5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题12相交线与平行线、三角形(真题3个考点模拟26个考点)特训（学生版+解析）

这是一份5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题12相交线与平行线、三角形(真题3个考点模拟26个考点)特训（学生版+解析），共93页。试卷主要包含了度时，AM与CB平行等内容，欢迎下载使用。
一．平行线的性质（共1小题）
1．（2021•安徽）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的大小为（ ）
A．60°B．67.5°C．75°D．82.5°
二．全等三角形的判定与性质（共1小题）
2．（2021•安徽）在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（ ）
A．CD＝2MEB．ME∥ABC．BD＝CDD．ME＝MD
三．勾股定理（共2小题）
3．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
4．（2023•安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝（BC+）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝ ．
一．垂线段最短（共1小题）
1．（2023•雨山区校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是（ ）
A．B．1C．D．
二．平行线的判定（共1小题）
2．（2023•蜀山区校级一模）如图，∠1＝∠2＝70°，∠3＝35°，则下列结论错误的是（ ）
A．AB∥CDB．∠B＝35°C．∠C+∠2＝∠EFCD．CG＝FG
三．平行线的性质（共4小题）
3．（2023•金安区一模）如图，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，则∠ABC的度数为（ ）
​
A．100°B．105°C．115°D．125°
4．（2023•庐阳区校级模拟）一副三角板（其中∠G＝∠HEF＝90°，∠EFH＝30°，∠FEG＝45°），按如图所示的位置摆放．若AB∥CD，∠AEG＝α，则∠HFD的度数为（ ）
A．α+15°B．α﹣15°C．α+30°D．α﹣30°
5．（2023•安徽模拟）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F．若∠BDC＝64°，则∠EDF的度数为（ ）
A．36°B．38°C．41°D．44°
6．（2023•滁州二模）如图，已知AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD．若∠ABO＝α°，给出下列结论：①；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
四．平行线的判定与性质（共2小题）
7．（2023•蚌山区三模）如图，已知：AB∥EF，∠B＝∠E，求证：BC∥DE．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（ ）
A．延长BC交FE的延长线于点G
B．连接BE
C．分别作∠BCD，∠CDE的平分线CG，DH
D．过点C作CG∥AB（点G在点C左侧），过点D作DH∥EF（点H在点D左侧）
8．（2023•黟县校级模拟）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝54°．当∠MAC为（ ）度时，AM与CB平行．
A．16B．60C．66D．114
五．三角形的面积（共1小题）
9．（2023•利辛县模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BC＝8，．
（1）当AB＝AC时，∠CAD＝ °；
（2）当△ACD面积最大时，则AD＝ ．
六．三角形的重心（共1小题）
10．（2023•蚌埠模拟）下列说法中正确的是（ ）
①等边三角形三条高的交点就是它的重心；②三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；④三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一
A．①③④B．②③④C．①②③D．①②③④
七．三角形三边关系（共2小题）
11．（2023•合肥模拟）如图，△ABC中，AB＝8，∠ACB＝45°，则边AC的最大值为（ ）
A．B．C．8D．
12．（2023•定远县校级三模）三角形的两边长分别是10和8，则第三边的取值范围是 ．
八．三角形内角和定理（共3小题）
13．（2023•合肥模拟）将两块直角三角尺按如图摆放，其中∠ABC＝∠D＝90°，∠A＝60°，∠DCB＝45°，若AC，BD相交于点E，则∠AED的大小为（ ）
A．110°B．105°C．95°D．75°
14．（2023•雨山区校级一模）将一副三角尺按如图所示的位置摆放，其中O，E，F在直线l上，点B恰好落在DE边上，∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．则∠ABE的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
15．（2023•蜀山区校级模拟）如图，一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上．EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，则∠CED的度数是（ ）
A．5°B．10°C．15°D．25°
九．三角形的外角性质（共3小题）
16．（2023•池州模拟）将直角三角板AOB和直角三角板COD按如图方式摆放（直角顶点重合），已知∠AOC＝45°，则∠DEB的度数是（ ）
A．20°B．30°C．45°D．60°
17．（2023•南陵县二模）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
18．（2023•南陵县模拟）一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中∠α的度数为（ ）
A．65°B．67.5°C．75°D．80°
一十．全等图形（共1小题）
19．（2023•花山区二模）如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝（ ）
A．60°B．75°C．90°D．105°
一十一．全等三角形的判定与性质（共4小题）
20．（2023•花山区二模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，若AD＝BC，2∠C＝180°+∠A，则下列关于AB、BC的关系描述正确的是（ ）
A．AB＞2BC
B．AB＝2BC
C．AB＜2BC
D．AB与2BC的关系无法判断
21．（2023•天长市校级二模）已知△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝5，AD是∠BAC 的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为（ ）
A．10B．12.5C．25D．15
22．（2023•合肥三模）如图，P为等腰Rt△ABC的斜边AB上的一动点，连接CP，AF⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为点E、F，已知AC＝4，以下结论错误的是（ ）
A．CE＝AFB．若CF＝FP，则
C．EF＝AF﹣BED．，∠AFB＝135°
23．（2023•安庆一模）如图，△ABC的角平分线BD，CE交于点P，∠A＝60°，△ABC的面积为16，四边形AEPD的面积为5，则△BPC的面积为（ ）
A．5B．5.5C．6D．7
一十二．角平分线的性质（共2小题）
24．（2023•五河县一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝2，则AD的长度为（ ）
A．B．C．2D．1+
25．（2023•五河县校级模拟）如图，BD是等边△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，线段BC的垂直平分线交BD于点P，垂足为F，若PF＝2，则DE的长为 ．
一十三．等腰三角形的性质（共3小题）
26．（2023•合肥三模）如图，四边形ABCD，连接AC，作AE垂直CD于E，若AB＝AC，∠BAC＝∠CAE＝20°，∠BCD的度数为（ ）
A．160°B．150°C．135°D．120°
27．（2023•蜀山区校级三模）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，BD平分∠ABC，则AD＝（ ）
​
A．B．C．D．
28．（2023•蜀山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，延长AB至D，使得BD＝AB，点P为动点，且PB＝PC，连接PD，则PD的最小值为（ ）
A．B．5C．D．9
一十四．等腰三角形的判定（共1小题）
29．（2023•蚌埠模拟）在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点有几个（ ）
A．8B．9C．10D．11
一十五．等腰三角形的判定与性质（共2小题）
30．（2023•明光市二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，点E是AD的中点，EG∥AC交AB于点G．若，则AB的长为（ ）​
A．9B．C．D．
31．（2023•泗县校级模拟）如图，在△ABC中，CG平分∠ACB，过点A作AH⊥CG交BC于点H，且H是BC的中点．若AH＝4，CG＝6，则AB的长为 ．
一十六．等边三角形的性质（共2小题）
32．（2023•肥西县二模）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．92°B．102°C．112°D．114°
33．（2023•天长市校级二模）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝135°，则∠2 的度数是（ ）
A．75°B．95°C．105°D．135°
一十七．等边三角形的判定与性质（共2小题）
34．（2023•庐阳区模拟）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（ ）
A．B．C．D．
35．（2023•繁昌县校级模拟）如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．若BE∥AC，则∠C＝ ．
一十八．含30度角的直角三角形（共4小题）
36．（2023•利辛县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，点D为AC的中点，点P为AB上一动点，点P从点B出发运动到点A处停止，设点P经过的路程为x，DP2＝y，令w＝x+y，则w的最小值为（ ）
​
A．B．7C．5D．
37．（2023•安庆一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，点E是AC的中点，点D在BC上，且CD＝AB+BD，若DE＝3，则AC的长为（ ）
A．B．6C．D．9
38．（2023•瑶海区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝30°，AC＝6，D为AB边上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过点D作DE的垂线，F为垂线上任意一点，连接EF，G为EF的中点，连接BG，则BG的最小值是（ ）
A．2B．6C．3D．9
39．（2023•太湖县一模）如图，在△ABC中，∠A＝60°，AC＝2，CD是AB边上的高，过点C作CE∥AB，且CE＝AB，点E与点B均在CD的右侧，连接DE，交BC于点F．
（1）若点D为AB的中点，则DE的长为 ；
（2）若DE⊥BC，则AB的长为 ．
一十九．直角三角形斜边上的中线（共2小题）
40．（2023•蚌埠二模）如图，M为Rt△ABC斜边AB上的中点，等腰△MBD的底边BD与AC交于点P，若∠A＝30°，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
41．（2023•金安区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）
A．10﹣B．﹣3C．2﹣6D．3
二十．勾股定理（共4小题）
42．（2023•全椒县三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E．连接CD，若，则CD的长为（ ）
A．2B．3C．D．
43．（2023•全椒县三模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，则点B到原点O的最大距离是（ ）
A．B．C．D．
44．（2023•瑶海区一模）圆O的直径AB＝26cm，点C是圆O上一点（不与点A、B重合），作CD⊥AB于点D，若CD＝12cm，则AD的长是（ ）
A．8cmB．18cmC．8cm或18cmD．16cm
