人教版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题27.32 相似三角形几何模型-一线三等角（知识讲解）

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图一 图二
模型二：一线三等角

图三 图四
图五

图六
【典型例题】
类型一、一线三直角模型
1．如图，在四边形ABCD中，ABCD，，，E为BC上一点，且，若，，求AB的长．
【答案】
【分析】由题意易知AB和CD所在的两个三角形相似，再利用相似比即可求出所求线段的长度．
解：∵AB平行CD，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【点拨】此题主要考查学生对梯形的性质及相似三角形的性质的理解及运用．
举一反三
【变式1】如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=8，BC=10．
（1）求证：△AEF∽△DFC；
（2）求线段EF的长度．
【答案】（1）证明见分析；（2）．
【分析】
（1）由四边形ABCD是矩形，于是得到∠A=∠D=∠B=90°，根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，推出∠AEF=∠DFC，即可得到结论；
（2）根据折叠的性质得CF=BC=10，根据勾股定理得到，求得AF=4，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠B=90°，CD=AB=8，
根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，
∴∠AFE+∠AEF=∠AFE+∠DFC=90°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△DFC；
（2）根据折叠的性质得：CF=BC=10，BE=EF，
∴，
∴AF=4，
∵AE=AB-BE=8-EF，
∴EF2=AE2+AF2，
即EF2=（8-EF）2+42，
解得：．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质、翻折变换的性质及其应用问题．解题的关键是灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质来分析、判断、解答．
【变式2】如图1，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处．
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）如图2，在第（2）问的条件下，若，分别是，上的动点，求的最小值．
【答案】（1）见分析；（2）；（3）的最小值为．
【分析】
（1）选证得，即可证明结论；
（2）利用折叠的性质，在Rt△ABF中，求得BF的长，设CE=x，在Rt△CEF中，利用勾股定理构建关于x的方程，即可求解；
（3）根据折叠的性质，点F、D关于直线AE对称，过F作FQ⊥AD于Q，交AE于P，此时PD+PQ的最小值为FQ，证明四边形QFCD是矩形，即可求解．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵由翻折得到，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（2）∵四边形是矩形，
∴，.
设，则，
在中，，
∴，
在中，，即，
解得，即.
（3）如图，根据折叠的性质，点F、D关于直线AE对称，过F作FQ⊥AD于Q，交AE于P，此时PD+PQ的最小值为FQ，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠ADC=90，又FQ⊥AD，
∴四边形QFCD是矩形，
∴FQ=CD=AB=3，
∴的最小值为．
【点拨】本题考查了矩形的性质折叠变换，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
类型二、一线三等角模型
2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B＝45°，BC＝6，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）．且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
【答案】（）见分析；（2）或．
【分析】
（1）根据题目已知条件可知，，所以得到，即可得证．
（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及，求出问题即可．
解：（1）
在中，
又
；
（2），
是等腰直角三角形
BC=6，
AB=AC=BC=3
①当AD=AE时，则
，
点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上
此情况不符合题意．
②当AD=DE时，如图，
由（1）可知
又
AB=DC=
．
③当AE=DE时，如图
，
平分,
．
综上所述：或．
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．
举一反三
【变式1】如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，，且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）求证：；
（2）请你再写出两对相似三角形．
【答案】（1）见分析；（2），．
【分析】
（1）根据三角形内角和证即可；
（2）根据公共角相等，利用两个角对应相等，写出相似三角形即可．
（1）证明：∵，，
，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，∠E=∠E，
∴，
同理，．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形判定定理并能灵活应用是解题关键．
【变式2】△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
（3）在（2）的条件下，连结EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．
【答案】（1）证明见分析；（2）△BPE∽△CFP；（3）动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，理由见分析．
【分析】
（1）找出△BPE与△CFP的对应角，其中∠BPE+∠BEP=135°，∠BPE+∠CPF=135°，得出∠BEP=∠CPF，从而解决问题；
（2）利用（1）小题证明方法可证：△BPE∽△CFP；
（3）动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，同（1），可证△BPE∽△CFP，得 CP：BE=PF：PE，而CP=BP，因此 PB：BE=PF：PE，进而求出，△BPE与△PFE相似．
（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=135°．
∵∠EPF=45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=135°，
∴∠BEP=∠CPF，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP．
（2）△BPE∽△CFP；
理由：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=135°．
∵∠EPF=45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=135°，
∴∠BEP=∠CPF，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP．
（3）动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，
证明：同（1），可证△BPE∽△CFP，
得CP：BE=PF：PE，
而CP=BP，
因此PB：BE=PF：PE．
又因为∠EBP=∠EPF，
所以△BPE∽△PFE
【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．
类型三、一线三等角综合
3．数学模型学习与应用．【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得∠1=∠D；又，可以通过推理得到≌．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；
(1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且．若，，，用含x的式子表示CD的长；
(2)【拓展】在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，，，．若为直角三角形，求CD的长；
(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B为平面内任一点．是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标．
【答案】(1)(2)3(3)或
(1)解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴∽，
∴，
即，
∴．
(2)解：如图4，当时，
∵，，
∴∽，
∴，
∵，
∴点D为BC的中点，
∴．
如图5，当时，
∵，
∴，
过点A作，交BC于点F，
∴，，
，不合题意，舍去，
∴．
(3)解：分两种情况：
①如图6所示，过A作AC⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，则∠C＝90°，∴四边形OECD是矩形
∵点A的坐标为（2，4），
∴AD＝2，OD＝CE＝4，
∵∠OBA＝90°，
∴∠OBE+∠ABC＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠OBE，
在△ABC与△BOE中，

