初中数学北师大版（2024）九年级上册3 正方形的性质与判定课时练习

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册3 正方形的性质与判定课时练习，共40页。

【题型1】正方形中的作图问题； 【题型2】正方形中的折叠问题；
【题型3】正方形中的最值问题； 【题型4】正方形中的平移问题；
【题型5】正方形中的旋转问题； 【题型6】正方形中动点问题.
单选题（每个题型2个题）
【题型1】正方形中的作图问题；
1．（2023·广东深圳·三模）如图所示，按以下操作方式：1．以线段为边作正方形；2．取的中点E，连接；3．以E点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点F；4．再以A点为圆心为半径画弧，交边于点G；则线段的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（18-19八年级下·山西吕梁·期末）如图，正方形的对角线、交于点，以为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则的度数为（ ）
A．45°B．60°C．67．5°D．75°
【题型2】正方形中的折叠问题；
3．（2024·安徽淮南·二模）如图，E，F两点分别在正方形的边上，，沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（ ）
A．1B．C．D．2
【题型3】正方形中的最值问题；
5．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）如图，点P，Q分别是菱形的边，上的两个动点，若线段长的最大值为，菱形的边长为10，则线段长的最小值为（ ）
A．B．8C．6D．
6．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，正方形的面积为6，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ）
A．3B．6C．D．
【题型4】正方形中的平移问题；
7．（2023·天津河西·模拟预测）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则重叠部分的小正方形边长为（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点在轴上，以为边作正方形，点的坐标在一次函数上，一次函数与轴交于点，与轴交于点，将正方形沿轴向右平移个单位长度后，点刚好落在直线上，则a的值为（ ）

A．B．C．D．
【题型5】正方形中的旋转问题；
9．（23-24九年级上·重庆江津·期末）如图，正方形的边长为4，，将绕点按顺时针方向旋转得到．若，则的长为( )
A．3B．C．D．4
10．（23-24九年级下·广东江门·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，D为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点D的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【题型6】正方形中动点问题.
11．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，在正方形中，点M，N为边和上的动点（不含端点），若则的周长是（ ）
A．B．2C．D．4
12．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）

A．4B．5C．8D．10
填空题（每个题型2个题）
【题型1】正方形中的作图问题；
13．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，在正方形中，按以下步骤作图：连接相交于点；分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点；连接，交于点，连接，若，则的长为 ．
14．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，以正方形的顶点A为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点E，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点F，连接并延长，与的延长线交于点P，则 ．
【题型2】正方形中的折叠问题；
15．（22-23八年级下·江苏南京·期末）将正方形纸片对折，展开得到折痕，再次折叠，使顶点D与点M重合，折痕交于点E，交折痕于点H，已知正方形的边长为4，则的长度为 ．

