苏科版七年级数学下册举一反三专题13.2期中期末专项复习之幂的运算十六大必考点特训(原卷版+解析)

这是一份苏科版七年级数学下册举一反三专题13.2期中期末专项复习之幂的运算十六大必考点特训(原卷版+解析)，共39页。

专题13.2 幂的运算十六大必考点【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc17395" 【考点1 同底数幂相乘】  PAGEREF _Toc17395 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5978" 【考点2 同底数幂乘法的逆用】  PAGEREF _Toc5978 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc25135" 【考点3 幂的乘方运算】  PAGEREF _Toc25135 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc4480" 【考点4 幂的乘方的逆用】  PAGEREF _Toc4480 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc30544" 【考点5 积的乘方】  PAGEREF _Toc30544 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc16648" 【考点6 积的乘方的逆用】  PAGEREF _Toc16648 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc12058" 【考点7 同底数幂的除法】  PAGEREF _Toc12058 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc3365" 【考点8 同底数幂的除法的逆用】  PAGEREF _Toc3365 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc7277" 【考点9 零指数幂的运用】  PAGEREF _Toc7277 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc19407" 【考点10 负整数指数幂的运用】  PAGEREF _Toc19407 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc22957" 【考点11 用科学记数法表示绝对值小于1的数】  PAGEREF _Toc22957 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc243" 【考点12 还原用科学记数法表示的小数】  PAGEREF _Toc243 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc27050" 【考点13 利用幂的运算进行比较大小】  PAGEREF _Toc27050 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc24669" 【考点14 幂的混合运算】  PAGEREF _Toc24669 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc17519" 【考点15 利用幂的运算进行简便计算】  PAGEREF _Toc17519 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc28584" 【考点16 幂的运算中的新定义问题】  PAGEREF _Toc28584 \h 7【考点1 同底数幂相乘】【例1】（2022秋·福建南平·八年级统考期中）已知2x=8，2y=5，2z=40那么下列关于x，y，z之间满足的等量关系正确的是（    ）A．x+y=z B．xy=z C．2x+y=z D．2xy=z 【变式1-1】（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）计算：−a·−a2·−a3·−a4·−a5=____________【变式1-2】（2022秋·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考期中）若(2020×2020×…×2020共2020个)×(2020+2020+…+2020共2020个)=2020n，则n＝（    ）A．2022 B．2021 C．2020 D．2019【变式1-3】（2022春·山东泰安·六年级统考期中）已知2a=5,2b=3.2,2c=6.4,2d=10，则a+b+c+d的值为_______．【考点2 同底数幂乘法的逆用】【例2】（2022秋·内蒙古赤峰·八年级校考期中）若x=2n+2n+1，y=2n+2+2n+3其中n为整数，则x与y的数量关系为（    ）A．x=4y B．y=4x C．x=12y D．y=12x【变式2-1】（2022春·山东济南·七年级统考期中）若3x=12，3y=4，则3x+y=____．【变式2-2】（2022春·陕西西安·七年级高新一中校考期中）已知2x+y−4=0，则4x⋅2y的值是______．【变式2-3】（2022春·上海杨浦·六年级期中）阅读理解：①根据幂的意义，an表示n个a相乘；则am+n=am⋅an；②an=m，知道a和n可以求m，我们不妨思考；如果知道a，m，能否求n呢？对于an=m，规定[a，m]=n，例如：62=36，所以[6，36]=2．记[5，x]=4m，[5，y−3]=4m+2；y与x之间的关系式为__．【考点3 幂的乘方运算】【例3】（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）已知2a=3，2b=27，求ba的值【变式3-1】（2022春·山东泰安·六年级统考期末）计算(−0.125)2022×26066的结果是（    ）A．1 B．－1 C．8 D．－8【变式3-2】（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）（1）已知am=3,an=4，求a2m+3n的值；（2）已知9n+1−9n=72，求n的值．【变式3-3】（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）已知，有一组不为零的数 a，b，c，d，e，f，m，满足ab=cd=ef=m，求  解：∵a=bm，c=md，e=fm∴ a+c+eb+d+f=bm+dm+fmb+d+f=m利用数学的恒等变形及转化思想，试完成：（1）244，333，422的大小关系是________；    （2）已知 a，b，c 不相等且不为零，若aba+b=13,cbc+b=14,aca+c=15，求 abcab+bc+ac的值．【考点4 幂的乘方的逆用】【例4】（2022春·江苏泰州·七年级统考期末）若m，n均为正整数，且 2m−1×4n=32，则m+n的所有可能值为________．【变式4-1】（2022春·江西吉安·七年级统考期末）若3×9m×27m=311，求m的值．【变式4-2】（2022秋·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）已知4x=25y=10，则x−1y−1+xy+2005的值__________．【变式4-3】（2022春·上海·六年级上海同济大学附属存志学校校考期末）已知2a=8b=64c，求代数式a−b−ca+b+c的值．【考点5 积的乘方】【例5】（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）计算：−3x23+−5x2⋅x4．【变式5-1】（2022秋·湖北荆州·八年级沙市一中校考期中）计算：−0.1255×−216=（    ）A．1 B．-1 C．2 D．-2【变式5-2】（2022春·江苏无锡·七年级校联考期末）已知（x2+y）2=11024 ，（12）2x=116，求（12）4y 的值．【变式5-3】（2022·浙江杭州·七年级期末）阅读下列各式：(a⋅b)2=a2b2, (a⋅b)3=a3b3, (a⋅b)4=a4b4⋯⋯回答下列三个问题：①验证：2×12100=_________，2100×12100=___________；②通过上述验证，归纳得出：(a⋅b)n=_________；(a⋅b⋅c)n=________；③请应用上述性质计算：(−0.125)2019×22018×42017【考点6 积的乘方的逆用】【例6】（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）已知3x+1⋅5x+1=152x−3，则x=________．【变式6-1】（2022秋·上海·七年级期末）如果2a=3，3a=5，那么12a−6a=_________.【变式6-2】（2022秋·河北邯郸·七年级统考期末）计算（﹣2.5）2015×（﹣4）2016÷（﹣10）2015=_____．【变式6-3】（2022春·江苏常州·七年级校考期中）已知6x=192，32y=192，则（-2019）（x-1）（y-1）-1=_____.【考点7 同底数幂的除法】【例7】（2022春·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考期中）①若3×27n÷9＝320，则n＝_____；②﹣（2y﹣x）4÷（x﹣2y）3＝_____．【变式7-1】（2022秋·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期中）已知am=−3，an=2，则a3m−2n=______．【变式7-2】（2022春·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考期中）已知3a=2、3b=5、3c=409，那么a、b、c之间满足的等量关系是_____．【变式7-3】（2022春·河南郑州·七年级校考期中）已知4m+3⋅8m+1÷24m+7=32，求m的值．