2022年中考数学真题分类汇编：二次函数解答题(含答案)

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2022中考数学真题汇编——二次函数解答题

1. (2022·浙江省绍兴市)已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，-3），（-6，-3）．
（1）求b，c的值．
（2）当-4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．

2. (2022·浙江省舟山市)已知抛物线L1：y=a（x+1）2-4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．

3. (2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．









4. (2022·浙江省丽水市)如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y=a（x-2）2-1（a＞0）的图象上，且x2-x1=3．
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．
①求这个二次函数的表达式；
②若y1=y2，求顶点到MN的距离；
（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．








5. (2022·山东省滨州市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA=PC时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．





6. (2022·四川省南充市)抛物线y=13x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM=2ON，连接BN并延长到点D，使ND=NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB=2tan∠DBE，求点M的坐标．

7. (2022·四川省德阳市)抛物线的解析式是y=-x2+4x+a．直线y=-x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称．
（1）如图①，求射线MF的解析式；
（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；
（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于点N．求PNAN的最大值．








8. (2022·重庆市B卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-34x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+65AM的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y=-34x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y=-34x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．





9. (2022·重庆市A卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与直线AB交于点A（0，-4），B（4，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．





10. (2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，-2），求△DEF周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．

11. (2022·四川省成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx-3（k≠0）与抛物线y=-x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．
（1）当k=2时，求A，B两点的坐标；
（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；
（3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

12. (2022·四川省达州市)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

13. (2022·四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（-2，0），B（0，4）两点，直线x=3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

14. (2022·江苏省连云港市)已知二次函数y=x2+（m-2）x+m-4，其中m＞2．
（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；
（2）求证：二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．

15. (2022·山东省)如图，抛物线y=ax2+32x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，-2），连接AC，BC.
（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；
（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求S1S2的值最大时点P的坐标.



16. (2022·四川省)如图，已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a-5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求a的值及P的坐标；
（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；
（3）如图（2），点Q是x正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．
















17. (2022·安徽省)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．














18. (2022·浙江省金华市)“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬莱需求量y需求（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求=ax2+c，部分对应值如下表：
售价x（元/千克）
…
2.5
3
3.5
4
…
需求量y需求（吨）
…
7.75
7.2
6.55
5.8
…
②该蔬莱供给量y供给（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y供给=x-1，函数图象见图1．
③1～7月份该蔬莱售价x售价（元/千克）、成本x成本（元/千克）关于月份t的函教表达式分别为x售价=12t+2，x成本=14t2-32t+3，函数图象见图2．

请解答下列问题：
（1）求a，c的值．
（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
参考答案
1.解：（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y=-x2+bx+c，
得b=-6，c=-3．
（2）∵y=-x2-6x-3=-（x+3）2+6，
又∵-4≤x≤0，
∴当x=-3时，y有最大值为6．
（3）①当-3＜m≤0时，
当x=0时，y有最小值为-3，
当x=m时，y有最大值为-m2-6m-3，
∴-m2-6m-3+（-3）=2，
∴m=-2或m=-4（舍去）．
②当m≤-3时，
当x=-3时y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为-4，
∴-（m+3）2+6=-4，
∴m=-3-10或m=-3+10（舍去）．
综上所述，m=-2或-3-10．
2.解：（1）把A（1，0）代入y=a（x+1）2-4得：
a（1+1）2-4=0，
解得a=1，
∴y=（x+1）2-4=x2+2x-3；
答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x-3；
（2）抛物线L1：y=（x+1）2-4的顶点为（-1，-4），
将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（-1，-4+m），
而（-1，-4+m）关于原点的对称点为（1，4-m），
把（1，4-m）代入y=x2+2x-3得：
12+2×1-3=4-m，
解得m=4，
答：m的值为4；
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=（x-n+1）2-4，
∵点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，
∴s=（8-t-n+1）2-4=（9-t-n）2-4，
r=（t-4-n+1）2-4=（t-n-3）2-4，
∵当t＞6时，s＞r，
∴s-r＞0，
∴[（9-t-n）2-4]-[（t-n-3）2-4]＞0，
整理变形得：（9-t-n）2-（t-n-3）2＞0，
（9-t-n+t-n-3）（9-t-n-t+n+3）＞0，
（6-2n）（12-2t）＞0，
∵t＞6，
∴12-2t＜0，
∴6-2n＜0，
解得n＞3，
∴n的取值范围是n＞3．
3.解：（1）把A（-1，0）和点B（0，3）代入y=-x2+bx+c，
得-1-b+c=0c=3，
解得：b=2c=3，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

