2024年山东省青岛市开发区实验数学九年级第一学期开学质量检测试题【含答案】

这是一份2024年山东省青岛市开发区实验数学九年级第一学期开学质量检测试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2、（4分） “已知：正比例函数 与反比例函数 图象相交于 两点， 其横坐标分别是 1 和﹣1，求不等式 的解集．”对于这道题，某同学是这样解答的：“由图象可知：当或 时，，所以不等式的解集是或”．他这种解决问题的思路体现的数学思想方法是( )
A．数形结合B．转化C．类比D．分类讨论
3、（4分）下列各式一定是二次根式的是( )
A．B．C．D．
4、（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞-4B．x≥-4C．x＞-4且x≠1D．x≥-4且x≠-1
5、（4分）在一个四边形的所有内角中，锐角的个数最多有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
6、（4分）下列定理中没有逆定理的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等B．平行四边形的对角线互相平分
C．角平分线上的点到角两边的距离相等D．全等三角形的对应角相等
7、（4分）如图，在口ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若AC=4，BD=5，BC=3，则△BOC的周长为（ ）
A．6B．7.5C．8D．12
8、（4分）下列命题是假命题的是（ ）
A．四边都相等的四边形为菱形B．对角线互相平分的四边形为平行四边形
C．对角线相等的平行四边形为矩形D．对角线互相垂直且相等的四边形为正方形
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）对于实数c，d，min{c，d}表示c，d两数中较小的数，如min{3，﹣1}＝﹣1．若关于x的函数y＝min{2x2，a(x﹣t)2}(x≠0)的图象关于直线x＝3对称，则a的取值范围是_____，对应的t值是______．
10、（4分）某果农 2014 年的年收入为 5 万元，由于党的惠农政策的落实，2016 年年收入增加到 7.2万元，若平均每年的增长率是 x ，则 x =_____．
11、（4分）已知点，在双曲线上，轴于点，轴于点，与交于点，是的中点，若的面积为4，则_______.
12、（4分）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论中一定成立的是______．(把所有正确结论的序号都填在横线上)
(1)∠DFC+∠FEC=90°；(2)∠B=∠AEF；(3)CF=EF；(4)
13、（4分）关于x的不等式组的解集为1＜x＜3，则a的值为____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）选用适当的方法解下列方程：
（1）（x+2）2＝9
（2）2x（x﹣3）+x＝3
15、（8分）问题：探究函数的图象与性质.
小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了研究.
下面是小明的研究过程，请补充完成.
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中，m= n= ；
（2）在如图所示的平面直角坐标中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象.
（3）观察图象，写出该函数的两条性质.
16、（8分）化简：÷（a-4）-．
17、（10分）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．
18、（10分）如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．
（1）判断△BEC的形状，并说明理由？
（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；
（3）求四边形EFPH的面积．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若双曲线在第二、四象限，则直线y=kx+2不经过第 _____象限。
20、（4分）一次函数y=（2m﹣6）x+4中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____．
21、（4分）如图，直线y＝kx+b(k≠0)经过点A(﹣2，4)，则不等式kx+b＞4的解集为______.
22、（4分）分解因式xy2+4xy+4x＝_____．
23、（4分）如图，直线与双曲线交于A、B两点，过点A作轴，垂足为M，连结BM，若，则k的值是______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）未成年人思想道德建设越来越受到社会的关注．某青少年研究机构随机调查了某校 100名学生寒假花零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．根据调查 数据制成了如下的频数分布表（部分空格未填）．
某校 100 名学生寒假花零花钱数量的频数分布表:
（1）完成该频数分布表；
（2）画出频数分布直方图．
（3）研究认为应对消费 150 元以上的学 生提出勤俭节约的建议．试估计应对该校1200 学生中约多少名学生提出该项建议？
25、（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
26、（12分）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；
（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案．
【详解】
解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，AC⊥BD，即A和C关于BD对称，
∴AP＝CP，
即AP+PE＝CE，此时AP+PE的值最小，
所以此时△PAE周长的值最小，
∵正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，
∴∠ABC＝90°，BE＝4﹣1＝3，
由勾股定理得：CE＝5，
∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE＝CE+AE＝5+1＝6，
故选D．
本题考查了正方形的性质与轴对称——最短路径问题，知识点比较综合，属于较难题型.
