(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第3章第07讲拓展一：中点弦问题(5类热点题型讲练)(学生版+解析)

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第07讲 拓展一：中点弦问题知识点01：相交弦中点（点差法）： 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题：（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；中点， ， 知识点02：点差法：设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；将两式相减，可得；；最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；将两式相减，可得；整理得：题型01求直线方程 【典例1】（23-24高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（   ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高二上·重庆·期中）已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为 .【典例3】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）设抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且．(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程．【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆＋＝1内有一点P(2,3)，过点P的一条弦恰好以P为中点，则这条弦所在的直线方程为 ．【变式2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于两点，且线段的中点为，求直线的方程．【变式3】（23-24高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为是上的点，且.(1)求的方程；(2)已知直线交于两点，且的中点为，求的方程.题型02处理存在性问题 【典例1】（23-24高三上·福建福州·期中）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．【典例2】（23-24高二上·河南·期中）已知双曲线M：与抛物线有相同的焦点，且M的虚轴长为4.(1)求M的方程；(2)是否存在直线l，使得直线l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由.【变式1】（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线(1)求的方程；(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．【典例3】（2024·浙江温州·三模）已知直线与双曲线相切于点.(1)试在集合中选择一个数作为的值，使得相应的的值存在，并求出相应的的值；(2)过点与垂直的直线分别交轴于两点，是线段的中点，求点的轨迹方程.【变式1】（2024高二·全国）射线OA的方程是，射线OB的方程是，长为的动线段MN的端点M在OA上移动，端点N在OB上移动，则MN的中点的轨迹方程为 .【变式2】（2024·江苏南通·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 .【变式3】（23-24高二上·云南昆明·期中）已知点，O为坐标原点，若动点满足．(1)试求动点P的轨迹方程(2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．题型04确定参数的取值范围 【典例1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（    ）A．2 B． C． D．【典例2】（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知椭圆，过点，斜率为的直线与交于，两点，且为的中点，则 ．【典例3】（23-24高二上·四川德阳·期末）已知为圆上的动点，是圆内一点，线段的中垂线交于点，当在圆上运动时，点所成的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)若直线与曲线交于、两点，为线段的中点，求、的值．【变式1】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ．【变式2】（23-24高三下·四川巴中·期末）若直线y=kx+1与双曲线交于A､B两点，且线段AB的中点横坐标为1，则实数k= ．【变式3】（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为 ．题型05定值定点问题 【典例1】（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，椭圆（）过点，直线与椭圆相交于不同于点的，两点，为线段的中点，当直线斜率为时，直线的倾斜角等于(1)求椭圆的方程；(2)直线，分别与直线相交于，两点.线段，的中点为，若的纵坐标为定值，判断直线是否过定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由.【典例2】（23-24高二上·吉林四平·期中）已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【变式1】（23-24高三下·全国·阶段练习）已知斜率为的的直线与椭圆交于点 ，线段中点为，直线 在轴上的截距为椭圆的长轴长的倍.