（2）∵y=-（x-1）2+4，
∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x=1，
如图，设CD=t，则D（1，4-t），

∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC=90°，DP=DC=t，
∴P（1+t，4-t），
把P（1+t，4-t）代入y=-x2+2x+4得：
-（1+t）2+2（1+t）+3=4-t，
整理得t2-t=0，
解得：t1=0（舍去），t2=1，
∴P（2，3）；

（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，
∴E点坐标为（1，-1），
∴点E关于y轴的对称点F（-1，-1），
连接PF交y轴于M，则MP+ME=MP+MF=PF的值最小，

设直线PF的解析式为y=kx+n，
∴2k+n=3-k+n=-1，
解得：k=43n=13，
∴直线PF的解析式为y=43x+13，
∴点M的坐标为（0，13）．
4.解：（1）①∵二次函数y=a（x-2）2-1（a＞0）经过（3，1），
∴1=a-1，
∴a=2，
∴二次函数的解析式为y=2（x-2）2-1；

②∵y1=y2，
∴M，N关于抛物线的对称轴对称，
∵对称轴是直线x=2，且x2-x1=3，
∴x1=12，x2=72，
当x=12时，y1=2（12-2）2-1=72，
∴当y1=y2时，顶点到MN的距离=72+1=92；

（2）设抛物线与X轴的交点为A（m，0），B（n，0）（m＞n）．
∵x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，
又∵二次函数y的最小值为-1，
∴x=x1或x2时，y的值为0，点M，点N在x轴上或在x轴的下方，
∴AB≥3，
∴m-n≥3，
令y=0，可得a（x-2）2-1=0，
∴m=2+1a，n=2-1a，
∴（2+1a）-（2-1a）≥3，
∴2a≥3，
又∵a＞0，
∴0＜a≤49．
5.解：（1）针对于抛物线y=x2-2x-3，
令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3）；
令y=0，则x2-2x-3=0，
∴x=3或x=-1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AC=(-1-0)2+(0+3)2=10；

（2）∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=--22=1，
∵点P为该抛物线对称轴上，
∴设P（1，p），
∴PA=(1+1)2+p2=p2+4，PC=12+(p+3)2=p2+6p+10，
∵PA=PC，
∴p2+4=p2+6p+10，
∴p=-1，
∴P（1，-1）；

（3）由（1）知，B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，
设M（m，m2-2m-3），
∵△BCM为直角三角形，
∴①当∠BCM=90°时，
如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM=m，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠HCM=90°-∠OCB=45°，
∴∠HMC=45°=∠HCM，
∴CH=MH，
∵CH=-3-（m2-2m-3）=-m2+2m，
∴-m2+2m=m，
∴m=0（不符合题意，舍去）或m=1，
∴M（1，-4）；
②当∠CBM=90°时，
过点M作M'H'⊥x轴，
同①的方法得，M'（-2，3）；
③当∠BMC=90°时，如图2，

过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，
∴∠CDM=∠E=90°，
∴∠DCM+∠DMC=90°，
∵∠DMC+∠EMB=90°，
∴∠DCM=∠EMB，
∴△CDM∽△MEB，
∴CDME=MDBE，
∵M（m，m2-2m-3），B（3，0），C（0，-3），
∴DM=m，CD=m2-2m-3+3=m2-2m，ME=3-m，BE=-（m2-2m-3）=-m2+2m+3，
∴m2-2m3-m=m-m2+2m+3，
∴m=0（舍去）或m=3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m=1-102（不符合题意，舍去）或m=1+102，
∴M（1+102，-5+2104），
即满足条件的M的坐标为（1，-4）或（-2，3）或（1+102，-5+2104）．
6.解：（1）由题意得，
13×42+4b+c=0c=-4，
∴b=-13c=-4，
∴y=13x2-13x-4；
（2）如图1，

