解答】解：连接AC，
当点B在AB上运动时，y的值恒为8，
当点P在BC上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝8，
∴∠BAP+∠DAE＝90°，∠BAP+∠APB＝90°，
∴∠DAE＝∠APB，
∵DE⊥AP，
∴∠DEA＝90°，
∴∠B＝∠DEA，
∴△ABP∽△DEA，
∴，
即，
∴y＝，
∵AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，
∴AC＝10，
∴6＜x≤10，
∴当x＝10时，y取得最小值＝，
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
九．矩形的判定与性质（共2小题）
38．（2023•金安区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
​
A．B．C．D．
【分析】连接MP，根据矩形的判定和性质得出EF＝AP，根据当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：连接MP．
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，EF与AP互相平分，
∵M是EF的中点，
∴M为AP的中点，
∴AM＝AP，
∵AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，
∴AP最短时，AP＝4.8，
∴当AM最短时，AM＝AP＝2.4．
即AM的最小值为2.4．
故选：B．
【点评】此题考查矩形的判定和性质，关键是根据矩形的判定和性质得出EF＝AP解答．
39．（2023•繁昌县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，M为斜边AB上的一个动点，过点M作MD⊥AC于点D，ME⊥BC于点E．若线段DE的最小值是，则此时BM＝ ．
【分析】易得四边形CDME为矩形，连接CM，得到CM＝DE，过点C作CF⊥AB，得到当M与F重合时，CM最小，即DE最小，进而得到，勾股定理求出AF，再利用，求出AB的长，利用AB﹣AF即可得出BF的长，即为BM的长．
【解答】解：∵MD⊥AC，ME⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CDME为矩形，
连接CM，过点C作CF⊥AB，则：CM＝DE，∠CFB＝∠CFA＝∠ACB＝90°，
当CM最小时，DE的值最小，
当M与F重合时，DE的值最小，
∵线段DE的最小值是，
∴，
在Rt△AFC中，
，
∴，即：，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．解题的关键是确定点M的位置．
一十．正方形的性质（共9小题）
40．（2023•蚌埠二模）如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠CAB交DC的延长线于点E，交BC于点F，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】根据正方形的性质和角平分线定义证明AC＝EC，可得CE＝AB，由AB∥CE，得△CFE∽△BFA，对应边成比例即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠ACB＝45°，∠ABC＝90°，
∴AC＝AB，∠BAE＝∠E，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠E＝∠CAE，
∴AC＝EC，
∴CE＝AB，
∵AB∥CE，
∴△CFE∽△BFA，
∴＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
41．（2023•庐阳区校级三模）在边长为2的正方形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两个动点，且始终保持BF﹣BE＝1，连接AE、CF，则AE+CF的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
【分析】通过证明四边形EFHA是平行四边形，可得AE＝FH，则当点F，点H，点C三点共线时，AE+CF有最小值，由勾股定理可得．
【解答】解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝1，连接HF，
∵AH＝EF，AH∥EF，
∴四边形EFHA是平行四边形，
∴AE＝FH，
∴AE+CF＝FH+CF，
∴当点F，点H，点C三点共线时，AE+CF有最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝2，
∵AH∥DB，
∴AC⊥CH，
∴∠CAH＝90°，
在Rt△ACH中，CH＝＝＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，即可求解．
42．（2023•芜湖一模）如图，在正方形ABCD中，已知边AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
​
A．5B．C．D．
