浙教版七年级数学上册同步精品讲义第10课圆(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第10课圆(学生版+解析)，共30页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3，即学即练4，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

目标导航
知识精讲
知识点01 圆的有关概念
1.圆：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆.
2.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.
3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧:大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧.
4.同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等
5.等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
知识点02 点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外d＞r
②点P在圆上d＝r
③点P在圆内d＜r．
知识点03 确定圆的条件
1.已知圆心和半径可以确定圆；
2.不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
知识点03 三角形的外接圆与外心
1.经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形．
2.外心是三角形三边的垂直平分线的交点．
3.锐角三角形外心位于三角形内部，
直角三角形外心位于边上（斜边中点），
钝角三角形外心位于三角形外部．
能力拓展
考点01 圆的有关概念
【典例1】下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦，其中正确的有（ ）
A．1B．2个C．3个D．4个
【即学即练1】A、B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．AB＞0B．0＜AB＜5C．0＜AB＜10D．0＜AB≤10
考点02 点和圆的位置关系
【典例2】已知⊙O的半径为3，OA＝5，则点A和⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆上B．点A在圆外C．点A在圆内D．不确定
【即学即练2】在平面直角坐标系中，若⊙A的半径为5，A点的坐标是（4，0），P点的坐标是（0，3），则点P与⊙A的位置关系是（ ）
A．点P在⊙A内B．点P在⊙A外C．点P在⊙A上D．不能确定
考点03 确定圆的条件
【典例3】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块
【即学即练3】下列条件中不能确定一个圆的是（ ）
A．圆心与半径 B．直径 C．三角形的三个顶点 D．平面上的三个已知点
考点04 三角形的外接圆与外心
【典例4】如图，⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点
【即学即练4】若一个三角形的外心在这个三角形的边上，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长不可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．如图所示，点M是⊙O上的任意一点，下列结论：
①以M为端点的弦只有一条；②以M为端点的直径只有一条；
③以M为端点的弧只有一条．则（ ）
A．①、②错误，③正确B．②、③错误，①正确
C．①、③错误，②正确D．①、②、③错误
3．下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径 B．弧是半圆 C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧
5．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，点A与圆心O的距离为6，则下列说法正确在是（ ）
A．点A在⊙O外B．点A在⊙O上C．点A在⊙O内D．无法判断
6．已知⊙O的直径为6，点A到圆心O的距离为d，且点A在⊙O的外部，则（ ）
A．d≥6B．d≥3C．d＞6D．d＞3
7．下列关于圆的说法，正确的是（ ）
A．弦是直径，直径也是弦 B．半圆是圆中最长的弧
C．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴 D．过三点可以作一个圆
8．下列说法正确的是（ ）
A．一个三角形只有一个外接圆 B．三点确定一个圆
C．长度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三条边的距离相等
9．两直角边分别为15和20的直角三角形的外接圆半径为 （ ）
A．12.5B．25C．20D．10
10．三角形外心具有的性质是（ ）
A．到三个顶点距离相等 B．到三边距离相等
C．外心必在三角形外 D．到顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍
11．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中点．
（1）若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值；
（2）若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取值范围．
题组B 能力提升练
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是（ ）
A．4＜r＜5B．3＜r＜4C．3＜r＜5D．1＜r＜7
14．下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（ ）
A．①②③④B．②③④C．②④D．③④
15．已知A为⊙O外一点，若点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，则⊙O的半径为 ．
16．如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？
题组C 培优拔尖练
17．矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外D．点B，C均在圆P内
18．如图，△ABC的外接圆半径为5，其圆心O恰好在中线CD上，若AB＝CD，则△ABC的面积为（ ）
A．36B．32C．24D．18
19．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝24，AD⊥BC于点D，AD＝5，P是半径为3的⊙A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（ ）
A．8B．8.5C．9D．9.5
20．如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，现以点A为圆心作圆，如果 B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A半径r的取值范围是 ．
21．已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
学习目标
1.理解圆的概念，用符号、字母正确表示弦和弧，了解点与圆的位置关系.
2.会在简单条件下判断点与圆的位置关系.
3.了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆角形的外心等概念.
4.会过不在同一条直线上的三点作圆.
第10课 圆
目标导航
知识精讲
知识点01 圆的有关概念
1.圆：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆.
2.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.
3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧:大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧.
