浙教版七年级数学上册同步精品讲义第3课二次函数的性质(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第3课二次函数的性质(学生版+解析)，共33页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3，即学即练4，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 二次函数的解析式
1.二次函数解析式的表示方法
（1） 一般式：（，，为常数，）；
（2） 顶点式：（，，为常数，）；
（3） 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
2.二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．
用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．
一般来说，有如下几种情况：
（1） 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
（2） 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
（3）已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
知识点02 二次函数的开口方向、对称轴、顶点
知识点03 二次函数的增减性
知识点04 二次函数的最值

能力拓展
考点01 二次函数的解析式
【典例1】一个二次函数的图象经过（﹣1，0），（0，6），（3，0）三点．
求：这个二次函数的解析式．
【即学即练1】已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12）、B（0，5）．
（1）求抛物线解析式；
（2）试判断该二次函数的图象是否经过点（2，3）．
考点02 二次函数的开口方向、对称轴、顶点
【典例2】已知二次函数y＝2x2+4x﹣6，
（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式．
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
【即学即练2】二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（4，0），B（0，﹣3），C（﹣2，0），求它的解析式，直接写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．
考点03 二次函数的增减性
【典例3】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【即学即练3】画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
关于此函数有以下说法：①函数图象开口向上；②当x＞2时，y随x的增大而减小；③当x＝0时，y＝﹣1．其中正确的有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
考点04 二次函数的最值
【典例4】抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣5）和（2，1）．
（1）求b，c的值；
（2）当x为何值时，y有最大值？
【即学即练4】已知二次函数y＝x2﹣4x+2．当自变量x取值在﹣2≤x≤5范围内时，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值14，最小值﹣2B．有最大值14，最小值7
C．有最大值7，最小值﹣2D．有最大值14，最小值2
分层提分
题组A 基础过关练
1．抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（9，﹣3）B．（﹣9，﹣3）C．（9，3）D．（﹣9，3）
2．下列对二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3的图象描述不正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标为（﹣1，﹣3）
C．与y 轴相交于点（0，﹣3） D．当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小
3．已知二次函数y＝﹣2x2+4x+3，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是（ ）
A．y≤5B．y≤3C．﹣3≤y≤3D．﹣3≤y≤5
4．若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是 ．
5．已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+t，当x＜2时，y随x的增大而 .（填“增大”或“减小”）
6．二次函数y＝ax2+2ax+1的最大值为，则a的值为 ．
7．已知二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+2．
（1）求该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当x小于多少时，y随x的增大而增大？
8．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足表：
（1）这个二次函数的对称轴是直线 ，m的值为 ；
（2）求出这个二次函数的解析式；
（3）若点A（t，y1）、B（t+1，y2）两点都在该函数图象上，且t＜0，比较y1与y2的大小，并说明理由．
9．已知二次函数y＝x2+2x．
（1）写出该二次函数图象的对称轴．
（2）已知该函数图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点．
①当x1＝3n+4，x2＝2n﹣1，且y1＝y2时，求n的值．
②当x1＞﹣1，x2＞﹣1时，求证：（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．
10．已知抛物线y＝αx2+bx+b2﹣b（α≠0）．
（1）若b＝2α，求抛物线的对称轴；
（2）若α＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧．
①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求b的值；
②点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，若y1＞y3＞y2，请直接写出b的取值范围．
题组B 能力提升练
11．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（ ）
A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5
12．抛物线y＝（x﹣a）2+a﹣1的顶点一定不在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
13．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是（ ）
A．s≥3B．3＜s＜8C．s≤3D．s≥8
14．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+5（其中x是自变量）的图象上有两点（﹣2，y1），（3，y2），满足y1＜y2，当﹣2≤x＜3时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．﹣5B．﹣1C．1D．﹣2
15．设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
16．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．
（1）若此函数为一次函数；
①m，k，n的取值范围；
②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；
③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；
（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．
题组C 培优拔尖练
17．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6，以下判断正确的是（ ）
A．若h＝2，则a＜0B．若h＝4，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0D．若h＝8，则a＞0
18．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象经过点A（2，m），当x≤1时，y⩾m+1；当x＞1时，y⩾m，则a＝（ ）
A．﹣1B．﹣C．D．1
19．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是（ ）
A．﹣2或6B．2或6C．﹣或6D．﹣或﹣2
20．已知函数y＝﹣x2+2x+6，当0≤x＜m时，函数值的取值范围是6≤y≤7，则实数m的取值范围是 ．
21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．学习目标
1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.