（1）求椭圆的方程；（2）若点都在椭圆上，且都经过椭圆的右焦点 ，设直线的斜率分别为， ，线段PQ,MN的中点分别为，判断直线是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.【变式2】（23-24高三·全国·阶段练习）已知点在椭圆：上，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，若椭圆的某条弦的中点为，试问的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.第07讲 拓展一：中点弦问题知识点01：相交弦中点（点差法）： 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题：（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；中点， ， 知识点02：点差法：设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；将两式相减，可得；；最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；将两式相减，可得；整理得：题型01求直线方程 【典例1】（23-24高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意中点弦可以采用点差法求直线斜率，根据点斜式即可得解，但要回代直线进行检验.【详解】设，则有，两式相减，得，因为线段AB的中点为，所以，因此由，即直线AB的斜率为，方程为，代入双曲线方程中，得，因为，所以线段存在.故选：C.【典例2】（23-24高二上·重庆·期中）已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为 .【答案】【分析】利用点差法可求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.【详解】若直线轴，则的中点在轴上，不合乎题意，设点、，因为若弦的中点为，则，因为，可得，即，所以，，因此，直线的方程为，即.联立可得，，所以，直线与双曲线有两个交点，合乎题意，因此，直线的方程为，故答案为：.【典例3】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）设抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且．(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由抛物线的焦半径公式可得，进而可得抛物线的方程；（2）根据点差法求中点弦所在直线方程.【详解】（1）因为，所以，故抛物线的方程为．（2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则两式相减得，整理得．因为的中点为，所以，所以直线的方程为，即．【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆＋＝1内有一点P(2,3)，过点P的一条弦恰好以P为中点，则这条弦所在的直线方程为 ．【答案】【分析】根据点差法求出弦所在直线的斜率得解.【详解】设弦为，，，则，两式相减并化简得，即，则，所以弦所在直线的方程为，即.故答案为：.【变式2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于两点，且线段的中点为，求直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件求出，即可得双曲线的方程；（2）将点坐标代入双曲线方程后做差，再将中点坐标代入可得斜率，进而可得直线方程.【详解】（1）双曲线的右焦点为，虚轴长为，，解得，双曲线的方程为；（2）线段的中点为，,点都在双曲线上，，即，．直线的方程为，即．联立，消去得，该方程有解，故直线的方程为.【变式3】（23-24高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为是上的点，且.(1)求的方程；(2)已知直线交于两点，且的中点为，求的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由抛物线定义列方程求的值即可.（2）涉及到中点弦，用点差法求中点弦的斜率，再由点斜式即可得解.【详解】（1）因为，所以，故抛物线的方程为.（2）易知直线的斜率存在，设的斜率为，则两式相减得，整理得.因为的中点为，所以，所以直线的方程为，即.联立与，得，显然，综上满足题意的的方程为.题型02处理存在性问题 【典例1】（23-24高三上·福建福州·期中）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，该直线方程为【分析】（1）设椭圆上一点，，表达出，得到，结合离心率得到，求出椭圆方程；（2）根据点差法求出斜率，再根据点斜式可求出结果．【详解】（1）由题意得，设椭圆右焦点坐标为，设椭圆上一点，，则，故，，因为，所以，，故，故椭圆上的点到又焦点的最小距离是，所以，联立与，解得，故，故椭圆的方程为．（2）假设存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，设，，则，两式相减得，得，即，直线方程为，即．所以存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，且该直线方程为．【典例2】（23-24高二上·河南·期中）已知双曲线M：与抛物线有相同的焦点，且M的虚轴长为4.(1)求M的方程；(2)是否存在直线l，使得直线l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)不存在，详见解析.【分析】（1）根据题意列方程，解方程即可得到双曲线的方程；（2）根据弦的中点坐标得到斜率，然后联立直线和双曲线方程来判断直线与双曲线是否相交.