作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，
∵BC的解析式为y=x-4，
∴设直线l的解析式为：y=x+b，
由13x2-13x-4=x+b得，
x2-4x-3（b+4）=0，
∵Δ=0，
∴-3（b+4）=4，
∴b=-163，
∴x2-4x+4=0，y=x-163，
∴x=2，y=-103，
∴P1（2，-103），
∵E（0，-163），C（0，-4），
∴F（0，-4×2-（-163）），
即（0，-83），
∴直线m的解析式为：y=x-83，
∴y=13x2-13x-4y=x-83，
∴x1=2+22y1=22-23，x2=2-22y2=-22-23，
∴P2（2-22，-22-23），P3（2+22，22-23），
综上所述：点P（2，-103）或（2-22，-22-23）或（2+22，22-23）；
（3）如图2，

作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，
设D点的横坐标为a，
∵BN=DN，
∴BD=2BN，N点的横坐标为：a+42，
∴OH=a+42，
∵MH∥DF，
∴△BHN∽△BFD，
∴NHDF=BNBD=12，
∴DF=2NH，
同理可得：△OMG∽△ONH，
∴MGNH=OGOH=OMON=2，
∴MG=2NH，OG=2OH=a+4，
∴KF=MG=DF，
∵tan∠DEB=2tan∠DBE
∴DFEF=2•DFBF，
∴EF=12BF，
∵BF=4-a，
∴EF=12(4-a)，
∵EF∥MK，
∴△DEF∽△DMK，
∴EFMK=DFDK，
∴12(4-a)2a+4=12，
∴a=0，
∴OG=a+4=4，
∴G（-4，0），
当x=-4时，y=13×(-4)2-13×(-4)-4=83，
∴M（-4，83）．
7.解：（1）∵点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称，
∴F（5，3），
∵直线y=-x+2与x轴交于点M，
∴M（2，0），
设直线MF的解析式为y=kx+b，
则有2k+b=05k+b=3，
解得k=1b=-2，
∴射线MF的解析式为y=x-2（x≥2）；

（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q．

∵抛物线的对称轴x=-4-2=2，点M（2，0），
∴点M值抛物线的对称轴上，
∵直线EM的解析式为y=-x+2，直线MF的解析式为y=x-2，
∴直线EM，直线MF关于直线x=2对称，
∴P，Q关于直线x=2对称，
∴2=x1+x22，
∴x1+x2=4；

