专题17 解答压轴题型：几何综合题（汇编）-备战2025 深圳数学三年中考一年模拟

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1. （2024·广东深圳·统考中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
（1）如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________；
（2）如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由；
（3）①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值．
2. （2023·广东深圳·统考中考真题）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，
①若，过作交于点，求证：；
②若时，则______．

（2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．

（3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．

3. （2022·广东深圳·统考中考真题）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：
（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，为边上三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．
4. （2024·广东深圳·盐田区一模）如图，等腰中，，，点为边上一点，于点，延长交于点．
（1）求证：；
（2）当平分时，求的值；
（3）当点为的三等分点时，请直接写出的值．
5. （2024·广东深圳·福田区三模）【初步探究】
如图1，四边形是矩形，点P是平面内任一点，则下列结论成立的是（ ）
A．；B．
C．；D．
【深入探究】
如图2，正方形的边长为4，的半径为2，点P是上一动点，连接，，，设，．（如有需要，可直接使用（1）中你所得的结论）
①求的最小值；
②直接写出的最大值，并直接写出此时的长．
6. （2024·广东深圳·33校联考二模）在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质．
【操作探究】
（1）如图1，已知，，将绕着直角边中点G旋转，得到，当的顶点D恰好落在的斜边上时，斜边与 交于点H．

①猜想： _________
②证明：．
【问题解决】
（2）在（1）的条件下，已知，，求的长．
【拓展提升】
（3）如图2，在菱形中，，， 将菱形绕着中点M顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点E分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点 N， 请直接写出的长．

7. （2024·广东深圳·33校联考一模）在矩形中，点E是射线上一动点，连接，过点B作于点G，交直线于点F．
（1）当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．
①如图1，若点E在线段上，则线段与之间的数量关系是________，位置关系是_________；
②如图2，若点E在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点E在线段上，以和为邻边作，M是中点，连接，，，求的最小值．
8. （2024·广东深圳·南山区一模）如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．

（1）观察猜想：
图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；
（2）探究证明：
把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；
（3）拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
9. （2024·广东深圳·宝安区二模）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求．
10. （2024·广东深圳·宝安区二模）（1）【问题探究】如图1，正方形中，点F、G分别在边、上，且于点P，求证：；
（2）【知识迁移】如图2，矩形中，，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且于点P．若，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，在菱形中，，，点E在直线上，，交直线于点F．请直接写出线段的长．
11. （2024·广东深圳·宝安区三模）如图1．四边形、都是矩形，点G在上，且，，，小李将矩形绕点C顺时针转，如图2所示：
（1）① 他发现的值始终不变，请你帮他计算出的值______．
② 在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，求出AG的长度是多少?
（2）如图3，中，，，，G为的中点，点D为平面内的一个动点．且，将线段BD绕点D逆时针旋转α°，得到，则四边形的面积的最大值为______．
12. （2024·广东深圳·福田区二模）问题探究：如图1，在正方形，点分别在边上，于点点分别在边上，．
（1）①判断与的数量关系：_____；
②推断：______(填数值)；
（2）类比探究：如图2，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用1：如图3，四边形中，，，，点分别在边上，求的值．
（4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接CP，若，，求的长．
13. （2024·广东深圳·光明区二模）在四边形中，点为线段上的动点（点与点不重合），连接，线段的垂直平分线与分别相交于点，连接．
【探究发现】如图1，若四边形为矩形，，求证：；
【能力提升】如图2，若四边形为矩形，是等腰三角形，求的长：
【拓展应用】如图3，若四边形为菱形，的垂直平分线与、分别相交于点，连接．若是等边三角形，求的值．
14. （2024·广东深圳·33校三模）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，请根据下面不同的折痕解决下列问题：
问题（1）：如图，在矩形纸片中，将纸片沿对角线对折，边对折后与边相交于点E，试判断形状，并说明理由．

问题（2）：如图，在矩形中，，以为折痕对折，B点落在的中点F处，求折痕的长

问题（3）：如图，在矩形中，，P在直线上，Q在边上，以为折痕对折，B点落在边上对应点为F，当P到A点的距离为1时，直接写出折痕的长．

15. （2024·广东深圳·龙华区二模）如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为的中点，将线段绕点F顺时针旋转至线段，连接．某数学学习小组成员发现线段与之间存在一定的数量关系，并运用“特殊到一般”的思想开展了探究．
【特例分析】当点E与点B重合时，小组成员经过讨论得到如下两种思路：
（1）①在上述两种思路中，选择其中一种完成其相应的第一步的证明：②写出线段与之间的数量关系式：______；
【深入探究】（2）如图1，当点E与点B不重合时，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】（3）连接，记正方形的面积为，的面积为，当是直角三角形时，请直接写出的值．
16. （2024·广东深圳·罗湖区二模）【问题提出】
(1)如图1，在边长为的等边中，点在边上，，连接，则的面积为____
【问题探究】
(2)如图2，已知在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，且，若，求的面积；
【问题解决】
(3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上不与点、、重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．
17. （2024·广东深圳·罗湖区三模）【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形中，点E，F分别是边，上的点，连接，，且于点G，若，，求的值．
（1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
【初步运用】
（2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点点E，交于点F，求的值．
【灵活运用】
（3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，则______．
18. （2024·广东深圳·南山区三模）如图①，在正方形中，点E，F分别在边、上，于点O，点G，H分别在边、上，．

（1）问题解决：①写出与的数量关系：________；
② 的值为 ________；
（2）类比探究，如图②，在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点C落在边上的点E处，得到四边形交于点P，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用，如图③，四边形中，，，，，点E、F分别在边、上，求 的值．
19. （2024·广东深圳·南山区二模）（1）问题呈现：如图1，和都是直角三角形，，且．连接，，求的值．
（2）类比探究：如图2，是等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转得到，连接，，延长交于点，设，求的长；
（3）拓展提升：如图3，在等边中，，是边上的中线，点从点移动到点，连接，以为边长，在的上方作等边，求点经过的路径长．
20. （2024·广东深圳·九下期中）（）请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程．
（）初步探究：如图，在四边形中，于点，连接，．
的度数为 ；
求长．
（）拓展运用：如图，在平行四边形中，是边上一点，．按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线．过点作交于点，过点作于点，为射线上一动点，连接，若，直接写出的值．
思路一
思路二
第一步
如图2，连接，，证明；
如图3，将线段绕点F逆时针旋转至，连接，证明；
第二步
利用相似三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．
利用全等三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．
图形表达
例：如图，在中，是斜边上的中线．求证：．
证明：延长至点，使，连接．
…