2024年中考数学二次函数常考易错解答题专项训练

这是一份2024年中考数学二次函数常考易错解答题专项训练，共33页。试卷主要包含了已知二次函数，，综合与探究等内容，欢迎下载使用。
(1)每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利________元，可售出棉衣________件（用含x的代数式表示）
(2)若要使销售该棉衣的总利润达到2800元，求x的值．
(3)当每件棉衣降价多少元时，获利最大？最大利润是多少元？
2．2023年12月17日进行的WTT女子总决赛女单决赛中，孙颖莎夺得女单冠军．某商家看准商机，进行乒乓球拍的销售，每副乒乓球拍进价40元．规定销售单价不低于44元，且不高于60元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300副，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10副．
(1)求当每副乒乓球拍的销售单价是多少元时，商家每天获利2640元；
(2)将乒乓球拍的销售单价定为多少元时，商家每天销售乒乓球拍获得的利润元最大？最大利润是多少元？
3．某商场销售一种成本为20元/件的商品，根据市场调查发现：一年内该商品在不同月份的销售单价（元/件）关于月份的函数关系为时，对应各月的销量（件）关于月份的函数关系为．（，且为整数）
(1)2月份该商品销售单价为______元/件，销量为______件；
(2)该商场几月份销售该产品恰好盈利7200元？
(3)请直接写出该商场哪些月份销售该产品当月盈利超过6400元．
4．已知二次函数，
(1)将二次函数的解析式化为的形式；
(2)写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.
5．在平面直角坐标系中，抛物线与交于点．如图，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点,（点在点左侧），求线段的长．
6．如图，在一次羽毛球训练中，运动员甲在地面点的正上方米处的点发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分．当球运动到最高点时，其飞行的水平距离为米，高度为米．在点右侧水平距离米处的点放置一个高米的球网．以点为坐标原点，地面所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）；
(2)通过计算判断此球是否能够过网；
(3)运动员乙站在球网右侧的点处接球（不能触网），乙原地起跳后球拍所能达到的最大高度为米，若乙因接球高度不够而失球，求的取值范围．
7．小红和小琪在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表．小红站在点处，在点处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为抛物线（为常数，）的一部分，小琪恰在点处接住沙包，然后跳起在点处将沙包回传，其运动的路线为抛物线（为常数）的一部分．

(1)求，的值；
(2)若小红在与点的竖直距离不超过的范围内可以直接接到回传的沙包，当时，小红能否接住沙包？请说明理由．
(3)若小红可以接到回传的沙包的范围为与的水平距离不超过，与点的竖直距离不超过的矩形，请直接写出的取值范围．
8．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的一个动点．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)连接，，并将沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积．
9．抛物线 与轴交于 两点（点 在点 左侧），与 轴负半轴交于点 .

(1)如图1，当 时，连接 ，试判断 的形状，并求 的面积；
(2)如图2，当时，点 为 间抛物线上任意一点（点 不与 重合），直线 分别交 轴于 ,两点，点 在运动过程中，是否存在固定的值，使 成立，若存在求出 值，若不存在，请说明理由.
10．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C、D在抛物线上，，当时，．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
11．图1是山西晋城丹河大桥，位处太行山脉南端，桥梁栏杆上有多幅与历史文化有关的石雕图画，体现了现代与传统文明的完美结合．丹河大桥拱桥桥洞的形状呈抛物线形，现以水面为x轴，拱桥左侧与水面的交点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知水面的宽度为米，拱桥离水面的最大高度为米．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若要在桥洞两侧壁上距离水面米的点B和点C处各安一盏景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离．
12．施工队要修建一个横断面为抛物线形的公路隧道，其高度为米，宽度为米，现在点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系（如图1）．
(1)直接写出点及抛物线顶点的坐标；
(2)求这条抛物线的解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽，高的特种车辆？请通过计算说明．
(4)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使、点在抛物线上，、点在地面线上，如图为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆，，的长度和的最大值是多少？请帮施工队计算一下．