【考点8 同底数幂的除法的逆用】【例8】（2022秋·浙江台州·八年级台州市书生中学校考期中）已知10a=20，100b=50，则2a+4b−3的值是（    ）A．9 B．5 C．3 D．6【变式8-1】（2022春·河北邯郸·七年级统考期中）已知xa=3，xb=4，则x3a-2b的值是（          ）A．278 B．2716 C．11 D．19【变式8-2】（2022秋·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）已知2x−3y−2=0，则9x÷27y的值为________．【变式8-3】（2022秋·重庆万州·八年级重庆市万州新田中学校考期中）（1）已知5x=36，5y=2，求5x−2y的值．（2）已知x2n=2，求3x3n2−4x22n的值．【考点9 零指数幂的运用】【例9】（2022春·安徽宣城·七年级校联考期中）计算：−22+−12−1+π30−38．【变式9-1】（2022秋·陕西渭南·八年级统考期末）计算120−23=______．【变式9-2】（2022春·山东烟台·六年级统考期中）下列运算正确的是（    ）A．(−π)0=0 B．x4x5=x20 C．ab23=a3b5 D．2a2a−1=2a【变式9-3】（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）已知x−3x−2=1，则x=______．【考点10 负整数指数幂的运用】【例10】（2022春·河北保定·七年级保定市第十七中学校考期中）已知2x+3×3x+3=36x+1，那么2022−x的值是（    ）A．2022 B．1 C．−12022 D．12022【变式10-1】（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）若3×9−m×27m=34，则m的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【变式10-2】（2022春·六年级期中）在①−x5⋅(−x)2；②−(−x)6⋅(1x)−4；③−(−x2)3⋅(x3)2；④[−(−x)2]5中，计算结果是−x10的是（   ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式10-3】（2022春·安徽滁州·七年级校考期中）如果a=(−2019)0,b=(−0.1)−1,c=(−53)−2，那么a,b,c三数的大小为（  ）A．a>b>c B．c>a>b C．a>c>b D．c>b>a【考点11 用科学记数法表示绝对值小于1的数】【例11】（2022春·山东枣庄·七年级校考期中）面对国外对芯片技术的垄断，我国科学家奋起直追，2020年11月26号，上海微电子宣布由我国独立研发的光刻机为光源完成了22nm的光刻水准，1nm＝1.0×10﹣9m，用科学记数法表示22nm，则正确的结果是（　　）A．22×10﹣9m B．22×10﹣8m C．2.2×10﹣8m D．2.2×10﹣10m【变式11-1】（2022秋·浙江宁波·七年级宁波市第十五中学校考期中）新型冠状病毒体积很小，这种病毒外直径大概在0.00000 011米，则0.00000011这个数字可用科学记数法表示为（　　）A．1.1×10−6 B．1.1×10−7 C．1.1×10−8 D．0.11×10−8【变式11-2】（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为62微米（1微米=0.000001米）．将62微米用科学记数法表示为（    ）A．0.62×10−5米 B．6.2×10−6米 C．6.2×10−5米 D．62×10−6米【变式11-3】（2022春·辽宁朝阳·七年级统考期中）“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢）已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏（Schwarzschild）半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体——黑洞．施瓦氏半径（单位：米）的计算公式是R=2GMc2，其中G=6.67×10−11 牛·米2/千克2，为万有引力常数；M表示星球的质量（单位：千克）；c=3×108米/秒，为光在真空中的速度．已知太阳的质量为2×1030千克，则可计算出太阳的施瓦氏半径为（     ）A．2.96×102米 B．2.96×103米C．2.96×104米 D．2.96×105米【考点12 还原用科学记数法表示的小数】【例12】（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）某种细胞的直径约为0.0…08米．将0.0…08米用科学记数法表示为8×10−6米，则原数中小数点后“0”的个数为（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【变式12-1】（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）某H品牌手机上使用5nm芯片，1nm＝0.0000001cm，则5nm用科学记数法表示为（    ）A．50×10−8cm B．0.5×10−7cm C．5×10−7cm D．5×10−8cm【变式12-2】（2022秋·广西贵港·八年级统考期中）世界上最小的开花结果的植物的果实像一个微小的无花果，其质量只有7.6×10﹣8g．将7.6×10﹣8用小数表示为 _____．【变式12-3】（2022春·海南海口·八年级校联考期末）下列哪一个数值最小（    ）A．9.5×10−9 B．2.5×10−9 C．9.5×10−8 D．2.5×10−8【考点13 利用幂的运算进行比较大小】【例13】（2022·福建省罗源第二中学八年级期中）若a＝3555，b＝4444 ，c＝5333，比较a、b、c的大小（   ）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【变式13-1】（2022·江苏·江阴市华士实验中学七年级期中）阅读下列材料:若a3=2,b5=3，则a，b的大小关系是a_____ b (填“<”或“>”).解:因为a15=a35=25=32,b15=b53=33=27,32>27，所以a15>b15，所以a>b.解答下列问题:(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_ A．同底数幂的乘法      B．同底数幂的除法         C．幂的乘方      D．积的乘方(2)已知x5=2,y7=3，试比较x与y的大小．【变式13-2】（2022·内蒙古·赤峰市松山区大庙中学八年级期中）阅读探究题：．【阅读材料】比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：25>23，55>45在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325，解：2710=3310=330，∵30>25，∴330>325[类比解答]比较254，1253的大小．[拓展拔高]比较3555，4444，5333的大小．【变式13-3】（2022·河北石家庄·七年级期中）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac (a≠1)，当b>c时，则有ab>ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程](1)比较大小：520______420，961______2741；（填“>”、“<”或“=”）(2)比较233与322的大小；(3)比较312×510与310×512的大小．【考点14 幂的混合运算】【例14】（2022·福建漳州·七年级期中） 计算(1) (m−n)2⋅(n−m)3⋅(n−m)4  (2) (b2n)3(b3)4n÷(b5)n+1(3) (a2)3−a3⋅a3+(2a3)2 (4) (−4am+1)3÷[2(2am)2⋅a]【变式14-1】（2022·陕西西安·七年级期中）计算：2x3⋅x52+−x2⋅−x23⋅x24．【变式14-2】（2022·重庆市第十一中学校七年级期中）计算：(1)x⋅x2⋅x3+(x2)3−2(x3)2；(2)(−4am+1)3+[2(2am)2⋅a]．【变式14-3】（2022·黑龙江·巴彦县第一中学八年级期中）计算：（1）x2⋅x4+x32−5x6    （2）−2a6−−3a32+−2a23【考点15 利用幂的运算进行简便计算】【例15】（2022·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级期中）计算0.25100×−12101×8101=_________．【变式15-1】（2022·湖南怀化·七年级期中）计算（﹣0.25）2022×42021的结果是（    ）A．﹣1 B．1 C．0.25 D．44020【变式15-2】（2022·上海杨浦·七年级期中）用简便方法计算：−35×(−23)5×(−5)6【变式15-3】（2022·福建·泉州市第九中学八年级期中）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb，根据上述材料，回答下列问题．(1)比较大小：520_________420 （填写>、<或=）．(2)比较233与322的大小（写出比较的具体过程）．(3)计算42021×0.252020−82021×0.1252020．【考点16 幂的运算中的新定义问题】【例16】（2022·山东省青岛第五十一中学七年级期中）阅读材料：定义：如果10a=n，那么称a为n的劳格数，记为a=dn，例如：102=100，那么称2是100的劳格数，记为2=d100．