(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第三章第十二讲第3章圆锥曲线的方程重点题型章末总结(学生版+解析)

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第12讲 第三章 圆锥曲线的方程 重点题型章末总结 题型01圆锥曲线的定义【典例1】（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）已知点P在椭圆C：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【典例2】（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（    ）A．8或20 B．20 C．6或22 D．22【典例3】（2024·陕西西安·二模）若为椭圆上一点，，为的两个焦点，且，则 ．【变式1】（2024高三上·全国·竞赛）设焦距相同的椭圆和双曲线相交于分别位于第一象限､第二象限的两点，两圆锥曲线的公共左焦点为，则的值是（    ）A． B． C． D．【变式2】（2024·陕西·模拟预测）已知为抛物线的焦点，第一象限的点在抛物线上，且，则（    ）A．1 B．3 C．6 D．9【变式3】（23-24高二上·吉林·阶段练习）已知抛物线：，若上一点到焦点的距离为6，则的值为 .题型02圆锥曲线的标准方程【典例1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ）A． B．或C． D．或【典例2】（2024·山西晋城·二模）已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（    ）A． B． C． D．【典例3】（2024·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ）A． B． C． D．【变式1】（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知双曲线的虚轴长为4，离心率为，则该双曲线的方程为（    ）A． B． C． D．【变式2】（2024·河南·模拟预测）已知为坐标原点，为抛物线（）的焦点，点在上，且，则的方程为（    ）A． B． C． D．【变式3】6．（多选）（23-24高二上·安徽芜湖·期中）若椭圆绕其对称中心旋转，所得新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，就称该椭圆为“对称椭圆”．下列是“对称椭圆”的方程有（    ）A． B． C． D．题型03圆锥曲线的焦点三角形问题【典例1】（2024·四川·模拟预测）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（   ）A． B． C． D．【典例2】（多选）（23-24高二下·河北张家口·期中）已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（    ）A．存在点使 B．的周长为16C．的最大面积为12 D．的最大值为【典例3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为 ．【变式1】（多选）（2024·全国·模拟预测）若是双曲线上一点，分别为的左、右焦点，则下列结论中正确的是（    ）A．双曲线的虚轴长为 B．若，则的面积为2C．的最小值是 D．双曲线的焦点到其渐近线的距离是2【变式2】（多选）（23-24高二上·广东清远·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一动点，则下列说法正确的是（    ）A．椭圆的离心率为 B．的最大值为C．的周长为 D．存在点，使得为等边三角形【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ．题型04椭圆、抛物线中的离心率问题【典例1】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【典例2】（2024·四川成都·模拟预测）设点，分别为双曲线的左、右焦点，点A，B分别在双曲线C的左，右支上.若，，且，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【典例3】（2024高三下·全国·专题练习）已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 .【变式1】（2024·陕西安康·模拟预测）设分别为椭圆的左､右顶点，是上一点，且，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【变式2】（24-25高三上·甘肃庆阳·阶段练习）已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，P是C上支上的一点（不在y轴上），与x轴交于点A，的内切圆在边上的切点为B，若，则C的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【变式3】（23-24高二下·湖北武汉·期末）如图所示，设点F是双曲线 与抛物线 的公共焦点，B是上的一点，若双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，双曲线的离心率为e，则 题型05直线与圆锥曲线的位置关系【典例1】（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【典例2】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（    ）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【典例3】（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）过点且和抛物线C：有且仅有一个公共点的直线方程是 ．【变式1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ）A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条A．0 B．1 C．2 D．3【变式3】（多选）（2024高二·全国·专题练习）若直线与双曲线有两个交点，则的值可以是（    ）A．4 B．2 C．1 D．题型06圆锥曲线中的中点弦问题【典例1】（2024高三·全国·专题练习）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切．(1)求圆心的轨迹方程；(2)问：曲线上是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．【典例3】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为，点在C上，且(1)求C的标准方程；(2)已知直线l交于两点，且的中点为，求直线l的方程.【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆＋＝1内有一点P(2,3)，过点P的一条弦恰好以P为中点，则这条弦所在的直线方程为 ．