45．（2023•谯城区一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD平分∠ACB交AB于点D，分别过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，则四边形CEDF的面积为（ ）
A．12B．16C．D．
二十一．勾股定理的证明（共1小题）
46．（2023•太湖县校级三模）我国古代伟大的数学家刘微将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示若a＝3，b＝4，则该三角形的面积为（ ）
A．10B．12C．D．
二十二．勾股定理的逆定理（共1小题）
47．（2023•芜湖模拟）点A，B，C，D，E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则∠BAC+∠CDE＝ °．
二十三．勾股数（共1小题）
48．（2023•庐江县模拟）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．
二十四．等腰直角三角形（共3小题）
49．（2023•大观区校级二模）如图，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝60°，CD＝ED，点E在CB的延长线上，若EF平分∠DEC，则∠EFB的度数是（ ）
A．7.5°B．8.5°C．10°D．10.5°
50．（2023•蒙城县二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，过点B作BD⊥AB，连接AD交BC于点E，若AB＝4，BD＝2，则CE的长为（ ）
​
A．B．C．D．
51．（2023•太和县二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝20°，以BC为斜边作等腰Rt△BDC，其中DB＝DC，∠BDC＝90°，过点D作DE⊥AB于点E，则∠CDE的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．35°
二十五．三角形中位线定理（共2小题）
52．（2023•全椒县一模）如图，点D是△ABC内一点，点F是AC边的中点，DF∥BC交边AB于点E，∠ADC＝90°．若BC＝8，AC＝6，则DE的长为（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
53．（2023•无为市三模）如图，点P是边长为6的等边三角形ABC内部一动点，连接BP，CP，AP，且满足∠ACP＝∠CBP，D为AP的中点，过点P作PE⊥AB，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值是（ ）
A．B．2C．D．3
二十六．三角形综合题（共7小题）
54．（2023•和县二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，连接AD，点E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F．
（1）若点F是AC中点，求证：∠ABE＝∠BAE；
（2）如图2，若∠DBE＝∠DEB，
①求证：AE＝CF；
②猜想的值并写出计算过程．
55．（2023•池州模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b）且a、b满足，过点A作AB⊥x轴于B，过点A作AC⊥y轴于C点，点E，F分别是直线AB，x轴的动点．
（1）如图1点E，F分别在线段AB，OB上，若∠BEC＝∠BFC，求证：CE＝CF；
（2）如图2，连接EF，已知∠ECF＝45°．
①求证：EF＝AE+OF；
②若三角形BEF的面积为4，∠ECF＝45°，求线段EF的长度；
（3）已知，点E，F分别在线段AB和BO的延长线上，连接EF．
①如图3，已知AB＝2OF，CF⊥EF，线段EF上存在一点M，使得MF＝CF，求点M的坐标；
②如图4，请直接写出线段EF，AE和OF之间的数量关系以及点C到直线EF的距离．
56．（2023•蚌埠模拟）已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F
（1）直接写出图1中所有的等腰三角形．指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？
（2）在（1）的条件下，若AB＝15，AC＝10，求△AEF的周长；
（3）如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F，请问（1）中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由；若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由；
（4）如图3，∠ABC、∠ACB的外角平分线的延长线相交于点O，请直接写出EF，BE，CF，MN之间的数量关系．不需证明．
57．（2023•花山区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为BC边上一动点（不与点B、C重合），CE垂直AD交AB于点E，垂足为点H，连接BH并延长交AC于点F，则以下结论错误的是（ ）
A．当CD＝BD时，CH＝
B．当CD＝BD时，AF＝2CF
C．当BD＝nCD时，AE＝（n+1）BE
D．BH的最小值为
58．（2023•宣城模拟）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，AB上，且DE∥BC．
（1）则的值为 ；
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转到如图2的位置，旋转角为α（45°＜α＜90°），连接CD，BE，求的值；
（3）将△ADE绕点A旋转，当∠DEB＝90°，AC＝5，AD＝时，请直接写出线段CD的长．
59．（2023•安庆模拟）在△ABC中，BA＝BC，点D在边CB上，且DB＝DA＝AC．
（1）如图1，求∠B的度数；
（2）如图2，若点M为线段BC上的点，过点M作直线MH⊥AD于点H，分别交直线AB，AC于点N，E．
①求证：△ANE是等腰三角形；
②试写出线段BN，CE，CD之间的数量关系，并说明理由．
60．（2023•涡阳县二模）如图1，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACP的平分线相交于点D，AE平分∠BAC并交BD于点E．
（1）求证：∠BAC＝2∠D；
（2）若BC＝AC，且，求，
（3）如图2，过点D作DF⊥BC，垂足为F，，其中，连接AD、EC，求．
专题12 相交线与平行线、三角形（真题3个考点模拟26个考点）
一．平行线的性质（共1小题）
1．（2021•安徽）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的大小为（ ）
A．60°B．67.5°C．75°D．82.5°
【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可算出∠F和∠B的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MDB的度数，在△BMD中，利用三角形内角和可求出∠BMD的度数．
【解答】解：如图，
在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝60°，
∠F＝90°﹣∠E＝45°，
∵BC∥EF，
∴∠MDB＝∠F＝45°，
在△BMD中，∠BMD＝180°﹣∠B﹣∠MDB＝75°．
故选：C．法二、∵BC∥EF，∴∠EAC＝∠C＝30°，则∠MAE＝120°，在四边形AMDE中，∠AMD＝360°﹣120°﹣90°﹣45°＝105，∴∠BMD＝180﹣∠AMD＝75°．故选：C．
【点评】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解题关键．
二．全等三角形的判定与性质（共1小题）
2．（2021•安徽）在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（ ）
A．CD＝2MEB．ME∥ABC．BD＝CDD．ME＝MD
【分析】根据题意作出图形，可知点A，C，D，B四点共圆，再结合点M是中点，可得DM⊥BC，又CE⊥AD，BD⊥AD，可得△CEM≌△BFM，可得EM＝FM＝DM，延长DM交AB于点N，可得MN是△ACB的中位线，再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得DN＝AN，得到角之间的关系，可得ME∥AB．
【解答】解：根据题意可作出图形，如图，延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N，
在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，
由此可得点A，C，D，B四点共圆，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝DB，（故选项C正确）
∵点M是BC的中点，
∴DM⊥BC，
又∵∠ACB＝90°，
∴AC∥DN，
∴点N是线段AB的中点，
∴AN＝DN，
∴∠DAB＝∠ADN，
∵CE⊥AD，BD⊥AD，
∴CE∥BD，
∴∠ECM＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，
∵点M是BC的中点，
∴CM＝BM，
∴△CEM≌△BFM（AAS），
∴EM＝FM，∠CEM＝∠BFM，
∴点M是EF的中点，
∵∠EDF＝∠CED＝90°，
∴EM＝FM＝DM（故选项D正确），
∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，
∴EM∥AB（故选项B正确），
综上，可知选项A的结论不正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线定理，全等三角形的性质与判定等，根据题中条件，作出正确的辅助线是解题关键．
三．勾股定理（共2小题）
3．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
【分析】如图，不妨假设点P在AB的左侧，证明△PAB的面积是定值，过点P作AB的平行线PM，连接CO并延长CO交AB于点R，交PM于点T．因为△PAB的面积是定值，推出点P的运动轨迹是直线PM，求出OT的值，可得结论．
【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，
∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC，
∴S1+S0＝S2+S3，
∵S1+S2+S3＝2S0，
∴S1+S1+S0＝2，
∴S1＝S0，
∵△ABC是等边三角形，边长为6，
∴S0＝×62＝9，
∴S1＝，
过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．
∵△PAB的面积是定值，
∴点P的运动轨迹是直线PM，
∵O是△ABC的中心，
∴CT⊥AB，CT⊥PM，
∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝，
∴RT＝，
∴OT＝OR+TR＝，
∵OP≥OT，
∴OP的最小值为，
当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为，
如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为，
∵＜，
故选：B．
【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是证明△PAB的面积是定值．
4．（2023•安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝（BC+）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝ 1 ．
【分析】根据BD＝（BC+）和AB＝7，BC＝6，AC＝5，可以计算出BD的长，再根据BC的长，即可计算出CD的长．
【解答】解：∵BD＝（BC+），AB＝7，BC＝6，AC＝5，
∴BD＝（6+）＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查新定义、直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
一．垂线段最短（共1小题）
1．（2023•雨山区校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是（ ）
A．B．1C．D．
【分析】如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ．证明△CDP≌△TDQ（SAS），推出∠DCP＝∠DTQ＝90°，推出∠CTQ＝30°，推出点Q在射线TQ上运动，当CQ⊥TQ时，CQ的值最小．解法二：在CD的上方，作等边△CDM，连接PM，过点M作MH⊥CB于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：解法一：如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ．
