2025年中考数学复习《二次函数综合解答题》常考热点练习题汇编（含答案）

这是一份2025年中考数学复习《二次函数综合解答题》常考热点练习题汇编（含答案），共38页。试卷主要包含了综合与探究等内容，欢迎下载使用。

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴并交抛物线于点，当线段取得最大值时，在轴上是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax+1x−3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，顶点M的纵坐标为−4．
(1)直接写出点A的坐标 ，点B的坐标 ；
(2)求出二次函数的解析式；
(3)如图1，在平面直角坐标系xOy中找一点D，使得△ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，试求出点D的坐标．
3．综合与探究
如图，抛物线y=12x2−2x−6与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，交y轴于点C，作直线BC．
(1)求点B的坐标及直线BC的表达式；
(2)当点D在直线BC下方的抛物线上运动时，连接OD交BC于点E，若DEOE=512，求点D的坐标；
(3)抛物线上是否存在点F．使得∠BCF=15°?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
4．已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像经过点A−1,0，点B3,0，点C0,3，

(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图1，点P为线段BC上方抛物线上任意一点，过P作PM⊥BC于点M, PN∥y轴交BC于点N，求△PMN周长的最大值；
(3)在（2）的条件下，H为抛物线上一动点，当∠POB=∠HPO时，求点H的横坐标．
5．如图，直线y=−x+4交x轴于点B、y轴于点C，抛物线经过点B，点C，且过A−3，0，连接AC，BC，点P是第一象限内抛物线上的一个动点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)动点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大？若存在，请求出符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由；
6．如图，直线y=2x−2分别与x轴、y轴交于A点与B点，函数y=2x2+2nx+n的图像经过B点．点P是抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)连接AD，当△ABD为直角三角形时，求BD的长；
(3)将△BDP绕点B逆时针旋转45°，得到△BD′P′，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请求出点P的坐标．
7．已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−2,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是AC上方抛物线上一点．
备用图
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴有一点Q，使△QBC的周长最小，求Q的坐标；
(3)过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值；
8．如图，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A−3，0、B4，0两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)点H是抛物线对称轴上的一个动点，连接AH、CH，求出△ACH周长的最小值时点H的坐标；
(3)若点G是第四象限抛物线上的动点，求△BCG面积的最大值以及此时点G的坐标；
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c（b，c为常数）的顶点坐标为32,−258，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C、点D关于x轴对称，连接AD，作直线BD．
(1)求b、c的值；
(2)求点A、B的坐标；
(3)求直线BD的解析式；
(4)点P在抛物线上，点Q在直线BD上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标．
10．如图，抛物线与x轴交于A（点B位于点A的右边），与y轴交于点C（0，﹣4），连接BC，点P的横坐标为t．
（1）求抛物线对应的函数表达式以及A，B两点的坐标．
（2）若点P位于第四象限，过点P作PQ⊥BC，求PQ的最大值．
（3）M是抛物线对称轴上任意一点，若以点B，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形，求t的值
11．综合与探究
如图，已知抛物线y=−x2−2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D，对称轴是直线l，且与x轴交于点H．
(1)求点A，B，C，D的坐标；
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的−个动点，求△PBC周长的最小值；
(3)若点E是线段AC上的一个动点（E与A,C不重合），过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，与x轴交于点C.则在点E运动的过程中，是否存在EF=2EG？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，二次函数的图像与x轴交于A−3,0和B1,0两点，交y轴与点C0,3，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图像过点B，D．
(1)求二次函数解析式；
(2)求出顶点坐标和点D的坐标；
