高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课后练习题

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知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
如果，有（当且仅当时，取“”号）
特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.
知识点二：利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
【即学即练1】（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
知识点三：基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）
知识点四：三个正数的基本不等式
如果，，，那么（当且仅当时，取“”号）
题型01对基本不等式的理解
【典例1】（23-24高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）下列推导过程中，正确的有 .（填写序号）①若，则，的最小值为2；②若，则；③若，，则；④若对，恒成立，则的取值范围是.
【变式1】（多选）（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（多选）（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）下列判断正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（多选）（23-24高一上·广东江门·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，
B．若，则的最小值是
C．当时，
D．的最小值是
题型02由基本不等式比较大小
【典例1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（ ）
A．B．C．D．的大小无法确定
【典例2】（多选）（23-24高一上·广东茂名·期末）小王从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（23-24高二·全国·课后作业）已知且,那么（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（多选）（23-24高一·全国·单元测试）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
题型03由基本不等式证明不等关系
【典例1】（23-24高一·全国·随堂练习）设，，求证下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知，，，求证：
(1)；
(2).
【变式1】（23-24高一·全国·课堂例题）设a，b为正数，证明下列不等式成立：
(1)；
(2).
【变式2】（2024·四川雅安·模拟预测）已知，，且，证明：
(1)；
(2)．
题型04利用基本不等式求积的最大值
【典例1】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，求：
(1)的最大值；
(2)的最大值．
【变式1】（23-24高一上·安徽·期末）若正数满足，则的最大值为（ ）
A．6B．9C．D．
【变式2】（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设，求函数的最大值.
题型05利用基本不等式求和的最小值
【典例1】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．5B．3C．D．或3
【典例2】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知，，，则的最小值为
【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高一上·北京·期中）若, 则的最小值是 ; 此时的值为 .
【变式3】（23-24高一上·北京平谷·期末）已知函数，那么当 时，函数取得最小值为 ．
题型06利用基本不等式求二次与二次（一次）商式的最值
【典例1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）求解下列各题：
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
【变式1】（23-24高二下·浙江绍兴·期中）若 ，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
【变式2】（23-24高一上·江西南昌·期末）当时，函数的最小值为 ．
【变式3】（22-23高一上·甘肃金昌·阶段练习）求解下列各题：
(1)求的最小值；
题型07利用基本不等式求条件等式求最值
【典例1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 .
【典例2】（2024高三下·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是 .
【变式1】（2024·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【变式2】（23-24高三上·上海松江·阶段练习）设正实数x、y、z满足，则的最大值为 .
题型08 基本不等式中的恒成立问题
【典例1】（23-24高一上·陕西西安·期中）若，，且，恒成立，则实数的范围是（ ）
A．B．或
C．或D．
【典例2】（23-24高三上·上海黄浦·期中）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
【变式2】（23-24高二上·湖南·期中）已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．9B．12C．16D．25
【变式3】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）若命题“，为真命题，则的最小值为 .
题型09基本不等式的应用
【典例1】（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000B．10480C．10816D．10818
【典例2】（23-24高一上·浙江·期中）第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某杭州纪念品商家为了迎合亚运会拟举行促销活动.经调查测算，商品的年销售量（万件）与年促销费用（万元）满足如下关系：（为常数），如果不搞促销活动，则商品年销售量为万件.已知商家每年固定投入万元（门店租赁、水电费用等），商品的进货价为元/件，商家对商品的售价定为每件产品的年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和产品进货投入）.
(1)将该产品的年利润（万元）表示为促销费用（万元）的函数（利润=销售额－产品成本－促销费用）；
(2)当促销费用（万元）为何值时，该商家能够获得利润最大？此时利润最大值为多少？
【变式1】（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（ ）
A．10B．15C．30D．45
【变式2】（23-24高三下·青海西宁·阶段练习）某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为 元.
【变式3】（23-24高一上·青海西宁·期末）某工厂分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为1800元．若
【变式1】（2024·安徽·模拟预测）已知，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．
【变式2】（多选）（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）已知正实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
题型14重点方法之消元法
【典例1】（2024高三上·河南·专题练习）已知，且，则的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．9
【典例2】（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ．
【变式1】（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知，，且.
