浙教版七年级数学上册同步精品讲义第18课比例线段(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第18课比例线段(学生版+解析)，共36页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

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知识精讲
知识点01 比例的基本性质
1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么我们说这四个数成比例．
2.a : b＝c : d或称a，d为比例外项，称b，c为比例内项
3.比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若，则ad＝bc
知识点02 比例线段
1.比例线段：如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的比．即那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2.比例中项：如果三个数满足比例式（或），则叫做的比例中项.
知识点03 比例中项与黄金分割
黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
能力拓展
考点01 比例及比例的基本性质
【典例1】若＝，则下列式子正确的是（ ）
A．＝7B．＝C．＝4D．＝
【即学即练1】已知＝＝．
（1）求的值；
（2）若2x+3y﹣z＝34，求x+2y﹣z的值．
考点02 比例线段
【典例2】已知线段a，b，c满足a：b：c＝2：3：4，且a+b﹣c＝3．
（1）求线段a，b，c的长．
（2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．
【即学即练2】已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝28．
（1）求a、b的值．
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
考点03 黄金分割
【典例3】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比约是黄金分割比．著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人的身体满足上述黄金分割比，且身高为175cm，则此人的肚脐到足底的长度约是 （精确到1cm）．
【即学即练3】若线段AB＝2，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（ ）
A．B．C．或D．或
分层提分
题组A 基础过关练
1.下列各组中的四条线段是成比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．2cm，4cm，6cm，8cm
C．1cm，cm，cm，2cmD．2cm，3cm，4cm，6cm
2．已知线段a、b、c、d是成比例线段，a＝1，b＝2，c＝4，那么d的值是（ ）
A．B．2C．3D．8
3.已知，则n：m等于（ ）
A．7：1B．1：7C．4：5D．5：4
4.已知，则下列变形不正确的是（ ）
A．B．2a＝3bC．D．3a＝2b
5.根据4a＝5b，可以组成的比例有（ ）
A．a：b＝4：5B．a：b＝5：4C．a：4＝b：5D．a：5＝4：b
6.线段AB的长为2，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC的长可能是（ ）
A．+1B．2﹣C．3﹣D．﹣2
7.若四条线段a，b，c，d成比例，其中a＝3cm，c＝2cm，d＝6cm，则线段b的长为 cm．
8．已知线段a＝4cm，b＝5cm，那么线段a、b的比例中项等于 cm．
9.黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台AB的长为18米，主持人站在点C处自然得体．已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 米．
10.已知a：b：c＝2：3：4，且2a+3b﹣2c＝15，求a﹣2b+3c的值．
11.线段a、b、c，且＝＝．
（1）求的值；
（2）如果线段a、b、c满足a+b+c＝27，求a+b﹣c的值．
12.小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（AB）的某一部分（AC）与另一部分（BC）之比，如果正好等于另一部分（BC）同整个线段（AB）的比（即BC2＝AC．AB），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（AB）的点C称为线段AB的“黄金分割点”，
在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台AB上，主持人从A点到B点走多少米，他的站台最得体？（取＝1.4，＝1.7，＝2.2）
题组B 能力提升练
13.已知四条线段a、b、c、d满足＝，则下列各式一定成立的是（ ）
A．＝B．C．＝D．＝
14.如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（ ）
A．B．BC2＝AB•ACC．D．≈0.618
15.已知（a，b，c均不为0），且a+b﹣c＝4，则a＝ ．
16.已知a＝4，b＝9，则这两个数a，b的比例中项为 ．
17.据比例的基本性质进行计算．
若．
（1）求的值；
（2）求的值．
18.（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c．
（2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长．
19.（1）已知＝≠0，求代数式的值；
（2）已知线段AB＝10cm，点C、点D是线段AB的两个不同黄金分割点，求C、D之间的距离．
20.在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约多少厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）
题组C 培优拔尖练
21.如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD（AD＝AB）、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1＝S2B．S1＞S2C．S1＜S2D．无法确定
22.若＝＝＝且b﹣2d+3f≠0，则的值为（ ）
A．B．C．D．
23.已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值为 ．
24.设a，b，c是△ABC的三条边，且＝＝，判断△ABC为何种三角形？并说明理由．
25.请阅读下列材料，并完成相应的任务：
公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（gldensectin）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．
如图①，在线段AD上找一个点C，C把AD分为AC和CD两段，其中AC是较小的一段，如果AC：CD＝CD：AD，那么称线段AD被C点黄金分割，点C叫做线段AD的黄金分割点，AC与CD的比值叫做黄金分割数．
为简单起见，设AD＝1，CD＝x，则AC＝1﹣x．
∵AC：CD＝CD：AD，∴……
任务：
（1）请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．
（2）如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：
①设AB是已知线段，过点B作BD⊥AB且使BD＝AB；
②连结DA，在DA上截取DE＝DB；
③在AB上截取AC＝AE；
则点C即为线段AB黄金分割点．你能说说其中的道理吗？
（3）已知线段AB＝1，点C，D是线段AB上的两个黄金分割点，则线段CD的长是 ．
26. 若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．
（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
27.△ABC中，D是BC上一点，若＝，则称AD为△ABC的黄金分割线．
（1）求证：若AD为△ABC的黄金分割线，则D是BC的黄金分割点；
（2）若S△ABC＝20，求△ACD的面积．（结果保留根号）
学习目标
1.理解比例的基本性质，能根据比例的基本性质求比值，能根据条件写出比例式或进行比例式简单的变形.
