苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题6.28 用相似三角形解决问题（巩固篇）（专项练习）（附答案）

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专题6.28 用相似三角形解决问题（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树的高度，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯高的长是（    ）A． B． C． D．2．如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子长为（    ）A．1米 B．2米 C．3米 D．4米3．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离为1.6米，凉亭顶端离地面的距离为1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米．那么城楼的高度为（    ）A．7.6米 B．5.9米 C．6米 D．4.3米4．如图，身高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子．继续向前走8m到达点N，影子为FN．若测得EF＝10m，则路灯AH的高度为（    ）A．6m B．7m C．8m D．9m5．如图，小强的身高为180cm，在阳光下影长AB＝240cm，当他走到距离墙角（点D）120cm处时，他的部分影子投射到墙上，则投射到墙上的影子DE的长度为（　　）A．70cm B．80cm C．90cm D．100cm6．如图，在直角坐标系中，点P(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆AB在x轴上的投影长为（    ）A．3 B．4 C．5 D．67．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP=6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是（　　）A．8m B．9m C．16m D．18m8．如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，AD=2 m，斜梁AC=4 m．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC（点E在BA的延长线上），立柱EF⊥BC，如图2所示．若EF=3 m，则斜梁增加部分AE的长为（ ）A．0.5 m B．1 m C．1.5 m D．2 m9．一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，最小三角形的面积为，把较大两个三角形纸片按图2方式放置，图2中的阴影部分面积为，若，则矩形的长宽之比为（    ）A．2 B． C． D．10．《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（　　）A．150步 B．200步 C．250步 D．300步二、填空题11．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为 _____．12．如图，小卓利用标杆EF测量旗杆AB的高度，测得小卓的身高米，标杆米，米，米，则旗杆AB的高度是______米．13．如图，表示垂直于地面的两根电线杆的主视图，线段AB和线段CD表示两根电线杆，线段AD和BC表示两根拉紧的铁丝，AD和BC交于点P．测量得米，点P距地面的高度为3米，则CD的长为______米．14．从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的华丽分割线．如图，AC是的华丽分割线，且，若点C的坐标为（2，0），则点A的坐标为_______．15．如图，道旁树在路灯的照射下形成投影，已知路灯离地8m，树影长4m，树与路灯的水平距离为6m，则树的高是______m．16．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5m有一棵树，小华站在离南岸20m的点P处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾（假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内），已知龙舟的长为18.5m，若龙舟行驶在河的中心，且龙舟与河岸平行，则河宽为_______m．17．如图，某同学想测量大树的高度，他在某一时刻测得2米长的竹竿竖直放置时在地面上的影长为1.2米，在同一时刻测量大树的影长时，由于影子不全落在地面上，他测得在地面上的影长为3米，留在墙上的影长为1米，则大树的高度为______． 18．中国是礼仪之邦．从西四环下高速时，小明看到高新区的门户——“礼仪之门”这个雕塑，他想利用所学的数学知识测量它的高度．他在点C处放一镜子，并作一标记，来回走动，走到点D时，看到“礼仪之门”顶点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小明眼睛与地面的高度米，米．然后，小明从点D沿DH方向走了19米，到达“礼仪之门”影子的末端G处，此时，测得小明身高米，影长米，则“礼仪之门”的高AB为______米．三、解答题19．如图，有一块三角形土地，它的底边m，高m，某单位要沿底边BC建一座是矩形的大楼，且使矩形的两个端点D、G分别在AB、AC上，当这座大楼的地基面积为1875时，求这个矩形沿BC边所占的EF的长．20．为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DEBC．经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．21．某校九年级一班的一节数学活动课安排了测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度．甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图所示：甲组测得图中BO＝60米，OD＝3.4米，CD＝1.7米；乙组测得图中，CD＝1.5米，同一时刻影长FD＝0.9米，EB＝18米；丙组测得图中，、，BD＝90米，EF＝0.2米，人的臂长（FH）为0.6米，请你任选一种方案，利用实验数据求出该校旗杆的高度．22．小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A的像；第二次把镜子放在D点，人在H点正好看到树尖A的像．已知小明的眼睛到地面的距离，量得，，．已知点B、C、F、D、H在一条直线上，，，，请你求出松树的高．23．