【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线，直线与双曲线交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 .【变式3】（23-24高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为是上的点，且.(1)求的方程；(2)已知直线交于两点，且的中点为，求的方程.题型07圆锥曲线中的弦长问题【典例1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（     ）A． B． C． D．【典例2】（2023高三·全国·专题练习）如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点．过抛物线焦点直线，交抛物线于、四点，，则AB的方程为 ．【典例3】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知椭圆：离心率，短轴长为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线过椭圆的右焦点，并与椭圆相交于，两点，截得的弦长为，求直线的方程.【变式1】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ．【变式2】（23-24高二下·上海闵行·期末）已知椭圆C:的左右两焦点分别为和，右顶点是A，且，.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若斜率为1的直线交椭圆C于M、N两点，且，求直线的方程.【变式3】（23-24高二下·广东茂名·开学考试）已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点．(1)求双曲线的方程；(2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求．题型08圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题【典例1】（23-24高二下·四川泸州·期末）已知椭圆C：经过点，且焦距与长半轴相等.(1)求椭圆C的方程；(2)不过右焦点且与x轴垂直的直线交椭圆C于A，M两个不同的点，连接交椭圆C于点B．（i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；（ii）若过左焦点的直线交椭圆C于D，G两个不同的点，且ABDG，求四边形ADBG面积的最小值.【典例2】（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知双曲线，点，直线与双曲线C交于不同的两点.(1)若的重心在直线上，求k的值；(2)若直线过双曲线C的右焦点F，且直线的斜率之积是，求的面积.【典例3】（2024·山东·模拟预测）已知抛物线：经过点.(1)求抛物线的方程；(2)设直线与的交点为，，直线与倾斜角互补.（i）求的值；（ii）若，求面积的最大值.【变式1】（2024·上海·三模）已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点.(1)求椭圆的离心率；(2)当，且点在轴上方时，求、两点的坐标；(3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，右焦点到渐近线的距离为1，且离心率为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点的直线（直线的斜率不为0）与双曲线交于，两点，若，分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别记为，，求的值.【变式3】（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线：与双曲线：相交于点．(1)若，求抛物线的准线方程；(2)记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值．题型09圆锥曲线中的定点、定值问题【典例1】（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知双曲线的焦距为8，右焦点为，直线与双曲线在一､三象限的交点分别为，且．(1)求双曲线的方程及的面积；(2)直线与双曲线交于两点，若直线与轴分别交于点，且．证明：为定值．【典例2】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习） 点，是椭圆上的两点，过原点的直线交椭圆于两点，其中点在第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，连接并延长，交椭圆于另一点 ，(1)求椭圆的标准方程；(2)求证 为定值．【典例3】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且．(1)求抛物线的方程．(2)若是抛物线上一点，过点的直线与拋物线交于两点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【变式1】（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，且过点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点．【变式2】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆：，焦点为，，椭圆上有一点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于，两点，过作轴的垂线交椭圆于另一个点，求证直线过定点.【变式3】（2024·上海·一模）已知抛物线，过点与轴不垂直的直线与交于两点．(1)求证：是定值（是坐标原点）；(2)的垂直平分线与轴交于，求的取值范围；(3)设关于轴的对称点为，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．题型10圆锥曲线中的定直线问题【典例1】（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形的顶点分别在x轴和y轴上滑动，且，记动点P的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)过点的动直线l与曲线交于不同的两点时，在线段上取点Q，满足．试探究点Q是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．【典例2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左､右顶点分别是，直线与交于两点（不与重合），设直线的斜率分别为，且.(1)判断直线是否过轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.(2)若分别在第一和第四象限内，证明：直线与的交点在定直线上.【变式2】（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程；(2)设双曲线左右顶点分别为，在直线上取一点，直线交双曲线右支于点，直线交双曲线左支于点，直线和直线的交点为，求证：点在定直线上.