4.同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等
5.等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
知识点02 点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外d＞r
②点P在圆上d＝r
③点P在圆内d＜r．
知识点03 确定圆的条件
1.已知圆心和半径可以确定圆；
2.不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
知识点03 三角形的外接圆与外心
1.经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形．
2.外心是三角形三边的垂直平分线的交点．
3.锐角三角形外心位于三角形内部，
直角三角形外心位于边上（斜边中点），
钝角三角形外心位于三角形外部．
能力拓展
考点01 圆的有关概念
【典例1】下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦，其中正确的有（ ）
A．1B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故不符合题意；
（2）弦包括直径，故不符合题意；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故不符合题意；
（4）直径是圆中最长的弦，符合题意，
正确的只有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的有关定义，能够了解圆的有关知识是解答本题的关键，难度不大．
【即学即练1】A、B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．AB＞0B．0＜AB＜5C．0＜AB＜10D．0＜AB≤10
【思路点拨】根据直径是圆中最长的弦求解．
【解析】解：∵圆中最长的弦为直径，
∴0＜AB≤10．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的认识，了解圆中最长的弦是直径最关键．
考点02 点和圆的位置关系
【典例2】已知⊙O的半径为3，OA＝5，则点A和⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆上B．点A在圆外C．点A在圆内D．不确定
【思路点拨】由⊙O的半径为3，OA＝5知点到圆心的距离大于半径，从而得出答案．
【解析】解：∵⊙O的半径为3，OA＝5，
∴点到圆心的距离大于半径，
∴点A在圆外，
故选：B．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有 ①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．
【即学即练2】在平面直角坐标系中，若⊙A的半径为5，A点的坐标是（4，0），P点的坐标是（0，3），则点P与⊙A的位置关系是（ ）
A．点P在⊙A内B．点P在⊙A外C．点P在⊙A上D．不能确定
【思路点拨】根据两点间的距离公式求出AP的长，再与5相比较即可．
【解析】解：∵点A的坐标为（4，0），点P的坐标为（0，3），
∴AP＝＝5＝半径，
∴点P与⊙A的位置关系是：点P在⊙A上．
故选：C．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
考点03 确定圆的条件
【典例3】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块
【思路点拨】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【解析】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
【即学即练3】下列条件中不能确定一个圆的是（ ）
A．圆心与半径 B．直径 C．三角形的三个顶点 D．平面上的三个已知点
【思路点拨】根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，直接进行判断即可．
【解析】解：A、已知圆心和半径能确定一个圆；
B、已知直径能确定一个圆；
C、已知三角形的三个顶点，可以确定一个圆；
D、平面上的三个已知点不能确定一个圆．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了确定圆的条件，属于基础题型．注意分类讨论的思想的运用．
考点04 三角形的外接圆与外心
【典例4】如图，⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点
【思路点拨】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案．
【解析】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确把握外心的定义是解题关键．
【即学即练4】若一个三角形的外心在这个三角形的边上，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【思路点拨】根据直径所对的圆周角是直角，则该三角形是直角三角形．
【解析】解：∵根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，
∴该三角形是直角三角形．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的外心，注意：直角三角形的外心就是它的斜边的中点．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长不可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【思路点拨】根据圆中最长的弦为直径求解．
【解析】解：因为圆中最长的弦为直径，所以AB≤4．
故选：D．
【点睛】考查了圆的认识，在本题中，圆的弦长的取值范围0＜L≤4．
2．如图所示，点M是⊙O上的任意一点，下列结论：
①以M为端点的弦只有一条；②以M为端点的直径只有一条；
③以M为端点的弧只有一条．则（ ）
A．①、②错误，③正确B．②、③错误，①正确
C．①、③错误，②正确D．①、②、③错误
【思路点拨】根据弦的定义对①进行判断；根据直径的定义对②进行判断；根据弧的定义对③进行判断．
【解析】解：以M为端点的弦有无数条，所以①错误；
以M为端点的直径只有一条，所以②正确；
以M为端点的弧有无数条，所以③错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
3．下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】解：①直径是最长的弦，正确，符合题意；
②直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意；
⑤半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意，
故选：C．
【点睛】考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大．
4．下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径 B．弧是半圆 C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧
【思路点拨】利用圆的有关概念及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；
B、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意；
C、直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；
D、半圆是小于优弧而大于劣弧的弧，故错误，不符合题意，