∵∠CDT＝∠QDP＝60°，DP＝DQ，DC＝DT，
∴∠CDP＝∠QDT，
在△CDP和△TDQ中，
，
∴△CDP≌△TDQ（SAS），
∴∠DCP＝∠DTQ＝90°，
∵∠CTD＝60°，
∴∠CTQ＝30°，
∴点Q在射线TQ上运动（点T是定点，∠CTQ是定值），
当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，最小值＝CT＝CD＝BC＝1，
解法二：如图，CD的上方，作等边△CDM，连接PM，过点M作MH⊥CB于H．
∵△DPQ，△DCM都是等边三角形，
∴∠CDM＝∠PDQ＝60°，
∵DP＝DQ，DM＝DC，
∴△DPM≌△DQC（SAS），
∴PM＝CQ，
∴PM的值最小时，CQ的值最小，
当PM⊥MH时，PM的最小值＝CH＝CD＝1，
∴CQ的最小值为1．
故选：B．
【点评】本题考垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二．平行线的判定（共1小题）
2．（2023•蜀山区校级一模）如图，∠1＝∠2＝70°，∠3＝35°，则下列结论错误的是（ ）
A．AB∥CDB．∠B＝35°C．∠C+∠2＝∠EFCD．CG＝FG
【分析】依据平行线的判定与性质，以及三角形外角性质，即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝70°，
∴AB∥CD，故A选项正确，不符合题意；
又∵∠3＝35°，
∴∠C＝70°﹣35°＝35°，
∴∠B＝∠C＝35°，故B选项不符合题意；
∵∠3＝35°，
∴∠EFC＝145°，
∵∠2＝70°，
∴∠CGF＝110°，
∴∠C+∠2＝∠C+70°，∠EFC＝∠C+∠CGF＝∠C+110°，
∴∠C+∠2＜∠EFC，故C选项错误，符合题意；
∵∠3＞∠C，
∴CG＞FG，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，以及三角形外角性质，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
三．平行线的性质（共4小题）
3．（2023•金安区一模）如图，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，则∠ABC的度数为（ ）
​
A．100°B．105°C．115°D．125°
【分析】解法一：过点B作DE∥a，则∠DBA＝∠1＝45°，易得DE∥b，进而得到∠2+∠DBC＝180°，求得∠DBC＝55°，于是∠ABC＝∠DBA+∠DBC，代入计算即可求解．
解法二：延长AB交b于点F，由平行线的性质得到∠1＝∠3＝45°，再利用三角形的外角性质可得∠2＝∠3+∠CBF，进而求得∠CBF＝80°，最后根据平角的定义即可求解．
【解答】解：解法一：如图，过点B作DE∥a，
∴∠DBA＝∠1＝45°，
∵a∥b，DE∥a，
∴DE∥b，
∴∠2+∠DBC＝180°，
∴∠DBC＝180°﹣∠2＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ABC＝∠DBA+∠DBC＝45°+55°＝100°．
解法二：如图，延长AB交b于点F，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝45°，
∵∠2＝125°，
∵∠2＝∠3+∠CBF，
∴∠CBF＝∠2﹣∠3＝125°﹣45°＝80°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBF＝180°﹣80°＝100°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质、三角形外角性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题关键．
4．（2023•庐阳区校级模拟）一副三角板（其中∠G＝∠HEF＝90°，∠EFH＝30°，∠FEG＝45°），按如图所示的位置摆放．若AB∥CD，∠AEG＝α，则∠HFD的度数为（ ）
A．α+15°B．α﹣15°C．α+30°D．α﹣30°
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”及角的和差求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠EFH＝30°，∠FEG＝45°，
∴∠AEF＝∠EFD，即∠AEG+45°＝30°+∠HFD，
∵∠AEG＝α，
∴∠HFD＝α+15°．
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
5．（2023•安徽模拟）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F．若∠BDC＝64°，则∠EDF的度数为（ ）
A．36°B．38°C．41°D．44°
【分析】先根据矩形的性质可得∠C＝90°，AD∥BC，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DBC＝26°，再利用平行线的性质可得∠ADB＝∠DBC＝26°，然后利用折叠的性质可得∠EDB＝∠BDC＝64°，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∵∠BDC＝64°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝26°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝26°，
由折叠得：∠EDB＝∠BDC＝64°，
∴∠EDF＝∠EDB﹣∠ADB＝38°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6．（2023•滁州二模）如图，已知AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD．若∠ABO＝α°，给出下列结论：①；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】因为AB//CD，所以∠BOC＝180°﹣α，所以∠ABO＝∠BOD＝α（两直线平行，内错角相等），因为OF⊥OE，得，所以∠POE＝90°﹣α，，即可解答．
【解答】解：∵AB//CD，
∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣α，
∴∠ABO＝∠BOD＝α，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴，
∴，
即OF平分∠BOD，
∵OP⊥CD，
∴∠POC＝90°，
∴，
∴∠POE＝∠BOF∠POB＝90°﹣∠BOD＝90°﹣α，，
所以④错误；
故答案为：C．
【点评】本题考查平行线的性质，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．
四．平行线的判定与性质（共2小题）
7．（2023•蚌山区三模）如图，已知：AB∥EF，∠B＝∠E，求证：BC∥DE．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（ ）
A．延长BC交FE的延长线于点G
B．连接BE
C．分别作∠BCD，∠CDE的平分线CG，DH
D．过点C作CG∥AB（点G在点C左侧），过点D作DH∥EF（点H在点D左侧）
【分析】根据平行线的性质与判定逐一判断即可．
【解答】解：A、如图1，延长BC交FE的延长线于点G，
∵AB∥EF，
∴∠B＝∠G，
∵∠B＝∠DEF，
∴∠G＝∠DEF，
∴BC∥DE，
故此选项不符合题意；
B、如图2，连接BE，
∵AB∥EF，
∴∠ABE＝∠FEB，
∵∠ABC＝∠DEF，
∴∠ABE﹣∠ABC＝∠FEB﹣∠DEF，
即∠CBE＝∠DEB，
∴BC∥DE，
故此选项不符合题意；
C、如图3，分别作∠BCD，∠CDE的平分线CG，DH，
无法证明BC∥DE，
故此选项符合题意；
D、如图4，过点C作CG∥AB（点G在点C左侧），过点D作DH∥EF（点H在点D左侧），
∴∠B+∠GCB＝180°，∠E＝∠HDE，
∵CG∥AB，DH∥EF，AB∥EF，
∴AB∥CG∥DH∥EF，
∴∠GCD+HDC＝180°，
∴∠BCD＝360°﹣∠GCB﹣∠GCD＝360°﹣（180°﹣∠B）﹣∠GCD＝180°+∠B﹣∠GCD，
∠EDC＝∠HDE+∠HDC＝∠E+∠180°﹣∠GCD，
∵∠B＝∠E，
∴∠BCD＝∠EDC，
∴BC∥DE，
故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键，同时需掌握平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
8．（2023•黟县校级模拟）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝54°．当∠MAC为（ ）度时，AM与CB平行．
A．16B．60C．66D．114
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【解答】解：∵AB，CD都与地面l平行，
∴AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠BAC+∠ACB+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝60°，∠BAC＝54°，
∴∠ACB＝66°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝66°时，AM∥CB，
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
五．三角形的面积（共1小题）
9．（2023•利辛县模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BC＝8，．
（1）当AB＝AC时，∠CAD＝ 45 °；
（2）当△ACD面积最大时，则AD＝ 4 ．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到CD＝BC＝4，当AC⊥BC时，△ACD面积最大，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC＝4，BC＝8，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠CAD＝BAC＝45°，
故答案为：45；
（2）∵AD是BC边上的中线，BC＝8，
∴CD＝BC＝4，
∴AC⊥BC时，△ACD面积最大，
∴AD＝＝＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形的面积，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．
六．三角形的重心（共1小题）
10．（2023•蚌埠模拟）下列说法中正确的是（ ）
①等边三角形三条高的交点就是它的重心；②三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；④三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一
A．①③④B．②③④C．①②③D．①②③④
【分析】根据三角形重心的性质分别判断，利用相似三角形的判定和性质判断相应推论．
【解答】解：①等边三角形三条高的交点既是它的垂心，也是重心，
故正确；
③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一，
故正确；
如图，O为重心，过点O和点A分别作BC的垂线，垂足为E，F，
则OE∥AF，
则△ODE∽△ADF，
∴，
即三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一，
故②错误，④正确；
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心，掌握相似三角形的判定和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
七．三角形三边关系（共2小题）
11．（2023•合肥模拟）如图，△ABC中，AB＝8，∠ACB＝45°，则边AC的最大值为（ ）
A．B．C．8D．
【分析】以AB为斜边，在C的同侧作等腰直角三角形AOB，以O为圆心，OA为半径作优弧AB，根据∠ACB＝45°＝∠AOB，可知C在优弧AB上运动，故AC为直径时取得最大值，即可得AC最大值为8．
【解答】解：以AB为斜边，在C的同侧作等腰直角三角形AOB，以O为圆心，OA为半径作优弧AB，如图：
∵∠ACB＝45°＝∠AOB，
∴C在优弧AB上运动，
∴当AC为直径时取得最大值，
∵△AOB是等腰直角三角形，AB＝8，
∴AC＝AB＝8，即AC最大值为8；
故选：D．
【点评】本题考查三角形边的关系，解题的关键是根据∠ACB＝45°，求出C在优弧AB上运动．
12．（2023•定远县校级三模）三角形的两边长分别是10和8，则第三边的取值范围是 2＜x＜18 ．
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系：10﹣8＜x＜10+8，
解得：2＜x＜18．
故答案为：2＜x＜18