(1)求的最小值；
题型15 易错题之忽视基本不等式中的“一正”“三相等”
【典例1】（多选）（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）下列运用基本不等式求最值，正确的有（ ）
A．若，则
B．因为，所以
C．（且）
D．若，，则
【典例2】（多选）（23-24高一上·山东济南·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．7B．8C．14D．15
6．（2024·福建·模拟预测）已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·河南南阳·一模）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
8．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高一上·山东临沂·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．
C．若且，则D．
10．（23-24高一上·江苏盐城·期末）设，，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值B．没有最大值
C．有最大值为D．有最小值为
三、填空题
11．（2024·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为
12．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）设且，则的最小值为 ．
四、解答题
13．（23-24高一上·青海海东·期中）已知，，且.
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求的最大值.
14．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）（1）已知，求函数的最小值；
（2）已知正数满足，求的最小值.
B能力提升
1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，则下列选项中，能使取得最小值18的为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（ ）
A．B．4C．D．
3．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）若，，且，则的最小值为 .
C新定义题型
4．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）设正整数，有穷数列满足，且，定义积值
(1)若时，数列与数列的S的值分别为，
①试比较与的大小关系；
②若数列的S满足，请写出一个满足条件的
(2)若时，数列存在使得，将，分别调整为，，其它2个，令数列调整前后的积值分别为，写出的大小关系并给出证明；
(3)求的最大值，并确定S取最大值时所满足的条件，并进行证明.
课程标准
学习目标
①掌握重要的不等式、基本不等式（均值不等式）的内容，成立条件及公式的证明。
②利用基本不等式的性质及变形求相关函数的最值及证明。
通过本节课的学习，要求掌握基本不等式成立的条件，运用基本不等式这一重要的工具解决与最值有关的问题，会用基本不等式解决简单问题的证明.
第02讲 2.2基本不等式

知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
如果，有（当且仅当时，取“”号）
特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.
知识点二：利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
【即学即练1】（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式凑和为定值直接求解.
【详解】已知，
则
.
当且仅当，即等号成立.
故的最大值是.
故选：A
知识点三：基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）
知识点四：三个正数的基本不等式
如果，，，那么（当且仅当时，取“”号）
题型01对基本不等式的理解
【典例1】（23-24高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案.
【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；
对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；
对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合；
对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.
故选：C.
【典例2】（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）下列推导过程中，正确的有 .（填写序号）①若，则，的最小值为2；②若，则；③若，，则；④若对，恒成立，则的取值范围是.
【答案】②④
【分析】根据基本不等式成立的条件对各个命题进行判断即可.
【详解】①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当，即时，等号成立，
因为，所以，①错误；
②由，得，则，
当且仅当，即时，等号成立，②正确；
③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件，当时，，③错误；
④当时，，当且仅当，即时，等号成立，
由对，恒成立，得，因此的取值范围是，④正确，
所以正确命题的序号是②④.
故答案为：②④
【变式1】（多选）（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】利用基本不等式“，当且仅当时等号成立”逐一运算分析判断即可得解.
【详解】解：对于选项A，不满足的要求，所以A不能直接用基本不等式求最大（小）值，故A错误；
对于选项B，∵，，∴，当且仅当即时等号成立，
所以B能直接用基本不等式求最小值，故B正确；
对于选项C，∵，，∴，当且仅当即时等号成立，
所以C能直接用基本不等式求最小值，故C正确；
对于选项D，当或时不满足和是正数的要求，所以D不能直接用基本不等式求最大（小）值，故D错误；
故选：BC.
【变式2】（多选）（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）下列判断正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，当时，，A错；
对于B选项，当时，，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，B对；
对于C选项，因为，则，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，C对；
对于D选项，因为，则，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
但，故等号不成立，所以，，D对.
故选：BCD.
【变式3】（多选）（23-24高一上·广东江门·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，
B．若，则的最小值是
C．当时，
D．的最小值是
【答案】BC
【分析】对于A，举反例即可判断A错误；
对于B，利用基本不等式可得B正确；
对于C，利用基本不等式可得C正确；
对于D，不满足基本不等式取等号的条件，判断D错误.
【详解】若，则，显然不满足，A错误；
若，则，当且仅当时取等号，最小值是，B正确；
若，则，当且仅当时取等号，最小值是，C正确；
若，则，当且仅当即时取等号，显然无解，故取不到最小值，D错误.
故选：BC.