填空：根据劳格数的定义，在算式a=d1000中，______相当于定义中的n，所以d1000=______；直接写出d10−8=______；探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程若a、b、m、n均为正数，且10a=p，10b=q，根据劳格数的定义：dp=a，dq=______，∵10a⋅10b=pq∴10a+b=pq，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n，∴dpq=______，即dpq=dp+dq，请你把数学研究小组探究过程补全拓展：根据上面的推理，你认为：dmn=______．【变式16-1】（2022·北京·清华附中八年级期中）定义一种新运算a，b，若ac=b，则a，b=c，例2，8=3，3，81=4．若3，5+3，7=3，x，则x的值为______．【变式16-2】（2022·江苏连云港·七年级期中）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋅⋅⋅+22020+22021的值，采用以下方法：设S=1+2+22+⋅⋅⋅+22020+22021①则2S=2+22+⋅⋅⋅+22021+22022②②−①得，2S−S=S=22022−1．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）2+22+⋅⋅⋅+220=______；（2）求1+12+122+⋅⋅⋅++1250=______；（3）求−2+−22+⋅⋅⋅+−2100的和；（请写出计算过程）（4）求a+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan的和（其中a≠0且a≠1）．（请写出计算过程）专题13.2 幂的运算十六大必考点【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc19159" 【考点1 同底数幂相乘】  PAGEREF _Toc19159 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc22548" 【考点2 同底数幂乘法的逆用】  PAGEREF _Toc22548 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc27678" 【考点3 幂的乘方运算】  PAGEREF _Toc27678 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc27250" 【考点4 幂的乘方的逆用】  PAGEREF _Toc27250 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc14098" 【考点5 积的乘方】  PAGEREF _Toc14098 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc21898" 【考点6 积的乘方的逆用】  PAGEREF _Toc21898 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc7047" 【考点7 同底数幂的除法】  PAGEREF _Toc7047 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc6674" 【考点8 同底数幂的除法的逆用】  PAGEREF _Toc6674 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc20194" 【考点9 零指数幂的运用】  PAGEREF _Toc20194 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc31055" 【考点10 负整数指数幂的运用】  PAGEREF _Toc31055 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc20702" 【考点11 用科学记数法表示绝对值小于1的数】  PAGEREF _Toc20702 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc29021" 【考点12 还原用科学记数法表示的小数】  PAGEREF _Toc29021 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc22352" 【考点13 利用幂的运算进行比较大小】  PAGEREF _Toc22352 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc22613" 【考点14 幂的混合运算】  PAGEREF _Toc22613 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc24858" 【考点15 利用幂的运算进行简便计算】  PAGEREF _Toc24858 \h 27 HYPERLINK \l "_Toc30204" 【考点16 幂的运算中的新定义问题】  PAGEREF _Toc30204 \h 29【考点1 同底数幂相乘】【例1】（2022秋·福建南平·八年级统考期中）已知2x=8，2y=5，2z=40那么下列关于x，y，z之间满足的等量关系正确的是（    ）A．x+y=z B．xy=z C．2x+y=z D．2xy=z 【答案】A【分析】由2z=40可得：2z=5×8，则可得到2z=2x×2y，即可得到结论；【详解】∵2x=8，2y=5，2z=40，∴2z=5×8，2z=2x×2y，∴2z=2x+y，∴z=x+y；故选A．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，解答的关键是对同底数幂的乘法的运算法则的掌握与灵活运用．【变式1-1】（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）计算：−a·−a2·−a3·−a4·−a5=____________【答案】−a15【分析】根据同底数幂乘法法则进行计算：底数不变，指数相加．【详解】−a·−a2·−a3·−a4·−a5=−a1+2+3+4+5=−a15=−a15故答案为：−a15【点睛】考核知识点：同底数幂乘法．掌握同底数幂乘法法则是关键．【变式1-2】（2022秋·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考期中）若(2020×2020×…×2020共2020个)×(2020+2020+…+2020共2020个)=2020n，则n＝（    ）A．2022 B．2021 C．2020 D．2019【答案】A【分析】2020个2020相乘，可以写成20202020，2020个2020相加，可以写成2020×2020=20202，计算即可得到答案．【详解】∵2020×2020×⋯×2020=202020202020，2020+2020+⋯+20202020=2020×2020=20202，∴原式左边=20202020×20202=20202022，即2020n=20202022，∴n=2022．故选：A．【点睛】本题考查了乘方的意义，以及同底数幂的乘法运算．注意：求n个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．【变式1-3】（2022春·山东泰安·六年级统考期中）已知2a=5,2b=3.2,2c=6.4,2d=10，则a+b+c+d的值为_______．【答案】10【分析】利用同底数幂的乘法法则进行计算，可得到结果．【详解】解：∵2a×2b×2c×2d=2a+b+c+d，5×3.2×6.4×10=1024=210，∴2a+b+c+d=210，∴a+b+c+d=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂乘法运算法则（底数不变，指数相加）是解决本题的关键．【考点2 同底数幂乘法的逆用】【例2】（2022秋·内蒙古赤峰·八年级校考期中）若x=2n+2n+1，y=2n+2+2n+3其中n为整数，则x与y的数量关系为（    ）A．x=4y B．y=4x C．x=12y D．y=12x【答案】B【分析】先将y变形为22×(2n+2n+1)，进而可得答案．【详解】解：因为y=2n+2+2n+3=2n⋅22+2n+1⋅22=22×(2n+2n+1)，x=2n+2n+1所以y=22⋅x=4x．故选：B．【点睛】本题考查了幂的运算性质，正确变形、熟练掌握同底数幂的逆运算法则是解题的关键．【变式2-1】（2022春·山东济南·七年级统考期中）若3x=12，3y=4，则3x+y=____．【答案】48【分析】根据同底数幂乘法的逆运算求解即可．【详解】解：∵3x=12，3y=4，∴3x+y=3x×3y=12×4=48．故答案为：48．【点睛】本题主要考查了代数式求值以及同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂乘法的逆运算的运算法则是解题关键．【变式2-2】（2022春·陕西西安·七年级高新一中校考期中）已知2x+y−4=0，则4x⋅2y的值是______．【答案】16【分析】由已知条件可得2ｘ+y=4,再利用同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．【详解】解：∵2x+y-4=0, ∴2x+y=4, 4x·2y=22x·2y=22x+y=24=16 ． 故答案为：16．【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．【变式2-3】（2022春·上海杨浦·六年级期中）阅读理解：①根据幂的意义，an表示n个a相乘；则am+n=am⋅an；②an=m，知道a和n可以求m，我们不妨思考；如果知道a，m，能否求n呢？对于an=m，规定[a，m]=n，例如：62=36，所以[6，36]=2．记[5，x]=4m，[5，y−3]=4m+2；y与x之间的关系式为__．【答案】y=25x+3【分析】由题意得：x＝54m，y−3＝54m＋2，然后根据同底数幂的逆用得问题的答案．【详解】解：由题意得：x=54m，y−3=54m+2，∴y−3=54m×52=25x，即y=25x+3．故答案为：y=25x+3．【点睛】本题考查了有理数的乘方、同底数幂乘法的逆用，正确理解新规定是解题的关键．