某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB）的高度为4.8米，右侧路灯（CD）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD）为12米，已知小明的身高（EF）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．(1) 若小明站在人行横道的中央（点F是BD的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP＝ 米，FQ＝ 米；(2) 小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP＝FQ），请问时小明站在什么位置，为什么？24．如图，为一块铁板余料，，，，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．参考答案1．C【分析】根据相似三角形的判定与性质直接求解即可．【详解】解：根据题意可知，，，，，即，解得m，路灯高的长是m，故选：C．【点睛】本题考查中心投影以及相似三角形的应用，测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边成比例和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．2．B【分析】利用相似三角形的性质即可求得DE的长．【详解】如图，∵FB∥PA，GD∥PA，∴△CFB∽△CPA，△EGD∽△EPA．∴．  ∵FB=GD=1.6米，AB=BD=4米，BC=1米，∴AC=AB+BC=4+1=5（米），AE=AB+BD+DE=4+4+DE=(8+DE)米，∴．∴AE=5DE，即8+DE=5DE，解得：DE=2．即此时影长为2米．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3．B【分析】根据题意构造直角三角形，继而利用相似三角形的判定与性质解答．【详解】解：过点A作于点M，交CD于点N，由题意得，AN=2，CN=1.9-1.6=0.3，MN=38，（米）故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的应用，是重要考点，构造直角三角形是解题关键．4．A【分析】设DE=x m，DH=y m，则FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．【详解】解∶∵CD⊥EF，AH⊥EF，MN⊥EF，∴，∴，，∴，，设DE=xm，DH=ym，则FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，∴，，∴y=4x，∴，∴，∴AH=6，故路灯AH的高度为6m．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判断和性质列出关系式是解题的关键．5．C【分析】过E作EF⊥CG于F， 利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可．【详解】解：如图，过E作EF⊥CG于F，设投射在墙上的影子DE长度为xcm，由题意得：△GFE∽△HAB，∴AB：FE＝AH：（GC﹣x），则240：120＝180：（180﹣x），解得：x＝90．即：投射在墙上的影子DE长度为90cm．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确地构造直角三角形．6．D【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．【详解】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．∴PD=1，PE=2，AB=3，∵AB//A′B′，∴△PAB∽△PA′B′，∴，即，∴A′B′=6，故选：D．【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．7．A【分析】根据反射的性质可得∠APE=∠CPE，则有∠APB=∠CPD，从而可得△ABP∽△CDP，由相似三角形的性质即可求得CD的长．【详解】如图，根据反射的性质可得∠APE=∠CPE∵EP⊥BD∴∠APB=∠CPD∵AB⊥BD，CD⊥BD∴∠ABP=∠CDP=90° ∴△ABP∽△CDP∴∴故选：A【点睛】本题考查了相似三角形在测高中的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质、轴对称中光的反射问题是关键．8．D【分析】根据已知条件证明△ABD∽△EBF，得到，即可得解；【详解】∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴AD∥EF，∴△ABD∽△EBF，∴，∵AD垂直平分横梁BC，∴，∴，解得EB=6(m)，∴AE=EB-AB=6-4=2(m)．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，准确计算是解题的关键．9．A【分析】图中直角三角形比较多，通过分析之间的关系转化为线段比，所求的长宽等于两个三角形的相似比，面积比等于相似比的平方，从而求得线段比．【详解】如图（1），设的面积为；如图（2）由题意，知，则 又 矩形的长宽之比为2．故选A．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形，本题中找到之间的关系是解题的关键．10．D【分析】根据题意可知，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求解；【详解】∵点E，G分别为CD，AD的中点，∴，，∴，又题意可得，，∴，∴，而EF＝30步，GH＝750步，即，∴，解得：，∴步；【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，准确计算是解题的关键．11．3.2m【分析】连接AC，过点M作MF⊥PQ，根据同一时刻物体影子与实际高度成比例得，进行计算即可得PF的长度，即可得．【详解】解：如图所示，连接AC，过点M作MF⊥PQ，∵PQ⊥QN，MN⊥QN，∴四边形FQNM是矩形，∴FQ=MN=0.8，∵同一时刻物体影子与实际高度成比例，∴，∴，∴PF=2.4，∴PQ=PF+FQ=2.4+0.8=3.2（m），故答案为：3.2m．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．12．9【分析】过点C作CH⊥AB于点H，CH交EF于点G，如图，易得GF＝BH＝CD＝1.8m，CG＝DF＝1m，GH＝BF＝11m，证明△CGE∽△CHA，再利用相似比求出AH，然后计算AH+BH即可．【详解】解：过点C作CH⊥AB于点H，CH交EF于点G，如图，由题意易得GF＝BH＝CD＝1.8m，CG＝DF＝1m，GH＝BF＝11m，∴EG＝EF﹣GF＝2.4m﹣1.8m＝0.6m，∵EGAH，∴∠CGE＝∠CHA，∠CEG＝∠CAH，∴△CGE∽△CHA，∴，∴，∴AH＝7.2，∴AB＝AH+BH＝7.2+1.8＝9（m），即旗杆AB的高度是9m．故答案为：9．