题型02由基本不等式比较大小
【典例1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（ ）
A．B．C．D．的大小无法确定
【答案】B
【分析】由题意求出的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.
【详解】由题意得，，
因为，故，，
即，
故选：B
【典例2】（多选）（23-24高一上·广东茂名·期末）小王从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，计算全程平均速度，然后利用基本不等式得出的大小关系，并利用作差法比较与大小，从而得到正确选项.
【详解】设甲，乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为
所以，
因为，由基本不等式可得，
，
另一方面，
，
所以，则
故选：AD
【变式1】（23-24高二·全国·课后作业）已知且,那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意利用相关不等式和作差法判断大小.
【详解】由题意可得：，
∵，即
又∵
则
∴
故选：B.
【变式2】（多选）（23-24高一·全国·单元测试）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据不等式的性质，或者做差法，即可判断选项.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，若，，则，即，故C正确；
对于D，当，时，满足，但，故D不正确．
故选：ABC．
题型03由基本不等式证明不等关系
【典例1】（23-24高一·全国·随堂练习）设，，求证下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
(4)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式证明；
（2）利用作差法证明；
（3）利用作差法证明；
（4）利用基本不等式证明.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取得等号，
所以，命题得证.
（2）要证明，只用证明，
只用证明，
因为，
当且仅当时取得等号，所以成立，
则成立，命题得证.
（3），
当且仅当时取得等号，
所以，命题得证.
（4）因为，，
所以要证，只用证，
只用证，根据基本不等式可知显然成立，
当且仅当时取得等号，
所以成立，命题得证.
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知，，，求证：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见详解；
(2)证明见详解．
【分析】（1）由题意，因为，利用基本不等式，求得，进而得到，即可得到证明；
（2）由，化简可得，根据，即可证明．
【详解】（1）由题意，因为，且，
所以，当且仅当时，取“=”，
所以，所以．
（2）由，
所以
，
，所以，
所以，所以，
所以．
【变式1】（23-24高一·全国·课堂例题）设a，b为正数，证明下列不等式成立：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式即可证明；
（2）利用基本不等式即可证明.
【详解】（1）因为a，b为正数，所以，也为正数.
由基本不等式，得，
当且仅当，即时，取得等号.
所以原不等式成立；
（2）因为a，b为正数，所以，也为正数.
由基本不等式，得，，
所以，
当且仅当，，即时，取得等号.
因此，原不等式成立.
【变式2】（2024·四川雅安·模拟预测）已知，，且，证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，消元并结合二次函数推理作答.
（2）根据给定条件，借助“1”的妙用，计算推理作答.
【详解】（1）因为，，，则，，
因此，当且仅当，时取等号，
所以成立．
（2）因，，且，则，
因此，
当且仅当且，即，时取等号，
所以成立．
题型04利用基本不等式求积的最大值
【典例1】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】因为，故，即，
当且仅当时，等号成立，所以.
故选：A.
【典例2】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，求：
(1)的最大值；
(2)的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】（1），
∴，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为；
（2），
∴，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
【变式1】（23-24高一上·安徽·期末）若正数满足，则的最大值为（ ）
A．6B．9C．D．
【答案】C
【分析】由基本不等式求解即可.
【详解】解：因为，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：C．
【变式2】（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式的变形求解出最大值.
【详解】由题意可知，当时，，
，
当且仅当，即时取等号，
最大值为，
故选：C.
【变式3】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设，求函数的最大值.
【答案】2
【分析】
由题意可得，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】由，得，
所以，
即，
当且仅当即时等号成立，
所以的最大值为2.
题型05利用基本不等式求和的最小值
【典例1】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．5B．3C．D．或3
【答案】B
【分析】由已知可得，利用基本不等式计算可得结果.
【详解】由，得，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3．
故选：B.
【典例2】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知，，，则的最小值为
【答案】/
【分析】根据条件化简后利用均值不等式求解即可.
【详解】由 ，， 可得，
，
当且仅当 ，即时，等号成立，
所以， 的最小值为 ．
故答案为：
【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先变形，再利用基本不等式求最小值.
【详解】
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D
【变式2】（23-24高一上·北京·期中）若, 则的最小值是 ; 此时的值为 .
【答案】 4; 1
【分析】利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立.
故的最小值是4，此时的值为1.
故答案为：①4；②1.