【考点3 幂的乘方运算】【例3】（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）已知2a=3，2b=27，求ba的值【答案】3【分析】由2b=33=2a3=23a，得到b=3a，即可得到ba的值．【详解】解：∵2a=3，2b=27，∴2b=33=2a3=23a，∴b=3a，∴ba=3aa=3．【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算及单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式3-1】（2022春·山东泰安·六年级统考期末）计算(−0.125)2022×26066的结果是（    ）A．1 B．－1 C．8 D．－8【答案】A【分析】首先根据幂的乘方运算进行运算，再根据积的乘方运算的逆运算进行运算，即可求得结果．【详解】解：(−0.125)2022×26066=182022×26066=1232022×26066=126066×26066=12×26066=16066 =1 故选：A．【点睛】本题考查了幂的乘方运算及积的乘方运算的逆运算，熟练掌握和运用幂的乘方运算及积的乘方运算的逆运算法则是解决本题的关键．【变式3-2】（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）（1）已知am=3,an=4，求a2m+3n的值；（2）已知9n+1−9n=72，求n的值．【答案】（1）576；（2）1【分析】（1）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可；（2）对已知条件进行整理，从而可求解．【详解】解：（1）∵am＝3，an＝4，∴a2m＋3n＝a2m×a3n＝（am）2×（an）3＝32×43＝9×64＝576；（2）∵9n＋1－9n＝72，∴9×9n－9n＝72，则8×9n＝8×9，∴n＝1【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的灵活运用．【变式3-3】（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）已知，有一组不为零的数 a，b，c，d，e，f，m，满足ab=cd=ef=m，求  解：∵a=bm，c=md，e=fm∴ a+c+eb+d+f=bm+dm+fmb+d+f=m利用数学的恒等变形及转化思想，试完成：（1）244，333，422的大小关系是________；    （2）已知 a，b，c 不相等且不为零，若aba+b=13,cbc+b=14,aca+c=15，求 abcab+bc+ac的值．【答案】（1）333＞244=422；（2）16【分析】（1）先将各式转化成幂相同的指数式，再来比较大小 .（2）根据题意可得a+b=3ab，b+c=4bc，a+c=5ac，即（a+b）c=3abc，（b+c）a=4abc，（a+c）b=5abc，再把三个式子相加、计算即ab+bc+ac=6abc，从而即可得证.【详解】（1）解（1）∵244=（24）11=1611  ， 333=（33）11=2711  ， 422=（42）11=1611  ， ∴2711＞1611=1611  ， 即333＞244=422.故答案为333＞244=422.（2）解：∵aba+b=13,cbc+b=14,aca+c=15∴a+b=3ab，b+c=4bc，a+c=5ac，∴（a+b）c=3abc，（b+c）a=4abc，（a+c）b=5abc，即ac+bc=3abc，ab+ac=4abc，ab+bc=5abc，∴2（ab+bc+ac）=12abc，即ab+bc+ac=6abc，∴abcab+bc+ac=16.【点睛】本题主要考查了幂的大小比较的方法，以及分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．【考点4 幂的乘方的逆用】【例4】（2022春·江苏泰州·七年级统考期末）若m，n均为正整数，且 2m−1×4n=32，则m+n的所有可能值为________．【答案】4或 5##5或4【分析】先根据同底数幂的乘法和乘方进行变形：2m−1×22n＝2m−1＋2n＝25，得到m＋2n−1＝5，由m和n为正整数进行讨论即可得到答案．【详解】解：∵原式＝2m−1×22n＝2m−1＋2n＝25，∴m＋2n−1＝5，∴n＝6−m2，∵m，n为正整数，∴当m＝2时，n＝2，当m＝4时，n＝1，∴m＋n＝2＋2＝4或m＋n＝4＋1＝5．故答案为：4或5．【点睛】本题主要考查了乘方和同底数幂的乘法运算法则，能够灵活运用同底数幂的运算法则及其逆运算法则进行变形是解答此类问题的关键．【变式4-1】（2022春·江西吉安·七年级统考期末）若3×9m×27m=311，求m的值．【答案】2【分析】利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案.【详解】解：∵3×9m×27m=311，∴3×(32)m×(33)m=311，∴3×32m×33m=311，∴32m+3m+1=311，∴2m+3m+1=11，∴m=2.【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法法则，掌握幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．【变式4-2】（2022秋·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）已知4x=25y=10，则x−1y−1+xy+2005的值__________．【答案】2006【分析】根据幂的乘方由4x=25y=10得4xy×25xy=10y×10x，从而得2xy−x−y=0，再利用多项式的乘法将x−1y−1+xy+2005化为2xy−x−y+2006即可求解．【详解】解：∵4x=25y=10，∴4xy=4xy=10y，25xy=25yx=10x，∴4xy×25xy=10y×10x，∴4×25xy=10x+y，∴102xy=10x+y，∴2xy=x+y，∴2xy−x−y=0，∴x−1y−1+xy+2005=xy−x−y+1+xy+2005=2xy−x−y+2006=2006．【点睛】本题主要考查了幂的乘方和多项式的乘法，熟练运用幂的乘方由4x=25y=10得4xy×25xy=10y×10x，是解题的关键．【变式4-3】（2022春·上海·六年级上海同济大学附属存志学校校考期末）已知2a=8b=64c，求代数式a−b−ca+b+c的值．【答案】13【分析】根据幂的乘方逆运算得出2a=23b=26c，从而得出a=6c,b=2c，将之代入a−b−ca+b+c即可求得结果．【详解】解：∵2a=8b=64c，即2a=23b=26c，∴a=3b=6c，∴a=6c,b=2c，∴a−b−ca+b+c=6c−2c−c6c+2c+c=13．【点睛】本题考查了幂的乘方逆运算，代数式求值等知识，能够得出a=6c,b=2c是解本题的关键．【考点5 积的乘方】【例5】（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）计算：−3x23+−5x2⋅x4．【答案】−2x6【分析】根据幂的运算法则计算即可．【详解】解：原式=−27x6+25x2⋅x4，=−27x6+25x6，=−2x6．【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟知幂的运算法则，熟练进行计算．【变式5-1】（2022秋·湖北荆州·八年级沙市一中校考期中）计算：−0.1255×−216=（    ）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】D【分析】根据积的乘方和幂的乘方的运算法则进行巧算．【详解】解：−0.1255×−216=−0.1255×−215×−2=−0.1255×−235×−2=−0.125×−85×−2=15×−2=−2．故选：D．【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方的运算，解题的关键是利用0.125×8=1进行巧算．【变式5-2】（2022春·江苏无锡·七年级校联考期末）已知（x2+y）2=11024 ，（12）2x=116，求（12）4y 的值．【答案】12−318 或12−338【详解】分析：由（12）2x=116，可得出x的值，把x的值代入（x2+y）2=11024，求出y的值，即可求出（12）4y的值．详解：∵（12）2x=116，∴x=2，又∵（x2+y）2=11024，∴y=-3132或-3332，∴（12）4y=(12)−318或(12)−338．点睛：本题主要考查了幂的乘方与积的乘方及完全平方公式，解题的关键是求出x，y的值． 【变式5-3】（2022·浙江杭州·七年级期末）阅读下列各式：(a⋅b)2=a2b2, (a⋅b)3=a3b3, (a⋅b)4=a4b4⋯⋯回答下列三个问题：①验证：2×12100=_________，2100×12100=___________；②通过上述验证，归纳得出：(a⋅b)n=_________；(a⋅b⋅c)n=________；③请应用上述性质计算：(−0.125)2019×22018×42017【答案】①1,1；②anbn，anbncn；③-132.【分析】①把问题分别转化为1100和2100×11002100处理即可；②将猜到规律推广到n次方和三个因数情形即可；③把(-0.125)2019和22018分别变形为(-0.125)2017×(-0.125)2和2×22017就可逆用上述规律计算即可.【详解】①∵2×12100=1100=1，∴2×12100=1；∵2100×12100= 2100×11002100=1，∴2100×12100=1， 故依次填1,1；②∵2×12100=1，2100×12100=1，∴2×12100= 2100×12100，由此可得：(a⋅b)n= anbn；(a⋅b⋅c)n= anbncn；故依次填anbn，anbncn；③ ∵(-0.125)2019=(-0.125)2017×(-0.125)2，22018 =2×22017，∴(−0.125)2019×22018×42017=(-0.125)2017×(-0.125)2 ×2×22017×42017=(-0.125×2×4)2017×(-0.125)2×2=-132.