2025年中考数学复习《二次函数综合压轴题》常考热点练习题汇编（含答案）

这是一份2025年中考数学复习《二次函数综合压轴题》常考热点练习题汇编（含答案），共34页。试卷主要包含了综合与探究等内容，欢迎下载使用。
1．如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与一直线相交于A−1，0，C2，3两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

(1)求抛物线及直线AC的函数表达式；
(2)设点M3，m，求使MN+MD的值最小时m的值；
(3)若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，求PQ的最大值．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为−1,0，且OA=OC=5OB，抛物线y=ax2+bx+ca≠0图象经过A，B，C三点．
(1)求A，C两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．
3．如图抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−1,0)，点C(0,3)，且OB=OC．
(1)求抛物线的解析式及其对称轴；
(2)点D、E是直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．
(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0),B(3,0)，与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点B,C重合），连结PB，PC，以PB，PC为边作▱CPBD，点P的横坐标为m．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)当▱CPBD有两个顶点在x轴上时，则点P的坐标为____________；
(3)当▱CPBD是菱形时，求m的值．
(4)当m为何值时，▱CPBD的面积有最大值？
5．二次函数y=ax2+bx+4a≠0的图象经过点A−4,0,B1,0，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在对称轴上是否存在一个点M，使MB+MC的和最小，存在的话，请求出点M的坐标．不存在的话请说明理由．
(3)连接BC，当∠DPB=2∠BCO时，求直线BP的表达式．
6．如图，抛物线y=14x2−32x交x轴正半轴于点A，M是抛物线对称轴上的一点，过点M作x轴的平行线交抛物线于点B，C（B在C左边），交y轴于点D，连结OM，已知OM=5．

（1）求OD的长．
（2）P是第四象限内抛物线上的一点，连结PA，AC，OC，PO．设点P的横坐标为m，四边形OCAP的面积为S．
①求S关于m的函数表达式． ②当∠POC=∠DOC时，求S的值．
7．如图，已知抛物线y=−x2+bx+c经过B−3,0,C0,3两点，与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，求点E的坐标；
(3)设点P为x轴上的一个动点，写出所有使△BPC为等腰三角形的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写出来．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=12x2平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线y=12x2交于点N，且MN=4．
(1)求平移后抛物线的表达式；
(2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由；
(3)抛物线y=12x2上的点A平移后的对应点是点B，BC⊥MN，垂足为点C，如果△ABC是等腰三角形，求点A的坐标．
9．综合与探究
如图，抛物线y=12x2−32x−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．过点A的直线与抛物线在第一象限交于点D5,3．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线AD的函数表达式．
(2)点P是线段AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线AD于点F．试探究是否存在一点P，使线段EF最大．若存在，请求出EF的最大值；若不存在，请说明理由．
(3)若点M在抛物线上，点N是直线AD上一点，是否存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是以BD为边的平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知直线y=34x+3与x轴交于点D，与y轴交于点C，经过点C的抛物线y=−14x2+bx+c与x轴交于A−6，0、B两点，顶点为E．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)连接DE，求tan∠CDE的值；
(3)设P为抛物线上一动点，Q为直线CD上一动点，是否存在点P与点Q，使得以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
11．如图，已知抛物钱经过点A(−1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于点N．若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
(3)在（2）的条件下，连接NB、NC，当m为何值时，△BNC的面积最大，最大面积是多少？
12．如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，顶点为D，其中A1,0，C0,3．直线y=mx+n经过B，C两点．

(1)求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上找一点M，使MA+MC最小，直接写出点M的坐标；
(3)连接BD，CD，求△BCD的面积．
13．抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于点A−2,0和B4,0， 与y轴交于点C， 连接BC． 点P是线段BC下方抛物线上的一个动点(不与点B,C重合)， 过点P作 y轴的平行线交BC于M， 交x轴于N， 设点P的横坐标为t．
(1)求该拋物线的解析式；
(2)用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标；
(3)过点C作CH⊥PN于点H,S△BMN=9S△CHM，
①求点P的坐标；
②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标； 若不存在， 请说明理由．
14．如图，抛物线y=ax2+bx+ca>0交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C．
(1)若A(−1,0),B(3,0),C(0,−3)，
①求抛物线的解析式；
②若点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐标；
(2)若直线y=bx+tt>c与抛物线交于点M、N(点M在对称轴左侧)，直线AM交y轴于点E，直线AN交y轴于点D． 试说明点C是线段DE的中点．
15．如图，二次函数的图象交x轴于点A、点B，其中点B的坐标为，点C的坐标为，过点A、C的直线交二次函数的图象于点D．
(1)求二次函数和直线的函数表达式；
(2)连接，则的面积为________；
(3)在y轴上确定点Q，使得，点Q的坐标为________；
(4)点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值；
(3)M是（1）中抛物线上一点，N是直线上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．（1）解：由抛物线y=−x2+bx+c过点A−1，0，C2，3得
−1−b+c=0−4+2b+c=3，
解得b=2c=3，
∴抛物线为y=−x2+2x+3；
设直线为y=kx+n过点A−1，0，C2，3，得
−k+n=02k+n=3，
解得k=1n=1，
∴直线AC为y=x+1；
（2）解：∵y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴D1,4，
令y=0，则0=−x2+2x+3，
解得x=−1或x=3，即抛物线与x轴的另一个交点为3，0，
作直线x=3，作点D关于直线x=3的对称点D′，
得D′坐标为5，4，如图，

连接ND′交直线x=3于点M，
此时N、M、D′三点共线时，NM+MD′最小，即NM+MD最小，
设直线ND′的关系式为：y=ax+b，
把点N0,3和D′5,4代入得b=35a+b=4，
得a=15，b=3，
∴直线NM的函数关系式为：y=15x+3，
当x=3时，y=185，
∴m=185；
（3）解：如图，

∵PQ⊥x轴交AC于点Q，
∴设Qx，x+1，则Px，−x2+2x+3，
∴PQ=−x2+2x+3−x+1
=−x2+x+2
=−x−122+94，
∵−1