【变式3】（23-24高一上·北京平谷·期末）已知函数，那么当 时，函数取得最小值为 ．
【答案】
【分析】根据条件，利用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为，又，所以，
当且仅当，即时，取等号，
故答案为：，.
题型06利用基本不等式求二次与二次（一次）商式的最值
【典例1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求，当且仅当时等号成立，化简已知即可求解.
【详解】解：因为，
又因为，所以，
所以，当且仅当时，即时等号成立，
所以，
即y的最大值是.
故选：D.
【典例2】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）求解下列各题：
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
【答案】（1）；（2）8.
【分析】（1）因为，所以利用均值不等式即可求解；
（2）因为，所以利用均值不等式即可求解.
【详解】解：（1）因为，又，
所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
故y的最大值为；
（2）由题意，，
因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
故y的最小值为8.
【变式1】（23-24高二下·浙江绍兴·期中）若 ，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
【答案】A
【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.
【详解】因，则，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，有最大值.
故选：A
【变式2】（23-24高一上·江西南昌·期末）当时，函数的最小值为 ．
【答案】
【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为，则，则，
当且仅当时，等号成立，
所以，当时，函数的最小值为.
故答案为：.
【变式3】（22-23高一上·甘肃金昌·阶段练习）求解下列各题：
(1)求的最小值；
【答案】(1)；
【分析】（1）根据分式的运算性质，结合基本不等式进行求解即可；
【详解】（1）
当且仅当 即 时取等号， 此时取得最小值；
题型07利用基本不等式求条件等式求最值
【典例1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】变形得到，并得到，变形得到，利用基本不等式求出最小值.
【详解】正实数满足，故，所以，
则，又，解得，
故
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：
【典例2】（2024高三下·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是 .
【答案】9
【分析】双变量最值，采取消元手段或者基本不等式处理即可.
【详解】解析一:，
则，等号成立时.
所以的最小值是9.
解析二:，
则，
等号成立时所以的最小值是9.
故答案为：9.
【变式1】（2024·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据题意可得，利用基本不等式求解.
【详解】由可得，
，
当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意.
所以的最小值为.
故选：A.
【变式2】（23-24高三上·上海松江·阶段练习）设正实数x、y、z满足，则的最大值为 .
【答案】
【分析】把用表示，代入中，化简后利用基本不等式即可求出最大值.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为1 .
故答案为：.
题型08 基本不等式中的恒成立问题
【典例1】（23-24高一上·陕西西安·期中）若，，且，恒成立，则实数的范围是（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】A
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为，，且，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，
因为恒成立，则，
即，解得.
故选：A.
【典例2】（23-24高三上·上海黄浦·期中）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意分析可得原题意等价于对任意的，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，且，整理得，
所以原题意等价于对任意的，不等式恒成立，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以.
故选：A.
【变式1】（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
【答案】D
【分析】
化简可得恒成立，再根据基本不等式求解的最小值即可.
【详解】由题意恒成立，即恒成立.
又，当且仅当时取等号.
故实数的最大值为9.
故选：D
【变式2】（23-24高二上·湖南·期中）已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．9B．12C．16D．25
【答案】D
【分析】
将不等式恒成立问题，转化为利用基本不等式求最值问题.
【详解】，
当且仅当，即，时，等号成立.
因不等式恒成立，只需，
因此，故实数的最大值为25.
故选：D
【变式3】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）若命题“，为真命题，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】由参变量分离法可得，利用基本不等式求出在时的最大值，即可得出实数的最小值.
【详解】，，则，
当时，，当且仅当时，等号成立，故.
所以，实数的最小值为.
故答案为：.
题型09基本不等式的应用
【典例1】（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000B．10480C．10816D．10818
【答案】C
【分析】设矩形场地的长为米，则，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】设矩形场地的长为米，则宽为米，
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以平整这块场地所需的最少费用为元.
故选：C
【典例2】（23-24高一上·浙江·期中）第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某杭州纪念品商家为了迎合亚运会拟举行促销活动.经调查测算，商品的年销售量（万件）与年促销费用（万元）满足如下关系：（为常数），如果不搞促销活动，则商品年销售量为万件.已知商家每年固定投入万元（门店租赁、水电费用等），商品的进货价为元/件，商家对商品的售价定为每件产品的年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和产品进货投入）.