【分析】连接AF，AC，利用勾股定理、轴对称的性质可得AC、AF的长．依据AF+CF≥AC，即可得到当C，F，A在同一直线上时，CF存在最小值．
【解答】解：如图所示，连接AF，AC，
∵正方形ABCD的边长为5，
∴AC＝，
∵B，F关于AE成轴对称，
∴AE垂直平分BF，
∴AB＝AF＝5，
∵AF+CF≥AC，
∴当C，F，A在同一直线上时，CF的最小值为AC﹣AF＝﹣5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是依据两点之间，线段最短进行判断．
43．（2023•蜀山区校级三模）如图，正方形ABCD的边长为2，延长CB至点E，BE＝1，连接DE交AB于点G，连接AE，并取AE的中点F，连接FG并延长交BC于点H，则FH＝（ ）
​
A．B．C．D．
【分析】先作辅助线构造全等三角形，然后利用△AGD∽△BGE，从而求出EH的长，再过F作EC的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：延长DA、HF相交于点M，如图：
∵F是中点，
∴AF＝EF，
又∵∠MAF＝∠HEF，∠AFM＝∠HFE，
∴△AFM≌△EFH（ASA），
∴AM＝EH，
∵AD∥EC，
∴△AGD∽△BGE，△DMG∽△EHG，
∴，，
∴，
∴DM＝2EH，
又∵DM＝AM+AD＝EH+AD＝2EH，AD＝2，
∴EH＝2，
过F作FN⊥BE于点N，
∵F是中点，
∴FN＝AB＝1，EN＝，
∴NH＝，
在Rt△FNH中，
FH2＝FN2+NH2，
∴FH＝
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形、相似三角形的性质，解答过程中作辅助线是解题的关键．
44．（2023•蜀山区三模）在边长为8的正方形ABCD中，E为AB边上一点，AE＝3BE，连接DE，G为DE中点，若点M在正方形ABCD的边上，且MG＝5，则满足条件的点M的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】过点G作GP⊥AD于点P，PG的延长线交BC于F，连接AG并延长交CD于Q，先求出AE＝6，BE＝2，再利用勾股定理求出AE＝10，则GD＝GE＝5，证PG为△AED的中位线得PG＝3，PD＝PA＝4，进而可求出GA＝5，然后可求得GF＝5，最后再证△GDQ和△GEA全等得GQ＝GA＝5，据此即可得出答案．
【解答】解：过点G作GP⊥AD于点P，PG的延长线交BC于F，连接AG并延长交CD于Q，
∵四边形ABCD为正方形，边长为8，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝8，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB∥CD，
∵点E在AB上，且AE＝3BE，
∴AE＝6，BE＝2，
在Rt△AED中，AD＝8，AE＝6，
由勾股定理得：，
∵点G为AE的中点，
∴GD＝GE＝5，
则点D、E即为满足条件的点，
则四边形ABFP、PFCD均为矩形，
∵点G为DE的中点，GP∥AB，
∴PG为△AED的中位线，
∴，，
在Rt△GAP中，AP＝4，PG＝3，
由勾股定理得：，
则点A即为满足条件的点，
∵PF＝AB＝8，PG＝3，
∴GF＝PF﹣PG＝8﹣3＝5，
则点F即为满足条件的点，
∵AB∥CD，
∴∠GDQ＝∠GEA，∠GQD＝∠GAE，
在△GDQ和△GEA中，
，
∴△GDQ≌△GEA（AAS），
∴GQ＝GA＝5，
则点Q即为满足条件的点，
综上所述：满足条件的点M的个数是5个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平分线，三角形的中位线解答此题的关键是正确的作出辅助线，利用正方形和矩形的性质、勾股定理等计算得出GD、GE、GA、GF、GQ的长．
45．（2023•定远县校级三模）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．（清）陆以活《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设七巧板正方形的边长为x，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出BF，BE的长，即可求解．
【解答】解：设七巧板正方形的边长为x，
∴2BE2＝x2，
∴BE2＝，
∴BE＝x，
∴，
∴＝，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，七巧板，勾股定理，正方形的性质，表示出BF，BE的长是解题的关键．
46．（2023•阜阳三模）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E在边AD上，且DE＝1．△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据AB＝3，AE＝2，由勾股定理得；证明△BAE≌△EGF得到AB＝EG＝3，AE＝GF＝2于是DG＝EG﹣DE＝3﹣1＝2，根据勾股定理；过点F作FH⊥CD于点H，证明四边形DGFH是正方形，得到DH＝2，CH＝1，证明△HFN∽△CBN，△DEM∽△HFM，计算CN，HN，HM，计算求解即可．