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，题目比较基础，只要掌握三角形的三边关系定理即可．
八．三角形内角和定理（共3小题）
13．（2023•合肥模拟）将两块直角三角尺按如图摆放，其中∠ABC＝∠D＝90°，∠A＝60°，∠DCB＝45°，若AC，BD相交于点E，则∠AED的大小为（ ）
A．110°B．105°C．95°D．75°
【分析】在△BEC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BEC的度数，再结合对顶角相等，即可得出∠AED的度数．
【解答】解：在△BEC中，∠EBC＝45°，∠ECB＝30°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
∴∠AED＝∠BEC＝105°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及对顶角，牢记“三角形内角和是180°”及“对顶角相等”是解题的关键．
14．（2023•雨山区校级一模）将一副三角尺按如图所示的位置摆放，其中O，E，F在直线l上，点B恰好落在DE边上，∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．则∠ABE的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【分析】先根据三角形内角和定理和平角的定义求出∠ABO＝45°，∠BOE＝70°，再由三角形外角的性质求出∠OBE＝20°，进一步即可得到∠ABE的度数．
【解答】解：∵∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．
∴∠ABO＝180°﹣∠AOB﹣∠A＝45°，∠BOE＝180°﹣∠AOB﹣∠1＝70°，
∴∠OBE＝∠DEF﹣∠BOE＝20°，
∴∠ABE＝∠ABO+∠OBE＝65°．
故选：B．
【点评】此题考查了三角板中的角度计算，用到了三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
15．（2023•蜀山区校级模拟）如图，一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上．EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，则∠CED的度数是（ ）
A．5°B．10°C．15°D．25°
【分析】先根据平行线的性质求出∠CDE的度数，再由补角的性质得出∠ECD的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵一副直角三角尺如图摆放，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠F＝45°，
∵EF∥BD，
∴∠CDE＝∠DEF＝45°．
∵∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ECD＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CED＝180°﹣∠ECD﹣∠CDE＝180°﹣120°﹣45°＝15°．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及平行线的性质，熟知直角三角板的性质是解题的关键．
九．三角形的外角性质（共3小题）
16．（2023•池州模拟）将直角三角板AOB和直角三角板COD按如图方式摆放（直角顶点重合），已知∠AOC＝45°，则∠DEB的度数是（ ）
A．20°B．30°C．45°D．60°
【分析】根据三角形的外角的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】解∵∠AOC＝45°，∠C＝45°，
∴∠AFD＝∠CFO＝90°，
在△AEF中，
∵∠A＝30°，∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝60°，
∴∠DEB＝∠AEF＝60．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质和三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键．
17．（2023•南陵县二模）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【分析】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
【解答】解：如图，
∵∠2＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝75°，
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
18．（2023•南陵县模拟）一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中∠α的度数为（ ）
A．65°B．67.5°C．75°D．80°
【分析】先利用三角板的角度以及外角性质即可求得∠α＝90°﹣∠EDC，进而得出结果．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝∠CED+∠CDE，
∴∠CDE＝∠ACD﹣∠CED＝45°﹣30°＝15°，
∵∠α＝∠ADE﹣∠CDE＝90°﹣15°＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查的是利用三角板度数求未知角的度数，熟记三角形外角的性质是解题关键．
一十．全等图形（共1小题）
19．（2023•花山区二模）如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝（ ）
A．60°B．75°C．90°D．105°
【分析】利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图所示，连接AD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠1＝∠ACD，
∵∠2﹣∠ACD＝∠DCE＝90°，
∴∠2﹣∠1＝90°．
故选：C．
【点评】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．
一十一．全等三角形的判定与性质（共4小题）
20．（2023•花山区二模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，若AD＝BC，2∠C＝180°+∠A，则下列关于AB、BC的关系描述正确的是（ ）
A．AB＞2BC
B．AB＝2BC
C．AB＜2BC
D．AB与2BC的关系无法判断
【分析】在BA上截取BE＝BC，连接ED，可证明△BED≌△BCD，得∠BED＝∠C，而∠CDE＝360°﹣∠ABC﹣2∠C＝360°﹣∠ABC﹣（180°+∠A）＝∠C，所以∠BED＝∠CDE，则∠AED＝∠ADE，所以AD＝AE＝BC＝BE，则AB＝2AE＝2BC，于是得到问题的答案．
【解答】解：在BA上截取BE＝BC，连接ED，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
在△BED和△BCD中，
，
∴△BED≌△BCD（SAS），
∴∠BED＝∠C，
∵2∠C＝180°+∠A，
∴∠CDE＝360°﹣∠ABC﹣2∠C＝360°﹣∠ABC﹣（180°+∠A）＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝∠C，
∴∠BED＝∠CDE，
∴180°﹣∠BED＝180°﹣∠CDE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∵AD＝BC，
∴AE＝BC＝BE，
∴AB＝2AE＝2BC，
故选：B．
【点评】此题重点考查三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21．（2023•天长市校级二模）已知△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝5，AD是∠BAC 的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为（ ）
A．10B．12.5C．25D．15
【分析】延长AB，CD交点于E，可证△ADE≌△ADC（ASA），得出AC＝AE，DE＝CD，则S△BDC＝S△BCE，当BE⊥BC时，S△BEC最大面积为20，即S△BDC最大面积为10
【解答】解：如图：延长AB，CD交点于E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴AC＝AE，DE＝CD；
∵AC﹣AB＝5，
∴AE﹣AB＝5，即BE＝5；
∵DE＝DC，
∴S△BDC＝S△BEC，
∵S△BEC最大时，S△BDC面积最大，
∴当BE⊥BC时，S△BDC面积最大，
即S△BDC最大面积＝××10×5＝12.5．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到S△BDC＝S△BEC是解题的关键．
22．（2023•合肥三模）如图，P为等腰Rt△ABC的斜边AB上的一动点，连接CP，AF⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为点E、F，已知AC＝4，以下结论错误的是（ ）
A．CE＝AFB．若CF＝FP，则
C．EF＝AF﹣BED．，∠AFB＝135°
【分析】由垂直可得∠AFC＝∠CEB＝90°，从而得∠ACF+∠CAF＝90°，再由等腰直角三角形的性质可得∠ACB＝90°，AC＝BC，可求得∠CAF＝∠BCE，即可判定△ACF≌△CBE，再对各选项进行分析即可．
【解答】解：∵AF⊥CP，BE⊥CP，
∴∠AFC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACF+∠CAF＝90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ACF+∠BCE＝90°，
∴∠CAF＝∠BCE，
在△ACF和△CBE中，
，
∴△ACF≌△CBE（AAS），
∴CE＝AF，故A结论正确；
EF＝AF﹣BE，故C结论正确；
当CF＝FP时，AP＝AC＝4，BP＝4﹣4，
∴＝＝，
∴＝，
∴EF＝BE，故B结论正确；
当∠CAFB＝135°时，∠EFB＝45°，EF＝BE．
∴CE＝2BE，即AF＝2BE，
∴AP＝2BP，故D结论错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解答的关键是求得△ACF≌△CBE．
23．（2023•安庆一模）如图，△ABC的角平分线BD，CE交于点P，∠A＝60°，△ABC的面积为16，四边形AEPD的面积为5，则△BPC的面积为（ ）
A．5B．5.5C．6D．7
【分析】过点P作PG⊥BC，垂足为G，过点P作PH⊥AC，垂足为H，过点P作PI⊥AB，垂足为I，根据垂直定义可得∠PGB＝∠PGC＝∠PHC＝∠PHD＝∠PIE＝90°，利用角平分线的定义可得PG＝PH＝PI，再根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，从而利用角平分线的定义可得∠PBC+∠PCB＝60°，进而利用三角形的外角性质可得∠EPB＝60°，然后三角形的外角性质可得∠PDH＝∠IEP＝60°+∠ABD，从而利用AAS可证△IEP≌△HDP，再利用HL证明Rt△PBI≌Rt△PBG，Rt△PGC≌Rt△PDC，最后利用图形的面积和差关系可得2（△BGP的面积+△PGC的面积）＝11，从而可得PG•BC＝11，即可解答．
【解答】解：过点P作PG⊥BC，垂足为G，过点P作PH⊥AC，垂足为H，过点P作PI⊥AB，垂足为I，
∴∠PGB＝∠PGC＝∠PHC＝∠PHD＝∠PIE＝90°，
∵△ABC的角平分线BD，CE交于点P，
∴PG＝PH＝PI，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠EPB＝∠PBC+∠PCB＝60°，
∵∠PDH＝∠A+∠ABD＝60°+∠ABD，∠IEP＝∠EPB+∠ABD＝60°+∠ABD，
∴∠PDH＝∠IEP，
∴△IEP≌△HDP（AAS），
∵BP＝BP，CP＝CP，
∴Rt△PBI≌Rt△PBG（HL），Rt△PGC≌Rt△PDC（HL），
∵△ABC的面积为16，四边形AEPD的面积为5，
∴△BEC的面积+△CDP的面积＝16﹣5＝11，
∴△BEP的面积+△BGP的面积+△PGC的面积+△PCH的面积+△PDH的面积＝11，
∴△BEP的面积+△BGP的面积+△PGC的面积+△PCH的面积+△PEI的面积＝11，
∴△PIE的面积+△BGP的面积+△PGC的面积+△PCH的面积＝11，
∴2（△BGP的面积+△PGC的面积）＝11，
∴2（BG•PG+CG•PG）＝11，
∴BG•PG+CG•PG＝11，
∴PG（BG+CG）＝11，
∴PG•BC＝11，
∴△BPC的面积＝BC•PG＝5.5，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
一十二．角平分线的性质（共2小题）