(1)将该产品的年利润（万元）表示为促销费用（万元）的函数（利润=销售额－产品成本－促销费用）；
(2)当促销费用（万元）为何值时，该商家能够获得利润最大？此时利润最大值为多少？
【答案】(1)
(2)万元，万元
【分析】根据题意，得到，求得每件商品的销售价格为元，进而得出函数的关系式；
（2）由（1）中的解析式，结合，进而求得利润最大值.
【详解】（1）解：由题意，当时，，可得，解得，所以，
因为每件商品的销售价格为元，
所以.
（2）解：因为，所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，所以，
故当促销费用（万元），该商家能够获得利润最大，此时利润最大值为（万元）.
【变式1】（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（ ）
A．10B．15C．30D．45
【答案】B
【分析】根据题意，得到，平均损耗蔬菜量之和为，结合基本不等式，即可求解.
【详解】设安排男社员名，女社员名，
根据题意，可得，平均损耗蔬菜量之和为，
则
，当且仅当，即时等号成立，
则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为15.
故选：B.
【变式2】（23-24高三下·青海西宁·阶段练习）某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为 元.
【答案】
【分析】设水池池底的一边长为，则另一边长为，由题意表示出总造价的函数式，化简后可利用基本不等式求出最小值，注意判断取最值时的取值是否存在.
【详解】因为水池的容积为，深为，所以底面积为，
设水池池底的一边长为，则另一边长为，
则总造价
（元）.
当且仅当，即时，取最小值为.
所以水池的最低造价为元.
故答案为：.
【变式3】（23-24高一上·青海西宁·期末）某工厂分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为1800元．若每批生产件产品，每件产品每天的仓储费用为2元，且每件产品平均仓储时间为天，设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为元．
(1)写出关于的函数解析式；
(2)当为何值时，有最小值？最小值是多少？
【答案】(1)
(2)时，有最小值，最小值为60
【分析】（1）由题意结合的定义以及的含义即可列出表达式；
（2）结合基本不等式求和的最小值，并注意取等条件即可.
【详解】（1）根据题意可得 .
（2），
当且仅当，即时等号成立，
故当时，有最小值，最小值为60．
题型10对钩函数
【典例1】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）方程在区间内有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对等式进行常变量分离，结合对钩函数的性质进行求解即可.
【详解】因为，
所以由，
设，当时，函数单调递增，
所以，
要想方程在区间内有解，
只需，
故选：D
【典例2】（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德､牛顿､高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数表示不超过的最大整数，例如.已知，则函数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】易知在上随着的增大而逐渐减小，在上随着的增大而逐渐增加.当时，；
当时，；当时，，所以，则函数的取值范围为.
故选:C.
【变式1】（22-23高一下·云南普洱·阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．以上都不对
【答案】B
【分析】令，则，然后根据对勾函数的单调性可得答案.
【详解】令，则，
因为在上单调递增，
所以当时取得最小值，
故选：B
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ．
【答案】2
【分析】令x＋1＝t(t≥3)，则有＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解.
【详解】依题意，
y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)，
设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，
所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋(x≥2)取得最小值．
故答案为：2.
题型11重点方法之凑配法
【典例1】（23-24高一上·贵州六盘水·期末）当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】由基本不等式求出，从而得到，求出答案.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故只需，解得.
故答案为：
【典例2】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）(1)已知a，，比较与的大小，并说明理由．
(2)已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值．
【答案】(1)，理由见解析
(2)最小值为8，此时
【分析】（1）利用作差法得到，进而即可比较；
（2）依题意可得，再利用基本不等式即可求解．
【详解】（1）由，
又，，
则，
所以．
（2）由，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8，此时．
【变式1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知，则的最大值为（ ）
A．B．0C．4D．8
【答案】B
【分析】利用基本不等式先求的最小值，然后可得.
【详解】因为，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，所以，
即的最大值为0.
故选：B
【变式2】（23-24高一上·安徽合肥·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的最大值是 .
【答案】
【分析】利用配凑法，结合基本不等式求得的最小值，从而得到，进而得解.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
因为不等式对任意恒成立，
所以，所以，
所以的最大值为.
故答案为：.
题型12 重点方法之换元法
【典例1】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，，，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】依题意可得且，从而将目标式化为，再换元，利用基本不等式计算可得.
【详解】∵，，，∴，且，
则
令，
原式
，
当且仅当，即取等号，故的最小值为.