【详解】（1）抛物线的焦点为，依题意可得，解得，，故M的方程为.（2）  设，，则两式相减得.依题意可得所以.所以直线:，即，联立得，，所以直线l与M不相交，故不存在直线l.【变式1】（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线(1)求的方程；(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，该直线方程为【分析】（1）根据圆与圆外切、内切列式得，结合椭圆的定义可求出结果；（2）根据点差法求出斜率，再根据点斜式可求出结果.【详解】（1）设动圆的半径为，依题意得，所以为定值，且，所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，，，，，所以，所以椭圆的方程为.（2）假设存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，设，，则，两式相减得，得，即，由点斜式得直线方程为，即.所以存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，且该直线方程为.    【变式2】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知双曲线：的左、右两焦点分别为、，为上一点，且．(1)求双曲线的方程；(2)是否存在直线，使被所截得的弦的中点坐标是？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．【答案】(1);(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）根据已知条件及两点间的距离公式，利用双曲线的定义即可求解.（2）根据已知条件及直线的斜截式方程，将直线与双曲线联立，利用韦达定理及中点坐标公式，结合点在直线上及直线与双曲线的位置关系即可求解.【详解】（1）因为，，所以，由题意可知，，所以，，解得，，所以，故双曲线的方程为.（2）因为不在坐标轴上，所以直线的斜率存在且不为零，假设存在直线符合题意，设直线的方程为，则，消去，整理得，因为直线与双曲线相交于，所以且，，所以，因为点是线段的中点，所以，即，解得，所以所以不存在这样的直线.题型03求弦中点的轨迹方程 【典例1】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知线段的端点B的坐标是，端点A在抛物线上运动，则线段的中点的轨迹为（    ）A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆【答案】B【分析】设，借助为线段的中点及A在抛物线上，计算可得轨迹方程，即可得解.【详解】设，由为线段的中点，故，又端点A在抛物线上，故有，化简得，故线段的中点的轨迹为抛物线.故选：B.【典例2】（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆的方程为.(1)求过点，且与圆相切的直线的方程；(2)是圆上一动点，点的坐标为.若点为的中点，求动点的轨迹方程.【答案】(1)或.(2)【分析】（1）考虑切线斜率存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径计算得到答案.（2）设，根据中点坐标公式得到，代入圆方程化简得到答案.【详解】（1）当切线斜率不存在时，是圆的切线；当切线斜率存在时，设切线方程为，即，圆心到切线的距离，解得，故切线方程为，综上所述：切线方程为：或.（2）设，则，即，点在圆上，则，即.【典例3】（2024·浙江温州·三模）已知直线与双曲线相切于点.(1)试在集合中选择一个数作为的值，使得相应的的值存在，并求出相应的的值；(2)过点与垂直的直线分别交轴于两点，是线段的中点，求点的轨迹方程.【答案】(1)当时，；当时，；当时，.(2)【分析】（1）直线方程和双曲线方程联立，由求得与的函数关系，再由的值求出相应的的值；（2）设，利用导数求直线的斜率，得直线的斜率和方程，求出两点的坐标，表示出分点的坐标，由在双曲线上，得点的轨迹方程.【详解】（1）由，消去得，由，得，当时，不存在；当时，；当时，；当时，.（2）设，则，， 对C求导可得，则，有，所以，令，得，所以；令，得，所以，    所以，即，则，所以，得，，即P的轨迹方程是【变式1】（2024高二·全国）射线OA的方程是，射线OB的方程是，长为的动线段MN的端点M在OA上移动，端点N在OB上移动，则MN的中点的轨迹方程为 .【答案】【分析】设，，由中点坐标公式得，，根据段MN的长为得，代入化简即可求得轨迹方程.【详解】设，，则，，由题意，，又，则，即，所以，整理得.故答案为：【变式2】（2024·江苏南通·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 .【答案】【分析】设出直线AB的方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系，利用中点坐标公式可表示出线段中点的坐标，化简，即可得答案.【详解】由题意知直线的斜率不为0，设的方程为，联立抛物线方程，得，，设，则，设线段中点，则，即，故线段中点的轨迹方程为，即，故答案为：【变式3】（23-24高二上·云南昆明·期中）已知点，O为坐标原点，若动点满足．(1)试求动点P的轨迹方程(2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，列出方程化简即得动点P的轨迹方程.（2）设出点的坐标，表示出点的坐标，代入点P的轨迹方程得解.【详解】（1）由动点满足，得，化简得，所以动点P的轨迹方程是.（2）设点，由轴于点，且是中点，得，即，由（1）知，，因此，整理得.所以点M的轨迹方程是.