【解答】解：A、∵边长为3的正方形ABCD，DE＝1，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AE＝2，∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴；
∵△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
故该项正确，不符合题意；
B、∵边长为3的正方形ABCD，FG⊥DG，
∴∠BAE＝∠EGF＝90°，
∵△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，
∴BE＝EF，∠AEB+∠GEF＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠GEF，
∴△BAE≌△EGF（AAS），
∴AB＝EG＝3，AE＝GF＝2，
∴DG＝EG﹣DE＝3﹣1＝2，
∴，
故该项正确，不符合题意；
C、过点F作FH⊥CD于点H，
∵∠FHD＝∠HDG＝∠DGF＝90°，DG＝FG＝2，
∴四边形DGFH是正方形，
∴DH＝DG＝2，CH＝CD﹣DH＝3﹣2＝1，
∵∠BCN＝∠FHN，∠BNC＝∠FNH，∠EDM＝∠FHM，∠EMD＝∠FMH，
∴△HFN∽△CBN，△DEM∽△HFM，
∴，
∴，
∴，
∴，
故该项正确，不符合题意；
D、∵，
∴，
∴，
故该项错误，符合题意；
故选D．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
47．（2023•淮南二模）如图，在△BCP 中，BP＝2，PC＝4，现以BC为边在BC的下方作正方形ABCD并连接AP，则AP的最大值为（ ）
​
A．B．6C．D．
【分析】将△ABP绕点B逆时针旋转90°得△BCE，连接PE，则△BPE是等腰直角三角形，AP＝CE，再利用三角形三边关系可得答案．
【解答】解：将△ABP绕点B逆时针旋转90°得△BCE，连接PE，
则△BPE是等腰直角三角形，AP＝CE，
∴PE＝BP＝2，
在△CPE中，CE≤PE+CP，
∴CE的最大值为2+4，
即AP的最大值为2+4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形三边关系等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
48．（2023•安徽模拟）如图，正方形ABCD的边长AB＝8，E为平面内一动点，且AE＝4，F为CD上一点，CF＝2，连接EF，ED，则EF+ED的最小值为（ ）
A．6B．4C．4D．6
【分析】如图，当点E运动到点E′时，在AD边上取AH＝2，证明△DAE′∽△E′AH，根据EF+ED的最小值为HF的值，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，当点E运动到点E′时，EF+ED的值最小，最小值为EF+DE'，
在AD边上取AH＝2，
∵AE′＝AE＝4，
∴＝2，
∵AD＝8，
∴＝2，
∴，
∵∠DAE′＝∠E′AH，
∴△DAE′∽△E′AH，
∴＝2，
∴E′H＝DE'，
∴EF+ED＝EF+E′D＝EF+E′H＝HF，
∴EF+ED的最小值为HF的值，
∵DH＝AD﹣AH＝6，
DF＝DC﹣CF＝6，
在Rt△DHF中，根据勾股定理，得
HF＝，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，构造出E'H＝DE'是解本题的关键．
一十一．正方形的判定与性质（共3小题）
49．（2023•禹会区模拟）下列说法：
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
（4）两组对角相等的四边形是平行四边形；
其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【解答】解：对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故（1）错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，故（2）正确；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故（3）错误
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故（4）正确；
即正确的个数是2，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识点，能熟记平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解此题的关键．
50．（2023•池州模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连结EF，给出四种情况：
①若G为BD上任意一点，则AG＝EF；
②若BG＝AB，则∠DAG＝22.5°；
③若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；
④若DG：BG＝1：3，则．
则其中正确的是 ①②③④ ．
【分析】根据正方形的性质得出EF＝GC，进而利用全等三角形的判定和性质判断①；
根据等腰三角形的内角和定理判断②；
根据正方形的判定判断③；
根据正方形的面积公式和三角形的面积公式解答判断④．