故答案为：
【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知，，则的最小值为 ．
【答案】12
【分析】令，，从而可得，，再根据，结合基本不等式求解即可.
【详解】令，，则，，且，，
所以，．
又，所以
，
当且仅当，，即，时，等号成立．
故答案为：12
【变式1】（2024高二下·浙江·学业考试）已知正实数，满足，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】依题意可得，令，，即可得到且，，目标式子，利用基本不等式计算可得.
【详解】因为正实数，满足，
即，令，，则且，，
所以，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：
【变式2】（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，.
(1)求的最大值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用基本不等式，将等式转化为关于的一元二次方程，即可求解；
（2）首先将等式变形为，再变形，转化为利用基本不等式求和的最小值.
【详解】（1）因为，
令，则，所以，解得，
所以，当且仅当，即，时等号成立；
题型13 重点方法之“1”的妙用法
【典例1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）若，，且，则的最小值为 .
【答案】2
【分析】通分后利用已知化简，然后再变形为，利用常数代换，结合基本不等式可得.
【详解】因为，
所以
，
由于，所以，且，
所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为2.
故答案为：2
【典例2】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）若正数满足，则的最小值为
【答案】6
【分析】先把已知变形为，再利用“1”的妙用，结合基本不等式求最值.
【详解】由得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：6.
【变式1】（2024·安徽·模拟预测）已知，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．
【答案】A
【分析】根据条件，将所求式子变形利用基本不等式求解.
【详解】，，
，
当且仅当，即，即时等号成立.
故选：A.
【变式2】（多选）（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）已知正实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项计算判断即得.
【详解】正实数满足，则，
对于A，，则，
当且仅当,即时，取等号，故A错误；
对于B，，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
对于C，由选项A知，当时，成立，此时，故C错误；
对于D，由，得，则
，
当且仅当，即时，取等号，故D正确.
故选：BD.
题型14重点方法之消元法
【典例1】（2024高三上·河南·专题练习）已知，且，则的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．9
【答案】D
【分析】由化简可得且，然后利用基本不等式求解，从而可求解.
【详解】由题意得，所以，
所以（当且仅当时取等号），
所以的最小值为．
又因为，且，所以的最小值是，故D正确.
故选：D.
【典例2】（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】依题意可得，再由基本不等式计算可得.
【详解】因为，且，
所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为．
故答案为：．
【变式1】（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解.
【详解】因为正实数x，y满足，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知，，且.
(1)求的最小值；
【答案】(1)
【分析】（1）根据已知等式,转化为二次函数求最值即可;
【详解】（1）∵，，
∴，
当且仅当，时取等号.
题型15 易错题之忽视基本不等式中的“一正”“三相等”
【典例1】（多选）（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）下列运用基本不等式求最值，正确的有（ ）
A．若，则
B．因为，所以
C．（且）
D．若，，则
【答案】CD
【分析】根据基本不等式成立的条件逐一判断可得选项.
【详解】解：对于A：因为，当时，，而当时，，故A不正确；
对于B：，当且仅当，即，而此等式不成立，故B不正确；
对于C：因为且，又同号，所以，当且仅当，即时，取等号，故C正确；
对于D：因为，，所以，所以，当且仅当，即（舍去）时取等号，故D正确，
故选：CD.
【典例2】（多选）（23-24高一上·山东济南·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．的最小值是
D．的最小值是
【答案】AB
【分析】利用基本不等式直接判断A,利用根式判断B,利用等号不成立判断C,利用特值判断D
【详解】当时，（当且仅当，即时取等号），A正确；
，因为，所以，B正确；
，当且仅当，即时，等号成立，显然不成立，故C错误；
当时，，D错误.
故选:AB.
【变式1】（23-24高一·江苏·课后作业）证明：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；
【分析】（1），利用基本不等式即可证明.
（2），利用基本不等式即可证明.
【详解】（1），
当且仅当时，即时，等号成立.
（2），
当且仅当时取等号，此时，
显然的值不存在，所以等号不成立，
所以.
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一上·广东潮州·期末）设，则函数的最小值为（ ）
A．6B．7C．10D．11
【答案】D
【分析】利用基本不等式求解可得答案.
【详解】，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为，
故选：D.
2．（23-24高一上·新疆·期中）已知，则的最小值是（ ）
A．3B．C．6D．0
【答案】C
【分析】利用基本不等式求和的最小值.
