初中5 相似三角形判定定理的证明练习题

这是一份初中5 相似三角形判定定理的证明练习题，文件包含专题418相似三角形几何模型手拉手与十字架模型知识梳理与考点分类讲解北师大版教师版-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练北师大版docx、专题418相似三角形几何模型手拉手与十字架模型知识梳理与考点分类讲解北师大版学生版-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。

第一部分【知识点归纳】
【模型一】“手拉手（旋转）”模型

图1 图2
以上就是相似三角形中的“手拉手模型”在复杂的图形中可以由这一线索寻找新的相似形，即一转成双，由一得二（由一对相似三角形得第二对相似三角形）。
【模型二】“十字架”模型

图3 图4
；.
以上就是矩形中的十字架模型，即矩形中两条互相垂直的线段之比等于矩形的两邻边之比。
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】三角形中的的“手拉手（旋转）模型”
【例1】（23-24九年级上·山西大同·期末）综合与实践-问题情境：
如图1，已知在中，分别是上的点，且．
（1）操作发现：求证：．
（2）深入探究：在图1的基础上，将绕着点逆时针旋转一个角度得到图2，连接，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由．
拓展探究：
（3）如图3，当旋转到点在一条直线上时，与交于点，若，，求的值．

【变式1】（23-24九年级上·山西晋中·期中）如图，一副三角板（，，），，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23九年级·上海·假期作业）在中，，在中，，点D、E分别在、上．
（1）如图1，若，则与的数量关系是 ；
（2）若，将绕点A旋转至如图2所示的位置，则与的数量关系是 ．

【题型2】四边形中的的“手拉手（旋转）模型”
【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形绕点B按顺时针方向旋转，连接，，．则和的数量关系为 ；在正方形绕点B按顺时针方向旋转的过程中，的值为 ．
【变式1】（2023·广东广州·一模）如图，正方形中，等腰直角绕着点旋转，，，则 ．
【变式2】如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C 点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC的值为 （ ）
A．5:3B．3:5C．4:3D．3:4
【题型3】正方形中的“十字架模型”
【例3】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）（1）如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于点，交线段于点，证明：；

（2）如图2，正方形中，点为线段上一动点，若线段垂直平分线段，分别交，，，于点，，，．求证：；

【变式1】（23-24九年级上·重庆南岸·期中）如图，在矩形中，，，点E为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点G，延长交于点H，且，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，在正方形中，点E是边的中点，的垂直平分线分别交，边于点F，G，垂足为点H．若，则的长为 ．
【题型4】矩形中的“十字架模型”
【例4】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题．
（1）如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于，则与的数量关系是：______（填“”“”“”号）．
(2)①如图2，在矩形中，为上的点，连接，过点作于点，交于．小明发现，过作于点，可以得到与的数量关系．这个数量关系是什么？请说明理由；
②填空：由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比等于______；
③应用上述结论解决问题：在中，，点是的中点，连接，过作的垂线，交直线于，垂足是点，直接写出的长度．
【变式1】（2024·湖南永州·一模）如图，在矩形中，于点F，若则的长度为（ ）

A．1B．C．D．
【变式2】（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在矩形中，连接，点E在上，连接，交于点F，且．
（1）与是否垂直？ （填“是”或“否”）；
（2）若，，则的值为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线交于点、交于点，则线段的长为 ．
【例2】（2022·湖南娄底·中考真题）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接．给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值．其中正确的结论有 （填结论对应的序号）．
2、拓展延伸
【例1】（2024·辽宁沈阳·二模）如图1，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
(1)问题发现：①当时______；
②当时，______．
(2)拓展探究：试判断当时，的大小有无变化？以下是就图2的情形给出的证明过程，请你补全：
∵，
③ ．
又∵旋转，
∴，
．
(3)用以上结论解决问题：当绕点逆时针旋转至，，三点在同一条直线上时，请在备用图中画出图形，并写出求线段的长 ．
【例2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）【问题发现】如图①，正方形，，将正方形绕点D旋转，直线、交于点P，请直接写出线段与之间的数量关系是______，位置关系是______；
（2）【拓展探究】如图2，矩形，，，将矩形绕D旋转；直线,交于点P，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系；
（3）【解决问题】若，矩形绕D旋转过程中当点P与点G重合时，求线段的长．