（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．

∵C（0，5），
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，
∴A（-1，0），B（5，0），
设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），
∵PT∥AM，
∴PNAN=PTAM=13（t-（t2-4t-3）=-13（t-52）2+3712，
∵-13＜0，
∴PNAN有最大值，最大值为3712．
8.解：（1）∵抛物线y=-34x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．
∴-12+4b+c=0c=3，
∴b=94c=3．
∴抛物线的函数表达式为y=-34x2+94x+3；
（2）∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理得，AB=5，
∵PQ⊥OA，
∴PQ∥OB，
∴△AQM∽△AOB，
∴MQ：AQ：AM=3：4：5，
∴AM=53MQ，65AM=2MQ，
∴PM+65AM=PM+2MQ，
∵B（0，3），A（4，0），
∴lAB：y=-34x+3，
∴设P（m，-34m2+94m+3），M（m，-34m+3），Q（m，0），
∴PM+2MQ=-34m2+32m+6=-34(m-1)2+274，
∵-34＜0，
∴开口向下，0＜m＜4，
∴当m=1时，PM+65AM的最大值为274，此时P（1，92）；
（3）由y=-34x2+94x+3知，对称轴x=32，
∴P'（2，92），
∵直线l：x=4，
∴抛物线向右平移52个单位，
∴平移后抛物线解析式为y'=-34x2+6x-11716，
设D（4，t），C（c，-34c2+6c-11716），
①AP'与DC为对角线时，
4+2=4+c0+92=t+(-34c2+6c-11716)，
∴c=2t=4516，
∴D（4，4516），
②P'D与AC为对角线时，
2+4=4+c92+t=0+(-34c2+6c-11716)，
∴c=2t=-4516，
∴D（4，-4516），
③AD与P'C为对角线时，
4+4=2+c0+t=92+(-34c2+16c-11716)，
∴c=6t=9916，
∴D（4，9916），
综上：D（4，4516）或（4，-4516）或（4，9916）．
9.解：（1）把A（0，-4），B（4，0）代入y=12x2+bx+c得：
c=-48+4b+c=0，
解得b=-1c=-4，
∴抛物线的函数表达式为y=12x2-x-4；
（2）设直线AB解析式为y=kx+t，把A（0，-4），B（4，0）代入得：
t=-44k+t=0，
解得k=1t=-4，
∴直线AB解析式为y=x-4，
设P（m，12m2-m-4），则PD=-12m2+m+4，
在y=x-4中，令y=12m2-m-4得x=12m2-m，
∴C（12m2-m，12m2-m-4），
∴PC=m-（12m2-m）=-12m2+2m，
∴PC+PD=-12m2+2m-12m2+m+4=-m2+3m-4=-（m-32）2+254，
∵-1＜0，
∴当m=32时，PC+PD取最大值254，
此时12m2-m-4=12×（32）2-32-4=-358，
∴P（32，-358）；
答：PC+PD的最大值为254，此时点P的坐标是（32，-358）；
（3）∵将抛物线y=12x2-x-4向左平移5个单位得抛物线y=12（x+5）2-（x+5）-4=12x2+4x+72，
∴新抛物线对称轴是直线x=-42×12=-4，
在y=12x2+4x+72中，令x=0得y=72，
∴F（0，72），
将P（32，-358）向左平移5个单位得E（-72，-358），
设M（-4，n），N（r，12r2+4r+72），
①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，
∴0-72=-4+r72-358=n+12r2+4r+72，
解得r=12，
∴12r2+4r+72=12×（12）2+4×12+72=458，
∴N（12，458）；
②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合，
∴0-4=-72+r72+n=-358+12r2+4r+72，
解得r=-12，
∴12r2+4r+72=12×（-12）2+4×（-12）+72=138，
∴N（-12，138）；
③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，
∴0+r=-72-472+12r2+4r+72=-358+n，
解得r=-152，
∴12r2+4r+72=12×（-152）2+4×（-152）+72=138，
∴N（-152，138）；
综上所述，N的坐标为：（12，458）或（-12，138）或（-152，138）．
10.解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-3）．
∴1-b+c=0c=-3，
∴b=-2c=-3，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．

由对称性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周长=D1E+EF+D2F，
∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，
令y=0，则x2-2x-3=0，
解得x=-1或3，
∴B（3，0），
∴OB=OC=3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0），
∴D2（1，-3），
∵D，D1关于x轴的长，
∴D1（0，2），
∴D1D2=D2C2+D1C2=52+12=26，
∴△DEF的周长的最小值为26．

（3）∵M到x轴距离为d，AB=4，连接BM．
∴S△ABM=2d，
又∵S△AMN=2d，
∴S△ABM=S△AMN，
∴B，N到AM的距离相等，
∵B，N在AM的同侧，
∴AM∥BN，
设直线BN的解析式为y=kx+m，
则有m=-33k+m=0，
∴k=1m=-3，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
∴设直线AM的解析式为y=x+n，
∵A（-1，0），
∴直线AM的解析式为y=x+1，
由y=x+1y=x2-2x-3，解得x=1y=0或x=4y=5，
∴M（4，5），
∵点N在射线BC上，
∴设N（t，t-3），
过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．

∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），
∴AM=52，AN=(t+1)2+(t-3)2，MN=(t-4)2+(t-8)2，
∵△AMN是等腰三角形，
当AM=AN时，52=(t+1)2+(t-3)2，
解得t=1±21，
当AM=MN时，52=(t-4)2+(t-8)2，
解得t=6±21，
当AN=MN时，(t+1)2+(t-3)2=(t-4)2+(t-8)2，
解得t=72，
∵N在第一象限，
∴t＞3，
∴t的值为72，1+21，6+21，
∴点N的坐标为（72，12）或（1+21，-2+21）或（6+21，3+21）．
11.解：（1）当k=2时，直线为y=2x-3，
由y=2x-3y=-x2得：x=-3y=-9或x=1y=-1，
∴A（-3，-9），B（1，-1）；
（2）当k＞0时，如图：

∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，
∴OB'∥AB，
∴∠OB'B=∠B'BC，
∵B、B'关于y轴对称，
∴OB=OB'，∠ODB=∠ODB'=90°，
∴∠OB'B=∠OBB'，
∴∠OBB'=∠B'BC，
∵∠ODB=90°=∠CDB，BD=BD，
∴△BOD≌△BCD（ASA），
∴OD=CD，
在y=kx-3中，令x=0得y=-3，
∴C（0，-3），OC=3，
∴OD=12OC=32，D（0，-32），
在y=-x2中，令y=-32得-32=-x2，
解得x=62或x=-62，
∴B（62，-32），
把B（62，-32）代入y=kx-3得：
-32=62k-3，
解得k=62；
当k＜0时，过B'作B'F∥AB交y轴于F，如图：

在y=kx-3中，令x=0得y=-3，
∴E（0，-3），OE=3，
∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，
∴OE=EF=3，
∵B、B'关于y轴对称，
∴FB=FB'，∠FGB=∠FGB'=90°，
∴∠FB'B=∠FBB'，
∵B'F∥AB，
∴∠EBB'=∠FB'B，
∴∠EBB'=∠FBB'，
∵∠BGE=90°=∠BGF，BG=BG，
∴△BGF≌△BGE（ASA），
∴GE=GF=12EF=32，
∴OG=OE+GE=92，G（0，-92），
在y=-x2中，令y=-92得-92=-x2，
解得x=322或x=-322，
∴B（322，-92），
把B（322，-92）代入y=kx-3得：
-92=322k-3，
解得k=-22，
综上所述，k的值为62或-22；
（3）直线AB'经过定点（0，3），理由如下：
由y=-x2y=kx-3得：
x=-k-k2+122y=-k2-kk2+12-62或x=-k+k2+122y=-k2+kk2+12-62，
∴A（-k-k2+122，-k2-kk2+12-62），B（-k+k2+122，-k2+kk2+12-62），
∵B、B'关于y轴对称，
∴B'（k-k2+122，-k2+kk2+12-62），
设直线AB'解析式为y=mx+n，将A（-k-k2+122，-k2-kk2+12-62），B'（k-k2+122，-k2+kk2+12-62）代入得：
-k2-kk2+12-62=-k-k2+122m+n-k2+kk2+12-62=k-k2+122m+n，
解得m=k2+12n=3，
∴直线AB'解析式为y=k2+12•x+3，
令x=0得y=3，
∴直线AB'经过定点（0，3）．
12.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（3，0），
∴a-b+2=09a+3b+2=0，
解得：a=-23b=43，
∴该二次函数的表达式为y=-23x2+43x+2；
（2）存在，理由如下：
如图1，当点P在BC上方时，
∵∠PCB=∠ABC，
∴CP∥AB，即CP∥x轴，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∵y=-23x2+43x+2，
∴抛物线对称轴为直线x=-432×(-23)=1，
∵C（0，2），
∴P（2，2）；
当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），
则OD=m，DB=3-m，
∵∠PCB=∠ABC，
∴CD=BD=3-m，
在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，
∴22+m2=（3-m）2，
解得：m=56，
∴D（56，0），
设直线CD的解析式为y=kx+d，则56k+d=0d=2，
解得：k=-125d=2，
∴直线CD的解析式为y=-125x+2，
联立，得y=-125x+2y=-23x2+43x+2，
解得：x1=0y1=2（舍去），x2=225y2=-21425，
∴P（225，-21425），
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（225，-21425）；
（3）由（2）知：抛物线y=-23x2+43x+2的对称轴为直线x=1，
∴E（1，0），
设Q（t，-23t2+43t+2），且-1＜t＜3，
设直线AQ的解析式为y=ex+f，则-e+f=0te+f=-23t2+43t+2，
解得：e=-23t+2f=-23t+2，
∴直线AQ的解析式为y=（-23t+2）x-23t+2，
当x=1时，y=-43t+4，
∴M（1，-43t+4），
同理可得直线BQ的解析式为y=（-23t-23）x+2t+2，
当x=1时，y=43t+43，
∴N（1，43t+43），
∴EM=-43t+4，EN=43t+43，
∴EM+EN=-43t+4+43t+43=163，
故EM+EN的值为定值163．
13.解：（1）把A（-2，0），B（0，4）两点代入抛物线y=ax2+x+c中得：4a-2+c=0c=4
解得：a=-12c=4；
（2）由（2）知：抛物线解析式为：y=-12x2+x+4，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则-2k+b=0b=4，解得：k=2b=4，
∴AB的解析式为：y=2x+4，
设直线DE的解析式为：y=mx，
∴2x+4=mx，
∴x=4m-2，
当x=3时，y=3m，
∴E（3，3m），
∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，
∴12•3•（-3m）=12•4•42-m，
∴9m2-18m-16=0，
∴（3m+2）（3m-8）=0，
∴m1=-23，m2=83（舍），
∴直线DE的解析式为：y=-23x；
（3）存在，
B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：
设P（t，-12t2+t+4），
①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，