【详解】因为，则，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值是；
故选：C.
3．（23-24高一上·广东佛山·期中）函数，的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】C
【分析】利用配凑法结合基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以函数，的最小值为.
故选：C.
4．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知，则的最大值为（ ）
A．8B．16C．2D．4
【答案】D
【分析】根据基本不等式得到最值.
【详解】因为，所以，，
故，当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为4.
故选：D
5．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设，则函数，的最小值为（ ）
A．7B．8C．14D．15
【答案】D
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为15，
故选:D．
6．（2024·福建·模拟预测）已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据给定条件，利用充分不必要条件的定义逐项分析判断即得.
【详解】对于A，令，显然有，而，A不是；
对于B，当，时，，B不是；
对于C，当，时，由，得，
当且仅当时取等号，反之取，满足，而不成立，
因此是成立的一个充分不必要条件，C是；
对于D，令，不等式成立，而，D不是.
故选：C
7．（2024·河南南阳·一模）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】利用条件转化得，将问题式化简结合基本不等式求最值.
【详解】由，且，可得.所以.
又因为，
当且仅当，即时取等号，所以.
故选：B.
8．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】实数，，由，得，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
二、多选题
9．（23-24高一上·山东临沂·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．
C．若且，则D．
【答案】ACD
【分析】由已知条件，利用基本不等式验证各选项的结论是否正确.
【详解】时有，则，
当且仅当，即时等号成立，A选项正确；
，
等号成立的条件是，即，显然不能成立，
故的等号取不到，B选项错误；
若且，则，
当且仅当，即或时等号成立，C选项正确；
，
当且仅当，即时等号成立，D选项正确；
故选：ACD
10．（23-24高一上·江苏盐城·期末）设，，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值B．没有最大值
C．有最大值为D．有最小值为
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式直接判断与的最值情况.
【详解】，，，
当且仅当即时等号成立，故A正确，B正确；
又，时，，即，
所以，当且仅当时，等号成立，故C错误，D正确.
所以函数的最小值为5；
（2）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为9.
B能力提升
1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，则下列选项中，能使取得最小值18的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题根据基本不等式求最值可判断出A、B两项的正误；利用二次函数的性质可判断出C项的正误；通过举反例可判断D项的正误.
【详解】对选项A：由可知，，当且仅当等号成立，最小值不是18，
故选项A不正确；
对选项B：若，两边除以得，，
则，
当且仅当时，即时等号成立，
故的最小值是18，故选项B正确；
对选项C：由，得,
故，
由二次函数的性质，可知：当时，的最大值为18，
故选项C不正确；
对选项D：，则当时，
，
故不能取得最小值18，
故选项D不正确.
所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为2.
故答案为：2
C新定义题型
4．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）设正整数，有穷数列满足，且，定义积值
(1)若时，数列与数列的S的值分别为，
①试比较与的大小关系；
②若数列的S满足，请写出一个满足条件的
(2)若时，数列存在使得，将，分别调整为，，其它2个，令数列调整前后的积值分别为，写出的大小关系并给出证明；
(3)求的最大值，并确定S取最大值时所满足的条件，并进行证明.
【答案】(1)①②（答案不唯一）
(2)，证明见解析
(3)的最大值为1，当且仅当时，取到最大值，证明见解析
【分析】（1）①根据定义求出两个积值，比较大小；②只要写出满足条件的一个解就可以了，注意限制条件；
（2）根据调整，对两个积值做差，根据限制条件可比较大小；
（3）利用基本不等式计算可得；
【详解】（1）①依题意可得，，所以；
②不妨令为（答案不唯一），则，
因为，，符合题意.
（2）；
证明：不妨设，则；
则；
所以
；
所以；
（3）的最大值为1，当且仅当时，取到最大值.
证明：因为，且；
所以；
当且仅当时，等号成立.
【点睛】关键点点睛：对于新定义类问题解题关键在于理解新定义，第三问的关键是利用基本不等式.
课程标准
学习目标
①掌握重要的不等式、基本不等式（均值不等式）的内容，成立条件及公式的证明。
②利用基本不等式的性质及变形求相关函数的最值及证明。
通过本节课的学习，要求掌握基本不等式成立的条件，运用基本不等式这一重要的工具解决与最值有关的问题，会用基本不等式解决简单问题的证明.