故选：C．
【点睛】考查了圆的认识，解题的关键是正确的了解有关概念及性质，难度不大．
5．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，点A与圆心O的距离为6，则下列说法正确在是（ ）
A．点A在⊙O外B．点A在⊙O上C．点A在⊙O内D．无法判断
【思路点拨】先求方程的根，可得r的值，由点与圆的位置关系的判断方法可求解．
【解析】解：∵x2﹣3x﹣4＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝4，
∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的根，
∴r＝4，
∵d＞r，
∴点A在⊙O外，
故选：A．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较点到圆心的距离d与圆半径大小关系完成判定．
6．已知⊙O的直径为6，点A到圆心O的距离为d，且点A在⊙O的外部，则（ ）
A．d≥6B．d≥3C．d＞6D．d＞3
【思路点拨】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【解析】解：∵⊙O直径为6，
∴圆O的半径为3，
∵点A在圆O的外部，
∴点A到圆心O的距离d的范围是：d＞3．
故选：D．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
7．下列关于圆的说法，正确的是（ ）
A．弦是直径，直径也是弦 B．半圆是圆中最长的弧
C．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴 D．过三点可以作一个圆
【思路点拨】根据弧、弦的概念、对称轴的概念、过三点的圆的条件判断即可．
【解析】解：A、弦不一定是直径，但直径是弦，本选项说法错误，不符合题意；
B、∵半圆小于优弧，
∴半圆是圆中最长的弧说法错误，本选项不符合题意；
C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，本选项说法正确，符合题意；
D、过不在同一直线上的三点可以作一个圆，本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆的概念、轴对称图形、过三点的圆，掌握弧、弦的概念、过三点的圆的条件是解题的关键．
8．下列说法正确的是（ ）
A．一个三角形只有一个外接圆 B．三点确定一个圆
C．长度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三条边的距离相等
【思路点拨】根据三角形的外接圆、等弧的定义、三角形外心的性质判断即可．
【解析】解：A、任意三角形都有且只有一个外接圆，正确，本选项符合题意；
B、不共线的三点确定一个圆，原说法错误，本选项不符合题意；
C、长度相等的弧不一定是等弧，原说法错误，本选项不符合题意；
D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆、等弧的定义，熟练掌握圆的有关概念是解题的关键．
9．两直角边分别为15和20的直角三角形的外接圆半径为 （ ）
A．12.5B．25C．20D．10
【思路点拨】根据直角三角形的外接圆直径正好是三角形的斜边，所以，只要求出三角形的斜边即可．
【解析】答：两直角边分别为15和20的直角三角形，利用勾股定理可得：斜边为：25
又因为直角三角形的外接圆直径，正好是三角形的斜边，
所以直角三角形的外接圆半径为：12.5
故选：A．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的外接圆的特殊性，斜边正好是外接圆的直径．
10．三角形外心具有的性质是（ ）
A．到三个顶点距离相等 B．到三边距离相等
C．外心必在三角形外 D．到顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍
【思路点拨】根据三角形外心的形成可得其具备的性质．
【解析】解：∵三角形的外心是任意两边垂直平分线的交点，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴到三个顶点距离相等．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形外心的性质，用到的知识点为：三角形的外心是任意两边垂直平分线的交点．
11．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
【思路点拨】（1）由AB＝O得到AB＝BO，则∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；
（2）∠1＝∠E，因此∠EOD＝3∠A，即可求出∠EOD．
【解析】解：（1）连OB，如图，
∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝BO，
∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；
（2）∵∠2＝∠A+∠1，
∴∠2＝2∠A，
∵OB＝OE，
∴∠2＝∠E，
∴∠E＝2∠A，
∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°．
【点睛】本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质和三角形外角定理，解题的关键是能从图形中发现每个角之间的关系．
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中点．
（1）若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值；
（2）若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取值范围．
【思路点拨】（1）利用勾股定理以及直角三角形斜边中线定理求出OC，可得结论；
（2）根据点与圆的位置关系求解即可．
【解析】解：连接OC．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，CB＝8，
∴AB＝＝＝10，
（1）∵点A，B，C都在⊙O上，
∴R＝OC＝5．
（2）∵点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，
∴8＜r＜10．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关键是掌握点与圆的位置关系，属于中考常考题型．
题组B 能力提升练
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是（ ）
A．4＜r＜5B．3＜r＜4C．3＜r＜5D．1＜r＜7
【思路点拨】先根据勾股定理求出AD的长，进而得出BD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．
【解析】解：在Rt△ADC中，∠C＝90，AC＝4，CD＝3，
∴AD＝＝＝5．
∵BC＝7，CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4．
∵以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，
∴r的范围是4＜r＜5，
故选：A．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
14．下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（ ）
A．①②③④B．②③④C．②④D．③④
【思路点拨】根据四个点共圆的条件：对角互补，进行判断．
【解析】解：平行四边形、菱形的对角不一定互补，不一定能够四个点共圆；矩形、正方形的对角互补，四点一定共圆．
故选：C．
【点睛】掌握四点共圆的条件以及特殊四边形的性质．