∵四边形BPGF是矩形，
∴BP=FG，∠PBF=∠BFG=90°，
∴∠CFG+∠BFO=∠BFO+∠OBF=∠CFG+∠CGF=∠OBF+∠PBH=90°，
∴∠PBH=∠OFB=∠CGF，
∵∠PHB=∠FCG=90°，
∴△PHB≌△FCG（AAS），
∴PH=CF，
∴CF=PH=t，OF=3-t，
∵∠PBH=∠OFB，
∴PHBH=OBOF，即t-12t2+t+4-4=43-t，
解得：t1=0（舍），t2=1，
∴F（2，0）；
②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，

同①可得：NG=FM=3，OF=t-3，
∵∠OFB=∠FPM，
∴tan∠OFB=tan∠FPM，
∴OBOF=FMPM，即4t-3=3-12t2+t+4，
解得：t1=1+2014，t2=1-2014（舍），
∴F（201-114，0）；
综上，点F的坐标为（2，0）或（201-114，0）．
14.（1）解：把O（0，0）代入y=x2+（m-2）x+m-4得：
m-4=0，
解得m=4，
∴y=x2+2x=（x+1）2-1，
∴函数图象的顶点A的坐标为（-1，-1）；
（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y=x2+（m-2）x+m-4的顶点为（2-m2，-m2+8m-204），
∵m＞2，
∴2-m＜0，
∴2-m2＜0，
∵-m2+8m-204=-14（m-4）2-1≤-1＜0，
∴二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；
（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y=x2+bx+c，其顶点为（-b2，4c-b24），
当x=0时，B（0，c），
将（-b2，4c-b24）代入y=-x-2得：
4c-b24=b2-2，
∴c=b2+2b-84，
∵B（0，c）在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴OB=-c=-b2+2b-84，
过点A作AH⊥OB于H，如图：

∵A（-1，-1），
∴AH=1，
在△AOB中，
S△AOB=12OB•AH=12×（-b2+2b-84）×1=-18b2-14b+1=-18（b+1）2+98，
∵-18＜0，
∴当b=-1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为98，
答：△AOB面积的最大值是98．
15.解：（1）∵抛物线y=ax2+32x+c过点A（1，0），C（0，-2），
∴0=a+32+c-2=c，解得：a=12c=-2．
∴抛物线的表达式为y=12x2+32x-2．
设直线AC的表达式为y=kx+b，则
k+b=0b=-2，解得：k=2b=-2．
∴直线AC的表达式为y=2x-2．
（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是：
∵抛物线的表达式为y=12x2+32x-2，
∴点B坐标为（-4，0）．
∵OA=1，OC=2，
∴OAOC=OCOB．
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC～△COB．
∴∠ACO=∠CBO．
∴∠ACO+∠BCO=∠COB+∠BCO=90°，
∴AC⊥BC．
∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，
延长AC至D，使DC=AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，如图1．
又∵∠ACO=∠DCE，
∴△ACO≌△DCE（AAS）．
∴DE=AO=1，则点D横坐标为-1，
∵抛物线的对称轴为直线x=-32．
故点D不在抛物线的对称轴上．
（3）设过点B、C的直线表达式为y=mx+n，
∵C（0，-2），B（-4，0），
∴-2=n0=-4m+n，解得：m=-12n=-2．
∴过点B、C的直线解析式为y=-12x-2．
过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为（1，-52），
过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H，如图2．
设点P坐标为（m，12m2+32m-2），则点N坐标为（m，-12m-2），
∴PN=-12m-2-（12m2+32m-2）=-12m2-2m，
∵PN∥AM，
∴△AQM～△PQN．
∴PQAQ=PNAM．
若分别以PQ、AQ为底计算△BPQ和△BAQ的面积（同高不等底），
则△BPQ与△BAQ的面积比为PQAQ，即S1S2=PQAQ．
∴S1S2=PNAM=-12m2-2m52=-m25-4m5=-15(m+2)2+45．
∵-15＜0，
∴当m=-2时，S1S2的最大值为45，此时点P坐标为（-2，-3）．
16.解：（1）由抛物线C1：y=a（x+2）2-5得，
顶点P的坐标为（-2，-5），
∵点B（1，0）在抛物线C1上，
∴0=a（1+2）2-5，
解得a=59；
（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，