【解答】解：连接GC，AC，AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD＝DC，∠ADG＝∠CDG＝45°，
∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC＝∠GFC＝90°，
∴四边形GFCE是矩形，
∴EF＝GC，
在△ADG与△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝GC，
∴AG＝EF，故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，
∵AB＝BG，
∴∠BAG＝＝67.5°，
∴∠DAG＝∠BAD﹣∠BAG＝90°﹣67.5°＝22.5°，故②正确；
当G是BD的中点时，G是AC，BD的交点，即G与O重合，
∴CE＝CD，CF＝BC，
∴CE＝CF，
∴矩形GFCE是正方形，故③正确；
∵正方形ABCD的边长为2，
∴正方形ABCD的面积＝4，
∵DG：BG＝1：3，
∴，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
51．（2023•六安三模）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，F是对角线AC的中点，点G、E分别在AD、CD边上运动，且保持AG＝DE，连接GE、GF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE不可能为正方形，③GE长度的最小值为；④四边形DGFE的面积保持不变；⑤△DGE面积的最大值为8，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①③④⑤C．①③④D．③④⑤
【分析】连接DF，可证明△FAG≌△FDE，得FG＝FE，∠AFG＝∠DFE，则∠GFE＝∠AFD＝90°，所以△GFE是等腰直角三角形，可判断①正确；∠GFE＝∠GDE＝90°，FG＝FE，所以当∠FGD＝90°时，四边形DGFE是正方形，可判断②错误；作FH⊥AD于点H，则FH＝AD＝4，当点G与点H重合时FG最小，此时GE最小，GE的最小值为4，可判断③正确；由S△FAG＝S△FDE，得S四边形DGFE＝S△ADF＝S正方形ABCD＝16，所以四边形DGFE的面积保持不变，可判断④正确；因为S△DGE+S△GFE＝S四边形DGFE＝16，所以当FG＝FH＝4时，S△GFE最小＝8，此时S△DGE最大＝16﹣8＝8，可判断⑤正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝8，∠ADC＝90°，
∴∠FAG＝∠FCD＝45°，
∵F是对角线AC的中点，
∴DF⊥AC，DF＝AF＝CF＝AC，∠FDE＝∠FDA＝∠ADC＝45°，
∴∠FAG＝∠FDE，
在△FAG和△FDE中，
，
∴△FAG≌△FDE（SAS），
∴FG＝FE，∠AFG＝∠DFE，
∴∠GFE＝∠DFG+∠DFE＝∠DFG+∠AFG＝∠AFD＝90°，
∴△GFE是等腰直角三角形，
故①正确；
∵∠GFE＝∠GDE＝90°，
∴当∠FGD＝90°时，四边形DGFE是矩形，
∵FG＝FE，
∴此时四边形DGFE是正方形，
∴四边形DGFE可能为正方形，
故②错误；
作FH⊥AD于点H，则AH＝DH，
∴FH＝AD＝4，
∵GE＝＝＝FG，
∴当点G与点H重合时FG最小，此时GE最小，
∵FG＝FH＝4，GE＝×4＝4，
∴GE的最小值为4，
故③正确；
∵S△FAG＝S△FDE，
∴S四边形DGFE＝S△FDH+S△FEE＝S△FDH+S△FAE＝S△ADF＝S正方形ABCD＝×8×8＝16，
∴四边形DGFE的面积保持不变，
故④正确；
∵S△DGE+S△GFE＝S四边形DGFE＝16，
∴当FG＝FH＝4时，S△GFE最小＝×4×4＝8，此时S△DGE最大＝16﹣8＝8，
∴△DGE面积的最大值为8，
故⑤正确，
故选：B．
【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、等角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线并且证明△FAG≌△FDE是解题的关键．
一十二．梯形（共1小题）
52．（2023•定远县一模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6，则CE的长为（ ）
A．B．C．2.5D．2.3
【分析】延长AF、BC交于点G．根据AAS可以证明△AFD≌△GFC，则AG＝2AF＝8，CG＝AD＝2.7；根据勾股定理，得BG＝10，则BC＝7.3；根据等边对等角，得∠BAE＝∠B，根据等角的余角相等，得∠EAG＝∠AGE，则AE＝GE，则BE＝BG＝5，进而求得CE的长．
【解答】解：延长AF、BC交于点G．
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠FCG，∠DAF＝∠G．
又DF＝CF，
∴△AFD≌△GFC．
∴AG＝2AF＝8，CG＝AD＝2.7．
∵AF⊥AB，AB＝6，
∴BG＝10．
∴BC＝BG﹣CG＝7.3．
∵AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B．