【变式3】（23-24高三下·全国·阶段练习）如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.  (1)求抛物线C的标准方程；(2)求证：点P在定直线上.题型11圆锥曲线中的向量问题【典例1】（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，过点且与垂直的直线交轴负半轴于点，且．(1)求证：是等边三角形；(2)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求此时椭圆的方程；(3)若，直线过且与椭圆交于，两点，，且，求的斜率．【典例2】（23-24高二下·上海·阶段练习）如图:双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交轴于点.(1)当直线平行于的斜率大于的渐近线时，求直线与的距离；(2)当直线的斜率为时，在的右支上是否存在点，满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由;【典例3】（23-24高二上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到焦点的距离为5.(1)求抛物线的方程；(2)若直线交抛物线于两点（位于对称轴异侧），且，问：直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；若不过，请说明理由.【变式1】（2024·河北·模拟预测）已知焦距为的椭圆：的右焦点为，右顶点为，过作直线与椭圆交于、两点（异于点），当轴时，.(1)求椭圆的方程；(2)证明：是钝角.【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点．(1)求双曲线的方程；(2)若为线段的中点，求直线的方程；(3)当直线过点时，求的取值范围．【变式3】（23-24高三下·福建泉州·开学考试）已知抛物线经过点．(1)求抛物线的方程及其准线方程．(2)设为原点，直线与抛物线交于（异于）两点，过点垂直于轴的直线交直线于点，点满足．证明：直线过定点．第12讲 第三章 圆锥曲线的方程 重点题型章末总结 题型01圆锥曲线的定义【典例1】（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）已知点P在椭圆C：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】连接与椭圆的右焦点，与的中点，结合相似三角形与椭圆的定义求解即可.【详解】由已知得：，【典例2】（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（    ）A．8或20 B．20 C．6或22 D．22【答案】B【分析】根据中位线的性质和双曲线的定义，即可求.【详解】由双曲线方程可知，，，设双曲线的右焦点为，中，点分别是的中点，所以，则，又因为.故选：B【典例3】（2024·陕西西安·二模）若为椭圆上一点，，为的两个焦点，且，则 ．故答案为：【变式1】（2024高三上·全国·竞赛）设焦距相同的椭圆和双曲线相交于分别位于第一象限､第二象限的两点，两圆锥曲线的公共左焦点为，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，设右焦点，则，结合椭圆与双曲线的定义计算即可求解.【详解】椭圆的半焦距为，则，所以，设右焦点，则，所以.故选：D【变式2】（2024·陕西·模拟预测）已知为抛物线的焦点，第一象限的点在抛物线上，且，则（    ）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义求出，再代入点坐标求出t值即可.【详解】由，得点到抛物线准线的距离为10，则，解得，即抛物线方程为，于是，而点在第一象限，所以.故选：C【变式3】（23-24高二上·吉林·阶段练习）已知抛物线：，若上一点到焦点的距离为6，则的值为 .【答案】6【分析】根据抛物线的定义结合题意列方程求解即可【详解】抛物线：的焦点为，准线为，过作于，则，解得故答案为：6题型02圆锥曲线的标准方程【典例1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】由于不知道焦点在哪个轴上，所以需要分类讨论.【详解】当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为，由离心率为，可得.【典例2】（2024·山西晋城·二模）已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意求圆C的圆心和半径，利用点到直线距离可得焦点到渐近线的距离，结合题意分析求解即可.【详解】因为圆的圆心为，半径，又因为双曲线的一条渐近线为，即，双曲线的左焦点到渐近线的距离，由题意可知：，可得，所以该双曲线的方程为.故选：D.【典例3】（2024·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.【详解】设抛物线的标准方程为，将点点代入，得，解得，所以抛物线的标准方程是.故选：B【变式1】（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知双曲线的虚轴长为4，离心率为，则该双曲线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【变式2】（2024·河南·模拟预测）已知为坐标原点，为抛物线（）的焦点，点在上，且，则的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由抛物线定义得到，利用解得，进而求得抛物线方程.【详解】由抛物线的定义，可知，又，，所以，得.由点在上，得，结合，解得.所以的方程为.故选：A.【变式3】6．（多选）（23-24高二上·安徽芜湖·期中）若椭圆绕其对称中心旋转，所得新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，就称该椭圆为“对称椭圆”．下列是“对称椭圆”的方程有（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据“对称椭圆”的定义可知，然后逐个分析判断.【详解】因为新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，所以，即，对于A，，则，所以，所以A正确，对于B，，则，所以，所以B错误，对于C，，则，所以，所以C正确，对于D，，则，所以，所以D错误，故选：AC题型03圆锥曲线的焦点三角形问题【典例1】（2024·四川·模拟预测）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（   ）A． B． C． D．【答案】B【典例2】（多选）（23-24高二下·河北张家口·期中）已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（    ）A．存在点使 B．的周长为16C．的最大面积为12 D．的最大值为【答案】BCD【分析】对于A，由可得点的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点的轨迹与椭圆没有交点，由此得以判断；对于B，利用椭圆的定义可得的周长，由此判断即可；对于C，根据椭圆所以假设不成立，即不存在点使得，故A错误；对于B：的周长为，故B正确；对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大，所以，故C正确；对于D： ，又，所以，所以，故D正确. 