2、A
【解析】
试题分析：根据数形结合法的定义可知．
解：由正比例函数y1=kx（k＞0）与反比例函数y2=（m＞0）图象相交于A、B两点，其横坐标分别是1和﹣1，然后结合图象可以看出x＞1或﹣1＜x＜0时，y1＞y2，所以不等式kx＞的解集是x＞1或﹣1＜x＜0”．
解决此题时将解析式与图象紧密结合，所以解决此题利用的数学思想方法叫做数形结合法．
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合法是解决函数问题经常采用的一种方法，关键是要找出图象与函数解析式之间的联系．
3、B
【解析】
分析：直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的定义分析得出答案．
详解：A、，根号下是负数，无意义，故此选项错误；
B、，一定是二次根式，故此选项正确；
C、，根号下有可能是负数，故此选项错误；
D、三次根式，故此选项错误；
故选：B．
点睛：此题主要考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.
．
4、D
【解析】
直接利用二次根式有意义的条件结合分式有意义的条件进行求解即可得.
【详解】
若在实数范围内有意义，
则x+4≥0且x+1≠0，
解得：x≥-4且x≠-1，
故选D．
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，正确把握相关知识是解题关键．
5、B
【解析】
根据四边形的外角和等于360°可判断出外角中最多有三个钝角，而外角与相邻的内角是互补的，因此，四边形的内角中最多有3个锐角.
【详解】
因为多边形的外角和是360度，在外角中最多有三个钝角，如果超过三个则和一定大于360度，
多边形的内角中就最多有3个锐角．
故选：B．
本题考查了四边形的外角和定理和外角与内角的关系，把内角问题转化成外角问题是解答的关键.
6、D
【解析】
先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答．
【详解】
解：A、其逆命题是“一个三角形的两个底角相等，则这个三角形是等腰三角形”，正确，所以有逆定理；
B、其逆命题是“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，正确，所以有逆定理；
C、其逆命题是“到角两边的距离相等的点在角平分线上”，正确，所以有逆定理；
D、其逆命题是“两个三角形中，三组角分别对应相等，则这两个三角形全等”，错误，所以没有逆定理；
故选：D．
本题考查的是命题与定理的区别，正确的命题叫定理．
7、B
【解析】
利用平行四边形的对角线互相平分的性质，解答即可．
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，则OC=AC=2，OB=BD=2.1，
所以△BOC的周长为OB+OC+BC=2.1+2+3=7.1．
故选：B．
本题主要考查了平行四边形的性质问题，应熟练掌握，属于基础性题目，比较简单．
8、D
【解析】
根据矩形、平行四边形、菱形、正方形的判定定理判断即可.
【详解】
A、根据菱形的判定定理可知是真命题；
B、根据平行四边形的判定定理可知是真命题；
C、根据矩形的的判定定理可知是真命题；
D、根据正方形的判定定理可知是假命题.
故选D
本题考查假命题的定义，涉及了矩形、平行四边形、菱形、正方形的判定定理.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、a＝2或a＜0 6或2
【解析】
可令y1=2x2，y2=a（x-t）2可分两种情况：①当y1与y2关于x=2对称时，可求出相应的a值为2，t值为6；②由于y1=2x2恒大于零，此时若y2恒小于零时，a<0，可得y2对称轴为x=2，即可求出相应的t值．
【详解】
解：设y1＝2x2，y2＝a(x﹣t)2
①当y1与y2关于x＝2对称时，可得a＝2，t＝6
②在y＝min{y1，y2}(x≠0)中，y1与y2没重合部分，即无论x为何值，y＝y2
即y2恒小于等于y1，那么由于y对x＝2对称，也即y2对于x＝2对称，得a＜0，t＝2．
综上所述，a＝2或a＜0，对应的t值为6或2
故答案为：a＝2或a＜0，6或2
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，先根据题意求出a的值是解答此题的关键.
10、20%.
【解析】
本题的等量关系是2014年的收入×（1+增长率）2=2016年的收入，据此列出方程，再求解.
【详解】
解：根据题意，得，
即.
解得：，（不合题意，舍去）
故答案为20%.