13．如图，抛物线与x轴交于点，点B，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点．
(1)求抛物线所对应的函数解析式；
(2)如图1，点M是抛物线上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接，若，求m的值；
(3)如图2，将抛物线平移后得到顶点为B的抛物线．点P为抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与全等时，请直接写出点P的坐标．
14．某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置（如图），喷水能力最强，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间满足二次函数关系式．
(1)求水流喷出的最大高度是多少米？此时，最高处离喷水装置的水平距离为多少米？
(2)现若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置多少米处，才不会被喷出的水流击中？
15．（1）已知抛物线经过原点O，其顶点P的坐标为．求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若抛物线与x轴交于另一点E，过O，E两点作开口向下的抛物线，设其顶点为Q（点Q在点P的下方），线段的垂直平分线与抛物线相交于M，N两点，若四边形的面积为时，求抛物线的函数表达式；
（3）如图2，将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，且与y轴正半轴，x轴正半轴分别交于A，B两点，连接，过点P作轴于点，在直线上有一点C，坐标平面内有一点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的D点的坐标：______．
16．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蓅菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系．如图，已知抛物线的顶点为，请回答下列问题：
(1)求该拋物线的表达式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个大小一样的正方形孔的排气装置，（，，，在线段上，，在抛物线上），若要保证两个正方形装置的间距，求正方形排气装置的边长的长．（结果保留根号）
参考答案：
1．(1)；
(2)
(3)当每件棉衣降价元时，获利最大，最大利润是元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列代数式：
（1）用50减去降价的钱数即可求出现在的利润，根据每件棉衣每下降1元，则可多售出2件即可求出可售出棉衣的数量；
（2）根据利润每件棉衣获利棉衣数量列出方程求解即可；
（3）设所获利润为W，根据利润每件棉衣获利棉衣数量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利元，可售出棉衣件，
故答案为：；．
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或，
∵要尽快清仓，
∴；
（3）解：设所获利润为W，
由题意得，
，
∵，
∴当时，W有最大值，
∴当每件棉衣降价元时，获利最大，最大利润是元．
2．(1)52元
(2)当每销售单价定为57元时,利润最大，最大利润是2890元
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用与二次函数的实际应用，根据题意正确列出一元二次方程与二次函数是关键．
（1）设每副乒乓球拍的销售单价上涨元，根据一副乒乓球拍的利润与每天的销售数量之积等于每天利润，列出方程即可求解；
（2）根据利润等于一副乒乓球拍的利润与每天的销售数量之积列出函数式，求出最大值及每副乒乓球拍的售价．
【详解】（1）解：设每副乒乓球拍的销售单价上涨元，根据题意，得
，
解得．
销售单价不高于60元，
而时，（元），不合题意，
．
答：当每副乒乓球拍的销售单价是52元时，商家每天获利2640元；
（2）解：根据题意，得
．
，二次函数图像开口向下，对称轴为直线，
当时，最大，最大值为2890．
,
当每副乒乓球拍的销售单价定为57元时，商家每天销售乒乓球拍获得的利润最大，最大利润是2890元．
3．(1)36；400；
(2)4
(3)3月，4月，5月
【分析】本题考查二次函数图像及性质，二元一次方程的实际应用，利用自变量值求函数值．
（1）将分别代入和中即可得到；
（2）根据题意列式求解即可；
（3）根据题意列出方程求解再利用二次函数图像性质即可得到本题答案．
【详解】（1）解：根据题意：
将分别代入和中得：
，；
（2）解：根据题意列方程为：
，即：
，
整理得：，
∴，
答：该商场4月份销售该产品恰好盈利7200元；
（3）解：该商场盈利元，
根据题意得：，
根据题意令，即，
∴解得：，
∵当月盈利超过6400元，抛物线，
∴当时，当月盈利超过6400元，
综上所述：该商场3，4，5月份销售该产品当月盈利超过6400元．
4．(1)；
(2)二次函数图像的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是．
【分析】本题主要考查了将二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图像与性质等知识点，掌握用配方法把函数解析式化成顶点式是解题关键．
（1）根据配方法将二次函数的一般式化为顶点式即可；
（2）根据（1）中的顶点式解析式即可解答．
【详解】（1）解：
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴该二次函数图像的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是．
