初中北师大版（2024）第三章 位置与坐标2 平面直角坐标系课后测评

这是一份初中北师大版（2024）第三章 位置与坐标2 平面直角坐标系课后测评，共21页。
1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系；
2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点的位置求出坐标；
3.掌握点位置与其坐标的符号特征；
3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想.
【要点梳理】
要点一、有序数对
定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．
特别说明：：
有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是8排9号，可以写成(8，9)的形式，而(9，8)则表示9排8号．
要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
1. 平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).
特别说明：：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.
2. 点的坐标
平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.
特别说明：：
（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．
（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．
要点三、坐标平面
1. 象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．
特别说明：：
（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．
（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.
2. 坐标平面的结构
坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.
要点四、点坐标的特征
1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律
特别说明：：
（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.
（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．
2.象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．
3.平行于坐标轴的直线上的点
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
要点五、两点之间距离公式及中点坐标公式
两点之间距离公式
2.中点坐标公式
【典型例题】
类型一、建立平面直角坐标系并求点的坐标（建系）
1．如图，正三角形ABC的边长为 4 ， 建立适当的直角坐标系 ，并写出各个顶点的坐标 ．

【答案】A（0，2），B （－2，0 ），C（2，0）
解：如图，以边BC所在的直线为x 轴，以边BC的中垂线为y 轴建立直角坐标系．
由正三角形的性质可知AO＝2，正三角形ABC各个顶点A，B，C的坐标分别为A（0，2），B （－2，0 ），C（2，0）．
举一反三：
【变式1】如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为，点B的坐标为，试建立恰当的直角坐标系，写出点C的坐标．
【答案】图见分析，
【分析】根据点的坐标建立坐标系，再确定坐标．
解：如图所示建立直角坐标系：
∴点C的坐标为（2，1）．
【点拨】本题考查了坐标系及其点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．
【变式2】如图，建立平面直角坐标系，正方形和正方形中，使点B、C的坐标分别为和
(1)请直接写出A，D，E，F的坐标；
(2)求正方形的面积．
【答案】(1)A（﹣6，3），D（2，1），E（1，3），F（﹣1，2）(2)5
【分析】
（1）先利用点B和点C的坐标画出平面直角坐标系，然后根据点的坐标的意义即可得到点A、D、E、F的坐标；
（2）利用正方形的面积公式和勾股定理解答即可．
（1）解：如图所示：
∴A（﹣6，3），D（2，1），E（1，3），F（﹣1，2）．
（2）解：∵ ， ∴正方形CDEF的面积＝5．
【点拨】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标求线段长和判断线段与坐标轴的位置关系；记住坐标系中坐标特征是解题的关键．
类型二、点到坐标轴的距离
2．已知点在第一象限，且点到轴和轴的距离相等，求点的坐标．
【答案】（11，11）
【分析】直接利用第一象限内点的坐标特点，横纵坐标的符号关系，结合点到轴和轴的距离相等，得出横纵坐标相等，进而得出答案．
解：点在第一象限，点到轴和轴的距离相等，
，
解得：，
故，，
则点的坐标为：．
【点拨】本题主要考查了第一象限内点的坐标特点，解题的关键是结合点到轴和轴的距离相等，得出横纵坐标相等，进而得出答案．
举一反三：
【变式1】已知平面直角坐标系中有一点.
（1）当点M到y轴的距离为1时，求点M的坐标；
（2）当点M到x轴的距离为2时，求点M的坐标.
【答案】（1）点M的坐标是或；（2）点M的坐标是或
【分析】根据点到坐标轴的距离为其横坐标或纵坐标的绝对值求解即可．
解：（1），
或，
解得或，
点M的坐标是或.
（2），
或，
解得或，
点M的坐标是或.
【点拨】本题考查的知识点是根据点到坐标轴的距离求点的坐标，需注意多解问题，不要漏解．
【变式2】已知平面直角坐标系中有一点M(m－1，2m＋3)．
当m为何值时，点M到x轴的距离为1?
当m为何值时，点M到y轴的距离为2?
【答案】（1）m＝－1或m＝－2.（2）m＝3或m＝－1.
试题分析：（1）让纵坐标的绝对值为1列式求值即可；
（2）让横坐标的绝对值为2列式求值即可．
解：（1）∵|2m+3|=1
2m+3=1或2m+3=-1
∴m=-1或m=-2；
（2）∵|m-1|=2
m-1=2或m-1=-2
∴m=3或m=-1．
考点：点的坐标．
类型三、判断点所在的象限
3.已知点，以点A为坐标原点建立直角坐标系．
求a，b的值；
判断点、点所在的位置．
【答案】(1)a＝3，b＝−1(2)B（2，−4）在第四象限；C（0，−1）在y轴的负半轴上且到x轴的距离为1．
【分析】
（1）根据点A为原点，则点A的横纵坐标都为0，解答即可；
（2）把a＝3，b＝−1分别代入B，C即可求解．
(1)解：∵点A为原点，
∴a−3＝0，2b＋2＝0，
解得：a＝3，b＝−1；
(2)解：把a＝3，b＝−1代入点B得：2a−4＝2×3−4＝2，3b−1＝3×（−1）−1＝−4，
∴B（2，−4）在第四象限；
把a＝3，b＝−1代入点C得：−a＋3＝−3＋3＝0，b＝−1，
∴C（0，−1）在y轴的负半轴上且到x轴的距离为1．
【点拨】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握x轴，y轴上点的坐标特征．
举一反三：
【变式1】已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b＋5，则称点P为“新奇点”．
判断点A（3，2 ）是否为“新奇点”，并说明理由；
若点M（m－1，3m＋2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
【答案】(1)点A（3，2）是“新奇点”，理由见分析，(2)点M在第三象限，理由见分析．
【分析】
（1）根据题目中“新奇点”的判断方法，将，，代入判断，即可证明；
（2）根据点是“新奇点”，可得，求解代入得出，即可确定点的坐标，然后判断在哪个象限即可．
(1)解：点是“新奇点”，理由如下：
当A(3，2)时，，，
∴，，
∴．
∴点是“新奇点”；
点M在第三象限，理由如下：
∵点是“新奇点”，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，
∴点在第三象限．
【点拨】题目主要考查求代数式的值及解一元一次方程，判定点所在象限，理解题中新的定义是解题关键．
【变式2】在图中建立适当的平面直角坐标系，使A、B两点的坐标分别为(-4，1)和(-1，4)，写出点C、D的坐标，并指出它们所在的象限．
【分析】首先根据点A、B的坐标确定坐标原点和x、y轴的正方向，进而建立平面直角坐标系，再结合图形得出C、D两点的坐标，进而判断这两个点所在的象限.
解：建立平面直角坐标系如图：
得C(-1，-2)、D(2，1)．由图可知，点C在第三象限，点D在第一象限.
【点拨】本题考查了已知两点确定直角坐标系的知识，根据两点的坐标建立平面直角坐标系是解题的关键.
类型四、已知点的象限求参数
4．在平面直角坐标系中，有一点M(a－2，2a+6)，试求满足下列条件的a值或取值范围．
点M在y轴上；
点M在第二象限；
M到x轴的距离为2．
【答案】(1)a=2(2)－3