(3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使△BCM的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
(4)若Q是线段BD上任意一点，过点Q作PQ⊥x轴交抛物线于点P，则点P坐标为多少时，PQ最长？
13．已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A−1,0和点B，对称轴为直线x=1，抛物线与y轴交于C点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），P是抛物线第一象限内的任一点，过点P作PD⊥x轴于D，直线BC与PD交于点E，当△CEP是以PE为底的等腰三角形时，求P点的坐标；
(3)如图（乙），若点M是抛物线上任意一点，且满足∠MAB=2∠ACO，求M的坐标．
14．如图，已知抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C，对称轴为x=52．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
(3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE=2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B，与y轴正半轴交于C，OB＝OC＝3OA．
(1)求这条抛物线的解析式．
(2)如图1，在抛物线对称轴上求一点P，使CP⊥BP．
(3)如图2，若点E在抛物线对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线的图象经过点C(0，2)，交x轴于点A(﹣1，0)和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
(1)求抛物线的表达式及点B的坐标；
(2)求的最大值及此时点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．（1）解：∵抛物线经过点，，，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为．
（2）存在点P，以EB为腰的等腰三角形△EBP，理由如下：
当时，，
∴，
设直线AC的解析式为，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
设 ，则 ，
∴ ，
∴当 时，EF取得最大值，最大值为：，此时，
又∵，
∴．
当时，
∵，点在轴上，
∴点P的坐标为或；
当时，关于直线对称，
∴点P的坐标为；
综上所述，，或，或．
2．（1）解：当y=0时ax+1x−3=0，
解得x1=−1，x2=3，
∴A−1，0，B3，0；
故答案为：−1，0，3，0；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线的顶点坐标为1，−4，
把1，−4代入y=ax+1x−3得a1+11−3=−4，解得a=1，
∴y=x+1x−3，
即y=x2−2x−3；
（3）解：当x=0时，y=x2−2x−3=−3，则C(0，−3)，
设Dx，y，
∴AC2=12+32=10，DC2=x2+y+32，AD2=x+12+y2，
∵△ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，
∴2x2+y+32=10，2x+12+y2=10，
解得x=1，y=−1或x=−2，y=−2，
∴D1，−1或−2，−2．
3．（1）解：令y=0，解方程12x2−2x−6=0得x=−2或x=6，
∴点B的坐标为6，0；
令x=0，则y=−6，
∴点C的坐标为0，−6；
设直线BC的表达式为y=kx−6，则0=6k−6，
解得k=1，
∴直线BC的表达式为y=x−6；
（2）解：作DH⊥x轴，垂足为H，交直线BC于点G，
∴DG∥OC，
∵点C的坐标为0，−6，
∴OC=6，
设点D的坐标为m，12m2−2m−6，则点G的坐标为m，m−6，
∴GD=m−6−12m2+2m+6=−12m2+3m，
∵DG∥OC，
∴△DGE∽△OCE，
∴DGOC=DEOE，
∴−12m2+3m6=512，整理得m2−6m+5=0，
解得m=5或m=1，
∴点D的坐标为1,−152或5,−72；
（3）解：∵点B的坐标为6，0，点C的坐标为0，−6，
∴OB=OC=6，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
∵∠BCF=15°，
∴∠OCF=60°或∠OCF=30°，
当∠OCF=60°时，以OC为边作等边△OCM，直线CM交抛物线于点F，此时∠BCF=15°，如图，
作MN⊥y轴于点N，
在Rt△OMN中，OM=OC=6，ON=12OC=3，
∴MN=OM2−ON2=33，
∴点M的坐标为33，−3，同理，求得直线MC的表达式为y=33x−6，联立y=33x−6y=12x2−2x−6，
解得x=12+233y=43−163或x=0y=−6（舍去），
∴点F的坐标是12+233,43−163；
当∠OCF=30°时，设CF交x轴于点K，此时∠BCF=15°，如图，
在Rt△OCK中，OC=6，∠OCK=30°，
∴OK=OC⋅tan30°=23，
∴点K的坐标为23，0，
同理，求得直线CK的表达式为y=3x−6，
联立y=3x−6y=12x2−2x−6，
解得x=4+23y=43或x=0y=−6（舍去），
∴点F的坐标是4+23,43；
综上，点F的坐标是4+23,43或12+233,43−163．
4．（1）解：∵抛物线经过点A−1,0，点B3,0，
∴设抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)，
把点C0,3的坐标代入，得−3a=3，
解得：a=−1，
则抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3；
（2）解：由点B、C的坐标知，
∠BCO=45°=∠MPN=∠MNP，
则PM=MN=22PN，
设直线BC的表达式为：y=kx+3，
把点B3,0代入，得
3k+3=0，
解得：k=−1，
∴直线BC的表达式为：y=−x+3，
设点P(x,−x2+2x+3)，则点N(x,−x+3)，
则PN=−x2+2x+3−−x+3=−x2+3x，
则△PMN周长=PM+MN+PM=(1+2)PN
=−(1+2)(x−32)2+9+924，
∵−(1+2)