2.探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念，会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性.
函数
（）
（）
图象的开口方向
向
向
对称轴
直线
直线
顶点坐标


函数
（）
（）
增减性
当时，随的增大而 ；
当时，随的增大而 ；
当时，随的增大而 ；
当时，随的增大而 ；
函数
（）
（）
最值
当时，有最小值 ，
无最大值；
当时，有最大值 ，
无最小值.
x
…
1
2
3
4
5
…
y
…
2
3
2
﹣1
﹣6
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
m
0
…
第3课 二次函数的性质
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知识精讲
知识点01 二次函数的解析式
1.二次函数解析式的表示方法
（1） 一般式：（，，为常数，）；
（2） 顶点式：（，，为常数，）；
（3） 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
2.二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．
用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．
一般来说，有如下几种情况：
（1） 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
（2） 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
（3）已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
知识点02 二次函数的开口方向、对称轴、顶点
知识点03 二次函数的增减性
知识点04 二次函数的最值

能力拓展
考点01 二次函数的解析式
【典例1】一个二次函数的图象经过（﹣1，0），（0，6），（3，0）三点．
求：这个二次函数的解析式．
【思路点拨】设一般式y＝ax2+bx+c，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可．
【解析】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
【即学即练1】已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12）、B（0，5）．
（1）求抛物线解析式；
（2）试判断该二次函数的图象是否经过点（2，3）．
【思路点拨】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）把点（2，3）代入二次函数解析式进行验证即可．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12），B（0，5）．
∴，解得，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）当x＝2时，y＝x2﹣6x+5＝4﹣12+5＝﹣3≠3，
∴该二次函数的图象不经过点（2，3）．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法系数的值是解题的关键．
考点02 二次函数的开口方向、对称轴、顶点
【典例2】已知二次函数y＝2x2+4x﹣6，
（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式．
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
【思路点拨】（1）用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式；
（2）根据（1）中的顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标．
【解析】解：（1）y＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣8＝2（x+1）2﹣8；
（2）由（1）知，该抛物线解析式是：y＝2（x+1）2﹣8；
a＝2＞0，则二次函数图象的开口方向向上．
对称轴是直线x＝﹣1、顶点坐标是（﹣1，﹣8）．
【点睛】本题考查了二次函数的三种形式和二次函数的性质．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
【即学即练2】二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（4，0），B（0，﹣3），C（﹣2，0），求它的解析式，直接写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【思路点拨】通过待定系数法求出函数解析式，根据a的符号可得抛物线开口方向，根据x＝﹣求对称轴，将x＝﹣的值代入函数解析式求抛物线顶点纵坐标．
【解析】解：将（4，0），（0，﹣3），（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣3，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝1，
把x＝1代入y＝x2﹣x﹣3得y＝+﹣3＝﹣，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数图象与系数的关系．
考点03 二次函数的增减性
【典例3】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【思路点拨】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．
【解析】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
【即学即练3】画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
关于此函数有以下说法：①函数图象开口向上；②当x＞2时，y随x的增大而减小；③当x＝0时，y＝﹣1．其中正确的有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【思路点拨】先由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，得到函数图象开口向下；利用y＝2时，x＝1或x＝3，得到函数的对称轴，再结合开口方向得到函数的增减性；利用对称轴为直线x＝1和x＝4时y＝﹣1得到x＝0时的函数值．
【解析】解：由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，
∴函数图象开口向下，故①错误，不符合题意；