15．已知A为⊙O外一点，若点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，则⊙O的半径为 1 ．
【思路点拨】先表示距离，再确定最值条件．
【解析】解：如图：
连接AO并延长交圆O于点B，C两点，点A到⊙O上的点的最短距离线段AB的长，最长距离为线段AC的长度．
设圆的半径为r，则：BC＝2r＝AC﹣AB＝4﹣2＝2，
∴r＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查求圆的半径，确定A到圆上的点的最大距离和最小距离对应的线段是求解本题的关键．
16．如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？
【思路点拨】过点A作AC⊥ON，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台到C点，直到第二台到D点噪音才消失．
【解析】解：如图，
过点A作AC⊥ON，
∵∠MON＝30°，OA＝80米，
∴AC＝40米，
当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB＝50，
由勾股定理得：BC＝30，
第一台拖拉机到D点时噪音消失，
所以CD＝30．
由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响．
所以影响时间应是：90÷5＝18秒．
答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据拖拉机行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，50米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对小学产生噪音的时间．
题组C 培优拔尖练
17．矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外D．点B，C均在圆P内
【思路点拨】由AB＝8，BP＝3AP得到AP＝2，BP＝6，再根据勾股定理，在Rt△ADP中计算出PD＝7，在Rt△PBC中计算出PC＝9，则PC＞PD＞PB，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝3，
∵AB＝8，BP＝3AP，
∴AP＝2，BP＝6，
在Rt△ADP中，AP＝2，AD＝3，
∴PD＝＝7，
在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝3，
∴PC＝＝9，
∴PC＞PD＞PB，
∴点B在圆P内，点C在圆P外．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
18．如图，△ABC的外接圆半径为5，其圆心O恰好在中线CD上，若AB＝CD，则△ABC的面积为（ ）
A．36B．32C．24D．18
【思路点拨】连接OA，OB，则OA＝OB＝OC＝5，由等腰三角形的性质可得CD⊥AB，设AD＝x，则CD＝AB＝2x，OD＝CD﹣OC＝2x﹣5，利用勾股定理可求解x值，即可求得AB，CD的值，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解析】解：连接OA，OB，则OA＝OB＝OC＝5，
∵圆心O恰好在中线CD上，AB＝2AD，
∴CD⊥AB，
设AD＝x，则CD＝AB＝2x，OD＝CD﹣OC＝2x﹣5，
在Rt△OAD中，OD2+AD2＝OA2，
∴（2x﹣5）2+x2＝52，
解得x＝4，
∴CD＝AB＝2x＝8，
∴S△ABC＝．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形的外接圆，勾股定理，三角形面积，利用勾股定理求解AB，CD的长是解题的关键．
19．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝24，AD⊥BC于点D，AD＝5，P是半径为3的⊙A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（ ）
A．8B．8.5C．9D．9.5
【思路点拨】连接PB，根据等腰三角形的三线合一得到CD＝DB，根据三角形中位线定理得到DE＝PB，则当PB取最大值时，DE的长最大，求得PB的最大值，即可求得DE长的最大值．
【解析】解：如图，连接PB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝DB＝BC＝12，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△PBC的中位线，
∴DE＝PB，
∴当PB取最大值时，DE的长最
∵P是半径为3的⊙A上一动点，
∴当PB过圆心A时，PB最大，
∵BD＝12，AD＝5，
∴AB＝，
∵⊙A的半径为3，
∴PB的最大值为13+3＝16，
∴DE长的最大值为8，
故选：A．
【点睛】本题考查的是点和圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当PB取最大值时，DE的长最大是解题的关键．
20．如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，现以点A为圆心作圆，如果 B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A半径r的取值范围是 6＜r＜10 ．
【思路点拨】根据勾股定理求出AC的长，根据点与圆的位置关系即可得出答案．
【解析】解：如图，连结AC，BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝10，
∵以点A为圆心作圆，如果 B、C、D至少有一点在圆内，
∴r＞6，
∵至少有一点在圆外，
∴r＜10，
∴⊙A半径r的取值范围是：6＜r＜10．
故答案为：6＜r＜10．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，掌握点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r； ②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r是解题的关键．
21．已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
【思路点拨】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证；
（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．
【解析】解：（1）连接OB、OC，
∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，
∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，
在△OAB和△OAC中，
，
∴△OAB≌△OAC（AAS），
∴AB＝AC
即△ABC是等腰三角形；
（2）延长AO交BC于点H，
∵AH平分∠BAC，AB＝AC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
设OH＝b，BH＝CH＝a，
∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，
∴，
解得，，
∴BC＝2a＝3．
【点睛】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，第（1）关键在证明三角形全等；第（2）题关键由勾股定理列出方程组．学习目标
1.理解圆的概念，用符号、字母正确表示弦和弧，了解点与圆的位置关系.
2.会在简单条件下判断点与圆的位置关系.
3.了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆角形的外心等概念.
4.会过不在同一条直线上的三点作圆.