5．16
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；设抛物线的两对称轴从左往右交于点E、F，则，而的长是两抛物线对称轴间的距离，由此即可求解．
【详解】解：设抛物线的两对称轴从左往右交于点E、F，如图；
∵抛物线与的对称轴分别为直线与直线，
∴这两对称轴间的距离为，即；
由抛物线的对称性知：，
∴．
6．(1)；
(2)此球能过网，理由见解析；
(3)．
【分析】（）设抛物线解析式为，将点代入可得出的值，继而得出抛物线解析式；
（）令，求出的值与比较即可；
（）先计算出刚好接到球时的值，，从而结合所给图形可得出运动员接球高度不够的取值范围；
本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解题的关键是熟练掌握二次函数图象与性质．
【详解】（1）根据题意设抛物线解析式为，
将点代入可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）此球能过网，理由：
当时，，
∵，
∴此球能过网；
（3）若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球，此时，
解得：，，
∵运动员接球高度不够，
∴，
∵，乙运动员接球时不能触网，
∴的取值范围为．
7．(1)，
(2)小红不能接住沙包，详见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数的实际应用．
（1）将点代入，求出的值，令，求出的值，即为的值；
（2）把代入，求出值，根据题意，进行判断即可；
（3）根据题意得到小红能接到红包的最低点为：，最高点为，分别求出此时的值，即可得出结果．
读懂题意，正确的计算，是解题的关键．
【详解】（1）解：把点代入，得：，
解得：，
∴，
当时，，即：；
（2）小红不能接到沙包；理由如下：
∵小红在与点的竖直距离不超过的范围内可以直接接到回传的沙包，
∴，
∴；
当时：，
∵，
∴小红不能接到沙包；
（3）∵小红可以接到回传的沙包的范围为与的水平距离不超过，与点的竖直距离不超过的矩形，
∴，，即：，，
由题意，得：小红能接到红包的最低点为：，最高点为，
当经过时：，解得：；
当经过时：，解得：；
∴的范围为：．
8．(1)，，
(2)存在，
(3)，32
【分析】(1) 当时，．当时，．计算求解即可．
(2) 根据菱形的判定，建立等式求解即可．
(3)设点P的坐标为，分割法表示出四边形的面积，构造关于m的二次函数，利用抛物线的最值思想计算即可．
本题考查了抛物线与坐标轴的交点，菱形的判定，构造二次函数求最值．
【详解】（1）当时，．解得，．
∵点A在点B的左侧，
∴点A，B的坐标分别是，．
当时，．
∴点C的坐标是．
（2）如图1，假设抛物线上存在点P，使四边形为菱形，连接交CO于点D．
∵四边形为菱形，
∴，且．
∴，即P点的纵坐标为．
由，得
，（不合题意，舍去）．
所以存在这样的点，此时点P的坐标为．
（3）连接PO，作同于点M，轴于点N．
设点P的坐标为，
∵点A，B，C的坐标分别是，，，
∴，，，，．
∴
∴当时，．
此时点P坐标为．
∴当点P运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32．
9．(1)是直角三角形，
(2)存在固定的值，，使 成立. 理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、二次函数图象上点的坐标特征等知识．
（1）当时，首先可得出点的坐标，利用勾股定理逆定理可得出的形状；
（2）首先求得点的坐标，设直线的解析式，直线的解析式为，可得，将直线解析式代入抛物线解析式得出关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得，，结合，可得出关于t的方程，解答即可得出结论．
【详解】（1）当 时，抛物线解析式为 ,
令 ，即有 ，解得 ,
点在点 左侧，
. ,
令 ，则有 ,
.,
,
,
,
,
直角三角形；
（2）存在固定的值，使 成立. 理由如下：
对于抛物线 ,令 ，可有 ,
解得 ,
,
令 ，则 ,
，
设直线 的解析式为 ,直线 的解析式为 ,
点 ,
,
.
,
①，
同理，②，
有，可得,
,
,
,解得 ．
10．(1)抛物线所对应的函数表达式为：
(2)时，矩形的周长有最大值，最大值是13
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次根式与特殊四边形的综合、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）先确定点C的坐标，然后运用待定系数法求解即可；
（2）先确定点，则，然后用t表示出矩形的周长，最后根据二次函数的性质求最值即可解答．
【详解】（1）解：设抛物线所对应的函数表达是为：
当时，，则，
将O、C、E三点坐标代入函数表达式得：
，解得：，
故抛物线所对应的函数表达式为： ．
（2）解：由（1）得：抛物线表达式为：，
则，，，
∵，
∴，则，
设矩形的周长为C，
∴，化简得：
∵．
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值是13．
11．(1)
(2)两盏景观灯之间的水平距离为米
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的解析式．熟练掌握二次函数的应用，二次函数的解析式是解题的关键．
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设该抛物线的表达式为，然后将原点代入，计算求解，然后作答即可；
（2）令，则，计算求解，可求坐标，进而可求的长．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为．