故选：BCD.【典例3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为 ．【答案】3【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可.【变式1】（多选）（2024·全国·模拟预测）若是双曲线上一点，分别为的左、右焦点，则下列结论中正确的是（    ）A．双曲线的虚轴长为 B．若，则的面积为2C．的最小值是 D．双曲线的焦点到其渐近线的距离是2【答案】BC【分析】由题意得，由此可直接判断A，由勾股定理以及双曲线定义可得，由此可判断B，由焦半径范围可判断C，得出双曲线焦点坐标、渐近线方程，由点到直线距离公式可判断D.【详解】由双曲线，得双曲线，设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为.选项A：得，故双曲线的虚轴长为，故A错误.选项B：得，则，，得，故的面积为，故B正确.选项C：易知，故C正确.选项D：易得双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为，故D错误.故选：BC.【变式2】（多选）（23-24高二上·广东清远·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一动点，则下列说法正确的是（    ）A．椭圆的离心率为 B．的最大值为C．的周长为 D．存在点，使得为等边三角形【详解】由椭圆，可得，，则，对于选项A，椭圆的离心率，故A正确；对于选项B，设点，则，且有，可得，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故B错误；对于选项C，的周长为，故C错误；对于选项D，当点为椭圆的短轴的端点时，可得，，此时为等边三角形，故D正确．故选：AD.【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ．【答案】8【分析】利用双曲线性质、焦半径的范围将所求转换为对勾函数的最小值即可得解.【详解】，，，而函数在上单调递增，所以当且仅当时，.故答案为：8.题型04椭圆、抛物线中的离心率问题【典例1】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【典例2】（2024·四川成都·模拟预测）设点，分别为双曲线的左、右焦点，点A，B分别在双曲线C的左，右支上.若，，且，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意画出图形，设，则，由双曲线的定义解得 或，然后分类讨论，并借助余弦定理和即可得解.【详解】，A、B、三点共线，设，由双曲线定义得，，所以，∵，，即，解得或，由，则，得，所以，，解得，故选：D.【典例3】（2024高三下·全国·专题练习）已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 .【答案】【分析】结合题目条件可得四边形是矩形，设，由可得，又【变式1】（2024·陕西安康·模拟预测）设分别为椭圆的左､右顶点，是上一点，且，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意，根据余弦定理和同角的商数关系可得，，设，则，得，结合离心率的概念即可求解.【详解】在中，由，得，所以，由，得，所以，设，则，又，又，.故选：D.【变式2】（24-25高三上·甘肃庆阳·阶段练习）已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，P是C上支上的一点（不在y轴上），与x轴交于点A，的内切圆在边上的切点为B，若，则C的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用切线长定理，结合双曲线的对称性可得，再建立不等关系求出离心率的范围.【详解】设该内切圆在上的切点分别为D，E，则有，，，又，，则，即，解得，由，即，得，所以．故选：A【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.【变式3】（23-24高二下·湖北武汉·期末）如图所示，设点F是双曲线 与抛物线 的公共焦点，B是上的一点，若双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，双曲线的离心率为e，则 【答案】【分析】由题意可得，进而可设，由题意可得，消去，可得，计算可得结论.【详解】由题意可得，所以，设，的斜率为，中点，因为双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故答案为：.题型05直线与圆锥曲线的位置关系【典例1】（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】C【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可.【详解】因为直线过点，而为椭圆的右端点和上端点，故直线与椭圆相交.故选：C.【典例2】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（    ）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【答案】C【分析】设出直线方程，联立，结合判别式可得答案.【详解】当直线的斜率不存在时，显然与双曲线没有公共点.当直线的斜率存在时，设方程为，与双曲线方程联立可得，当时，即时，此时直线和双曲线的公共点只有1个，时，；时，.当时，，整理可得，因为，所以有两个不等的实数根，又因为不是的根，所以此时直线和双曲线的公共点只有1个.综上可知直线和双曲线的公共点只有1个时，直线有4条.故选：C.【典例3】（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）过点且和抛物线C：有且仅有一个公共点的直线方程是 ．【答案】或或【分析】与抛物线只有一个公共点的直线有切线和平行对称轴两种，然后结合条件即得.【详解】设直线方程为或（当斜率不存在时），当直线与抛物线相切时只有一个公共点，满足题意，此时：由，得，由得，此时切线方程为；经检验，也是抛物线的切线方程；当直线与抛物线对称轴轴平行时，直线与抛物线也只有一个交点，此时直线方程为；故答案为：或或.【变式1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ）A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定【答案】B【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系.【详解】，即，令，解得，则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内，则直线与椭圆的位置关系为相交.故选：B.【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】考虑直线斜率存在：，和不存在三种情况，讨论即可得解.