【点睛】本题考查了规律的验证，猜想和应用，熟练逆用同底数幂的乘法公式和发现的规律是解题的关键.【考点6 积的乘方的逆用】【例6】（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）已知3x+1⋅5x+1=152x−3，则x=________．【答案】4【分析】逆用积的乘方得到一元一次方程，求解方程即可得到x的值．【详解】解：∵3x+1⋅5x+1=152x−3∴(3×5)x+1=152x−3，即15x+1=152x−3∴x+1=2x−3 解得，x=4 故答案为：4【点睛】本题主要考查了积的乘方逆运用以及解一元一次方程，熟练掌握积的乘方的性质是解答本题的关键．【变式6-1】（2022秋·上海·七年级期末）如果2a=3，3a=5，那么12a−6a=_________.【答案】30【分析】利用积的乘方公式，将式子改写后代入条件求值.【详解】12a−6a=2×2×3a−2×3a=2a×2a×3a−2a×3a=3×3×5−3×5=30【点睛】本题考查积的乘方公式的应用，利用公式将式子改写是解题的关键.【变式6-2】（2022秋·河北邯郸·七年级统考期末）计算（﹣2.5）2015×（﹣4）2016÷（﹣10）2015=_____．【答案】4【详解】试题分析：根据有理数的乘方，即可解答．解：（﹣2.5）2015×（﹣4）2016÷（﹣10）2015==[（﹣2.5）×（﹣4）]2015×（﹣4）÷（﹣10）2015=102015×（﹣4）÷（﹣102015）=（﹣4）×（﹣1）=4，故答案为4．考点：有理数的乘方．【变式6-3】（2022春·江苏常州·七年级校考期中）已知6x=192，32y=192，则（-2019）（x-1）（y-1）-1=_____.【答案】1【分析】由6x=192，32y=192，推出6x=192=32×6，32y=192=32×6，推出6x-1=32，32y-1=6，可得（6x-1）y-1=32y-1=6，推出（x-1）（y-1）=1，最后计算即可解答．【详解】解：∵6x=192，32y=192，∴6x=192=32×6，32y=192=32×6，∴6x-1=32，32y-1=6，∴（6x-1）y-1=32y-1=6，∴（x-1）（y-1）=1，∴（-2019）（x-1）（y-1）-1=（-2019）0 =1，故答案为1.【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是灵活运用知识解决问题.【考点7 同底数幂的除法】【例7】（2022春·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考期中）①若3×27n÷9＝320，则n＝_____；②﹣（2y﹣x）4÷（x﹣2y）3＝_____．【答案】     7     2y−x##−x+2y【分析】（1）原式根据幂的乘方得出关于n的方程，求解即可；（2）原式利用同底数幂的除法法则进行计算即可．【详解】解：①3×27n÷9＝3203×33n÷32＝32033n+1-2＝320∴3n+1-2=20解得，n=7②﹣（2y﹣x）4÷（x﹣2y）3=﹣（x﹣2y）4÷（x﹣2y）3=−(x−2y) =2y−x故答案为：7；2y−x【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【变式7-1】（2022秋·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期中）已知am=−3，an=2，则a3m−2n=______．【答案】−274【分析】先将a3m−2n 变形为a3m÷a2n，再利用幂的乘方得出(am)3÷(an)2，代入计算即可．【详解】∵am=−3，an=2，∴a3m−2n=a3m÷a2n=(am)3÷(an)2=(−3)3÷22=−27÷4=−274．故答案为：−274．【点睛】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．【变式7-2】（2022春·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考期中）已知3a=2、3b=5、3c=409，那么a、b、c之间满足的等量关系是_____．【答案】3a+b-c=2【分析】由题意知23×5÷9=409，则有3a3×3b÷32=3c，化简求解即可．【详解】解：由题意知23×5÷9=409∴3a3×3b÷32=3c∴33a+b−2=3c∴3a+b−2=c∴a、b、c之间满足的等量关系是3a+b−c=2故答案为：3a+b−c=2．【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法．解题的关键在于熟练掌握同底数幂乘法、同底数幂的除法的运算法则．【变式7-3】（2022春·河南郑州·七年级校考期中）已知4m+3⋅8m+1÷24m+7=32，求m的值．【答案】3【分析】利用幂的乘方逆运算，将4m+3⋅8m+1÷24m+7变形，得到原式=22m+6⋅23m+3÷24m+7，根据同底数幂乘除法计算法则计算得到原式=2m+2 =25，进而得到m+2=5，得到m的值．【详解】解：∵4m+3⋅8m+1÷24m+7=22m+6⋅23m+3÷24m+7=22m+6+3m+3−4m−7=2m+2=32=25∴m+2=5，∴m=3．【点睛】此题考查了整式乘法的计算法则：幂的乘方逆运算，同底数幂乘除法计算法则，正确掌握各计算法则是解题的关键．【考点8 同底数幂的除法的逆用】【例8】（2022秋·浙江台州·八年级台州市书生中学校考期中）已知10a=20，100b=50，则2a+4b−3的值是（    ）A．9 B．5 C．3 D．6【答案】C【分析】先根据幂的乘方的逆运算求出102a=400，104b=2500，再根据同底数幂的乘除法逆运算求出102a+4b−3=103，即可得到答案．【详解】解：∵10a=20，100b=50，∴102a=10a2=400，100b=102b=102b=50，∴104b=102b2=2500，∴102a+4b−3=102a×104b÷103=400×2500÷1000=103，∴2a+4b−3=3，故选C．【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟知mab=mab，ma+b−c=ma·mbmc是解题的关键．【变式8-1】（2022春·河北邯郸·七年级统考期中）已知xa=3，xb=4，则x3a-2b的值是（          ）A．278 B．2716 C．11 D．19【答案】B【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算即可得出结果．【详解】解：x3a-2b=（xa）3÷（xb）2，然后整体代入即可得原式=33÷42=2716．故选:B．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是明确同底数幂的除法和幂的乘方的法则，然后逆用代入计算即可．同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．【变式8-2】（2022秋·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）已知2x−3y−2=0，则9x÷27y的值为________．【答案】9【分析】先变形，再根据同底数幂的除法进行计算，最后代入求出即可．【详解】解：∵2x−3y−2=0，∴2x−3y=2，∴9x÷27y=32x÷33y=32x−3y=32=9，故答案为9．【点睛】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方等知识点，能正确根据法则进行变形是解此题的关键．【变式8-3】（2022秋·重庆万州·八年级重庆市万州新田中学校考期中）（1）已知5x=36，5y=2，求5x−2y的值．（2）已知x2n=2，求3x3n2−4x22n的值．【答案】（1）9；（2）56；【分析】（1）先把5x−2y化为5x÷5y2，再把5x=36，5y=2代入计算即可；（2）先把3x3n2−4x22n化为9×x2n3−4×x2n2，再把x2n=2代入计算即可．【详解】解：（1）∵5x=36，5y=2，∴5x−2y=5x÷52y=5x÷5y2=36÷22=9；（2）∵x2n=2，∴3x3n2−4x22n=9x6n−4x4n =9×x2n3−4×x2n2 =9×23−4×22 =72−16 =56．【点睛】本题考查的是幂的乘方的逆用算，同底数幂的除法运算的逆运算，代数式的求值，掌握“幂的乘方的逆运算与同底数幂的除法的逆运算的运算法则”是解本题的关键．【考点9 零指数幂的运用】【例9】（2022春·安徽宣城·七年级校联考期中）计算：−22+−12−1+π30−38．【答案】−7【分析】原式分别化简22=4,−12−1=−2,π30=1,38=2，然后再进行加减计算即可．【详解】解：−22+−12−1+π30−38=−4−2+1−2=−7【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【变式9-1】（2022秋·陕西渭南·八年级统考期末）计算120−23=______．【答案】−7【分析】根据零次幂以及有理数的乘方进行计算即可求解．【详解】解：120−23= 1−8=−7，故答案为：−7．【点睛】本题考查了零次幂以及有理数的乘方，正确的计算是解题的关键．【变式9-2】（2022春·山东烟台·六年级统考期中）下列运算正确的是（    ）A．(−π)0=0 B．x4x5=x20 C．ab23=a3b5 D．2a2a−1=2a【答案】D【分析】根据零指数幂、同底数幂的乘法、积的乘方和负整数指数幂的运算法则逐项判断即可．【详解】解：A、(−π)0=1，原式错误；B、x4x5=x9，原式错误；C、ab23=a3b6，原式错误；D、2a2a−1=2a2⋅1a=2a，正确；故选：D．