∴△ABC≌△BOE（AAS），
∴AC＝BE，BC＝OE，
设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x，
∴AC＝BE＝x－2，
∴CE＝BE+BC＝x－2+x＝OD＝4，
∴x＝3，x－2＝1，
∴点B的坐标是（3，1）；
②如图7，同理可得，点B的坐标（－1，3），
综上所述，点B的坐标为（3，1）或（－1，3）．
【点拨】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确的作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
举一反三
【变式1】感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：
如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且．
①求证：；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长．
【答案】感知：（1）；应用：（2）①见分析；②3.6；拓展：（3）2或
【分析】
（1）根据相似三角形的性质，即可求解；
（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；
②根据相似三角形的性质计算，即可求解；
（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．
解：感知：（1）∵△ABC∽△DAE，
∴，
∴，
故答案为：；
应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，
∴∠BAP=∠CPD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD；
②BC=12，点P为BC中点，
∴BP=PC=6，
·∵△ABP∽△PCD，
∴，即，
解得：CD=3.6；
拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，
∴PC=AB=10，
∴BP=BC-PC=12-10=2；
当AP=AD时，∠ADP=∠APD，
∵∠APD=∠B=∠C，
∴∠ADP=∠C，不合题意，
∴AP≠AD；
当DA=DP时，∠DAP=∠APD=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△BCA∽△ACP，
∴，即，
解得：，
∴，
综上所述，当为等腰三角形时， BP的长为2或 ．
【点拨】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式2】【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：
①如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______；
②如图2，为正三角形，，则________；
③如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________．
【模型应用】
（2）如图4，将正方形放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为________．
【模型变式】
（3）如图5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的长．
【答案】①△BDF；②△CFD；③3；（2）（3）2cm
【分析】
①根据等腰直角三角形的性质及和角关系，可得△AED≌△BDF；
②根据等边三角形的性质及和角关系，可得△BDE≌△CFD；
③根据正方形的性质及和角关系，可得△ABE≌△BCF，由全等三角形的性质即可求得EF的长；
（2）分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，根据正方形的性质及和角关系，可得△COE≌△OAD，从而可求得OE、CE的长，进而得到点C的坐标；
（3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明△BCE≌△CAD，由全等三角形的性质即可求得BE的长．
解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90゜
∴∠A=∠B=45゜
∴∠BDF+∠BFD=180゜−∠B=135゜
∵∠EDF=45゜
∴∠ADE+∠BDF=180゜−∠EDF=135゜
∴∠ADE=∠BFD
在△AED和△BDF中
∴△AED≌△BDF(AAS)
故答案为：△BDF；
②∵△ABC是等边三角形
∴∠B=∠C=60゜
∴∠BDE+∠BED=180゜−∠B=120゜
∵∠EDF=60゜
∴∠BDE+∠CDF=180゜−∠EDF=120゜
∴∠BED=∠CDF
在△BDE和△CFD中
∴△BDE≌△CFD(AAS)
故答案为：△CFD；
③∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=90゜，AB=BC
∴∠ABE+∠CBF=180゜−∠ABC=90゜
∵AE⊥l，CF⊥l
∴∠AEB=∠CFB =90゜
∴∠ABE+∠EAB=90゜
∴∠EAB=∠CBF
在△ABE和△BCF中
∴△ABE≌△BCF(AAS)
∴AE=BF=1，BE=CF=2
∴EF=BE+BF=2+1=3
故答案为：3；
（2）分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，如图所示
∵四边形OABC是正方形
∴∠AOC=90゜，AO=OC
∴∠COE+∠AOD=180゜−∠ACO=90゜
∵AD⊥x轴，CE⊥x轴
∴∠CEO=∠ADO =90゜
∴∠ECO+∠COE=90゜
∴∠ECO=∠AOD
在△COE和△OAD中
∴△COE≌△OAD(AAS)
∴CE=OD，OE=AD
∵
∴OD=1，
∴CE=1，
∵点C在第二象限
∴点C的坐标为
故答案为：；
（3）∵∠ACB=90゜
∴∠BCE+∠ACD =90゜
∵BE⊥CE，AD⊥CE
∴∠CEB=∠ADC=90゜
∴∠BCE+∠CBE=90゜
∴∠CBE=∠ACD
在△BCE和△CAD中
∴△BCE≌△CAD(AAS)
∴BE=CD，CE=AD=6cm
∴BE=CD=CE－DE=6－4=2(cm)
【点拨】本题是三角形全等的综合，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键．