16．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则 ．
【题型3】正方形中的最值问题；
17．（19-20八年级下·浙江金华·期中）如图，点P，Q分别是菱形的边、上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为8，则菱形的边长为 ．
18．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，的平分线交边于点E，M，N分别是边，上的动点，且是线段上的动点，连接，当 时，的值最小．
【题型4】正方形中的平移问题；
19．（2024·内蒙古包头·一模）如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点，交于点，则的长为 ．
20．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，正方形的顶点A，分别在轴，轴上，点在直线：上．将正方形沿轴正方向向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为 ．
【题型5】正方形中的旋转问题；
21．（2024·云南楚雄·三模）如图，点是正方形内部一点，连接，将绕点旋转一定角度得到，当三点共线时，的度数为 ．
22．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）喜欢数学的小西同学在学习旋转的时候想到了一个新的定义：对于线段，先将线段绕点M逆时针旋转，再绕点N顺时针旋转，我们称点P为线段的“双旋点”．如图，已知直线与x轴和y轴分别相交于点A，则线段的“双旋点”P的坐标为 ．
【题型6】正方形中动点问题.
23．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，正方形的边长为，点E是边的中点，点F是边上不与点A、D重合的一个动点，将沿直线折叠，使点A落在点处．当为等腰三角形时，的长为 ．
24．（2024·河南许昌·一模）正方形的边长为8，点在边上，且，点是正方形边上的一个动点，连接交于点，若，则的长为 ．
解答题（每个题型1个题）
【题型1】正方形中的作图问题；
25．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）如图，在正方形中，连接，以点B为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点E，连接，过点B作，垂足为点F，交于点G．
(1)写出图中一对全等三角形 ．
(2)求的度数．
【题型2】正方形中的折叠问题；
26．（2022·广东珠海·一模）如图，E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，将△ABF沿BF折叠，点A落在点Q处，连接FQ并延长，交DC于G点．
(1)求证：CE＝BF；
(2)若AB＝4，求GF的值．
【题型3】正方形中的最值问题；
27．（23-24八年级下·福建泉州·期中）某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：问题提出：如图，正方形中，，P为对角线上的一个动点，以P为直角顶点，向右作等腰直角．
(1)的最小值为_______，最大值为________；
(2)求证：点M在射线上；
【题型4】正方形中的平移问题；
28．（20-21九年级上·广东深圳·开学考试）如图，BD 是正方形ABCD的对角线，BC=2, 边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP.
(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形?
(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明.
【题型5】正方形中的旋转问题；
29．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求．
【题型6】正方形中动点问题.
30．（2024·北京石景山·二模）在正方形中，E是边上的一动点（不与点A，D重合），连接，点C关于直线的对称点为F，连接，．
(1)如图1，若是等边三角形，则__________；
(2)如图2，延长交的延长线于点M，连接交于点H，连接．
①求的大小；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
参考答案：
1．C
【分析】令正方形的边长为，则根据勾股定理求得，推得，即可求得．
【详解】解：令正方形的边长为，则，
由题可知，，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
即，
则，
故选：C．
【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理等，根据题意得到，是解题的关键．
2．C
【分析】由正方形的性质得出∠CBD =45°，证明△BCE是等腰三角形即可得出∠BCE的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBD =45°，BC =BA,
∵BE= BA，
∴BE= BC，
∴∠BCE=(180°-45°)÷2=67.5°.
故选：C．
【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握正方形和等腰三角形的性质进行求解是解决问题的关键．
3．B
【分析】本题考查了正方形的性质以及折叠性质，勾股定理等知识内容，根据正方形性质得出，结合折叠性质得，运用勾股定理列式得，整理得，即可作答．
【详解】解：如图：
设，
∵四边形是正方形，，
∴，
∵沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上，
∴，
在中，由勾股定理有：，
即，
整理得出，
则，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可．
【详解】解：四边形是正方形，
将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，
，
，
设，则，
，
，
，
故选：D．
5．B
【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=，利用勾股定理求出AH，再由当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH的长．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=，
∵菱形的边长为10，即AB=BC=10，
设BH=x，则AH=10+x，
则，
即，
解得：x=6，
∴AH=16，
∴CH==8，
当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH=8，
故选B．
【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
6．D
【分析】连接．由正方形的对称性可知，则，依据两点之间线段最短可知当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值，然后依据正方形和等边三角形的性质求解即可．
本题主要考查的是正方形的性质、轴对称最短路径问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，明确当点、、在一条直线上是，有最小值是解题的关键．
【详解】解：连接．
点与关于对称，
，
．
由两点之间线段最短可知当点为点处时，有最小值，最小值．
正方形的面积为6，
又是等边三角形，
．
的最小值为．
故选：D．
7．C
【分析】由有题意可知，，从而求出，设重叠部分的小正方形边长为由勾股定理求解即可．
【详解】解：由有题意可知，
，
设重叠部分的小正方形边长为
则有
解得：
故选：C．
【点拨】本题考查平移性质、正方形的性质及勾股定理解直角三角形，熟练掌握平移性质是解答的关键．
8．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，利用全等三角形的性质，求出点D的坐标是解题的关键．
由点C的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k值，进而可得出直线的函数解析式，过作轴于，过作轴于，则及，利用全等三角形的性质，可求出点D的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点D平移后的横坐标，结合平移前点D的横坐标，即可求出结论．
【详解】将代入中
直线得函数解析式为
过作轴于，过作轴于