【点睛】本题考查了零指数幂、同底数幂的乘法、积的乘方和负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式9-3】（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）已知x−3x−2=1，则x=______．【答案】2或4##4或2【分析】根据a0=1a≠0，1n=1，−12n=1（n为整数），进行分类讨论求解即可．【详解】解：当x−2=0时：x=2，此时x−3x−2=2−30=−10=1，满足题意；当x−3=1时，即x=4时：x−3x−2=12=1，满足题意；当x−3=−1时：即x=2时，满足题意；综上：当x=2或x=4时，x−3x−2=1；故答案为：2或4．【点睛】本题考查零指数幂以及有理数的乘方运算．熟练掌握a0=1a≠0，1n=1，−12n=1（n为整数），是解题的关键．【考点10 负整数指数幂的运用】【例10】（2022春·河北保定·七年级保定市第十七中学校考期中）已知2x+3×3x+3=36x+1，那么2022−x的值是（    ）A．2022 B．1 C．−12022 D．12022【答案】D【分析】利用积的乘方的逆运算法则，幂的乘方的逆运算法则对所给的条件进行整理，从而可求得x的值，再代入运算即可．【详解】解：∵2x+3×3x+3＝36x+1，∴（2×3）x+3＝62（x+1），即6x+3＝62x+2，∴x+3＝2x+2，解得：x＝1，∴2022﹣x＝2022﹣1＝12022．故选：D．【点睛】题主要考查积的乘方的逆运算，幂的乘方的逆运算和负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【变式10-1】（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）若3×9−m×27m=34，则m的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】利用幂的乘方的法则以及同底数幂的乘法的法则把等式的左边进行整理，从而可得到关于m的方程，即可求解．【详解】解∶3×9−m×27m=3×3−2m×33m=31−2m+3m=31+m∵3×9−m×27m=34∴1+m=4解得∶m=3．故选：A【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与灵活运用．【变式10-2】（2022春·六年级期中）在①−x5⋅(−x)2；②−(−x)6⋅(1x)−4；③−(−x2)3⋅(x3)2；④[−(−x)2]5中，计算结果是−x10的是（   ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据同底数幂的运算法则求解①；利用负整数指数幂的运算法则、同底数幂的运算法则求解②；利用幂的乘方的运算法则、同底数幂的运算法则求解③；利用幂的乘方的运算法则求解④．【详解】解：①−x5⋅−x2=−x5⋅x2=−x7，此项不符合题意；②−−x6⋅1x−4=−x6⋅11x4=−x6⋅x4=−x10，此项符合题意；③−−x23⋅x32=x4⋅x6=x10，此项不符合题意；④−−x25=−x25=−x10，此项符合题意，综上所述，符合题意的有②④共2个．故选：B．【点睛】本题考查了同底数幂的运算法则，负整数指数幂的运算法则，幂的乘方的运算法则．理解相关运算法则是解答关键．【变式10-3】（2022春·安徽滁州·七年级校考期中）如果a=(−2019)0,b=(−0.1)−1,c=(−53)−2，那么a,b,c三数的大小为（  ）A．a>b>c B．c>a>b C．a>c>b D．c>b>a【答案】C【分析】分别将a、b、c化简，再比较大小即可解答．【详解】解：a=(−2019)0=1，b=(−0.1)−1=−10.1=−10 ，c=(−53)−2=1(−53)2=925，∴a>c>b，故选C.【点睛】本题考查了幂的乘方和实数比较大小，解决本题的关键是先把a，b，c化简，再比较大小．【考点11 用科学记数法表示绝对值小于1的数】【例11】（2022春·山东枣庄·七年级校考期中）面对国外对芯片技术的垄断，我国科学家奋起直追，2020年11月26号，上海微电子宣布由我国独立研发的光刻机为光源完成了22nm的光刻水准，1nm＝1.0×10﹣9m，用科学记数法表示22nm，则正确的结果是（　　）A．22×10﹣9m B．22×10﹣8m C．2.2×10﹣8m D．2.2×10﹣10m【答案】C【分析】根据科学记数法的表示计算即可；【详解】解：22nm＝22×10﹣9m＝2.2×10﹣8m．故选：C．【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确计算是解题的关键．【变式11-1】（2022秋·浙江宁波·七年级宁波市第十五中学校考期中）新型冠状病毒体积很小，这种病毒外直径大概在0.00000 011米，则0.00000011这个数字可用科学记数法表示为（　　）A．1.1×10−6 B．1.1×10−7 C．1.1×10−8 D．0.11×10−8【答案】B【分析】根据科学记数法表示绝对值小于1的数即可解答．【详解】解：0.00000011=1.1×10−7．故选B．【点睛】本题主要考查了科学记数法，将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．确定a和n的是解答本题的关键．【变式11-2】（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为62微米（1微米=0.000001米）．将62微米用科学记数法表示为（    ）A．0.62×10−5米 B．6.2×10−6米 C．6.2×10−5米 D．62×10−6米【答案】C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：62微米=62×0.000001米=62×10−6米=6.2×10−5米．故选：C．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤a＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【变式11-3】（2022春·辽宁朝阳·七年级统考期中）“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢）已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏（Schwarzschild）半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体——黑洞．施瓦氏半径（单位：米）的计算公式是R=2GMc2，其中G=6.67×10−11 牛·米2/千克2，为万有引力常数；M表示星球的质量（单位：千克）；c=3×108米/秒，为光在真空中的速度．已知太阳的质量为2×1030千克，则可计算出太阳的施瓦氏半径为（     ）A．2.96×102米 B．2.96×103米C．2.96×104米 D．2.96×105米【答案】B【分析】先根据施瓦氏半径的计算公式是R=2GMc2计算出R的值，再用科学记数法表示出来即可．【详解】解：R=2GMc2=2×6.67×10−11×2×1030(3×108)2=2.96×103（米）故选B．【点睛】本题考查了同底数幂的运算和科学记数法．掌握运算法则是解题关键．【考点12 还原用科学记数法表示的小数】【例12】（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）某种细胞的直径约为0.0…08米．将0.0…08米用科学记数法表示为8×10−6米，则原数中小数点后“0”的个数为（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法定义是把一个数表示为a×10n的形式（其中1<|a|<10，n为整数），当1<|a|时，n的值等于原数中第一个不是0的数字前面的0的个数的相反数．【详解】∵8×10-6=0.000008，∴原数中小数点后“0”的个数为5．故选B．【点睛】本题考查了科学记数法，解决此类问题的关键是熟练掌握科学记数法的定义和计算方法．【变式12-1】（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）某H品牌手机上使用5nm芯片，1nm＝0.0000001cm，则5nm用科学记数法表示为（    ）A．50×10−8cm B．0.5×10−7cm C．5×10−7cm D．5×10−8cm【答案】C【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示时，一般形式为a×10-n.其中n的值由原数左边起第一个不为零数字前面的0的个数决定．【详解】解：∵1nm=0.0000001cm．∴5nm=0.0000005cm．∴0.0000005cm=5×10-7cm．故选：C．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n.其中1≤|a|＜10，n的值由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定．【变式12-2】（2022秋·广西贵港·八年级统考期中）世界上最小的开花结果的植物的果实像一个微小的无花果，其质量只有7.6×10﹣8g．将7.6×10﹣8用小数表示为 _____．【答案】0.000000076【分析】对于绝对值小于1的数，用科学记数法表示为a×10n的形式，其中1≤a<10，n是一个负整数，其绝对值和原数左边第一个不为0的数前面0的个数相等，根据以上内容写出即可．【详解】解：7.6×10−8=0.000000076，故答案为：0.000000076．【点睛】本题考查了科学记数法表示较小的数，理解并掌握科学记数法中指数与原数字之间的对应关系是解题关键．【变式12-3】（2022春·海南海口·八年级校联考期末）下列哪一个数值最小（    ）A．9.5×10−9 B．2.5×10−9 C．9.5×10−8 D．2.5×10−8【答案】B【分析】首先将用科学记数法表示的四个数还原成原数，再比较大小．【详解】解： A、9.5×10−9=0.0000000095；B、2.5×10−9=0.0000000025；C、9.5×10−8=0.000000095；D、2.5×10−8=0.000000025．