【详解】因为点不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意；当直线斜率时，易知满足条件；当直线斜率存在且时，设直线方程为，由，整理得到，由，解得.综上所述：满足条件的直线有条.故选：D【变式3】（多选）（2024高二·全国·专题练习）若直线与双曲线有两个交点，则的值可以是（    ）A．4 B．2 C．1 D．【答案】AD【分析】利用双曲线的性质结合条件即可求出结果.【详解】因为在双曲线中，或，又与双曲线有两个交点，则或，所以选项A和D符合题意，故选：AD.题型06圆锥曲线中的中点弦问题【典例1】（2024高三·全国·专题练习）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，，的中点为，可得，运用“点差法”求解可得，代入求得结果.【详解】设，，的中点为，则，由点在椭圆上得，两式相减得，整理得，由，，即，将代入，解得，，所以.故选：D．【典例2】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切．(1)求圆心的轨迹方程；(2)问：曲线上是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1）根据圆内切及外切的性质，结合双曲线定义即可得；（2）可假设存在后设出该弦所在直线，则能求出该直线则存在，若得出矛盾点，则不存在.【详解】（1）∵圆M与圆外切，且圆M与圆内切，∴，，∴，∴点M的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，∴点M的轨迹方程是；（2）法一：设被点平分的弦所在的直线方程为，代入双曲线方，得，∴，解得．设弦的两端点为，，则．∵点是弦的中点，∴，∴．故双曲线上不存在被点平分的弦．法二：设双曲线上存在被点B平分的弦，且点，，则，，且，由①②得，∴，∴直线的方程为，即．由消去y，得．又，∴直线与双曲线不相交，故双曲线上不存在被点B平分的弦．【典例3】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为，点在C上，且(1)求C的标准方程；(2)已知直线l交于两点，且的中点为，求直线l的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由点在抛物线上得A坐标，结合正弦定理得，即可求解；（2）利用点差法结合中点坐标求解.【详解】（1）过点A作轴于B，易知点则所以在中，由正弦定理得       得                                          所以                                                         解得，所以C的标准方程为（2）当直线l的斜率不存在时，MN 的中点不可能为，故直线l的斜率存在且不为零，设直线l的斜率为则,两式相减得，整理得因为的中点为,所以，所以所以直线l的方程为，即【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆＋＝1内有一点P(2,3)，过点P的一条弦恰好以P为中点，则这条弦所在的直线方程为 ．【答案】【分析】根据点差法求出弦所在直线的斜率得解.【详解】设弦为，，，则，两式相减并化简得，即，则，所以弦所在直线的方程为，即.故答案为：.【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线，直线与双曲线交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 .【答案】【分析】利用点差法求直线的斜率.【详解】设，则，两式相减得，故，即直线的斜率为.故答案为：.【变式3】（23-24高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为是上的点，且.(1)求的方程；(2)已知直线交于两点，且的中点为，求的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由抛物线定义列方程求的值即可.（2）涉及到中点弦，用点差法求中点弦的斜率，再由点斜式即可得解.【详解】（1）因为，所以，故抛物线的方程为.（2）易知直线的斜率存在，设的斜率为，则两式相减得，整理得.因为的中点为，所以，所以直线的方程为，即.联立与，得，显然，综上满足题意的的方程为.题型07圆锥曲线中的弦长问题【典例1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用斜率已知，即角的正切值已知，结合抛物线的几何性质，来解直角三角形求一条焦半径，再利用抛物线的两焦半径的倒数和为定值，从而去求另一条焦半径，最后求得弦长.【详解】  如图作垂直于准线，垂足为，可知设，直线的斜率为得， ，则，由勾股定理得：，即，化简得：，解得，再设过焦点的直线为与抛物线联立消元得：，设交点，则，而，当时，解得，此时，当时，解得，此时，故选：D.【典例2】（2023高三·全国·专题练习）如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点．过抛物线焦点直线，交抛物线于、四点，，则AB的方程为 ．【答案】【分析】设抛物线方程为，由题意求出其焦点坐标，可求出,设直线方程为 ，联立直线与抛物线方程，由求出，即可求出结果．【详解】设抛物线方程为，圆的圆心恰是抛物线的焦点，∴． 抛物线的方程为：，设直线方程为 ，设，，则，得，且恒成立， ，． 得，则直线方程为．故答案为：.【典例3】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知椭圆：离心率，短轴长为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线过椭圆的右焦点，并与椭圆相交于，两点，截得的弦长为，求直线的方程.【答案】(1)(2)和【分析】（1）由短轴长可知，根据离心率可求，即可得椭圆的标准方程；（2）由已知分直线的斜率存在和不存在两种情况，当直线斜率存在时，设直线方程，与椭圆方程联立构成方程组，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，根据弦长公式求解，当直线斜率不存在时，可得不合题意.【详解】（1）由短轴长为2，得，由，得，，所以椭圆的标准方程为；（2）由（1）可知椭圆的右焦点为，当直线的斜率存在时，设直线方程：， 由，可得，设，，，，，所以，当直线的斜率不存在时，， 不符合，所以直线方程为和.【变式1】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ．【答案】【分析】联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据弦长公式求解.【详解】设双曲线与直线交于两点，由消去整理得，则，解得，且，所以．由，解得，所以．故答案为：【变式2】（23-24高二下·上海闵行·期末）已知椭圆C:的左右两焦点分别为和，右顶点是A，且，.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若斜率为1的直线交椭圆C于M、N两点，且，求直线的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，联立方程组，得到，结合弦长公式，列出方程，求得，即可求解.