24．（2023•五河县一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝2，则AD的长度为（ ）
A．B．C．2D．1+
【分析】过D点作DH⊥AB于H，如图，利用角平分线的性质得到DH＝DC＝2，再判断△ADH为等腰直角三角形，从而得到AD＝DH．
【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DH＝DC＝2，
∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴∠A＝45°，
∴△ADH为等腰直角三角形，
∴AD＝DH＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
25．（2023•五河县校级模拟）如图，BD是等边△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，线段BC的垂直平分线交BD于点P，垂足为F，若PF＝2，则DE的长为 3 ．
【分析】连接PC，由线段垂直平分线的性质可得PC＝PB，由等边对等角可得∠PBC＝∠PCB，由BD是等边△ABC的角平分线，根据等边三角形的性质可得BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，进而可得∠DCP＝30°，然后由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得PB＝PC＝2PF＝4，，然后由DE⊥AB，可得，代入数据计算即可得到答案．
【解答】解：如图，连接PC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵线段BC的垂直平分线交BD于点P，
∴PC＝PB，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵BD是等边△ABC的角平分线，
∴BD⊥AC，，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，
∴∠DCP＝∠ACB﹣∠PCB＝60°﹣30°＝30°，
∵PF＝2，
∴BP＝PC＝2PF＝4，，
∴BD＝BP+PD＝4+2＝6，
∵DE⊥AB，
∴．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质及直角三角形的性质．熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．
一十三．等腰三角形的性质（共3小题）
26．（2023•合肥三模）如图，四边形ABCD，连接AC，作AE垂直CD于E，若AB＝AC，∠BAC＝∠CAE＝20°，∠BCD的度数为（ ）
A．160°B．150°C．135°D．120°
【分析】先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝80°，再根据垂直定义可得∠AEC＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ACE＝70°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝80°，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∵∠CAE＝20°，
∴∠ACE＝90°﹣∠CAE＝70°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACE＝150°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
27．（2023•蜀山区校级三模）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，BD平分∠ABC，则AD＝（ ）
​
A．B．C．D．
【分析】过A作AM∥BC，交BD延长线于M，得到∠M＝∠DBC，由角平分线定义得到∠ABD＝∠DBC，因此∠M＝∠ABD，推出AM＝AB＝8，由△AMD∽△CBD，推出AD：DC＝AM：BC，于是得到AD＝AC．
【解答】解：过A作AM∥BC，交BD延长线于M．
∴∠M＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠M＝∠ABD，
∴AM＝AB＝8，
∵△AMD∽△CBD，
∴AD：DC＝AM：BC，
∵BC＝4，
∴AD：DC＝2：1，
∴AD＝AC＝×8＝．
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，关键是通过作辅助线构造相似三角形．
28．（2023•蜀山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，延长AB至D，使得BD＝AB，点P为动点，且PB＝PC，连接PD，则PD的最小值为（ ）
A．B．5C．D．9
【分析】由线段垂直平分线的判定可知：直线AP为线段BC的垂直平分线，即可判定当DP⊥AP时，PD有最小值，此时BC∥PD，再证明△AEB∽△APD，列比例式可求解PD 的最小值．
【解答】解：∵AB＝AC＝10，PB＝PC，
∴直线AP为线段BC的垂直平分线，
当DP⊥AP时，PD有最小值，此时BC∥PD，
∴∠ABC＝∠D，∠AEB＝∠APD，
∴△AEB∽△APD，
∴，
∵AP垂直平分BC，BC＝6，
∴BE＝3，
∵AB＝10，
∴BD＝AB＝5，
∴AD＝AB+BD＝15，
∴，
解得PD＝，
即PD的最小值为，
故选：A．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，确定P点位置是解题的关键．
一十四．等腰三角形的判定（共1小题）
29．（2023•蚌埠模拟）在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点有几个（ ）
A．8B．9C．10D．11
【分析】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从BA＝BC，AB＝AC，CA＝CB去分析求解即可求得答案．
【解答】解：如图，
∵AB＝＝2，
∴①若BA＝BC，则符合要求的有：C1，C2共2个点；
②若AB＝AC，则符合要求的有：C3，C4共2个点；
③若CA＝CB，则符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6个点．
∴这样的C点有10个．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理，解题关键是分类的数学思想．
一十五．等腰三角形的判定与性质（共2小题）
30．（2023•明光市二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，点E是AD的中点，EG∥AC交AB于点G．若，则AB的长为（ ）​
A．9B．C．D．
【分析】过D作DN∥AC交BC于N，作DM⊥AB于M，由平行线等分线段定理得到EG是△ADN的中位线，得到DN的长，由角平分线的性质得到DM的长，即可求出∠BND＝30°，由锐角的余弦求出BN的长，即可得到AB的长．
【解答】解：过D作DN∥AC交BC于N，作DM⊥AB于M，
∵GE∥AC，
∴EG∥DN，
∴AG：GN＝AE：DE，
∵AE＝DE，
∴AG＝NG，
∴EG是△ADN的中位线，
∴DN＝2EG＝3，
∵AD平分∠CAB，
∴∠GAE＝∠EAC，
∵EG∥AC，
∴∠GEA＝∠EAC，
∴∠GEA＝∠GAE，
∴AG＝EG＝，
∴NG＝，
∴AN＝2AG＝3，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DM⊥AB，
∴DM＝DC＝，
∴DM＝DN，
∵sin∠MND＝＝，
∴∠MND＝30°，
∵cs∠BND＝＝，
∴BN＝2，
∴AB＝BN+AN＝3+2．
故选：C．
【点评】本题考查角平分线的性质，等腰三角形的判定，平行线等分线段定理，三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理求出DN的长，由角平分线的性质得到DM的长，从而求出∠BND＝30°．
31．（2023•泗县校级模拟）如图，在△ABC中，CG平分∠ACB，过点A作AH⊥CG交BC于点H，且H是BC的中点．若AH＝4，CG＝6，则AB的长为 ．
【分析】作HK∥CG交AB于点K，由平行线分线段成比例定理可证AG＝KG＝BG，根据勾股定理求出AK的长，进而可求出AB的长．
【解答】解：作HK∥CG交AB于点K，
∴，．
∵H是BC的中点，
∴BH＝CH，
∴BK＝KG，
∴．
∵AH⊥CG，
∴∠ANC＝∠HNC＝∠ANG＝90°．
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACN＝∠HCN．
∵CN＝CN，
在△ACN与△HCN中，
，
∴△ACN≌△HCN（ASA），
∴AN＝HN，
∴AG＝KG，
∴AG＝KG＝BG，
∵HK∥CG，
∴∠KHA＝∠ANG＝90°，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，证明AG＝KG＝BG是解答本题的关键．
一十六．等边三角形的性质（共2小题）
32．（2023•肥西县二模）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．92°B．102°C．112°D．114°
【分析】根据等边三角形性质求出∠A＝∠ACB＝60°，根据平行线的性质求出∠2的度数．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∵∠1＝42°，
∴∠ADE＝42°，
∴∠AED＝180°﹣60°﹣42°＝78°，
∴∠AEF＝180°﹣∠AED＝180°﹣78°＝102°，
∵直线a∥直线b，
∴∠2＝∠AEF，
∴∠2＝102°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质的应用，解此题的关键掌握两直线平行，同位角相等．
33．（2023•天长市校级二模）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝135°，则∠2 的度数是（ ）
A．75°B．95°C．105°D．135°
【分析】先根据等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三角形外角的性质可得∠AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°．
∵∠1＝∠A+∠AEF＝135°，
∴∠AEF＝135°﹣60°＝75°，
∴∠DEB＝∠AEF＝75°，
∵m∥n，
∴∠2+∠DEB＝180°，
∴∠2＝180°﹣75°＝105°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．
一十七．等边三角形的判定与性质（共2小题）
34．（2023•庐阳区模拟）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，最后根据线段和可得CM的长．
【解答】解：∵等边三角形边长为2，BD＝CD，
∴BD＝，CD＝，
∵等边三角形ABC中，DF∥AB，
∴∠FDC＝∠B＝60°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠BDE＝30°，
∴DE⊥BE，
∴∠BED＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∴BE＝BD＝，
∴DE＝＝，
如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，
∵∠FDC＝∠FCD＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝CF＝，
∴CM垂直平分DF，
∴∠DCN＝30°，DN＝FN，
∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，
∵M为EF的中点，
∴MN＝DE＝，
∴CM＝CN+MN＝+＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．
35．（2023•繁昌县校级模拟）如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．若BE∥AC，则∠C＝ 60° ．
【分析】根据平行线的性质证得∠EAC＝90°，由等腰三角形的性质和已知条件证得∠1＝∠2＝∠3＝30°，可得∠BAC＝60°，进而得到△ABC为等边三角形，由等边三角形的性质可得∠C的度数．
【解答】解：∵AE⊥BE，
∴∠E＝90°，
∵BE∥AC，
∴∠EAC＝90°，
∵AB平分∠DAE，
∴∠1＝∠2，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∴∠BAC＝∠1+∠3＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，证得∠1＝∠2＝∠3＝30°是解决问题的关键．
一十八．含30度角的直角三角形（共4小题）
36．（2023•利辛县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，点D为AC的中点，点P为AB上一动点，点P从点B出发运动到点A处停止，设点P经过的路程为x，DP2＝y，令w＝x+y，则w的最小值为（ ）