2.了解两条线段的比和比例线段的概念，能根据条件写出比例线段，会运用比例线段解决简单的实际问题.
3.了解比例中项的概念，会求已知线段的比例中项.
4.了解黄金分割，利用黄金分割进行简单的计算.
第18课 比例线段
目标导航
知识精讲
知识点01 比例的基本性质
1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么我们说这四个数成比例．
2.a : b＝c : d或称a，d为比例外项，称b，c为比例内项
3.比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若，则ad＝bc
知识点02 比例线段
1.比例线段：如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的比．即那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2.比例中项：如果三个数满足比例式（或），则叫做的比例中项.
知识点03 比例中项与黄金分割
黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
能力拓展
考点01 比例及比例的基本性质
【典例1】若＝，则下列式子正确的是（ ）
A．＝7B．＝C．＝4D．＝
【思路点拨】根据比例的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解析】解：A、∵＝，
∴＝+1＝，
故A不符合题意；
B、∵＝，
∴≠，
故B不符合题意；
C、∵＝，
∴＝﹣1＝﹣
∴＝﹣4，
故C不符合题意；
D、∵＝，
∴＝，
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
【即学即练1】已知＝＝．
（1）求的值；
（2）若2x+3y﹣z＝34，求x+2y﹣z的值．
【思路点拨】设＝＝＝k，利用比例的性质得到x＝3k，y＝5k，z＝4k．
（1）先把x＝3k，y＝5k，z＝4k代入代数式中，然后进行分式的运算即可；
（2）先把x＝3k，y＝5k，z＝4k代入2x+3y﹣z＝34中求出k的值，然后把x＝3k，y＝5k，z＝4k代入x+2y﹣z中合并得到x+2y﹣z＝9k，从而得到x+2y﹣z的值．
【解析】解：设＝＝＝k，则x＝3k，y＝5k，z＝4k，
（1）＝＝﹣；
（2）∵2x+3y﹣z＝34，
∴6k+15k﹣4k＝34，
解得k＝2，
∴x+2y﹣z＝3k+10k﹣4k＝9k＝9×2＝18．
【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质是解决问题的关键．
考点02 比例线段
【典例2】已知线段a，b，c满足a：b：c＝2：3：4，且a+b﹣c＝3．
（1）求线段a，b，c的长．
（2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．
【思路点拨】（1）利用a：b：c＝2：3：4，可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，由a+b﹣c＝3得2k+3k﹣4k＝3，然后解出k的值即可得到a、b、c的值；
（2）根据比例中项的定义得到m2＝ab，即m2＝6×9，然后根据算术平方根的定义求解．
【解析】解：（1）∵a：b：c＝2：3：4，
∴a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b﹣c＝3，
∴2k+3k﹣4k＝3，
解得k＝3，
∴a＝6，b＝9，c＝12；
（2）∵m是a、b的比例中项，
∴m2＝ab，
∴m2＝6×9，
∴x＝3或x＝﹣3（舍去），
即线段m的长x为3．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．
【即学即练2】已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝28．
（1）求a、b的值．
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【思路点拨】（1）利用a：b＝3：2，可设a＝3k，b＝2k，则3k+4k＝28，然后解出k的值即可得到a、b的值；
（2）根据比例中项的定义得到x2＝ab，即x2＝96，然后根据算术平方根的定义求解．
【解析】解：（1）∵a：b＝3：2
∴设a＝3k，b＝2k，
∵a+2b＝28，
∴3k+4k＝28，
∴k＝4，
∴a＝12，b＝8；
（2）∵x是a：b的比例中项，
∴x2＝ab＝96，
∵x是线段，x＞0，
∴x＝4．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．
考点03 黄金分割
【典例3】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比约是黄金分割比．著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人的身体满足上述黄金分割比，且身高为175cm，则此人的肚脐到足底的长度约是 108cm （精确到1cm）．
【思路点拨】设此人的肚脐到足底的长度为xcm，则人体的头顶到肚脐的长度为（175﹣x）cm，然后根据黄金分割的定义可得得：≈0.618，进行计算即可解答．
【解析】解：设此人的肚脐到足底的长度为xcm，则人体的头顶到肚脐的长度为（175﹣x）cm，