∵y＝2时，x＝1或x＝3，
∴函数的对称轴为直线x＝2，
∵开口向下，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故②正确，符合题意；
∵对称轴为直线x＝1，当x＝4时y＝﹣1，
∴x＝0时，y＝﹣1，故③正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是学会读表并熟练掌握二次函数的性质．
考点04 二次函数的最值
【典例4】抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣5）和（2，1）．
（1）求b，c的值；
（2）当x为何值时，y有最大值？
【思路点拨】（1）把（0，﹣5）和（2，1）代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解，即可得出抛物线的解析式；
（2）根据二次函数的性质，对称轴方程即可求得结论．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣5）和（2，1）．
∴，
解得 ，
∴b，c的值分别为5，﹣5．
（2）∵抛物线y＝﹣x2+5x﹣5中，a＝﹣1＜0，
∴当x＝﹣＝时y有最大值．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握对称轴方程是解题的关键，难度适中．
【即学即练4】20．已知二次函数y＝x2﹣4x+2．当自变量x取值在﹣2≤x≤5范围内时，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值14，最小值﹣2B．有最大值14，最小值7
C．有最大值7，最小值﹣2D．有最大值14，最小值2
【思路点拨】先根据二次函数的解析式得出抛物线的对称轴和开口方向，即可得出函数的最值情况．
【解析】解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，
又∵抛物线的开口向上，
∴当x＝2时，函数取得最小值为﹣2，
∵x＝﹣2时，y＝x2﹣4x+2＝14，
∴在﹣2≤x≤5范围内，函数有最大值14，最小值﹣2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要能根据解析式得出函数的对称轴和开口方向．
分层提分
题组A 基础过关练
1．抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（9，﹣3）B．（﹣9，﹣3）C．（9，3）D．（﹣9，3）
【思路点拨】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．
【解析】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．
2．下列对二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3的图象描述不正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标为（﹣1，﹣3）
C．与y 轴相交于点（0，﹣3） D．当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小
【思路点拨】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解析】解：A、∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，正确，不合题意；
B、抛物线的顶点坐标是（﹣1，3），故本小题正确，不合题意；
C、令x＝0，则y＝﹣1﹣3＝﹣4，
所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣4），故不正确，符合题意；
D、抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小，故本小题正确，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，与y轴的交点，掌握其性质是解决此题关键．
3．已知二次函数y＝﹣2x2+4x+3，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是（ ）
A．y≤5B．y≤3C．﹣3≤y≤3D．﹣3≤y≤5
【思路点拨】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．
【解析】解：∵y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，5），
将x＝﹣1代﹣1代入y＝﹣2x2+4x+3得y＝﹣2﹣4+3＝﹣3，
∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是﹣3≤y≤5，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
4．若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是 y＝x2﹣4x+3 ．
【思路点拨】设出二次函数的顶点式解析式，把（0，3）代入计算即可．
【解析】解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
把（0，3）代入得：3＝4a﹣1，
解得：a＝1，
则二次函数解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3．
故答案为：y＝x2﹣4x+3．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
5．已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+t，当x＜2时，y随x的增大而 增大 .（填“增大”或“减小”）
【思路点拨】由抛物线开口方向及对称轴求解．
【解析】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+t，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴x＜2时，y随x增大而增大，
故答案为：增大．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
6．二次函数y＝ax2+2ax+1的最大值为，则a的值为 ．
【思路点拨】将二次函数解析式化为顶点式求解．
【解析】解：∵y＝ax2+2ax+1＝a（x+1）2+1﹣a，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，1﹣a），
∴y＝1﹣a为函数最大值，
∴1﹣a＝，
解得a＝﹣．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握求二次函数最值的方法，将二次函数解析式化为顶点式求解．