​
A．B．7C．5D．
【分析】作PH⊥AC于H，由直角三角形的性质得到PH＝PA＝（8﹣x），AH＝PH＝（8﹣x），得到DH＝AH﹣AD＝2﹣x，由勾股定理得到y＝+＝x2﹣10x+28，因此w＝x+y＝x2﹣9x+28＝+，即可求出w的最小值．
【解答】解：作PH⊥AC于H，
∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴BC＝AB，AC＝BC，
∵BC＝4，
∴AB＝8，AC＝4，
∵D是AC中点，
∴AD＝2，
∵PB＝x，
∴PA＝8﹣x，
∵∠PHA＝90°，∠A＝30°，
∴PH＝PA＝（8﹣x），
∴AH＝PH＝（8﹣x），
DH＝AH﹣AD＝2﹣x，
∵PD2＝PH2+DH2，
∴y＝+＝x2﹣10x+28，
∴w＝x+y＝x2﹣9x+28＝+，
∴w的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查含30°角的直角三角形，二次函数的应用，关键是由直角三角形的性质得到y＝x2﹣10x+28．
37．（2023•安庆一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，点E是AC的中点，点D在BC上，且CD＝AB+BD，若DE＝3，则AC的长为（ ）
A．B．6C．D．9
【分析】设AB＝x，则BC＝2AB＝2x，AC＝x，CE＝AC＝x，可得BD＝x，作EF⊥BC于点F，根据勾股定理得EF2+DF2＝DE2，即x2+x2＝9，解得x＝2，即可得出答案．
【解答】解：设AB＝x，
∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴BC＝2AB＝2x，AC＝x，
∵点E是AC的中点，
∴CE＝AC＝x，
∵CD＝AB+BD，BD+CD＝BC，
∴BD+AB+BD＝BC，
∴BD+x+BD＝2x，
∴BD＝x，
∴CD＝x，
作EF⊥BC于点F，
则EF＝CE＝x，CF＝EF＝x，
∴DF＝x﹣x＝x，
在Rt△DEF中，EF2+DF2＝DE2，
∴x2+x2＝9，
解得x＝2，
∴AC＝x＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形并熟记熟记含30度直角三角形的性质是解决问题．
38．（2023•瑶海区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝30°，AC＝6，D为AB边上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过点D作DE的垂线，F为垂线上任意一点，连接EF，G为EF的中点，连接BG，则BG的最小值是（ ）
A．2B．6C．3D．9
【分析】连接DG，AG，设AG交DE于点H，先判定AG为线段DE的垂直平分线，从而可判定△BAC≌△BAG'（AAS），然后由全等三角形的性质可得答案．
【解答】解：如图，连接DG，AG，设AG交DE于点H，
∵DE⊥DF，G为EF的中点，
∴DG＝GE，
∴点G在线段DE的垂直平分线上，
∵△AED为等边三角形，
∴AD＝AE，
∴点A在线段DE的垂直平分线上，
∴AG为线段DE的垂直平分线，
∴AG⊥DE，∠DAG＝∠DAE＝30°，
∴点G在射线AH上，当BG⊥AH时，BG的值最小，如图所示，设点G'为垂足，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝∠AG'B，∠CAB＝∠BAG'，
则在△BAC和△BAG'中，
，
∴△BAC≌△BAG'（AAS）．
∴BG'＝BC，
在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，AC＝6，
∴AB＝2BC，
∵AB2＝BC2+AC2，
∴（2BC）2＝BC2+（6）2，
解得：BC＝6，
∴BG'＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了含30°的直角三角形，全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．
39．（2023•太湖县一模）如图，在△ABC中，∠A＝60°，AC＝2，CD是AB边上的高，过点C作CE∥AB，且CE＝AB，点E与点B均在CD的右侧，连接DE，交BC于点F．
（1）若点D为AB的中点，则DE的长为 ；
（2）若DE⊥BC，则AB的长为 ．
【分析】（1）先求出AD＝1，，进而得出AB＝CE＝2，根据平行线的性质得出∠DCE＝∠ADC＝90°，再利用勾股定理即可得出答案；
（2）先证明△BDC∽△DCE，得出BD•CE＝DC•DC，设BD＝x，则AB＝CE＝1+x，得出x2+x﹣3＝0，求出答案即可．
【解答】解：（1）∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠A＝60°，AC＝2，
∴AD＝1，，
∵点D是AB的中点，
∴AB＝CE＝2，
∵CE∥AB，
∴∠DCE＝∠ADC＝90°，
∴；
故答案为：；
（2）∵CE∥AB，CD⊥AB，
∴∠DCE＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠CFE＝90°，
∴∠BCD+∠ECF＝∠E+∠ECF＝90°，即∠BCD＝∠E，
又∵∠BDC＝∠DCE＝90°，
∴△BDC∽△DCE，
∴，即BD•CE＝DC•DC，
设BD＝x，
则AB＝CE＝1+x，
∴，即x2+x﹣3＝0，
解得（负值舍去）．
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查含30度角的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．
一十九．直角三角形斜边上的中线（共2小题）
40．（2023•蚌埠二模）如图，M为Rt△ABC斜边AB上的中点，等腰△MBD的底边BD与AC交于点P，若∠A＝30°，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【分析】由题意可知A，D，B，C在以点M为圆心的圆上，且AB为直径，过点D作DN⊥AC，可得△DPN∽△BPC，则，则当DN最最大值时，即取最小值，即当点D在的中点时，亦即DN经过圆心（DM⊥AC）时，点D到弦AC的距离最大，如图，设BC＝a，利用含30°的直角三角形可得，此时，，即可得的最小值为2．
【解答】解：∵M为Rt△ABC斜边AB上的中点，等腰△MBD的底边BD与AC交于点P，
∴AM＝BM＝DM，∠C＝90°，
∴A，D，B，C在以点M为圆心的圆上，且AB为直径，
过点D作DN⊥AC，则∠DNP＝∠C＝90°，
∵∠DPN＝∠BPC，
∴△DPN∽△BPC，
∴，
由题意可知，BC为长度不发生变化，则当DN最最大值时，即取最小值，
即：当点D在的中点时，亦即DN经过圆心（DM⊥AC）时，点D到弦AC的距离最大，如图，
设BC＝a，
∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴AB＝2a，AM＝BM＝DM＝a，
∵DM⊥AC，
∴，则，
此时，，
综上，的最小值为2；
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定及性质，圆的相关知识，得到A，D，B，C在以点M为圆心的圆上，且AB为直径，再添加辅助线构造相似是解决问题的关键．
41．（2023•金安区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）
A．10﹣B．﹣3C．2﹣6D．3
【分析】根据三角形斜边中线的性质求得CN＝＝，CM＝＝3，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为：﹣3．
【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，
∴AB＝＝2，
∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CN＝＝，CM＝＝3，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．
二十．勾股定理（共4小题）
42．（2023•全椒县三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E．连接CD，若，则CD的长为（ ）
A．2B．3C．D．
【分析】如图，连接BE，根据作图可知MN为AB的垂直平分线，从而得到AE＝BE＝3，然后利用勾股定理求出BC，AB，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【解答】解：如图，连接BE，由尺规作图可知MN为AB的垂直平分线，
∵，
∴AE＝3，AC＝4，
∴AE＝BE＝3，
在Rt△ECB中，由勾股定理得，，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，，
∵CD为Rt△ABC斜边上的中线，
∴，
故选：D．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的作法与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
43．（2023•全椒县三模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，则点B到原点O的最大距离是（ ）
A．B．C．D．
【分析】作AC的中点D，连接OD、BD、OB，求出OD与BD的长度，根据三角形三边关系可得BD+OD≥OB，即可解答．
【解答】解：如图，作AC的中点D，连接OD、BD、OB，
∵AC＝2，点D是AC的中点，∠AOC＝90°，
∴，
∵∠C＝90°，BC＝1，
∴，
结合图形，可得BD+OD≥OB，即，
故点B到原点O的最大距离是，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，作出正确的辅助线是解题的关键．
44．（2023•瑶海区一模）圆O的直径AB＝26cm，点C是圆O上一点（不与点A、B重合），作CD⊥AB于点D，若CD＝12cm，则AD的长是（ ）
A．8cmB．18cmC．8cm或18cmD．16cm
【分析】分两种情况画出图形，由勾股定理求出OD＝5cm，则可得出答案．
【解答】解：当点D在OB上，如图，连接OC，
∵圆O的直径AB＝26cm，
∴OA＝OC＝13cm，
∵CD⊥AB，
∴∠ODC＝90°，
∴DO＝＝＝5（cm），
∴AD＝OA+OD＝13+5＝18（cm）；
当点D在线段OA上时，如图，
同理可得出AD＝AO﹣OD＝13﹣5＝8（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，圆的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
45．（2023•谯城区一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD平分∠ACB交AB于点D，分别过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，则四边形CEDF的面积为（ ）
A．12B．16C．D．
【分析】先由勾股定理，得BC＝6，再根据角平分线的性质得出DE＝DF，推出四边形ECFD是正方形，再推理△AED∽△ACB，得比例线段，进而求出四边形CEDF的面积．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，
根据勾股定理，得BC＝6，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，∠DEF＝∠DFC＝90°，
∴四边形ECFD是正方形，
∴EC＝ED，ED∥BC，
∴△AED∽△ACB，
∴＝，
设EC＝ED＝x，
则＝，
解得x＝，
∴四边形CEDF的面积为．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理、角平分线的性质，掌握这两个性质的应用，其中相似三角形中的比例线段是解题关键．
二十一．勾股定理的证明（共1小题）
46．（2023•太湖县校级三模）我国古代伟大的数学家刘微将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示若a＝3，b＝4，则该三角形的面积为（ ）
A．10B．12C．D．
【分析】设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该三角形的面积．
【解答】解：设小正方形的边长为x，
∵a＝3，b＝4，
∴AB＝3+4＝7，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即（3+x）2+（x+4）2＝72，
整理得，x2+7x﹣12＝0，
而三角形面积为x2+7x＝12，
∴该三角形的面积为12，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键．
二十二．勾股定理的逆定理（共1小题）
47．（2023•芜湖模拟）点A，B，C，D，E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则∠BAC+∠CDE＝ 45 °．