∴数值最小的是0.0000000025，故选：B．【点睛】本题考查了科学记数法，一个用科学记数法表示的数还原成原数时，要先判断指数n的正负，n为正时，小数点向右移动n个数位；n为负时，小数点向左移动n个数位．【考点13 利用幂的运算进行比较大小】【例13】（2022·福建省罗源第二中学八年级期中）若a＝3555，b＝4444 ，c＝5333，比较a、b、c的大小（   ）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【答案】B【分析】根据幂的乘方的性质，得3555=243111，4444=256111，5333=125111，从而完成求解．【详解】3555=35111=243111，4444=44111=256111，5333=53111=125111∵256>243>125 ∴256111>243111>125111∴4444>3555>5333，即b＞a＞c故选：B．【点睛】本题考查了幂的乘方的知识；解题的关键是熟练掌握幂的乘方的性质，从而完成求解．【变式13-1】（2022·江苏·江阴市华士实验中学七年级期中）阅读下列材料:若a3=2,b5=3，则a，b的大小关系是a_____ b (填“<”或“>”).解:因为a15=a35=25=32,b15=b53=33=27,32>27，所以a15>b15，所以a>b.解答下列问题:(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_ A．同底数幂的乘法      B．同底数幂的除法         C．幂的乘方      D．积的乘方(2)已知x5=2,y7=3，试比较x与y的大小．【答案】＞ （1）C  （2）x27， 所以a15>b15，所以a>b，故答案为 >;(1)上述求解过程中，逆用了幕的乘方，故选C;(2) ∵x35=(x5)7=27=128, y35=(y7)5=35=243, 243>128，∴x1523，55>45在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325，解：2710=3310=330，∵30>25，∴330>325[类比解答]比较254，1253的大小．[拓展拔高]比较3555，4444，5333的大小．【答案】【类比解答】254<1253；【拓展拔高】5333<3555<4444．【分析】【类比解答】可以将底数都化为5，利用幂的乘方的逆运算法则变形后再进行比较；【拓展拔高】观察三个式子的特点，可以利用幂的乘方逆运算法则将指数都变形为111，再进行比较．【详解】【类比解答】解：254=(52)4=58，1253=(53)3=59，∵8<9，∴58<59，即254<1253；【拓展拔高】解：∵3555=(35)111，4444=(44)111，5333=(53)111，又∵35=243，44=256，53=125，∴53<35<44，∴5333<3555<4444．【点睛】本题考查了幂的运算性质，正确理解题意、灵活应用幂的乘方逆运算法则是解题的关键．【变式13-3】（2022·河北石家庄·七年级期中）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac (a≠1)，当b>c时，则有ab>ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程](1)比较大小：520______420，961______2741；（填“>”、“<”或“=”）(2)比较233与322的大小；(3)比较312×510与310×512的大小．【答案】(1)>，< (2)233<322(3)312×510<310×512【分析】（1）根据“同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb，”即可比较520和420的大小；根据“对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac (a≠1)，当b>c时，则有ab>ac，即可比较961和2741的大小；（2）据“对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac (a≠1)，当b>c时，则有ab>ac”，即可比较233与322的大小；（3）利用作商法，即可比较312×510和310×512的大小．（1）解：∵5>4，∴520>420，∵961=(32)61=3122，2741=(33)41=3123，122<123，∴961<2741，故答案为：>，<；（2）解：∵233=(23)11=811，322=(32)11=911，8<9，∴233<322．（3）解：∵312×510310×512=3252=925<1，∴312×510<310×512．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方及有理数大小比较，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．【考点14 幂的混合运算】【例14】（2022·福建漳州·七年级期中） 计算(1) (m−n)2⋅(n−m)3⋅(n−m)4  (2) (b2n)3(b3)4n÷(b5)n+1(3) (a2)3−a3⋅a3+(2a3)2 (4) (−4am+1)3÷[2(2am)2⋅a]【答案】（1）n−m9；（2）b13n−5； （3）4a6；（4）−8am+2【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（2）根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则计算即可；（3）根据积的乘法、幂的乘方运算法则以及合并同类项法则解答即可；（4）根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则计算即可．【详解】解：（1）m−n2⋅n−m3⋅n−m4=n−m2+3+4=n−m9（2）b2n3b34m÷b5n+1=b6n⋅b12n÷b5n+5=b6n+12n−5n−5=b13n−5；（3）a23−a3⋅a3+2a32=a6−a6+4a6=4a6；（4）−4am+13÷22am2⋅a=−64a3m+3÷8a2m+1=−8am+2【点睛】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则以及合并同类项法熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式14-1】（2022·陕西西安·七年级期中）计算：2x3⋅x52+−x2⋅−x23⋅x24．【答案】3x16【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则分别判断得出答案．【详解】解：原式=4x16+x2⋅−x6⋅x8=4x16−x16=3x16．【点睛】本题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【变式4-2】（2022·重庆市第十一中学校七年级期中）计算：(1)x⋅x2⋅x3+(x2)3−2(x3)2；(2)(−4am+1)3+[2(2am)2⋅a]．【答案】(1)0；(2)−64a3m+3+8a2m+1．【分析】(1)利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则即可求解；(2)利用积的乘方法则、同底数幂的乘法法则即可求解．（1）解：原式=x6+x6−2x6=2x6−2x6=0；（2）解：原式=−64a3m+3+(2×4a2m⋅a)=−64a3m+3+8a2m+1．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，合并同类项，熟练掌握相应的计算法则是解题的关键．【变式14-3】（2022·黑龙江·巴彦县第一中学八年级期中）计算：（1）x2⋅x4+x32−5x6    （2）−2a6−−3a32+−2a23【答案】（1）-3x6；（2）-9a6【分析】（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方以及整式的加减计算法则进行求解即可；（2）根据积的乘方，以及整式的加减计算法则进行求解即可．【详解】（1）原式=x6+x6−5x6=−3x6；（2）原式=64a6−9a6+−4a23=64a6−9a6−64a6=−9a6．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘方，幂的乘方，积的乘方以及整式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．【考点15 利用幂的运算进行简便计算】【例15】（2022·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级期中）计算0.25100×−12101×8101=_________．【答案】-4【分析】将式子转化为14100×−12100×8100×−12×8，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可．【详解】解：原式=14100×−12100×8100×−12×8=14×−12×8100×−12×8=−4．故答案为：−4．【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．【变式15-1】（2022·湖南怀化·七年级期中）计算（﹣0.25）2022×42021的结果是（    ）A．﹣1 B．1 C．0.25 D．44020【答案】C【分析】根据积的乘方的逆运算法则计算即可．【详解】原式=(−14)2021×42021×(−14)=(−14×4)2021×(−14)=(−1)2021×(−14)=−1×(−14)=14故选：C．【点睛】本题考查积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式15-2】（2022·上海杨浦·七年级期中）用简便方法计算：−35×(−23)5×(−5)6【答案】500000【分析】根据积的乘方即可求出答案．