【详解】（1）解：由题意知，点为椭圆的右顶点，且，，可得，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）解：设直线的方程为，且，联立方程组，整理得，则，且，可得 ，解得，可得，所以直线的方程为，即或.【变式3】（23-24高二下·广东茂名·开学考试）已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点．(1)求双曲线的方程；(2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求．【答案】(1)(2)6【分析】（1）根据共渐近线得到，根据焦点得到，解得答案.（2）联立方程得到根与系数的关系，利用弦长公式计算得到答案.【详解】（1）双曲线与有相同的渐近线，则，为的右焦点，则，解得，，双曲线方程为；（2）直线的方程为，，即，，，，.题型08圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题【典例1】（23-24高二下·四川泸州·期末）已知椭圆C：经过点，且焦距与长半轴相等.(1)求椭圆C的方程；(2)不过右焦点且与x轴垂直的直线交椭圆C于A，M两个不同的点，连接交椭圆C于点B．（i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；（ii）若过左焦点的直线交椭圆C于D，G两个不同的点，且ABDG，求四边形ADBG面积的最小值.【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可求解；（2）（i）根据题意，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，表示出直线的方程，求出其与轴交点，即可证明；（ii）由弦长公式分别表示出，结合面积公式代入计算，再由基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意知，解得.故椭圆的方程为；（2）（i）由题意知斜率存在，设其方程为，，则，由，得，由于直线过椭圆焦点，则必有，则，直线的方程为，不妨设直线交轴于点，令，可得，即直线MB过定点；（ii）因为，所以，同理可得，又，则，当且仅当时等号成立，即四边形ADBG的面的最小值为.【典例2】（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知双曲线，点，直线与双曲线C交于不同的两点.(1)若的重心在直线上，求k的值；(2)若直线过双曲线C的右焦点F，且直线的斜率之积是，求的面积.【答案】(1)1(2)【分析】（1）联立直线与双曲线方程，根据韦达定理以及重心坐标公式可得重心坐标，代入中即可求解，（2）联立直线与双曲线方程，得韦达定理，进而根据斜率公式，即可代入化简求解斜率，由弦长公式以及点到直线距离公式即可求解面积.【详解】（1）设，联立方程，即，，又的重心为，由题设，即，.所以，则.（2）由题设，直线，联立方程即，，则，，代入化简得，所以或（过M点舍），直线为，代入双曲线得，，而M点到的距离为d，则，.【典例3】（2024·山东·模拟预测）已知抛物线：经过点.(1)求抛物线的方程；(2)设直线与的交点为，，直线与倾斜角互补.（i）求的值；（ii）若，求面积的最大值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）.【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值.（2）（i）把直线方程代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到和，把直线与倾斜角互补，转化成,可求的值；（ii）先求弦长，再求到直线的距离，可表示出的面积，再结合基本不等式可求面积的最大值.【详解】（1）由题意可知，，所以 ，所以 抛物线的方程为.（2）（i）如图：设，将直线的方程代入得：，所以，因为直线与倾斜角互补，所以，即，所以，即，所以.（ii）由（i）可知，所以，则， 因为，所以，即，又点到直线的距离为， 所以，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为 .【变式1】（2024·上海·三模）已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点.(1)求椭圆的离心率；(2)当，且点在轴上方时，求、两点的坐标；(3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)；(3)存在直线或满足题意【分析】（1）根据椭圆方程直接求，即可得离心率；（2）由垂直的向量表示化简，结合点在椭圆上即可求出点坐标，再联立直线与椭圆可得B点坐标；（3）由直线方程得出，分别求出三角形面积，根据面积相等建立方程求出即可得解.【详解】（1）由椭圆方程知，，，所以，所以离心率.（2），，设，且.所以，，，，又在椭圆上，满足，即，，解得，即.所以直线：，联立，解得或，所以；（3）设，，，，直线：，联立，得.则，.直线的方程：，令得纵坐标；直线的方程：，令得的纵坐标.则，若，即，，，，代入根与系数的关系，得，解得.存在直线或满足题意.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法:（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，表示出三角形的面积;（2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为或的形式求解.【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，右焦点到渐近线的距离为1，且离心率为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点的直线（直线的斜率不为0）与双曲线交于，两点，若，分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别记为，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由条件可得关于的方程，即可求解；（2）由直线方程与双曲线方程联立，并表示直线的直线方程，并求点的坐标，并转化为，结合韦达定理，即可表示求解.【详解】（1）设，其中一条渐近线方程为，即，则焦点到渐近线的距离，又，则，则，所以双曲线方程为；（2）由（1）知，设直线，,联立，得，，，，直线的方程为，当时，，直线的方程为，当时，，即，，如图可知，，，，，当，时，，，所以，即，当时，，所以.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用点的坐标表示点的坐标，再一个关键是计算问题，利用韦达定理正确表示面积比值，即可求解.【变式3】（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线：与双曲线：相交于点．(1)若，求抛物线的准线方程；(2)记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值．【答案】(1)；(2)证明见解析，.【分析】（1）求出，代入求出即可求出准线方程.（2）把直线的方程分别与、联立，用表示出，进而求出切点的坐标，再求出三角形面积即得结果.【详解】（1）由，得，将其代入，得，所以抛物线的方程为，其准线方程为.