∴∠PHB=∠MGB=90°，
∵点P、M关于点B成中心对称，
∴PM过点B，且PB=MB，PH=MG
∴Rt△PBH≌Rt△MBG（HL），
∴MG=PH=5，BG=BH=3，
∴顶点M的坐标为（4，5），
抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，
∴抛物线C3的表达式为y=-59（x-4）2+5；
（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，
∴顶点N、P关于点Q成中心对称，
由（2）得点N的纵坐标为5，
设点N坐标为（m，5），
作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，
作PK⊥NG于K，

∵旋转中心Q在x轴上，
∴点B与点E是对应点，点A与点F是对应点，
∴EF=AB．
∵点P是抛物线的顶点，
∴AH=BH，
∴BH=3
∴AB=2BH=6
∵点N是抛物线的顶点，
∴FG=EG=12EF=12AB=3
∴点F坐标为（m+3，0）．
H坐标为（-2，0），K坐标为（m，-5），
∵顶点P的坐标为（-2，-5），
根据勾股定理得：
PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，
PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，
NF2=52+32=34，
①当∠PNF=90°时，PN2+NF2=PF2，解得m=443，
∴Q点坐标为（193，0）．
②当∠PFN=90°时，PF2+NF2=PN2，解得m=103，
∴Q点坐标为（23，0）．
③∵PN＞NK=10＞NF，
∴∠NPF≠90°
综上所得，当Q点坐标为（193，0）或（23，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．
17.解：（1）由题意可得：A（-6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8，将A（-6，2）代入，
（-6）2a+8=2，
解得：a=-16，
∴抛物线对应的函数表达式为y=-16x2+8；
（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，-16m2+8），
∴P1P2=P3P4=MN=-16m2+8，P2P3=2m，
∴l=3（-16m2+8）+2m=-12m2+2m+24=-12（m-2）2+26，
∵-12＜0，
∴当m=2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l=-12m2+2m+24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1=n，则P2P3=18-3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18-3n）n=-3n2+18n=-3（n-3）2+27，
∵-3＜0，
∴当n=3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1=3，P2P3=9，
令-16x2+8=3，
解得：x=±30，
∴此时P1的横坐标的取值范围为-30+9≤P1横坐标≤30，
方案二：设P2P1=n，则P2P3=18-2n2=9-n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9-n）n=-n2+n=-（n-92）2+814，
∵-1＜0，
∴当n=92时，矩形面积有最大值为814，
此时P2P1=92，P2P3=92，
令-16x2+8=92，
解得：x=±21，
∴此时P1的横坐标的取值范围为-21+92≤P1横坐标≤21．
18.解：（1）把（3，7.2），（4，5.8）代入y需求=ax2+c，
9a+c=7.2①16a+c=5.8②，
②-①，得7a=-1.4，
解得：a=-15，
把a=-15代入①，得c=9，
∴a的值为-15，c的值为9；
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，
w=x售价-x成本=12t+2-（14t2-32t+3）=-14（t-4）2+3，
∵-14＜0，且1≤t≤7，
∴当t=4时，w有最大值，
答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大；
（3）当y供给=y需求时，x-1=-15x2+9，
解得：x1=5，x2=-10（舍去），
∴此时售价为5元/千克，
则y供给=x-1=5-1=4（吨）=4000（千克），
令12t+2=5，解得t=6，
∴w=-14（t-4）2+3=-14（6-4）2+3=2，
∴总利润为w•y=2×4000=8000（元），
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．