7．已知二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+2．
（1）求该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当x小于多少时，y随x的增大而增大？
【思路点拨】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）根据抛物线开口方向及对称轴求解．
【解析】解：（1）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣2）2+3，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3）．
（2）∵抛物线开口向下，
∴x＜2时，y随x增大而增大．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
8．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足表：
（1）这个二次函数的对称轴是直线 x＝1 ，m的值为 ﹣3 ；
（2）求出这个二次函数的解析式；
（3）若点A（t，y1）、B（t+1，y2）两点都在该函数图象上，且t＜0，比较y1与y2的大小，并说明理由．
【思路点拨】（1）根据表中x、y的对应值可知，当x＝﹣1与x＝3时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程，再由二次函数对称性可得m的值；
（2）利用待定系数法求得即可；
（3）根据二次函数的增减性可得结论．
【解析】解：（1）∵由表中x、y的对应值可知，当x＝1与x＝3时y的值相等，
∴对称轴是直线x＝＝1，
由二次函数的对称性可知，当x＝0与x＝2时y的值相等，
∴m＝﹣3；
故答案为：x＝1；﹣3；
（2）∵当x＝0时，y＝﹣3，
∴设y＝ax2+bx﹣3，
代入（﹣1，0），（1，﹣4），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（3）y1＞y2，理由如下：
∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵t＜0，
∴t＜t+1＜1，
∴此时，抛物线随x的增大而减小，
∴y1＞y2．
【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．
9．已知二次函数y＝x2+2x．
（1）写出该二次函数图象的对称轴．
（2）已知该函数图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点．
①当x1＝3n+4，x2＝2n﹣1，且y1＝y2时，求n的值．
②当x1＞﹣1，x2＞﹣1时，求证：（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．
【思路点拨】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）①由抛物线的对称性可得A，B两点关于对称轴对称，进而求解．②根据x＞﹣1时y随x增大而增大分类讨论x1＞x2与x1＜x2两种情况求解．
【解析】解：（1）∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1．
（2）①由抛物线的对称性可得当y1＝y2时，A，B两点关于对称轴对称，
∴＝﹣1，
解得n＝﹣1．
②∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x增大而增大，
∴当x1＞x2时，y1＞y2，
∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
当x1＜x2时，y1＜y2，
∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
10．已知抛物线y＝αx2+bx+b2﹣b（α≠0）．
（1）若b＝2α，求抛物线的对称轴；
（2）若α＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧．
①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求b的值；
②点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，若y1＞y3＞y2，请直接写出b的取值范围．
【思路点拨】（1）根据对称轴公式即可求得；
（2）①根据对称轴在y轴右侧可判断b＜0，根据顶点公式可求得b＝﹣；
②根据题意可得＜﹣＜，即可求解．
【解析】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∵b＝2α，
∴x＝﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；
（2）①当a＝1时，抛物线y＝x2+bx+b2﹣b，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
∵抛物线顶点的纵坐标为1，
∴＝1，
解得：b＝2或b＝﹣，
∵b＜0，
∴b＝﹣；
②当a＝1时，抛物线y＝x2+bx+b2﹣b，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∵点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，且y1＞y3＞y2，
∴＜﹣＜，
∴﹣2＜b＜0．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解题的关键是熟练掌握对称轴公式和顶点公式．
题组B 能力提升练
11．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（ ）
A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5
【思路点拨】根据抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，可以得到m的值，然后解方程即可．
【解析】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得m＝﹣4，
∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
12．抛物线y＝（x﹣a）2+a﹣1的顶点一定不在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【思路点拨】利用分类讨论的方法可以解答本题．
【解析】解：∵y＝（x﹣a）2+a﹣1，
∴该抛物线的顶点坐标为（a，a﹣1），
当a﹣1＞0时，a＞0，此时顶点在第一象限，故选项A不符合题意；
当0＜a＜1时，此时顶点在第四象限，故选项D不符合题意；