（2）由，得，由直线与相切，得，解得，切点，由，得， 由直线与相切，得，解得，切点，于是，令，则直线的方程为，点，由，得，所以，点到直线的距离为，所以，所以的面积为定值，该定值为.【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．题型09圆锥曲线中的定点、定值问题【典例1】（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知双曲线的焦距为8，右焦点为，直线与双曲线在一､三象限的交点分别为，且．(1)求双曲线的方程及的面积；(2)直线与双曲线交于两点，若直线与轴分别交于点，且．证明：为定值．【答案】(1)，的面积为(2)【分析】（1）根据对称以及锐角三角函数可得，进而利用双曲线定义即可求解，（2）联立直线与曲线方程得韦达定理，进而根据点斜式直线方程求解的坐标，利用垂直平分线的性质，结合韦达定理即可化简求解.【详解】（1）由于，故，又，且关于对称，所以,因此，在中，，取椭圆左焦点,连接，根据对称性可得，由椭圆定义可得,即，由于，所以，进而可得，故双曲线方程为，（2）设，，,，由（1）知,即，联立与的方程可得则，，则直线方程为，令，则，故同理可得,由于，所以在线段的垂直平分线上，故，故，，，化简得代入韦达定理可得即，故，故，或，若，此时直线经过定点，该点与重合，不满足题意，故【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与定值的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或定值.【典例2】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习） 点，是椭圆上的两点，过原点的直线交椭圆于两点，其中点在第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，连接并延长，交椭圆于另一点 ，(1)求椭圆的标准方程；(2)求证 为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）分类讨论当椭圆的焦点在、时，设椭圆方程，将点的坐标代入建立方程组，解之即可求解；（2）设，根据两点表示直线斜率公式可得，结合即可求解.【详解】（1）当椭圆的焦点在轴时，设椭圆的方程为，则，解得，所以椭圆的方程为；当椭圆的焦点在轴时，设椭圆的方程为，则，解得，所以椭圆的方程为，不符合题意.所以椭圆的方程为；（2）设，则，可得·.又，所以，从而，为定值【典例3】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且．(1)求抛物线的方程．(2)若是抛物线上一点，过点的直线与拋物线交于两点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)为定值，理由见解析【分析】（1）由点在抛物线上及，列出方程组求解即可；（2）设直线方程为，，由韦达定理及直线斜率公式代入化简计算即可．【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，因为，所以，联立，解得，所以抛物线的方程为．（2）由在抛物线上，得，即，显然，过点的直线斜率不为0，故设直线方程为，，由，得，，或，，，，，，所以，故为定值．  【变式1】（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，且过点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从而可求出双曲线方程（2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点M的坐标，再利用表示出点N的坐标，再表示出直线MN的方程，可求得直线MN过定点，从而可求得答案.【详解】（1）由题意得，得，所以，因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线方程为．（2），设直线方程为，，由，得，则，所以，所以的中点，因为，所以用代换，得，当，即时，直线的方程为，过点，当时，，直线的方程为，令，得，所以直线也过定点．【变式2】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆：，焦点为，，椭圆上有一点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于，两点，过作轴的垂线交椭圆于另一个点，求证直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的定义即可求出，再根据焦点和之间的关系即可求出椭圆方程.（2）设出直线的方程及点的坐标，将直线的方程用所设点的坐标表示，根据对称性可知所过定点在轴上，联立直线的方程和椭圆的方程，结合根于系数之间的关系即可求出定点坐标.【详解】（1），∴，又，∴，故椭圆的标准方程为.（2）设直线的方程为，，联立，∴，∴则，直线的斜率，直线的方程为，令，有即，∴直线过定点【变式3】（2024·上海·一模）已知抛物线，过点与轴不垂直的直线与交于两点．(1)求证：是定值（是坐标原点）；(2)的垂直平分线与轴交于，求的取值范围；(3)设关于轴的对称点为，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析，.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦的中点坐标及弦的中垂线方程，进而求出，再结合判别式求解即得.（3）设出D点的坐标，求出直线BD的方程，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线不垂直于坐标轴，设过点的直线的方程为，由消去x得：，，则，所以为定值.（2）设两点的中点坐标为，则，，则，即AB的垂直平分线为，令，解得，显然，当时，恒有成立，则，当时，，则，所以的取值范围为.（3）由A关于轴的对称点为D，得，则直线BD：，整理得：.又.因此直线BD为：，即过定点，所以直线过定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.题型10圆锥曲线中的定直线问题【典例1】（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形的顶点分别在x轴和y轴上滑动，且，记动点P的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)过点的动直线l与曲线交于不同的两点时，在线段上取点Q，满足【典例2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左､右顶点分别是，直线与交于两点（不与重合），设直线的斜率分别为，且.(1)判断直线是否过轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.(2)若分别在第一和第四象限内，证明：直线与的交点在定直线上.【答案】(1)过定点.(2)证明过程见解析【分析】（1）根据题意设出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定理的等式，再通过斜率之间的关系即可得出，即可得出定点坐标.（2）根据题意得出两条直线方程，再联立化简得到关于的等式，从而得到定直线方程.【详解】（1）由题意可知，设直线的方程为.由消去，可得，则，，即，.