【详解】原式=35×(23)5×56 =（3×23）5×56=25×55×5=（2×5）5×5=5×105=500000【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．【变式15-3】（2022·福建·泉州市第九中学八年级期中）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb，根据上述材料，回答下列问题．(1)比较大小：520_________420 （填写>、<或=）．(2)比较233与322的大小（写出比较的具体过程）．(3)计算42021×0.252020−82021×0.1252020．【答案】(1)>(2)233<322(3)－4【分析】（1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb”比较大小即可；（2）将233与322化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将42021和0.252020化为指数相同的幂，将82021和0.1252020也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案．（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb，可知520>420．故答案为：>；（2）∵233=(23)11=811，322=(32)11=911，又∵811<911，∴233<322；（3）原式=4×42020×0.252020−8×82020×0.1252020=4×(4×0.25)2020−8×(8×0.125)2020 =4×12020−8×12020=4−8=−4．【点睛】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则．【考点16 幂的运算中的新定义问题】【例16】（2022·山东省青岛第五十一中学七年级期中）阅读材料：定义：如果10a=n，那么称a为n的劳格数，记为a=dn，例如：102=100，那么称2是100的劳格数，记为2=d100．填空：根据劳格数的定义，在算式a=d1000中，______相当于定义中的n，所以d1000=______；直接写出d10−8=______；探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程若a、b、m、n均为正数，且10a=p，10b=q，根据劳格数的定义：dp=a，dq=______，∵10a⋅10b=pq∴10a+b=pq，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n，∴dpq=______，即dpq=dp+dq，请你把数学研究小组探究过程补全拓展：根据上面的推理，你认为：dmn=______．【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，10a+b，a＋b；dm－dn．【分析】根据新定义法则进行运算即可．【详解】解：∵如果10a=n，那么称a为n的劳格数，记为a=dn，∴103=1000，那么称3是1000的劳格数，记为3=d1000．∴在算式a=d1000中，1000相当于定义中的n，所以d1000=3；d10−8=﹣8；∵10b=q，∴b=dq，∵10a=p，10b=q，∴10a⋅10b=10a+b＝pq，∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 10a+b相当于定义中的n，∴d(pq)=d10a+b=a+b＝dp＋dq，即dpq=dp+dq，设10a=m，10b=n，∴dm=a，dn=b，∵10a−b=10a÷10b=mn，∴dmn= d10a−b＝a－b＝dm－dn，即dmn= dm－dn．故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，10a+b，a＋b；dm－dn．【点睛】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则．【变式16-1】（2022·北京·清华附中八年级期中）定义一种新运算a，b，若ac=b，则a，b=c，例2，8=3，3，81=4．若3，5+3，7=3，x，则x的值为______．【答案】35【分析】设3m=5，3n=7，根据新定义运算的法则可知3，5+3，7=m+n，即得出m+n=(3，x)，从而再根据新定义运算的法则得出3m+n=x，最后根据同底数幂乘法的逆运算计算即可．【详解】设3m=5，3n=7，则3，5+3，7=m+n．∴m+n=(3，x)，∴3m+n=x．∵3m+n=3m×3n=5×7=35，∴x=35．故答案为：35．【点睛】本题考查新定义下的运算，同底数幂乘法的逆用．理解题意，掌握新定义下的运算法则是解题关键．【变式16-2】（2022·江苏连云港·七年级期中）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋅⋅⋅+22020+22021的值，采用以下方法：设S=1+2+22+⋅⋅⋅+22020+22021①则2S=2+22+⋅⋅⋅+22021+22022②②−①得，2S−S=S=22022−1．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）2+22+⋅⋅⋅+220=______；（2）求1+12+122+⋅⋅⋅++1250=______；（3）求−2+−22+⋅⋅⋅+−2100的和；（请写出计算过程）（4）求a+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan的和（其中a≠0且a≠1）．（请写出计算过程）【答案】（1）221−2；（2）2-1250；（3）2101−23；（4）a−an+1a−12+nan+1a−1【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝2+22+⋅⋅⋅+220①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果；（2）设s＝1+12+122+⋅⋅⋅+1250①，12s＝12+122+⋅⋅⋅+1250+1251②，②−①即可得结果；（3）设s＝−2+−22+⋅⋅⋅+−2100①，-2s＝−22+−23+⋅⋅⋅+−2101②，②−①即可得结果；（4）设s＝a+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan①，as＝a2+2a3+3a4+⋅⋅⋅+nan+1②，②−①得as-s=-a-a2−a3−a4+⋅⋅⋅−an+nan+1，同理：求得-a2−a3−a4+⋅⋅⋅−an+1，进而即可求解．【详解】解：根据阅读材料可知：（1）设s＝2+22+⋅⋅⋅+220①，2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①得，2s−s＝s＝221−2；故答案为：221−2；（2）设s＝1+12+122+⋅⋅⋅+1250①，12s＝12+122+⋅⋅⋅+1250+1251②，②−①得，12s−s＝-12s＝1251-1，∴s＝2-1250，故答案为：2-1250；（3）设s＝−2+−22+⋅⋅⋅+−2100①-2s＝−22+−23+⋅⋅⋅+−2101②②−①得，-2s−s＝-3s＝−2101+2∴s＝2101−23；（4）设s＝a+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan①，as＝a2+2a3+3a4+⋅⋅⋅+nan+1②，②-①得：as-s=-a-a2−a3−a4+⋅⋅⋅−an+nan+1，设m=-a-a2−a3−a4+⋅⋅⋅−an③，am=-a2−a3−a4+⋅⋅⋅−an+1④，④-③得：am-m=a-an+1，∴m=a−an+1a−1，∴as-s=a−an+1a−1+nan+1，∴s=a−an+1a−12+nan+1a−1．【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算．【变式16-3】（2022·山东德州·八年级期中）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an；如2×2×2＝23＝8，此时3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3），一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算下列各对数的值：log24＝　 　；log216＝　 　；log264＝　 　；（2）你能得到log24、log216、log264之间满足怎样的关系式：　 　；（3）由（2）的结果，请你归纳出logaM、logaN、logaMN之间满足的关系式：　 　；（4）根据幂的运算以及对数的含义验证（3）的结论．【答案】（1）2，4，6；（2）log24+log216=log264；（3）logaM+logaN=loga（MN），（4）验证见解析．【分析】（1）根据对数的定义即可求得值；（2）根据（1）的结果即可得出三者间的关系；（3）根据（2）的结果即可得出三者满足的关系式；（4）根据对数的意义及同底数幂的乘法即可证明．【详解】（1）∵22=4∴log24=2∵24=16∴log216=4∵26=64∴log264=6故答案为：2，4，6（2）由（1）知，log24+log216=log264故答案为：log24+log216=log264（3）由（2）的结果知：logaM+logaN=logaMN故答案为：logaM+logaN=logaMN（4）设logaM=m，logaN=n由对数的定义知，am=M，an=N∵am·an=am+n=MN∴m+n=logaMN∵logaM+logaN=m+n∴logaM+logaN=logaMN【点睛】本题是材料阅读题，考查了同底数幂的运算，乘方的计算等知识，关键是读懂材料中对数的含义．