当a＜0时，a﹣1＜0，此时顶点在第三象限，故选项C不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟知每个象限中点的坐标特征．
13．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是（ ）
A．s≥3B．3＜s＜8C．s≤3D．s≥8
【思路点拨】由x+y2＝3可得y2与x的关系，用含x的代数式表示s，通过配方求解．
【解析】解：∵x+y2＝3，
∴y2＝3﹣x，
∵3﹣x≥0，
∴x≤3，
∴s＝x2+8y2＝x2+8（3﹣x）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
∴s≥9．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握配方法求二次函数的最值．
14．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+5（其中x是自变量）的图象上有两点（﹣2，y1），（3，y2），满足y1＜y2，当﹣2≤x＜3时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．﹣5B．﹣1C．1D．﹣2
【思路点拨】二次函数y＝ax2﹣2ax+a+5的对称轴是直线x＝﹣＝1，根据题意可得二次函数y＝ax2﹣2ax+a+5图象过（﹣2，﹣4），即可得到答案．
【解析】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+a+5的对称轴是直线x＝﹣＝1，
由（﹣2，y1），（3，y2），满足y1＜y2知a＜0，
∵当﹣2≤x＜3时，y的最小值为﹣4，
∴二次函数y＝ax2﹣2ax+a+5图象过（﹣2，﹣4），
∴4a+4a+a+5＝﹣4，
∴a＝﹣1，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解二次函数y＝ax2﹣2ax+a+5图象过（﹣2，﹣4）．
15．设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
【思路点拨】（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；
（2）把函数y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；
（3）把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．
【解析】解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），
∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．
（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，
y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2
＝2（h﹣1）2﹣4．
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．
（3）由题意得，y＝y1﹣y2
＝2（x﹣m） （x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）
＝ （x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．
∵函数y的图象经过点 （x0，0），
∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．
∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．
即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．
【点睛】本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：y＝ax2+bx+c，顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
16．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．
（1）若此函数为一次函数；
①m，k，n的取值范围；
②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；
③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；
（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．
【思路点拨】（1）①根据二次项系数为0，一次项系数不为0，常数项为任意实数解答即可；
②根据k＞0，k＜0时x、y的对应关系确定直线经过的点的坐标，求出解析式；
③根据一次函数的性质即增减性解答即可；
（2）把m＝﹣1，n＝2代入关系式，得到二次函数解析式，确定对称轴，顶点坐标，分情况讨论求出k的值．
【解析】解：（1）①m＝﹣2，k≠0，n为任意实数；
②当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过（﹣2，0）（1，3），函数关系式为：y＝x+2
当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过（﹣2，3）（1，0），函数关系式为：y＝﹣x+1
③当k＞0时，x＝﹣2，y有最小值为﹣2k+n
x＝3时，y有最大值为3k+n
当k＜0时，x＝﹣2，y有最大值为﹣2k+n
x＝3时，y有最小值为3k+n
（2）若m＝﹣1，n＝2时，二次函数为y＝x2+kx+2
对称轴为x＝﹣，
当﹣≤﹣2，即k≥4时，把x＝﹣2，y＝﹣4代入关系式得：k＝5
当﹣2＜﹣＜2，即﹣4＜k＜4时，把x＝﹣，y＝﹣4代入关系式得：k＝±2（不合题意）
当﹣≥2，即k≤﹣4时，把x＝2，y＝﹣4代入关系式得：k＝﹣5．
所以实数k的值为±5．
【点睛】本题考查了一次函数的概念、一次函数的性质、一次函数最值的应用以及二次函数的性质，综合性较强，需要学生灵活运用性质，把握一次函数的增减性和二次函数的增减性，解答题目．
题组C 培优拔尖练
17．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6，以下判断正确的是（ ）
A．若h＝2，则a＜0B．若h＝4，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0D．若h＝8，则a＞0
【思路点拨】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式整理得a（9﹣2h）＝1，将h的值分别代入即可得出结果．