题型04确定参数的取值范围 【典例1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（    ）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】利用点差法设、，作差即可得到，再根据斜率公式，从而得到，即可得解；【详解】解：设、，则，，两式相减可得，为线段的中点，，，，又，， ，即，，故选：D.【典例2】（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知椭圆，过点，斜率为的直线与交于，两点，且为的中点，则 ．【答案】【分析】根据给定条件，利用点差法求解即得.【详解】设椭圆上的点，则，两式相减得，而，即，整理得，又，于是，显然点在椭圆内，符合题意，所以.故答案为：【典例3】（23-24高二上·四川德阳·期末）已知为圆上的动点，是圆内一点，线段的中垂线交于点，当在圆上运动时，点所成的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)若直线与曲线交于、两点，为线段的中点，求、的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）由线段的垂直平分线，得到，结合椭圆的定义，即可求解；（2）直线与曲线方程联立，应用韦达定理，借助于为线段的中点，得到、的值．【详解】（1）是与中垂线的交点，，又，所以点所成的轨迹曲线是以为焦点的椭圆，，故曲线的方程为（2）把代入，得，整理得，设，则，，又为线段的中点，所以，，联立，解得，，代入验证，，符合题意，综上所述，所求的值为，.【变式1】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ．【答案】3【分析】利用点差法，结合椭圆方程和直线方程，即可求得结果.【详解】设坐标为，则，作差可得，则，根据题意可得，，则，解得.当时，联立，可得，其，满足题意；故.故答案为：.【变式2】（23-24高三下·四川巴中·期末）若直线y=kx+1与双曲线交于A､B两点，且线段AB的中点横坐标为1，则实数k= ．【答案】/【分析】联立直线y=kx+1与双曲线的方程，得到韦达定理，根据中点坐标即可求解.【详解】联立直线y=kx+1与双曲线可得，即，∵，直线y=kx+1与双曲线交于A､B两点，∴x1+x2=2，，∴，∴k且∵线段AB的中点横坐标为1，∴x1+x2=2，∴，∴，∴k，∵，∴k，故答案为：．【变式3】（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为 ．【答案】0或【分析】设，，，，的中点为，，由点差法可得；通过两点关于直线对称，可得，求出的坐标，代入抛物线方程求解即可．【详解】解：设，，，，的中点为，，则，由点差法可得，即①，显然，又因为②，代②入①可得；由两点关于直线对称，可得，所以，又因为，所以，代入抛物线方程得，解得或．故答案为：0或．题型05定值定点问题 【典例1】（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，椭圆（）过点，直线与椭圆相交于不同于点的，两点，为线段的中点，当直线斜率为时，直线的倾斜角等于(1)求椭圆的方程；(2)直线，分别与直线相交于，两点.线段，的中点为，若的纵坐标为定值，判断直线是否过定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由.【答案】(1)；(2)直线过点.【分析】（1）根据点得到，然后利用点差法得到，即可得到，然后写椭圆方程即可；（2）设的坐标，根据直线的方程得到点的坐标，然后将，转化为方程的两根，根据的纵坐标和韦达定理得到，最后根据的纵坐标为定值得到，，即可得到直线过定点.【详解】（1）由已知得，设，，中点为由相减得，∴，即.所以椭圆方程为.（2）设，，所以：，即，∴，同理，设直线过点，∴，是方程的两根.即，整理得，又为线段的中点，故直线的斜率为.又，所以直线的方程为，即，显然恒过定点.当时，过点.综上所述，恒过定点.【变式1】（23-24高三下·全国·阶段练习）已知斜率为的的直线与椭圆交于点 ，线段中点为，直线 在轴上的截距为椭圆的长轴长的倍.（1）求椭圆的方程；（2）若点都在椭圆上，且都经过椭圆的右焦点 ，设直线的斜率分别为， ，线段PQ,MN的中点分别为，判断直线是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.【答案】（1）；（2）过定点，.【分析】（1）利用点差法可得，再由直线的方程为，求出轴上的截距，结合题意即可求解.（2）设直线的方程分别为，分别将直线与椭圆方程联立，分别求出，，求出直线方程，化简整理即可求解.【详解】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查数学运算及逻辑推理的核心素养.（1）设，则，且两式相减得即，即，所以又直线的方程为，令，得所以，所以椭圆的方程为.（2）由题意得，直线的方程分别为，设，联立，得，所以，则同理所以 由得，所以直线的方程为整理得，所以直线过定点.【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出直线方程，求出点、以及直线的方程为，考查了运算求解能力，综合性比较强.【变式2】（23-24高三·全国·阶段练习）已知点在椭圆：上，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，若椭圆的某条弦的中点为，试问的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）是定值，.【解析】（1）根据已知条件列出关于，，的等量关系式求椭圆的方程；（2）先用点差法求出弦的方程，再联立方程用韦达定理求出两根之积，最后用数量积的坐标运算得出的值.【详解】（1）由条件知，，且，解得，，所以椭圆的方程为；（2）的值为定值，证明如下：设点，的坐标为，，易知中点在线段上，因为点，所以，又，，两式相减得，，易知，，所以，即.设方程为，代入并整理得，所以，，则，故.【点睛】本题考查求椭圆方程的标准方程，点差法设而不求算中点弦方程，联立方程利用韦达定理解决综合问题，考查求解运算能力，是中档题.