由题意得：
≈0.618，
解得：x≈108，
经检验：x＝108是原方程的根，
∴此人的肚脐到足底的长度约是108cm，
故答案为：108cm．
【点睛】本题考查了黄金分割，近似数和有效数字，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
【即学即练3】若线段AB＝2，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（ ）
A．B．C．或D．或
【思路点拨】由于线段AB的黄金分割点有两个，则AC＝AB或BC＝AB，当AC＝AB＝﹣1，则BC＝3﹣．
【解析】解：∵点C是AB的黄金分割点，
∴AC＝AB或BC＝AB＝﹣1，
当AC＝AB＝×2＝﹣1，此时BC＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
综上所述，BC的长为﹣1或3﹣．
故选：D．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
分层提分
题组A 基础过关练
1.下列各组中的四条线段是成比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．2cm，4cm，6cm，8cm
C．1cm，cm，cm，2cmD．2cm，3cm，4cm，6cm
【思路点拨】根据比例线段的定义对各选项进行判断．
【解析】解：A．1：2≠3：4，所以A选项不符合题意；
B．2：4≠6：8，所以B选项不符合题意；
C．1：≠：2，所以C选项不符合题意；
D．2：3＝4：6，则2cm，3cm，4cm，6cm成比例线段，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
2．已知线段a、b、c、d是成比例线段，a＝1，b＝2，c＝4，那么d的值是（ ）
A．B．2C．3D．8
【思路点拨】利用成比例线段的定义得到a：b＝c：d，然后根据比例的性质求d的值．
【解析】解：根据题意得a：b＝c：d，
即1：2＝4：d，
解得d＝8．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段．
3.已知，则n：m等于（ ）
A．7：1B．1：7C．4：5D．5：4
【思路点拨】根据已知条件得出7m＝n，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案．
【解析】解：∵，
∴7m+14n＝15n，
∴7m＝n，
∴n：m＝7：1．
故答案为：A．
【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知条件得出7m+14n＝15n是解题的关键．
4.已知，则下列变形不正确的是（ ）
A．B．2a＝3bC．D．3a＝2b
【思路点拨】通过得到2a＝3b，，然后逐个排除即可．
【解析】解：由，
可得，2a＝3b，，
故选：D．
【点睛】本题考查比例的性质，能够将比例的各种写法灵活转化是解答本题的关键．
5.根据4a＝5b，可以组成的比例有（ ）
A．a：b＝4：5B．a：b＝5：4C．a：4＝b：5D．a：5＝4：b
【思路点拨】根据比例的性质，进行计算即可解答．
【解析】解：A、∵a：b＝4：5，
∴5a＝4b，
故A不符合题意；
B、∵a：b＝5：4，
∴4a＝5b，
故B符合题意；
C、∵a：4＝b：5，
∴5a＝4b，
故C不符合题意；
D、∵a：5＝4：b，
∴ab＝20，
故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
6.线段AB的长为2，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC的长可能是（ ）
A．+1B．2﹣C．3﹣D．﹣2
【思路点拨】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可．
【解析】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，
∴AC＝AB＝×2＝﹣1，
或AC＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
7.若四条线段a，b，c，d成比例，其中a＝3cm，c＝2cm，d＝6cm，则线段b的长为 9 cm．
【思路点拨】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得＝，又由a＝3cm，c＝2cm，d＝6cm，即可求得b的值．
【解析】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，
∴＝，
∵a＝3cm，c＝2cm，d＝6cm，
∴＝，
解得：b＝9（cm）．
故答案为：9．
【点睛】此题考查了比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记比例线段的定义．
8．已知线段a＝4cm，b＝5cm，那么线段a、b的比例中项等于 2 cm．
【思路点拨】设线段a、b的比例中项为xcm，根据比例中项的定义得到x2＝20，然后求20的算术平方根即可．
【解析】解：设线段a、b的比例中项为xcm，
根据题意得x2＝ab＝4×5＝20，
解得x1＝2，x2＝﹣2（舍去），
即线段a、b的比例中项为2cm．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了比例线段：掌握比例中项的定义是解决问题的关键．