∴∠EAG＝∠AGE．
∴AE＝GE．
∴BE＝BG＝5．
∴CE＝BC﹣BE＝2.3．
故选：D．
【点评】此题综合运用了全等三角形的判定及性质、勾股定理、等边对等角的性质、等角的余角相等以及等角对等边的性质．
一十三．中点四边形（共1小题）
53．（2023•安庆模拟）如图，D、E、F、G分别为AC、AB、BO、CO的中点，∠BOC＝90°，若AO＝3，BO＝4，CO＝3，则四边形DEFG的周长 8 ．
【分析】根据勾股定理求出BC＝5，根据三角形中位线定理得到DE＝FG＝BC，EF＝DG＝AO，得到EF+DG＝3，DE+FG＝5，计算即可．
【解答】解：∵∠BOC＝90°，BO＝4，CO＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵D、E、F、G分别为AC、AB、BO、CO的中点，
∴DE，FG分别为△ABC，△OBC的中位线，EF，DG分别为△AOB，△AOC的中位线，
∴DE＝FG＝BC＝2.5，EF＝DG＝OA＝1.5，
∴EF+DG＝3，DE+FG＝5，
∴四边形DEFG的周长＝EF+DG+DE+FG＝3+5＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
一十四．四边形综合题（共7小题）
54．（2023•定远县二模）菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，E，F分别是AB，AD上的动点，且BE＝AF，连接EF，交AC于G，则下列结论：①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③CE的最小值为2．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①③D．②③
【分析】由“SAS”可证△CBE≌△CAF，故①正确，由全等三角形的性质可得CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，可证△ECF是等边三角形，故②正确；当CE⊥AB时，CE最小，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BAC＝∠CAD＝∠BAD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴CB＝CA，∠ACB＝60°，
在△BCE和△ACF中，
，
∴△CBE≌△CAF（SAS），
故①正确；
∵△CBE≌△CAF，
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∵∠ACB＝∠BCE+∠ECA＝60°，
∴∠ACF+∠ECA＝60°，即∠ECF＝60°，
∴△ECF是等边三角形，
故②正确；
当CE⊥AB时，CE最小，
在Rt△CBE中，∠B＝60°，BC＝4，
∴CE＝BC•sinB＝4×＝2，
∴EF的最小值是2，
故③正确；
故选：B．
【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
55．（2023•宣州区三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，F为BC中点，P是线段BF上一点，设BP＝m（0＜m≤2），连接AP并将它绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接CE，EF，则在点P从点B向点F运动的过程中，下列说法错误的是（ ）
A．∠EFC＝45°B．点D始终在直线EF上
C．△FCE的面积为mD．CE的最小值为
【分析】由“AAS”可证△BAP≌△HPE，可得BP＝EH＝m，AB＝PH＝2，可求EH＝FH＝m，可求∠EFC＝45°，可判断A选项，由等腰直角三角形的性质可得∠DFC＝45°，可得点D在直线EF上，可判断B选项，由三角形的面积关系可求S△EFC＝m，可判断C选项，当CE⊥DF时，CE有最小值，由等腰直角三角形的性质可求CE的最小值为，可判断D选项，即可求解．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，
∵BP＝m（0＜m≤2），
∴点P在线段BF上，
∵F为BC中点，
∴CF＝BF＝2，
∵将AP绕P顺时针旋转90°得到线段PE，
∴AP＝PE，∠APE＝90°＝∠ABP＝∠PHE，
∴∠BPA+∠EPH＝90°，∠BAP+∠BPA＝90°，
∴∠BAP＝∠EPH，
在△BAP和△HPE中，
，
∴△BAP≌△HPE（AAS），
∴BP＝EH＝m，AB＝PH＝2，
∴FH＝PH﹣PF＝2﹣（2﹣m）＝m，
∴EH＝FH，
∴∠EFC＝45°，故选项A不合题意，
∵CD＝CF＝2，
∴∠DFC＝45°，
∴点D在直线EF上，故选项B不合题意；
∵S△EFC＝×CF•EH，
∴S△EFC＝×2•m＝m，故选项C不合题意；
∵点E在DF上移动，
∴当CE⊥DF时，CE有最小值，
∵CF＝DC＝2，∠DCF＝90°，
∴DF＝2，
∵CE⊥DF，
∴CE＝DF＝，
∴CE的最小值为，故选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
56．（2023•庐阳区校级一模）如图，四边形ABCD是矩形，CE平分∠BCD，AE⊥CE，EA、CB的延长线交于点F，连接DE，连接BD交CE于点G．下列结论错误的是（ ）