【分析】如图，连接AD．设图中每个小正方形的边长为x，根据勾股定理，得AD＝x，CD＝x，AC＝x，那么AD2+CD2＝AC2，，AD＝CD．再根据勾股定理的逆定理，进而推断出∠ADC＝90°．再根据等腰直角三角形的性质，得∠DAC＝∠ACD＝45°．根据平行线的性质，由AB∥DE，得∠BAD+∠ADE＝180°，从而解决此题．
【解答】解：如图，连接AD．
设图中每个小正方形的边长为x．
∴AD＝x，CD＝x，AC＝x．
∴AD2+CD2＝AC2，AD＝CD．
∴∠ADC＝90°．
∴∠DAC＝∠ACD＝45°．
由题意得，AB∥DE．
∴∠BAD+∠ADE＝180°．
∴∠BAC+∠DAC+∠ADC+∠CDE＝∠BAC+45°+90°+∠CDE＝180°．
∴∠BAC+∠CDE＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质、等腰三角形的性质是解决本题的关键．
二十三．勾股数（共1小题）
48．（2023•庐江县模拟）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 m2+1 （结果用含m的式子表示）．
【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，
解得a＝m2﹣1，
∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，
故答案为：m2+1．
【点评】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
二十四．等腰直角三角形（共3小题）
49．（2023•大观区校级二模）如图，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝60°，CD＝ED，点E在CB的延长线上，若EF平分∠DEC，则∠EFB的度数是（ ）
A．7.5°B．8.5°C．10°D．10.5°
【分析】根据∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝60°，CD＝ED，可得∠DEC＝45°，∠ABC＝30°，再根据角平分线的性质可得，最后个根据三角形的外角定理即可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝60°，CD＝ED，
∴∠DEC＝45°，∠ABC＝30°，
∵EF平分∠DEC，
∴，
∴∠EFB＝30°﹣22.5°＝7.5°，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的内角定理，等边对等角，以及三角形的外角定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
50．（2023•蒙城县二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，过点B作BD⊥AB，连接AD交BC于点E，若AB＝4，BD＝2，则CE的长为（ ）
​
A．B．C．D．
【分析】作CF⊥AB于F，连接CD，由等腰三角形的性质，推出四边形BFCD是正方形，得到CD＝BF＝2，由△DCE∽△ABE，得到CE＝BC，求出BC＝AB＝2，即可得到CE＝．
【解答】解：作CF⊥AB于F，连接CD，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴BF＝AF＝2，
∵∠ACB＝90°，
∴CF＝AB＝2，
∴BD＝CF＝2，
∵BD⊥AB，
∴BD∥CF，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵∠DBF＝90°，DB＝BF，
∴四边形BFCD是正方形，
∴CD＝BF＝2，DC∥AB，
∴△DCE∽△ABE，
∴CE：BE＝DC：AB＝2：4＝1：2，
∴CE＝BC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AB＝2，
∴CE＝．
故选：B．
【点评】本题考查等腰直角三角形，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，关键是通过作辅助线，证明四边形BFCD是正方形，得到CD＝BF，由△DCE∽△ABE，推出CE＝BC，由等腰直角三角形的性质求出BC的长，即可得到CE的长．
51．（2023•太和县二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝20°，以BC为斜边作等腰Rt△BDC，其中DB＝DC，∠BDC＝90°，过点D作DE⊥AB于点E，则∠CDE的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．35°
【分析】设AB与CD交于点F，根据直角三角形的两锐角互余可得∠CDE＝∠DBF，再由等腰直角三角形的性质求得∠DBC，根据∠DBF＝∠DBC﹣∠ABC即可得到答案．
【解答】解：如图，设AB与CD交于点F，
∵∠BDC＝90°，
∴∠DBF+∠DFB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEF＝90°，
∴∠FDE+∠DFB＝90°，
∴∠DBF＝∠FDE，即∠CDE＝∠DBF，
∵△BDC是等腰直角三角形，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∵∠ABC＝20°，
∴∠CDE＝∠DBF＝∠DBC﹣∠ABC＝45°﹣20°＝25°，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
二十五．三角形中位线定理（共2小题）
52．（2023•全椒县一模）如图，点D是△ABC内一点，点F是AC边的中点，DF∥BC交边AB于点E，∠ADC＝90°．若BC＝8，AC＝6，则DE的长为（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
【分析】根据三角形中位线的性质可得，再在Rt△ACD中，根据“直线三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DF＝3，然后计算DE的长即可．
【解答】解：∵点F是AC边的中点，DF∥BC，
∴EF为△ABC的中位线，
又∵BC＝8，
∴，
∵AC＝6，∠ADC＝90°，
∴，
∴DE＝EF﹣DF＝4﹣3＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
53．（2023•无为市三模）如图，点P是边长为6的等边三角形ABC内部一动点，连接BP，CP，AP，且满足∠ACP＝∠CBP，D为AP的中点，过点P作PE⊥AB，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值是（ ）
A．B．2C．D．3
【分析】首先利用已知条件和等边三角形的性质求出∠PCB＝120°，然后确定P在△PBC的外接圆的上，当AP⊥BC时，AF最小．最后利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可求解．
【解答】解：如图，P在△PBC的外接圆的上，
∴当AP⊥BC时，AF最小，AP同时也最小，
∵∠BPC＝180°﹣∠PCB﹣∠PBC，
而∠ACP＝∠CBP，
∴∠BPC＝180°﹣∠ACB﹣∠PCB＝180°﹣（∠ACP+∠PCB）＝180°﹣∠ACB，
又△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BPC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，A、P、O三点共线，
∵AP⊥BC，
∴∠CPO＝60°，BF＝CF，
∴∠CFO＝60°，
∵BC＝6，
∴CF＝3，
∴OF＝，OC＝OP＝2，
在等边三角形ABC中，AF＝3，
∴PF＝，
∴AP＝AF﹣PF＝2，
当AF最小时，AP最小，
此时AP＝2，
又∵D为AP的中点，PE⊥AB，
∴DE＝AP，
∴DE长的最小值为AP＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，也利用了垂径定理及其推论，综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．
二十六．三角形综合题（共7小题）
54．（2023•和县二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，连接AD，点E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F．
（1）若点F是AC中点，求证：∠ABE＝∠BAE；
（2）如图2，若∠DBE＝∠DEB，
①求证：AE＝CF；
②猜想的值并写出计算过程．
【分析】（1）证明△BCF≌△ACD（SAS），由全等三角形的性质得出∠CBF＝∠CAD，则可得出答案；
（2）①连接CE，证明△EAF∽△CAE，由相似三角形的性质得出，设AC＝BC＝2x，则BD＝CD＝x，AD＝x，得出AE＝CF＝（﹣1）x，则可得出结论；
②由①可得出AF和CF的值，化简的比值则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵点D是BC的中点，点F是AC中点，
∴CF＝CD，∠C＝∠C，
∴△BCF≌△ACD（SAS），
∴∠CBF＝∠CAD，
∴∠ABE＝∠BAE；
（2）①证明：连接CE，
∵∠DBE＝∠DEB，
∴BD＝DE＝CD，
∴∠BEC＝90°，
∴∠FCE＝∠CBF＝∠BED＝∠AEF，
∵∠FAE＝∠EAC，
∴△EAF∽△CAE，
∴，
即AE2＝AC•AF，
∴AF＝，CF＝AC﹣AF＝AC﹣；
设AC＝BC＝2x，则BD＝CD＝x，AD＝x，
∴AE＝（﹣1）x，CF＝2x﹣＝（﹣1）x，
∴AE＝CF；
②解：猜想：＝，
理由如下：
∵CF＝（﹣1）x，
∴AF＝2x﹣（﹣1）x＝（3﹣）x，
∴．
【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
55．（2023•池州模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b）且a、b满足，过点A作AB⊥x轴于B，过点A作AC⊥y轴于C点，点E，F分别是直线AB，x轴的动点．
（1）如图1点E，F分别在线段AB，OB上，若∠BEC＝∠BFC，求证：CE＝CF；
（2）如图2，连接EF，已知∠ECF＝45°．
①求证：EF＝AE+OF；
②若三角形BEF的面积为4，∠ECF＝45°，求线段EF的长度；
（3）已知，点E，F分别在线段AB和BO的延长线上，连接EF．
①如图3，已知AB＝2OF，CF⊥EF，线段EF上存在一点M，使得MF＝CF，求点M的坐标；
②如图4，请直接写出线段EF，AE和OF之间的数量关系以及点C到直线EF的距离．
【分析】（1）由“AAS”可证△CAE≌△COF，可得CE＝CF；
（2）①由“SAS”可证△ACE≌△OCH，可得CH＝CE，∠ACE＝∠OCH，由“SAS”可证△CEF≌△CHF，可得EF＝HF，可得结论；
②由三角形的面积关系可求解；
（3）①由“ASA”可证△COF≌△FHM，可得FH＝CO＝4，FO＝HM＝2，即可求解；
②由“SAS”可证△FCE≌△HCE，可得EF＝EH，∠CEA＝∠ECN，可得AE＝FO+EF，由角平分线的性质可求AC＝CN＝4．
【解答】（1）证明：∵，
∴（a﹣4）2+＝0，
∴a＝4，b＝4，
∴点A（4，4），
∵AB⊥OB，AC⊥OC，∠BOC＝90°，
∴AC＝AB＝4，四边形ABOC是矩形，
∴四边形ABOC是正方形，
∴OC＝AC，
∵∠BEC＝∠BFC，
∴∠CEA＝∠CFO，
又∵∠BOC＝∠BAC＝90°，
∴△CAE≌△COF（AAS），
∴CE＝CF；
（2）①证明：如图2，在x轴的负半轴上截取OH＝AE，连接CH，
∵AE＝OH，∠COH＝∠CAE＝90°，AC＝CO，
∴△ACE≌△OCH（SAS），
∴CH＝CE，∠ACE＝∠OCH，
∵∠ECF＝45°，
∴∠ACE+∠FCO＝45°，
∴∠OCH+∠FCO＝45°＝∠ECF，
又∵CF＝CF，
∴△CEF≌△CHF（SAS），
∴EF＝HF，
∴EF＝OH+OF＝AE+OF；
②解：∵△ACE≌△OCH，
∴S△ACE＝S△OCH，
∵△CEF≌△CHF，
∴S△CEF＝S△CFH，
∵S△BEF＝4，S正方形OBAC＝4×4＝16，
∴S△CEF+S△ACE+S△COF＝2S△CFH＝12，
∴2××HF×CO＝12，
∴4EF＝12，
∴EF＝3；
（3）①解：如图3，过点M作MH⊥BF于H，
∵AB＝2OF，
∴OF＝2，
∵CF⊥EF，MH⊥FH，
∴∠CFE＝∠FHM＝∠COF＝90°，
∴∠CFO+∠EFB＝90°＝∠CFO+∠FCO，
∴∠EFB＝∠FCO，
又∵∠COF＝∠FHM＝90°，CF＝FM，
∴△COF≌△FHM（ASA），
∴FH＝CO＝4，FO＝HM＝2，
∴OH＝2，
∴点M（2，﹣2）；
②解：AE＝FO+EF，理由如下：
如图4，在AB上截取AH＝OF，连接CH，过点C作CN⊥EF于N，
∵OF＝AH，∠A＝∠COF＝90°，AC＝CO，
∴△ACH≌△OCF（SAS），
∴CF＝CH，∠NCF＝∠ACH，
∴∠FCH＝∠FCO+∠OCH＝∠ACH+∠OCH＝∠ACO＝90°，
∵∠FCE＝45°，
∴∠ECH＝45°＝∠FCE，
又∵FC＝CH，CE＝CE，
∴△FCE≌△HCE（SAS），
∴EF＝EH，∠CEA＝∠ECN，
∴AE＝AH+EH＝FO+EF，
∵∠CEA＝∠ECN，AC⊥AE，CN⊥EN，
∴AC＝CN＝4，