设该抛物线的表达式为．
抛物线经过原点，
，
解得，
该抛物线的表达式为；
（2）解：令，则．
解得，．
∴，．
∴；
答：两盏景观灯之间的水平距离为米．
12．(1)点，顶点
(2)，
(3)能行驶特种车辆，见解析
(4)三根木杆，，的长度和的最大值是
【分析】本题考查了二次函数的应用；
（1）根据题意，可得点及抛物线顶点的坐标；
（2）待定系数法求解析式即可求解；
（3）由题知，靠近隔离带的一侧离原点为当时，，而，即可得出结论；
（4）设，则，根据矩形的性质得出，，设，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为米，宽度为米，现在点为原点，
∴点，顶点
（2）设抛物线的解析式为．
把点，点代入得：
解得
∴抛物线的解析式为
答：自变量x的取值范围为：．
（3）由题知，靠近隔离带的一侧离原点为．

当时，
∵
∴能行驶特种车辆．
（4）如图2，设，则
∵四边形是矩形
∴，
设，则
∴
∵
∴当时，l有最大值为．
答：三根木杆的长度和的最大值是20m．
13．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先利用待定系数法求得直线的解析式，进而求得设直线的解析式，再和抛物线联立方程组求解即可；
（3）先求得,进而求得平移后抛物线的解析式，设，则，，分当P在Q点上方时和当点P在Q点下方时两种情况，利用全等三角形的性质和坐标与图形性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得．
抛物线所对应的函数解析式为；
（2）解：当时，，
∴ ，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
如图1，当M点在x轴上方时，
∵，
∴，
则设直线的解析式为，
∵直线经过点C，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
解得：，（舍去），
∴；
（3）解：∵抛物线的图象过点，对称轴为直线，
∴,
∵抛物线平移后得到，且顶点为点B，
∴，
即．
设，则，
由题意，点Q、R关于抛物线的对称轴对称，且对称轴为直线，
∴，
①如答图2，当P在Q点上方时，
，，
∵与全等，，，，
∴当且时，且，则，
∴，；
当且时，且，无解；
②如答图3，当点P在Q点下方时，
同理：，，
当且时，且，则，
∴，；
当且时，且，无解；
综上可得P点坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、坐标与图形、全等三角形的性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键．
14．(1)最大高度为，且最高处离喷水装置的水平距离为米
(2)花盆需至少离喷水装置有3.5米处
【分析】本题考查二次函数的顶点式，以及二次函数的应用，理解题意是关键．
（1）将化为顶点式，顶点坐标，故最大高度为，最高处离喷水装置的水平距离为米；
（2）由，求出时x的值即可．
【详解】（1）解：由化为顶点式可得：，
∴顶点为：，
，
∴开口向下，
故最大高度为，且最高处离喷水装置的水平距离为米；
（2）由（1）知该函数顶点式为：，
∴若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，
∴只需求时即可，
，
解得：或（舍），
，
∴花盆需至少离喷水装置有米处．
15．（1）；（2）；（3）或或或
【分析】（1）设抛物线的解析式为：，将点代入即可求解；
（2）根据题意可得轴，，，；是方程的两个实数根，结合根与系数的关系可得；根据四边形的面积即可求出点的坐标，从而可求抛物线的函数表达式；
（3）根据题意求出抛物线的表达式为：，进而可得的坐标，设，设点，分类讨论三种情况即可求解．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为：，
将点代入得：，
解得：，
∴；
（2）如图所示：
∵为过O，E两点的抛物线，且其顶点为，
则轴，
∴，，
∵线段的垂直平分线与抛物线相交于M，N两点，
∴，
令，
即：，则是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∵四边形的面积，
解得：，
∴，
设抛物线的函数表达式为：，
将点代入得：，
解得：，
∴物线的函数表达式为：；
（3）由题意得：抛物线的表达式为：，
令，则；
令，则；
∴，
∵在直线上有一点C，
∴设，
设点，
则：，
时，，
∴，
解得：，
∴，
此时，
∴；
，，
∴，
解得：，
∴，
此时，
∴；
，，
∴，
解得：或，
∴或，
此时或
∴或；
综上所述，或或或，
故答案为：或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了解析式的求解、二次函数图象的性质、面积问题、特殊四边形的存在性温题，掌握二次函数的相关性质是解题关键．
16．(1)该抛物线的表达式为；
(2)正方形排气装置的边长的长为．
【分析】根据题意求出点坐标，设抛物线解析式为，将点坐标代入即可求得，从而得到抛物线解析式；
设长为，根据题意可得，由于在抛物线上，将其坐标代入抛物线解析式即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
依题得：，
将代入中可得，
解得，
故抛物线表达式为．
（2）解：依题意得，、关于轴对称，
四边形、四边形均为正方形，且大小相等，
设长为，
，
，
又四边形是矩形，且，
，
在抛物线上，
，
解得，（舍去），
故正方形排气装置的边长的长为．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值、一元二次方程的解、矩形的性质、正方形性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．