9.黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台AB的长为18米，主持人站在点C处自然得体．已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 （9﹣9） 米．
【思路点拨】由黄金分割点的定义得AC＝AB，再代入AB的长计算即可．
【解析】解：由题意可知，点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，AB＝18米，AC＞BC，
∴AC＝AB＝×18＝（9﹣9）（米），
即此时主持人与点A的距离为（9﹣9）米，
故答案为：（9﹣9）．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键．
10.已知a：b：c＝2：3：4，且2a+3b﹣2c＝15，求a﹣2b+3c的值．
【思路点拨】由a：b：c＝2：3：4，可设a＝2k，则b＝3k，c＝4k，根据2a+3b﹣2c＝15可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值，进而可得出a、b、c的值，将其代入a﹣2b+3c中即可求出结论．
【解析】解：∵a：b：c＝2：3：4，
∴设a＝2k，则b＝3k，c＝4k．
∵2a+3b﹣2c＝15，
∴4k+9k﹣8k＝15，
解得：k＝3，
∴a＝6，b＝9，c＝12，
∴a﹣2b+3c＝6﹣18+36＝24．
【点睛】本题考查了比例的性质
11.线段a、b、c，且＝＝．
（1）求的值；
（2）如果线段a、b、c满足a+b+c＝27，求a+b﹣c的值．
【思路点拨】（1）设＝＝＝t，则a＝2t，b＝3t，然后把它们代入中进行分式的运算即可；
（2）设＝＝＝t，则a＝2t，b＝3t，c＝4t，则利用a+b+c＝27可求出t，然后利用a+b﹣c＝t求解．
【解析】解：（1）设＝＝＝t，
∴a＝2t，b＝3t，
∴＝＝；
（2）设＝＝＝t，
∴a＝2t，b＝3t，c＝4t，
∵a+b+c＝27，
∴2t+3t+4t＝27，解得t＝3，
∴a+b﹣c＝2t+3t﹣4t＝t＝3．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
12.小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（AB）的某一部分（AC）与另一部分（BC）之比，如果正好等于另一部分（BC）同整个线段（AB）的比（即BC2＝AC．AB），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（AB）的点C称为线段AB的“黄金分割点”，
在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台AB上，主持人从A点到B点走多少米，他的站台最得体？（取＝1.4，＝1.7，＝2.2）
【思路点拨】设AC＝x米，根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，列出方程求解即可．
【解析】解：设AC＝x米，
∵AB＝20，
∴BC＝（20﹣x）米，
∴（20﹣x）2＝x•20，
解得：x1＝10﹣10≈12，x2＝30﹣10≈8，
∴AC＝8米或12米，
答：主持人从A点到B点走8米他的站台最得体．
【点睛】此题考查了理解黄金分割，找出黄金分割中成比例的对应线段列出方程是解决问题的关键．
题组B 能力提升练
13.已知四条线段a、b、c、d满足＝，则下列各式一定成立的是（ ）
A．＝B．C．＝D．＝
【思路点拨】根据比例的性质进行判断即可．
【解析】解：A、由已知＝，可得＝，故本选项不符合题意；
B、由已知＝，可得ad＝bc，故本选项不符合题意；
C、由已知＝，可得＝，故本选项不符合题意；
D、由已知＝，可得＝，那么＝，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段，能够根据比例的性质灵活对一个比例式进行变形是解题的关键．
14.如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（ ）
A．B．BC2＝AB•ACC．D．≈0.618
【思路点拨】根据黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），
且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），
叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝AB≈0.618AB，即可得结论．
【解析】解：设AB为整体1，AC的长为x，则BC＝1﹣x，
根据黄金分割定义，得＝，
所以选项A正确，不符合题意；
∵AC2＝AB•BC，
所以B选项错误，符合题意；
x2＝1×（1﹣x）
整理，得x2+x﹣1＝0，
解得x1＝，x2＝（不符合题意，舍去）．
∴＝
所以C选项正确，不符合题意；
∵＝＝≈0.618
所以D选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题关键．
15.已知（a，b，c均不为0），且a+b﹣c＝4，则a＝ 8 ．
【思路点拨】设＝k，得出a＝2k，b＝3k，c＝4k，再根据a+b﹣c＝4，求出k的值，然后得出a的值即可．