本题考查了一元二次方程应用中求平均变化率的知识．解这类题的一般思路和方法是：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的一元二次方程方程为a（1±x）2=b．
11、2
【解析】
如图，由△ABP的面积为4，知BP•AP=1．根据反比例函数中k的几何意义，知本题k=OC•AC，由反比例函数的性质，结合已知条件P是AC的中点，得出OC=BP，AC=2AP，进而求出k的值．
【详解】
如图
解：∵△ABP的面积为 BP•AP=4，
∴BP•AP=1，
∵P是AC的中点，
∴A点的纵坐标是B点纵坐标的2倍，
又∵点A、B都在双曲线（x＞0）上，
∴B点的横坐标是A点横坐标的2倍，
∴OC=DP=BP，
∴k=OC•AC=BP•2AP=2．
故答案为：2．
主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题时一定要正确理解k的几何意义．
12、 (1)(3)
【解析】
分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定得出△AEF≌△DMF，得出角、线段之间关系，得出(1)(3)成立，(2)不成立；再由梯形面积和平行四边形面积关系进而得出(4)不成立．
【详解】
解：∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
延长EF，交CD延长线于M，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
∴△AEF≌△DMF(ASA)，
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵∠B=∠ADC＞∠M，
∴∠B＞∠AEF，(2)不成立；
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴CF=EF，(3)成立；
∴∠FEC=∠FCE，
∵∠DCF+∠FEC=90°，
∴∠DFC+∠FEC=90°，(1)成立；
∵四边形ADCE的面积=(AE+CD)×CE，F是AD的中点，
∴S△EFC=S四边形ADCE，
∵S△BDC=S平行四边形ABCD=CD×CE，
∴S△EFC≠S△BDC，(4)不成立；
故答案为：(1)(3)．
此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，证出△AEF≌△DMF是解题关键．
13、4
【解析】
解:解不等式2x+1＞3可得x＞1，
解不等式a-x＞1，可得x＜a-1，
然后根据不等式组的解集为1＜x＜3，
可知a-1=3，解得a=4.
故答案为4.
此题主要考查了不等式组的解，解题关键是根据不等式组的解集和求出不等式的解集的特点，求解即可.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）x1＝1，x2＝﹣5；（2）x1＝3，x2＝﹣．
【解析】
（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
（1）（x+2）2＝9，
x+2＝±3，
解得：x1＝1，x2＝﹣5；
（2）2x（x﹣3）+x＝3，
2x（x﹣3）+x﹣3＝0，
（x﹣3）（2x+1）＝0，
x﹣3＝0，2x+1＝0，
x1＝3，x2＝﹣．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．
15、（1）m = 2， n = -1 ；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
（1）将n、m对应的x的值带入解析式即可；
（2）根据表格中的点坐标再直角坐标系上标出，在连接各点即可；
（3）根据函数的最值、对称性、增减性回答即可.
【详解】
解：（1）将带入函数中得：，
将带入中得：；
（2）如图所示：
（3）（答案不唯一，合理即可）
1、函数关于直线对称；
2、函数在时取得最小值，最小值为-1
本题是新型函数题型，是中考必考题型，解题的关键是通过函数的基本性质以及图象的分析得到相关的值和特殊的函数性质.