A．图中共有三个等腰直角三角形
B．∠DGC＝∠EBC
C．AB•AD＝CG•CE
D．△CDG∽△CEB
【分析】根据矩形的性质以及角平分线的性质得∠DCE＝∠BCE＝45°，△CEF是等腰直角三角形，∠F＝∠DCE＝45°，△ABF是等腰直角三角形，由SAS证明△EBF≌△EDC（SAS），可得∠FEB＝∠CED，BE＝ED，则∠FEB+∠CEB＝∠CEB+∠CED＝90°，△BED是等腰直角三角形，由EBF≌△EDC，可得∠FEB＝∠CED，由三角形外角的性质可得∠DGC＝∠EBC，证明△CDG∽△CEB，列比例式并结合等量代换可得AB•AD＝CG•CE．
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠ABF＝90°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE＝45°，
∵AE⊥CE，
∴∠FEC＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF＝CE，∠F＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AB＝CD，
∵∠F＝∠DCE＝45°，
∴△EBF≌△EDC（SAS），
∴∠FEB＝∠CED，BE＝ED，
∴∠FEB+∠CEB＝∠CEB+∠CED＝90°，
∵BE＝ED，
∴△BED是等腰直角三角形，
△DCH是等腰直角三角形，故A错误；
∴∠EBD＝45°，
∵∠DGC＝∠GCB+∠CBG＝45°+∠CBG，
∠EBC＝∠EBD+∠CBG＝45°+∠CBG，
∴∠DGC＝∠EBC，故B正确；
∵∠DCG＝∠ECB，
∴△CDG∽△CEB，故D正确；
∴，
∵CD＝AB，BC＝AD，
∴，
∴AB•AD＝CG•CE，故C正确．
故选：A．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
57．（2023•太和县一模）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAD，△PAB，△PBC，△PCD，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4，下列结论错误的是（ ）
A．若S1＝S3，则P点在AB边的垂直平分线上
B．S2+S4＝S1+S3
C．若AB＝4，BC＝3，则PA+PB+PC+PD的最小值为10
D．若△PAB∽△PDA，且AB＝4，BC＝3，则PA＝2.5
【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD，AD＝BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出A、B正确；根据三角形的三边关系可得C正确；根据相似三角形的性质得∠APD＝∠APB＝90°，则D、P、B三点共线，利用面积法求出AP＝2.4，可得D错误，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，分别延长FP，EP交BC、CD于G、H
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
∴PF⊥BC，PE⊥CD，
∴EH⊥FG，EH⊥CD，GF⊥BC，
设点P到AD、AB、BC、CD的距离分别为PD＝h1、PE＝h2、PG＝h3、PH＝h4，
∴S1＝ADh1，S2＝ABh2，S3＝BCh3，S4＝CDh4，
若S1＝S3，则h1＝h3，即P为FG的中点，
∴E为AB的中点，
∴P点在AB边的垂直平分线上，故A正确，不符合题意；
∵S2+S4＝ABh2+CDh4＝AB（h2+h4）＝AB•EH＝S矩形ABCD，
同理可得出S1+S3＝S矩形ABCD，
∴S2+S4＝S1+S3，故B正确，不符合题意；
如图2，连接AC、BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝BD＝＝5，
∵PA+PC≥AC，PB+PD≥BD，
∴PA+PB+PC+PD的最小值为10，故C正确，不符合题意；
∵△PAB∽△PDA，
∴∠PAB＝∠PDA，
∵∠PAB+∠PAD＝90°，
∴∠PDA+∠PAD＝90°，
∴∠APD＝90°，
同理得∠APB＝90°，
∴D、P、B三点共线，AP⊥BD，
∴S△ABD＝AD•AB＝BD•AP，
∴AP＝＝2.4，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键，题目比较好，是一道比较典型的题目．
58．（2023•安徽模拟）如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD的边DA，AB，BC，CD的中点，连接AH，BE，CF，DG，它们分别相交于点M，N，P，Q，连接NQ．若AB＝4，则下列结论错误的是（ ）
A．△ABE≌△DAHB．四边形MNPQ是正方形
C．D．
【分析】根据正方形的性质可得四个边相等，四个角都等于90度，点F、G、H、E分别是正方形边AB、BC、CD、DA的中点，可以证明四边形MNPQ是正方形，再根据勾股定理即可求得PQ的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵点F、G、H、E分别是正方形边AB、BC、CD、DA的中点，