因为，所以，故直线的方程为，恒过点.（2）由题可知，直线的方程为，直线的方程为，因为，所以，故点在定直线上.  【典例3】（2024·海南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线：与直线与抛物线分别交于点和点.(1)若，求的面积；(2)若直线与交于点，证明：点在定直线上.【变式1】（23-24高三上·山东聊城·期末）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，椭圆与双曲线有共同的焦点，点是椭圆上任意一点，则的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)过点任作一动直线交椭圆于，两点，记，若在线段上取一点，使得，则当直线转动时，点在某一定直线上运动，求该定直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据共焦点结合最值列方程得出即可得出椭圆方程；（2）先联立方程得出韦达定理，再结合向量关系得出，计算即可得出定直线.【详解】（1）点是椭圆上任意一点，则的最大值为：，所以.又与双曲线有共同的焦点，所以，所以椭圆的方程为.（2）  由题意可知，直线的斜率必存在.故可设直线的方程为，，，由，消去得，由根与系数的关系得，，由，得所以，所以，设点的坐标为，由，得，所以，解得.而，，所以.故点在定直线上.【变式2】（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程；(2)设双曲线左右顶点分别为，在直线上取一点，直线交双曲线右支于点，直线交双曲线左支于点，直线和直线的交点为，求证：点在定直线上.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）利用双曲线的性质，代入点坐标计算即可；（2）法一、用点P坐标表示直线，联立双曲线方程得出C、D坐标，再表示直线，联立求其交点即可证明；法二、直接利用C、D坐标表示直线，利用三点共线的斜率关系计算可用表的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.  (1)求抛物线C的标准方程；(2)求证：点P在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线的定义及韦达定理可求解；（2）根据垂心建立斜率之间的关系，从而得到直线，两直线联立得到点的坐标，结合韦达定理，从而可得点P在定直线上.【详解】（1）设直线l的方程为，，.由得.所以，.由抛物线定义，得.当直线l的倾斜角为30°时，，.所以，即抛物线C的标准方程为.（2）由（1），得，.因为的垂心为原点O，所以，.因为，所以.所以直线AP的方程为，即.同理可得，直线BP的方程为.联立方程解得即.所以点P在定直线上.题型11圆锥曲线中的向量问题【典例1】（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，过点且与垂直的直线交轴负半轴于点，且．(1)求证：是等边三角形；(2)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求此时椭圆的方程；(3)若，直线过且与椭圆交于，两点，，且，求的斜率．【答案】(1)证明见解析(2)(3)所以，解得：，，，所以椭圆的方程为：（3）若，则，，所以椭圆的方程为：则，，，①当直线与轴重合时，则，，所以，不满足题意.②设直线方程为，,,则，，，则由，化简得：，则有，因为，所以，因为，，化简得：，即，即，则，所以直线的斜率【典例2】（23-24高二下·上海·阶段练习）如图:双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交轴于点.(1)当直线平行于的斜率大于的渐近线时，求直线与的距离；(2)当直线的斜率为时，在的右支上是否存在点，满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由;【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1）首先得到双曲线的渐近线方程及直线的方程，再由两平行线间解距离公式计算可得；（2）先根据斜率求出直线l的方程，从而得点Q，再设出点的坐标，根据得出点的横、纵坐标之间的关系式，与双曲线联立消去，由韦达定理即可解答.【详解】（1）双曲线，焦点在轴上，，则双曲线左、右焦点分别为，，渐近线方程为，当直线平行于的斜率大于的渐近线时，则直线的方程为，即，又渐近线为，所以直线与的距离.（2）不存在，理由如下：当直线l的斜率为1时，直线方程为，因此，又，所以，设的右支上的点，则，由得，又，联立消去得，因为，但是，，所以此方程无正根，因此，在的右支上不存在点，满足.【典例3】（23-24高二上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到焦点的距离为5.(1)求抛物线的方程；(2)若直线交抛物线于两点（位于对称轴异侧），且，问：直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；若不过，请说明理由.【答案】(1)；(2)直线过定点.【分析】（1）根据抛物线定义，结合已知条件，求得，则抛物线方程得解；（2）设出直线的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合，求得值，即可求得直线恒过的定点.【详解】（1）由题可知，点到抛物线准线的距离为5，因为抛物线的准线方程为，点的横坐标为4，所以，解得，所以抛物线的方程为.（2）设，且，联立消去可得则，且，即，所以，恒成立，设，则.因为，所以，所以是钝角或平角(舍去).综上所述，是钝角.【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点．(1)求双曲线的方程；(2)若为线段的中点，求直线的方程；(3)当直线过点时，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由题意可得，解方程即可得出答案；（2）由“点差法”可得直线的斜率为，再由点斜式方程求解即可；（3）讨论直线的斜率存不存在，存在时设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，将韦达定理代入，由反比例函数的单调性即可得出答案.【详解】（1）由题意可得：，解得：.所以椭圆的方程为：.（2）设，因为在椭圆上，所以，两式相减可得：，则，因为为线段的中点，所以，所以，所以直线的方程为：，化简可得：.（3）当直线的斜率不存在时，，，此时，所以，当直线的斜率存在时，设，因为直线过点，设直线的方程为：，联立可得：，当时，，，，令，则，令，在在上单调递减，又，所以，所以的取值范围为.【变式3】（23-24高三下·福建泉州·开学考试）已知抛物线经过点．(1)求抛物线的方程及其准线方程．(2)设为原点，直线与抛物线交于（异于）两点，过点垂直于轴的直线交直线于点，点满足．证明：直线过定点．【答案】(1)抛物线，准线方程为(2)证明见解析【分析】（1）将点代入抛物线方程，即可求得的值，得到抛物线方程，从而得到准线方程；（2）联立直线与抛物线方程，得到，再依次求得，的坐标，从而得到的方程，令，化简即可得证.【详解】（1）由已知，，所以．抛物线，准线方程为．（2）由，消去，得．  设，则，且．直线方程为：，所以．又，则为中点，所以．所以．令，则．又．所以直线过定点．