∴点C到直线EF的距离为4．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
56．（2023•蚌埠模拟）已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F
（1）直接写出图1中所有的等腰三角形．指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？
（2）在（1）的条件下，若AB＝15，AC＝10，求△AEF的周长；
（3）如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F，请问（1）中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由；若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由；
（4）如图3，∠ABC、∠ACB的外角平分线的延长线相交于点O，请直接写出EF，BE，CF，MN之间的数量关系．不需证明．
【分析】（1）利用角平分线和平行线的即可得出结论；
（2）利用（1）的结论即可得出结论；
（3）同（1）的方法即可得出结论；
（4）同（1）的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠EBO＝∠CBO，
∵EF∥BC，
∴∠CBO＝∠BOE，
∴∠EBO＝∠EOB，
∴BE＝OE，
∴△BEO是等腰三角形，
同理：△CFO是等腰三角形，
EF＝OE+OF＝BE+CF；
（2）由（1）知，OE＝BE，OF＝CF，
∴△AEF的周长为AE+EF+AF＝AE+OE+OF+AF＝AE+BE+CF+AF＝AB+AC＝25；
（3）（1）中结论不成立，新结论为：EF＝BE﹣CF，理由：
∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵EF∥BC，
∴∠CBO＝∠EOB，
∴∠ABO＝∠EOB，
∴OE＝BE，
同理：CF＝OF，
∴EF＝OE﹣OF＝BE﹣CF，
（4）∵BO是∠CBE的平分线，
∴∠EBO＝∠CBO，
∵EF∥BC，
∴∠EMB＝∠CBO，
∴∠EBM＝∠EMB，
∴BE＝EM，
同理：FN＝CF，
∴EF＝EM+MN+FN＝BE+MN+CF．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的意义，平行线的性质，等腰三角形的判定，判断出BE＝OE是解本题的关键．
57．（2023•花山区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为BC边上一动点（不与点B、C重合），CE垂直AD交AB于点E，垂足为点H，连接BH并延长交AC于点F，则以下结论错误的是（ ）
A．当CD＝BD时，CH＝
B．当CD＝BD时，AF＝2CF
C．当BD＝nCD时，AE＝（n+1）BE
D．BH的最小值为
【分析】根据勾股定理求出AD＝2，根据三角形面积公式求出CH＝，据此判断A不符合题意；
过点D作DM∥AC交BF于点M，根据题意推出DM是△BCF的中位线，则CF＝2DM，根据直角三角形的性质及平行线的性质推出△ACH∽△CDH，△ACH∽△ADC，△DMH∽△AFH，根据相似三角形的性质即可判断B不符合题意；
当BD＝nCD时，设CD＝a，则BD＝an，AC＝BC＝an+a，过点B作BN⊥BC交CE的延长线于点N，结合题意及直角三角形的性质利用AAS推出△ACD≌△CBN（AAS），根据全等三角形的性质得到CD＝BN＝a，根据∠ACD+∠CBN＝180°，判断BN∥AC，
进而推出△ACE∽△BNE，根据相似三角形的性质即可判断C不符合题意；
根据当BH最短时，点F为AC的中点，求解即可判断D符合题意．
【解答】解：当CD＝BD时，
∵BC＝4，
∴CD＝BC＝2，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，
∴AD＝＝＝2，
∵CE垂直AD，
S△ACD＝AC•CD＝AD•CH，
∴AC•CD＝AD•CH，
∴CH＝＝＝，
故A正确，不符合题意；
如图，过点D作DM∥AC交BF于点M，
当CD＝BD时，
∴DM是△BCF的中位线，
∴CF＝2DM，
∵∠ACB＝90°，CE垂直AD，
∴∠ACD＝∠AHC＝∠DHC＝90°，
∴∠ACH+∠CAH＝90°，∠ACH+∠DCH＝90°，
∴∠CAH＝∠DCH，
∴△ACH∽△CDH，
∴＝，
∵∠CAH＝∠DAC，∠ACD＝∠AHC，
∴△ACH∽△ADC，
∴＝，
∵AC＝4，CD＝2，
∴＝＝＝2，
∴AH＝2CH＝4HD，
∵DM∥AC，
∴△DMH∽△AFH，
∴＝＝，
∴AF＝4DM＝2CF，
故B正确，不符合题意；
当BD＝nCD时，设CD＝a，则BD＝an，
∴AC＝BC＝an+a，
过点B作BN⊥BC交CE的延长线于点N，
∴∠CBN＝90°＝∠ACD，
∴∠N+∠BCN＝90°，
∵CE垂直AD，
∴∠BCN+∠HDC＝90°，
∴∠HDC＝∠N，
又AC＝BC，∠CBN＝∠ACD，
∴△ACD≌△CBN（AAS），
∴CD＝BN＝a，
∵∠ACD+∠CBN＝180°，
∴BN∥AC，
∴△ACE∽△BNE，
∴＝＝＝n+1，
∴AE＝（n+1）BE，
故C正确，不符合题意；
∵CH⊥AH，
∴点H在以AC为直径的圆上，
当BH最短时，点F为AC的中点，
∴CF＝AC＝2，
∴BF＝＝2，
∴BH的最小值为2﹣2，
故D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】此题是三角形综合题，考查了勾股定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
58．（2023•宣城模拟）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，AB上，且DE∥BC．
（1）则的值为 ；
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转到如图2的位置，旋转角为α（45°＜α＜90°），连接CD，BE，求的值；
（3）将△ADE绕点A旋转，当∠DEB＝90°，AC＝5，AD＝时，请直接写出线段CD的长．
【分析】（1）过点E作EF∥CD交BC于点F，根据等腰三角形的性质得出∠CAB＝∠B＝45°，根据题意推出四边形DCFE是矩形，则CD＝EF，∠EFC＝90°，根据锐角三角函数求解即可；
（2）由（1）知，△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质得出＝＝，∠CAB＝∠DAE，进而得到∠CAD＝∠BAE，即可判定△ACD∽△ABE，根据相似三角形的性质即可得解；
（3）分两种情况：①当∠DEB＝90°，位于AC右侧时，②当∠DEB＝90°，位于AC左侧时，根据等腰直角三角形的性质推出四边形ADEF是正方形，利用正方形的性质及相似三角形的判定与性质求解即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠AED＝∠B＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
如图1，过点E作EF∥CD交BC于点F，
∵DE∥BC，EF∥CD，∠ACB＝90°，
∴四边形DCFE是矩形，
∴CD＝EF，∠EFC＝90°，
∴∠EFB＝180°﹣90°＝90°，
∴sin∠B＝＝sin45°＝，
∴＝，
故答案为：；
（2）由（1）知，△ADE∽△ACB，
∴＝＝，∠CAB＝∠DAE，
∴∠CAB+∠BAD＝∠DAE+∠BAD，
即∠CAD＝∠BAE，
∴△ACD∽△ABE，
∴＝＝；
（3）①如图，当∠DEB＝90°，位于AC右侧时，过点A作AF⊥BE，交BE的延长线于点F，
∵∠DEB＝90°，∠AFE＝90°，∠ADE＝90°，AD＝DE，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝DE＝EF＝AF＝，
∵AC＝5，
∴AB＝AC＝5，
∴BF＝＝＝3，
∴BE＝BF﹣EF＝3﹣＝2，
∵＝＝，∠CAB﹣∠DAB＝∠DAE﹣∠DAB，
即∠CAD＝∠BAE，
∴△ACD∽△ABE，
∴＝＝，
∴CD＝BE＝×2＝；
②如图，当∠DEB＝90°，位于AC左侧时，过点A作AF⊥BE，交BE于点F，
∵∠DEB＝90°，∠AFE＝90°，∠ADE＝90°，AD＝DE，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝DE＝EF＝AF＝，
∵AC＝5，
∴AB＝AC＝5，
∴BF＝＝＝3，
∴BE＝BF+EF＝3+＝4，
∵＝＝，∠CAB+∠EAC＝∠DAE+∠EAC，
即∠CAD＝∠BAE，
∴△ACD∽△ABE，
∴＝＝，
∴CD＝BE＝×4＝2；
综上，线段CD的长为或2．
【点评】此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
59．（2023•安庆模拟）在△ABC中，BA＝BC，点D在边CB上，且DB＝DA＝AC．
（1）如图1，求∠B的度数；
（2）如图2，若点M为线段BC上的点，过点M作直线MH⊥AD于点H，分别交直线AB，AC于点N，E．
①求证：△ANE是等腰三角形；
②试写出线段BN，CE，CD之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）BA＝BC，且DB＝DA＝AC可得∠C＝∠ADC＝∠BAC＝2∠B，∠DAC＝∠B，在△ADC中由三角形内角和可求得∠B；
（2）①由（1）可知∠BAD＝∠CAD＝36°，且∠AHN＝∠AHE＝90°，可求得∠ANH＝∠AEH＝54°，可得AN＝AE；
②由①知AN＝AE，借助已知利用线段的和差可得CD＝BN+CE．
【解答】（1）解：∵BA＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∵DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，
∴∠DAC＝∠B，
∵∠DAC+∠ADC+∠C＝180°，
∴2∠B+2∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝36°；
（2）①证明：在△ADB中，∵DB＝DA，∠B＝36°，
∴∠BAD＝36°，
在△ACD中，∵AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝72°，
∴∠CAD＝36°，
∴∠BAD＝∠CAD＝36°，
∵MH⊥AD，
∴∠AHN＝∠AHE＝90°，
∴∠AEN＝∠ANE＝54°，
即△ANE是等腰三角形；
②解：结论：CD＝BN+CE．
理由：由①知AN＝AE，
又∵BA＝BC，DB＝AC，
∴BN＝AB﹣AN＝BC﹣AE，CE＝AE﹣AC＝AE﹣BD，
∴BN+CE＝BC﹣BD＝CD，
即CD＝BN+CE．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，掌握等角对等边、等边对等角是解题的关键，注意方程思想的应用．
60．（2023•涡阳县二模）如图1，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACP的平分线相交于点D，AE平分∠BAC并交BD于点E．
（1）求证：∠BAC＝2∠D；
（2）若BC＝AC，且，求，
（3）如图2，过点D作DF⊥BC，垂足为F，，其中，连接AD、EC，求．
【分析】（1）利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求证；
（2）构造相似三角形得到△BEG∽△DEC即可求解；
（3）取DE的中点O，过点O分别作OH⊥BF，OI⊥AB，连接OA、OC，构造四点共圆，利用相似三角形的判定、性质和直角三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC的内角∠ABC和外角∠ACP的平分线相交于点D，
∴，，
又∵∠DCP、∠ACP分别是△BCD、△ABC的一个外角，
∴，
∴∠BAC＝2∠D；
（2）连接CE并延长交AB于点G，则CG平分∠ACB，
又∵BC＝AC，
∴CG⊥AB，∠ABC＝∠BAC，
又∵，
∴AB∥CD，
∴CG⊥CD，∠D＝∠ABD＝∠DBC，
∴△BEG∽△DEC，CD＝BC，
∴，
答：的值为；
（3）如图，取DE的中点O，过点O分别作OH⊥BF于H，OI⊥AB于I，连接OA、OC，
∵，
可设DF＝x，则BF＝3x，
∵DF⊥BC，
∴，
又∵，点O是DE的中点，
∴
∵OH⊥BF，DF⊥BC，
∴OH∥DF，
∴△BOH∽△BDF，
∴，
∴BH＝2x，，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴，
∴BI＝BH＝2x．
由（1）（2）知CE平分∠ACB，CD平分∠ACF．
∴，
∵∠BAC＝2∠BDC（小题1中已证），
∴∠EAC＝∠BDC，
∴点A、E、C、D四点共圆，
∵∠ECD＝90°，O为ED中点，
∴ED为圆的直径，
∴∠DCE＝∠DAE＝90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了角平分线的定义及性质定理、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定与圆的基本性质等知识，解题关键是作辅助线构造相似三角形，本题综合性较强，需要学生具有较强的图形分析能力，且对相应知识点理解到位并熟练运用．