∴AF∥CH，AF＝CH，
∴四边形AFCH是平行四边形，
同理可得四边形BEDG是平行四边形，
∴AH∥CF，BE∥DG，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∵AB＝AD，∠BAD＝∠ADC，AE＝DH，
∴△ABE≌△DAH（SAS），故A正确；
∴∠ABE＝∠DAH，
∴∠ABE+∠BAM＝∠DAH+∠BAM＝90°，
∴∠BMA＝∠NMQ＝90°，
∴平行四边形MNPQ是矩形，
由△ABM≌△DQ（AAS）
∴BM＝AQ，
由△AEM≌△BFN（AAS）
∴AM＝BN，MN＝MQ，
∴矩形MNPQ是正方形，故B正确；
∵BF＝AE＝DH＝CG＝2，
根据勾股定理，得
∴BE＝DG＝＝＝2，
由△BFN∽△BEA，
∴＝，
解得FN＝，故C正确；
∴EM＝FN＝，
∴BN＝＝，
∴MN＝BE﹣BN﹣EM＝，
∴QN＝MN＝，故D错误；
故选：D．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练运用正方形的性质．
（多选）59．（2023•裕安区校级二模）若一个平行四边形的四个顶点分别在矩形的四条边上，且一边和矩形的对角线平行，则称这样的平行四边形为该矩形的“反射平行四边形”．已知▱EFGH为矩形ABCD的“反射平行四边形”，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，EF∥AC，设▱EFGH的周长为l，▱EFGH和矩形ABCD的面积分别为S1，S2，则下列结论正确的有（ ）
A．∠AEH＝∠CFGB．FG∥BDC．l＝2ACD．
【分析】如图，延长AB，GF交于点M，根据平行线的性质得到∠1＝∠2，由于∠3＝∠4，∠2与∠3不一定相等，于是得到∠1＝∠4不一定成立，即∠AEH＝∠CFG不一定相等，故A选项不符合题意；根据平行线的性质得到∠5＝∠2，∠BAD＝∠BCD＝90°，求得∠5＝∠1，根据平行四边形的性质得到EH＝FG，根据全等三角形的性质得到AE＝CG，推出FG∥BD，故B选项正确；根据EF∥AC，FG∥BD，得到＝，＝，于是得到+＝+，推出EF+FG＝AC，于是得到l＝2（EF+FG）＝2AC，故C选项正确；根据平行线等分线段定理得到点Q为FG中点，同理可得点P为EF中点，求得四边形OPFG的面积＝S1，，设 ，则，根据三角形的面积公式得到S1≤S2故D选项正确．
【解答】解：如图，延长AB，GF交于点M，
在平行四边形EFGH中，∵EH∥FG，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠4，∠2与∠3不一定相等，
∴∠1＝∠4不一定成立，
即∠AEH＝∠CFG不一定相等，故A选项不符合题意；
在矩形ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠5＝∠2，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠5＝∠1，
在平行四边形EFGH中，
∵EH＝FG，
∴△AEH≌△CGF（AAS），
∴AE＝CG，
∵EF∥AC，
∴，
∴，
∵CG＝AE，CD＝AB，
∴＝，
∴FG∥BD，故B选项正确；
∵EF∥AC，FG∥BD，
∴＝，＝，
∴+＝+，
在矩形ABCD中，
∵AC＝BD，
∴＝+＝+＝＝＝1，
∴EF+FG＝AC，
∴l＝2（EF+FG）＝2AC，故C选项正确；
∵点O为BD中点，FG∥BD，
∴点Q为FG中点，同理可得点P为EF中点，
∴四边形OPFG的面积＝S1，，
设 ，则，
∵PF∥OC，FQ∥OB，
∴＝+＝x2+（1﹣x）2＝2（x﹣）2+，
∴四边形OPFQ的面积：三角形BOC的面积，
∴S1：S2＝四边形OPFQ的面积：三角形BOC的面积，
∴S1≤S2
故D选项正确．
故选：BCD．
【点评】本题是四边形是综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
60．（2023•宣州区三模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，连结对角线AC，E为AC的中点，F为AB边上的动点，连结EF，作点C关于EF的对称点C′，连结C′E，C′F，若△EFC′与△ACF的重叠部分（△EFG）面积等于△ACF的，则BF＝ 2﹣ ．
【分析】分两种情形，①如图1中，当点F在线段AB上时，连接C′E，C′A，作EM⊥BC于M，EN⊥PC′于N．只要证明四边形AFEC′是平行四边形即可解决问题．
【解答】解：如图1中，当点F在线段AB上时，连接C′E，C′A，作EM⊥CF于M，EN⊥FC′于N．
∵△EFC′与△ACF的重叠部分（△EFG）面积等于△ACF的，
∴EG＝AG，
∵∠EFC＝∠EFC′，EM⊥BC于M，EN⊥FC′于N，
∴EM＝EN，
∴＝＝＝2，
∴FC＝2FG，
∵FC′＝FC，
∴FG＝C′G，
∵AG＝GE，
∴四边形AFEC′是平行四边形，
∴EC′＝AF＝EC＝AC＝＝，
∴FB＝2﹣；
综上所述：BF＝2﹣．
故答案为2﹣．
【点评】本题属于中考填空题中的综合题．考查矩形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考填空题中的压轴题．