如图所示：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
点A的坐标为，点B的坐标为，
同理可证
，，
，
平移后
将代入中
故选：D
9．C
【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理及全等三角形的判定与性质．利用三角形全等得出，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：由旋转可知，
，
，，，．
又四边形是正方形，
，，
，
则．
在和中，
，
，
．
令，
则，，．
在中，
，
即，
解得，
即．
故选：C．
10．D
【分析】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，正确找到旋转2025秒后点的位置是解题的关键．根据旋转4秒恰好旋转，说明旋转2025秒后点在x轴下方，且，再求出点的坐标即可．
【详解】解：将正方形绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转，旋转4秒恰好旋转，
…1，
∴点在x轴下方，且，
过点D作轴于点E，过点D作轴于点F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点，
故选：D
11．D
【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，先将绕点A顺时针旋转得，再根据条件证得与，得出的周长为，进而求解．
【详解】解：如图，将绕点A顺时针旋转得，
则，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的周长为：
，
，
的周长为．
故选：D．
12．B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴；
如图所示，在延长线上截取，连接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为5，
故选：B．
13．
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，正方形的性质，勾股定理，由作图可知，垂直平分，利用正方形的性质和勾股定理可得，，再由勾股定理即可求出的长，由作图得出垂直平分是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，垂直平分，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，正方形的性质，根据作图的步骤推知是的角平分线，是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
由作图可知为的平分线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】根据题意得，垂直平分，，，，则，即，根据得，即，根据勾股定理得，，则，进行计算即可得．
【详解】解：∵正方形纸片的边长为4，
∴，
∵正方形纸片对折，展开得到折痕，再次折叠，使顶点D与点M重合，
∴垂直平分，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
16．9
【分析】本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．利用证明，得，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
作于，连接，
则四边形是矩形，
，
由翻折知，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
故答案为：9．
17．10
【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AC，直线BD的距离为8，由面积法可求CH=8，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即，
当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AD，直线BC的距离为8，
∵S菱形ABCD=AD×8=AB×CH，
∴CH=8，
∴，
∵BC2=CH2+BH2，
∴BC2=（16-BC）2+64，
∴BC=10，
故答案为：10．
【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
18．2
【分析】在上截取，使得，连接，交于点T，
得到，继而得到点F是点N关于直线的对称点，利用三角形不等式，垂线段最短原理，正方形的判定和性质证明即可．
【详解】在上截取，使得，
∵矩形中，的平分线交边于点E，
∴，，
连接，交于点T，
∴，
∴点F是点N关于直线的对称点，
∴，
连接，
则，
根据垂线段最短原理，当三点共线，且时，的值最小，
∵矩形中，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
同理可证，四边形是正方形，
∴，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形不等式，垂线段最短，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握三角形不等式，垂线段最短，正方形的判定和性质是解题的关键．
19．
【分析】本题考查了平移的性质，正方形的性质，勾股定理．连接，则，得出是等腰直角三角形，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，则，
∴，
∴是等腰直角三角形，
依题意，，，
又，
∴，
故答案为：．
20．
【分析】过B作于M，过C作于N，根据定理证得，，根据全等三角形的性质求出C点的坐标为，由待定系数法求出直线l的解析式为，设平移后点C的坐标为，代入解析式即可求出m．
【详解】解：过B作于M，过C作于N，
，
∵四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
同理可证，
，，
，
，
∵点在直线上，
，
，
∴直线l的解析式为，
设正方形沿y轴向右平移m个单位长度后点C的坐标为，
∵点C在直线l上，
，
解得：
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化-平移，全等三角形的判定与性质定理，根据定理证得，，求出C点的坐标是解决问题的关键．
21．
【分析】本题考查了正方形的性质以及旋转性质，根据正方形的性质得，结合旋转性质得出，，则为等腰直角三角形，因为点共线，即可列式进行计算作答．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，
∵由旋转得到，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点共线，
∴，
．
故答案为：
22．
【分析】根据直线与x轴和y轴分别相交于点A，点B，得到，从而得到，根据题意，得，继而得到，过点P作于点G，继而得到，过点B作交于点Q，过点A作于点D，解直角三角形计算即可．
【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别相交于点A，点B，
∴，
∴，
根据题意，得，
∴，
∴，
过点P作于点G，过点B作交于点Q，
∴，
∴，
∴，
过点A作于点D，

∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点，
故答案为：．
【点拨】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，正方形的判定和性质，坐标与线段的关系，熟练掌握旋转性质，直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
23．或
【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解答本题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题．首先证明，只要分两种情形讨论即可：当时，连接．构建方程即可；当点F在中点时，满足条件．
【详解】解：如图，连接，
∵正方形的边长为，点E是边的中点，
∴，
由折叠的性质得：，
∵，
∴，
∴，
当时，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点三点共线，
设，则，，
在中，，
∴，
解得：，
即；
如图，当点F为的中点时，
由折叠的性质得：．
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
即垂直平分，
∵四边形是正方形，
∴垂直平分，
∴，此时为等腰三角形，满足条件，
此时；
综上所述，的长为或．
故答案为：或
24．或
【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理．分在上和点在上两种情况讨论，利用三角形全等判定与性质，勾股定理求解即可．
【详解】解：∵正方形的边长为8，
∴，，
当点在上时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点在上时，如图，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：或．
25．(1)（答案不唯一）
(2)的度数为
【分析】本题考查正方形性质、全等三角形的判定、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质．
（1）根据已知写出一对全等三角形即可；
（2）由四边形是正方形，可得，而，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到的度数．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵
∴，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴；
∴的度数为．
26．(1)见解析
(2)GF的值为．
【分析】（1）先判断出AF=BE，进而得出△FAB≌△EBC（SAS），即可得出结论；
（2）连接BG，根据HL证明Rt△BQG≌Rt△BCG，得QG=GC，设QG=b，在Rt△DFG中，根据勾股定理列方程可得b，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠A=∠ABC=90°，
∵E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，
∵AF=BE，
∴△FAB≌△EBC（SAS），
∴CE=BF；
（2）解：如图，连接BG，
由折叠得：AB=BQ，∠BQF=∠A=90°，
∵AB=BC，
∴BC=BQ，
∵BG=BG，
∴Rt△BQG≌Rt△BCG（HL），
∴QG=GC，
∵AB=4，F是正方形ABCD边AD的中点，
设QG=b，
则DF=AF=FQ=2，FG=2+b，DG=4-b，
在Rt△DFG中，∵DF2+DG2=FG2，
∴，
∴b=，即QG=，
∴GF=FQ+QG=2+=．
∴GF的值为．
【点拨】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是本题的关键．
27．(1)4，
(2)见解析
【分析】（1）当点P运动到对角线的中点时，值最小；当点P运动到点A或点C时，最大；
（2）分点P在线段与两种情况讨论，连接，过M作于E，证明，可得出，进而求出，然后证明B、C、M在同一条直线上即可．
【详解】（1）解：由于点P运动到与垂直时，根据“垂线段最短”可知最短，则最短，此时与对角线重合，与重合，
∴．
由于点P运动到点A或点C时，斜线段最长，因此最长，此时：，
则，
故答案为：4，；
（2）证明：连接，连接交于点，过M作于E，
①如图，当点在线段上时，

∵正方形，
∴，，，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴B、C、M三点共线，
∴点在线段的延长线上．
②如图，当点在线段上时，

同理，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
又，
∴
∴B、C、M三点共线，
∵点在线段上．
综上所述，点在射线上上．
【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等相关知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
28．（1）四边形APQD为平行四边形；（2）OA=OP；OA⊥OP；证明见解析.
【分析】（1）根据正方形性质和平移得：AD∥PQ，AD＝PQ，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得：APQD是平行四边形；
（2）OA⊥OP，OA＝OP，理由是：根据SAS证明△ABO≌△PQO，得OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，再根据∠BOQ＝90°，得∠BOP＋∠AOB＝90°，得出结论．
【详解】（1）四边形APQD是平行四边形，理由是：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
由平移得：BC＝PQ，
∴AD∥PQ，AD＝PQ，
∴四边形APQD是平行四边形；
（2）解：OA=OP，OA⊥OP，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，
∵OQ⊥BD，
∴∠PQO=45°，
∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，
∴OB=OQ，
在△AOB和△OPQ中，
∴△AOB≌△POQ（SAS），
∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，
∴∠AOP=∠BOQ=90°，
∴OA⊥OP．
【点拨】本题考查了正方形和平移的性质，明确正方形的各边相等且平行，每个角都是90°，且一条对角线平分一组对角；在证明两条线段的位置关系时，要分别说出位置和大小关系，根据全等三角形的性质得出即可．
29．(1)正方形，理由见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可得，，又由可得，由此得四边形是矩形，又由得四边形是正方形．
（2）过点D作于H，则可得，进而可得，，在中，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）四边形是正方形，理由如下：

∵将点B按顺时针方向旋转，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
（2）如图，过点D作于H，

∵四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
在中，．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
30．(1)15
(2)①；②，见解析
【分析】（1）利用正方形性质得到，利用等边三角形性质得到，进而得到，利用对称的性质得到，再利用计算求解，即可解题；
（2）①利用正方形性质得到，，利用对称的性质得到，，进而得到，设，分别利用等腰三角形性质得到，，再根据计算求解，即可解题；
②过点作交于点，连接，理由直角三角形性质和正方形性质证明，进而得到，再理由勾股定理求解，即可解题，
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
，
点C关于直线的对称点为F，
，
，
故答案为：．
（2）解：①四边形是正方形，
，，
点C关于直线的对称点为F，
，，
，
设，
，
，
；
②解：数量关系为：，
理由如下：
过点作交于点，连接，
，
，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
即．
【点拨】本题主要考查了正方形性质，等边三角形性质，对称的性质，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，掌握相关性质是解题的关键．