16、
【解析】
先利用平方差公式对进行因式分解，然后把除法运算转化为乘法运算，能约分的要约分，最后进行减法运算即可．
【详解】
原式=
=
=
本题主要考查分式的混合运算，掌握分式混合运算顺序和法则是解题的关键．
17、（1）见解析；（2）∠EBC =21°，∠F=23°．
【解析】
试题分析：(1)、根据题意得出AE=BE，然后结合AD=BD得出答案；(2)、根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=67°，根据∠EBC=∠ABC﹣∠ABE和∠F=90°﹣∠ABC得出角度．
试题解析：(1)、证明：∵∠A=∠ABE， ∴EA=EB， ∵AD=DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
(2)、解：∵∠A=46°， ∴∠ABE=∠A=46°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°， ∠F=90°﹣∠ABC=23°．
18、（1）△BEC是直角三角形，理由见解析（2）四边形EFPH为矩形，理由见解析（3）
【解析】（1）△BEC是直角三角形，理由略
（2）四边形EFPH为矩形
证明：在矩形ABCD中，∠ABC=∠BCD=900
∴PA=， PD=2 ∵AD=BC=5
∴AP2+PD2=25=AD2 ∴∠APD=900 （3分）
同理∠BEC=900
∵DE=BP ∴四边形BPDE为平行四边形
∴BE∥PD （4分）
∴∠EHP=∠APD=900，又∵∠BEC=900
∴四边形EFPH为矩形 （5分）
（3）在RT△PCD中∠FfPD
∴PD·CF=PC·CD ∴CF==
∴EF=CE-CF=-= (7分)
∵PF==
∴S四边形EFPH=EF·PF=
（1）根据矩形性质得出CD=2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE2+BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理求出即可；
（2）根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBP和AECP，推出EH∥FP，EF∥HP，推出平行四边形EFPH，根据矩形的判定推出即可；
（2）根据三角形的面积公式求出CF，求出EF，根据勾股定理求出PF，根据面积公式求出即可．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、三
【解析】
分析：首先根据反比例函数的图像得出k的取值范围，然后得出直线所经过的象限．
详解：∵反比例函数在二、四象限， ∴k＜0， ∴y=kx+2经过一、二、四象限，即不经过第三象限．
点睛：本题主要考查的是一次函数和反比例函数的图像，属于基础题型．对于反比例函数，当k＞0时，函数经过一、三象限，当k＜0时，函数经过二、四象限；对于一次函数y=kx+b，当k＞0，b＞0时，函数经过一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，函数经过一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，函数经过一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，函数经过二、三、四象限．
20、m＜3.
【解析】
试题分析：∵一次函数y=（2m-6）x+5中，y随x的增大而减小，
∴2m-6＜0，
解得，m＜3.
考点：一次函数图象与系数的关系．
21、x＞-1．
【解析】
结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
【详解】
观察图象知：当x＞-1时，kx+b＞4，
故答案为x＞-1．
考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
22、x（y+2）2
【解析】
原式先提取x，再利用完全平方公式分解即可。
【详解】
解：原式=，故答案为：x（y+2）2
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
23、1
【解析】
由题意得：S△ABM＝1S△AOM，又S△AOM＝|k|，则k的值可求出．
【详解】
解：设A（x，y），
∵直线与双曲线交于A、B两点，
∴B（−x，−y），
∴S△BOM＝|xy|，S△AOM＝|xy|，
∴S△BOM＝S△AOM，
∴S△ABM＝S△AOM＋S△BOM＝1S△AOM＝1，S△AOM＝|k|＝1，则k＝±1．
又由于反比例函数图象位于一三象限，
∴k＞0，故k＝1．
故答案为：1.
本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）见解析；（3）540名.
【解析】
（1）用100乘以频率求出0.5-50.5范围的频数，根据频率之和为1，求出100.5-150.5范围的频率和频数，最后根据每个范围中两整数部分的平均数得出组中值，填表即可；
（2）依据频数分布直方图的画法作图；
（3）求出150元以上的频率之和，再乘以1200即可得到结果.
【详解】
解：（1）100×0.1=10， ，100-（10+20+30+10+5）=25，
，，
如图：
（2）如图所示：
（3）1200×（0.3+0.1+0.05）=540（名）
答：估计应对该校1200 学生中约540名学生提出该项建议.
本题考查了读频数（频率）分布直方图的能力、频数分布直方图的画法和用样本估计总体的知识，弄懂题意是解题的关键.
25、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可．
【详解】
（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
26、（1）20%；（2）12.1．
【解析】
试题分析：（1）经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增长率为x，则经过两次增长以后图书馆有书7100（1+x）2本，即可列方程求解；
（2）先求出2017年图书借阅总量的最小值，再求出2016年的人均借阅量，2017年的人均借阅量，进一步求得a的值至少是多少．
试题解析：（1）设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，根据题意得
7100（1+x）2=10800，即（1+x）2=1.44，解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）．
答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%；
（2）10800（1+0.2）=12960（本）
10800÷1310=8（本）
12960÷1440=9（本）
（9﹣8）÷8×100%=12.1%．
故a的值至少是12.1．
考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用；最值问题；增长率问题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
…
-4
-3
-2
-1
0
4
…
…
2
1
0
n
0
1
m
3
4
…