【解析】解：当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6；代入函数式得：，
∴a（5﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝4，
整理得：a（6﹣2h）＝1，
若h＝2，则a＝，故A错误；
若h＝4，则a＝﹣，故B错误；
若h＝6，则a＝﹣，故C正确；
若h＝8，则a＝﹣，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数法是解题的关键．
18．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象经过点A（2，m），当x≤1时，y⩾m+1；当x＞1时，y⩾m，则a＝（ ）
A．﹣1B．﹣C．D．1
【思路点拨】由“当x≤1时，y⩾m+1”得函数开口向上，且当x＝1时，y＝m+1，由“当x＞1时，y⩾m”得函数的对称轴为x＝2，然后将点（2，m），（1，m+1）代入函数解析式求得a的值．
【解析】解：∵当x≤1时，y⩾m+1，
∴函数开口向上，且当x＝1时，y＝m+1，
∵当x＞1时，y⩾m，
∴函数的对称轴为x＝2，
将点（2，m），（1，m+1）代入函数y＝ax2+bx+c，得
，解得：a＝1，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握函数的性质得到二次函数的对称轴为x＝2．
19．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是（ ）
A．﹣2或6B．2或6C．﹣或6D．﹣或﹣2
【思路点拨】表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．
【解析】解：∵y＝﹣x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
①当≤﹣2，即m≤﹣4时，当x＝﹣2时，函数最大值为5，
∴﹣4﹣2m＝5，
解得：m＝﹣4.5；
②当≥1，即m≥2时，当x＝1时，函数最大值为5，
∴﹣1+m＝5，
解得：m＝6．
③当﹣2＜＜1，即﹣4＜m＜2时，当x＝时，函数最大值为5，
∴﹣+＝5，
解得m＝2（舍去）或m＝﹣2（舍去），
综上所述，m＝﹣4.5或m＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的最值、解一元二次方程，解题的关键是：分三种情况，找出关于m的方程．
20．已知函数y＝﹣x2+2x+6，当0≤x＜m时，函数值的取值范围是6≤y≤7，则实数m的取值范围是 1＜m≤2 ．
【思路点拨】将抛物线解析式化为顶点式，求出顶点坐标，将x＝0代入解析式求出抛物线与y轴交点坐标，进而求解．
【解析】解：∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣1）2+7，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，7），
把x＝0代入y＝﹣x2+2x+6得y＝6，
∴抛物线经过（0，6），
（0，6）关于对称轴的对称点为（2，6），
∴1＜m≤2时满足题意，
故答案为：1＜m≤2．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．
【思路点拨】（1）利用x＝﹣求得a和b的关系，再将其代入原解析式即可；
（2）分两种情况讨论，利用抛物线的对称性即可求解；
（3）分类讨论，利用二次函数的性质求解即可．
【解析】解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，
y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，
∵对称轴是直线x＝1．
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，
∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，
∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，
∴a＜0不合题意；
②a＞0时，抛物线开口向上，
∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，
∴x＝﹣2时，y的值最大，
∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，
将b＝﹣2a代入得，a＝1；
（3）①t＜0时，
∵a＝1，
∴b＝﹣2a＝﹣2，
∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，
∵m﹣n＝3，
∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；
②≤t＜1时，
∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4，
∵m﹣n＝3，
∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；
③0＜t≤时，
y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4，
m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±+1（不成立）；
④t≥1时，
∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3，
m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；
综上，t的值为﹣1或2．
【点睛】本题考查的是二次函数的最值，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．学习目标
1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.
2.探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念，会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性.
函数
（）
（）
图象的开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
函数
（）
（）
增减性
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小；
函数
（）
（）
最值
当时，有最小值，
无最大值；
当时，有最大值，
无最小值.
x
…
1
2
3
4
5
…
y
…
2
3
2
﹣1
﹣6
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
m
0
…