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．13．12【分析】过点作的垂线，交于点，证明，，即可得到，，根据，即可求出的长度．【详解】解：过点作的垂线，交于点，如图所示∵，∴∴由题意可得：米，米∴∴∵，∴∴∴∵∴∵∴∴米故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，找到等量关系，联立方程是解答本题的关键．14．或【分析】分两种情况讨论，当点在轴上方时，由题意可得：，，得，，再得出的长，由勾股定理，求出的长，再根据勾股定理求出，即可得答案；同理可得出当点在轴下方时的答案．【详解】如下图，当点在轴上方时，作AD⊥OB，由题意可得：△BCA∽△BAO，∵点C的坐标为（2，0），∴OC=2，∴OC=AC=2，∵△BCA∽△BAO，OA=2AB，∴，∴，∴，∴，∴AB=或（舍去），∴AO=2 AB=，∵∠ADC=90°，∴，即，解得：CD=1，∴点D、B重合，△ABC为直角三角形，∴，∴点A的坐标为（3，）．同理，当点在轴下方时，点A的坐标为（3，）．故答案为：或．【点睛】本题考查了定义新运算，等腰三角形的性质，三角形相似，勾股定理，解题的关键是理解点D、B重合，△ABC为直角三角形，同时注意分情况讨论点的坐标，避免遗漏．15．3.2【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵AB∥OP，∴△CAB∽△CPO，∴，∴，∴AB=3.2（m），故答案为：3.2．【点睛】本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．16．108【分析】根据题意画出示意图，过点P作于点F，交AB于点E，证明，再借助相似三角形的性质计算PF的长，再由题意计算河宽即可．【详解】解：根据题意画出示意图，过点P作于点F，交AB于点E，由题意可知，两树之间的距离m，龙舟的长m，点P到南岸的距离m，∵，∴，∴，即，∴m，∴m，∵龙舟行驶在河的中心，∴河宽为m．故答案为：108．【点睛】本题主要考查了利用相似三角形解决实际问题，解题关键是根据题意作出示意图，构建相似三角形．17．6米【分析】根据题意画出几何图形，如图，则，，利用在某一时刻测得米长的竹竿竖直放置时影长为米可计算出，然后计算即可．【详解】解：如图，，，，，（米） ．答：旗杆的高度为米．故答案为：米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．18．####【分析】设米，根据题意利用，列出比例式表示出，进而根据，列出比例式代入数据，解方程求解即可．【详解】解：设，根据题意，又米，米，米，米，解得故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意找到相似三角形列出比例式是解题的关键．19．当EF的长为62.5或37.5米时，最大面积为1875平方米【分析】设DE的长为x，先证△ADG∽△ABC，根据相似三角形的对应高的比等于相似比得，得，再根据面积列出，求出x即可．【详解】解：设DE的长为x，∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，∴DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∵AH⊥BC，∴AM⊥DG∴，∴，∴，∴矩形DEFG面积为：，解得：x＝30或50，EF＝DG＝62.5或37.5．∴当EF的长为62.5或37.5米时，最大面积为1875平方米．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题关键是理清题意正确地找到相似三角形．20．桥AF的长度为80米．【分析】过E作EG⊥BC于G，依据△ABC∽△ADE，即可得出，依据△ACF∽△ECG，即可得到，进而得出AF的长．【详解】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，∵DEBC，∴△ABC∽△ADE，∴＝，∴，∵AF⊥BC，EG⊥BC，∴AFEG，∴△ACF∽△ECG，∴，即，解得AF=80，∴桥AF的长度为80米．【点睛】本题主要考查了利用相似测量河的宽度（测量距离）．测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．方法是通过测量易于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．21．30米【分析】此题三种方案均为把实际问题抽象成三角形相似的问题，解题方法都是利用相似三角形对应边成比例求出结果．采用甲组方案，证明，根据相似三角形对应边成比例列出，然后求出该校旗杆的高度即可．【详解】解：采用甲组方案，在和中，∵，，∴，∴，即，解得米，即该校旗杆的高度为30米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是构建相似三角形，根据相似三角形的性质列式求解．22．【分析】首先根据题意，得出，，再证明，利用三角形的相似性质，得出，然后再证明，得到，最后将代入，即可得出的长．【详解】解：∵，，，∴，，∵，（反射定律）∴，∴，即，∴，∵，（反射定律）∴，∴，即，∴，解得，答：松树的高为．【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，解本题的关键在熟练掌握三角形相似的性质与判定．三角形相似的性质：对应角相等，对应边的比等于相似比．反射定律：光线反射时，入射角等于反射角．23．(1)3，2(2)离B地（或离D地），理由见解析【分析】（1）通过证明，，再根据相似三角形的性质进行求解即可；（2）由（1）得，，，设，可求出，求出x的值，即可求解．（1）解：由题意得，，，，，点F是BD的中点，，，解得；，，，点F是BD的中点，，，解得；故答案为：3；2；（2）小明站在离B点米处的位置，理由如下：由（1）得，，，，设，，，，，解得，，所以，小明站在离B点米处的位置．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．24．方案①正方形边长cm，方案②正方形边长cm．【分析】方案①：设正方形的边长为xcm,然后求出△AEF和△ABC相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．方案②：作BH⊥AC于H，交DE于K，构造矩形DKHG和相似三角形（△BDE∽△BCA），利用矩形的性质和等面积法求得线段BH的长度，则BK＝4.8−y；然后由相似三角形的对应边成比例求得答案．【详解】解：设方案①正方形的边长为cm，，四边形是正方形，，，，即，解得，即加工成正方形的边长为cm．设方案②正方形的边长为cm，作于，交于，∵四边形是正方形，∴，．∴于．∴．∴四边形为矩形．设．∵．∴．∴．∵．∴，∴，∴．∴．解得．即方案②加工成正方形的边长为cm．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形的对应边成比例，正方形的性质，熟记各性质并列出比例式是解题的关键．