【解析】解：设＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b﹣c＝2k+3k﹣4k＝4，
∴k＝4，
∴a＝2k＝2×4＝8．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握比例变形与设＝k的解题方法．
16.已知a＝4，b＝9，则这两个数a，b的比例中项为 ±6 ．
【思路点拨】根据比例中项的概念，得c2＝ab，再利用比例的基本性质计算得到c的值．
【解析】解：设c是a，b的比例中项，
∴c2＝ab，
又∵a＝4，b＝9，
∴c2＝ab＝36，
解得c＝±6．
故答案为：±6．
【点睛】此题考查比例线段，理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．根17.据比例的基本性质进行计算．
若．
（1）求的值；
（2）求的值．
【思路点拨】设＝k，则x＝3k，y＝4k，z＝5k；
（1）将x＝3k，y＝4k，z＝5k代入即可求解；
（2）x＝3k，y＝4k，z＝5k代入所求式子即可．
【解析】解：（1）设＝k，
∴x＝3k，y＝4k，z＝5k，
∴＝＝3；
（2）
＝
＝
＝
＝．
【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质，分式的性质是解题的关键．
18.（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c．
（2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长．
【思路点拨】（1）由c是a，b的比例中项，得到c2＝ab，代入即可求出答案；
（2）由黄金分割点的定义进行计算即可．
【解析】解：（1）∵c是 a，b的比例中项，
∴c2＝ab＝4.5×2＝9，
∴c1＝3，c2＝﹣3，
∴c为3或﹣3；
（2）∵C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，
∴AC＝AB＝×4＝2﹣2．
【点睛】本题考查了黄金分割点的概念以及比例中项，正确运用黄金比进行计算是解题的关键．
19.（1）已知＝≠0，求代数式的值；
（2）已知线段AB＝10cm，点C、点D是线段AB的两个不同黄金分割点，求C、D之间的距离．
【思路点拨】（1）设＝＝k，利用比例性质得a＝2k，b＝3k，然后把a＝2k，b＝3k代入所求的代数式计算分式的运算即可．
（2）根据黄金比值是，求出AD、BC的长，根据CD＝AD+BC﹣AB代入计算得到答案．
【解析】解：（1）设＝＝k，可得：a＝2k，b＝3k，
把a＝2k，b＝3k代入．
（2）∵C、D是AB上的两个不同的黄金分割点，
∴AD＝BC＝AB＝（5﹣5）cm，
∴CD＝AD+BC﹣AB＝（10﹣20）cm．
【点睛】本题考查了比例的性质
20.在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约多少厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）
【思路点拨】根据黄金分割定义：下半身长与全身的比等于0.618即可求解．
【解析】解：根据已知条件可知：
下半身长是165×0.6＝99（厘米），
设需要穿的高跟鞋为y厘米，则根据黄金分割定义，得
＝0.618，
解得：y≈8，
经检验y≈8是原方程的根，
答：她应该选择大约8厘米的高跟鞋．
【点睛】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
题组C 培优拔尖练
21.如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD（AD＝AB）、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1＝S2B．S1＞S2C．S1＜S2D．无法确定
【思路点拨】根据黄金分割的定义得到BC2＝AC•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1＝BC2，S2＝AC•AB，即可得到S1＝S2．
【解析】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC2＝AC•AB，
∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，
∴S1＝BC2，S2＝AC•AB，
∴S1＝S2．
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
22.若＝＝＝且b﹣2d+3f≠0，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】先利用分式的基本性质得到＝＝＝，然后根据等比性质解决问题．
【解析】解：∵＝＝＝，
∴＝＝＝，
而b﹣2d+3f≠0
∴＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．
23.已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值为 2或﹣1 ．
【思路点拨】分两种情况：当a+b+c≠0时，当a+b+c＝0时，进行计算即可解答．
【解析】解：分两种情况：
当a+b+c≠0时，根据等比性质可得：
k＝
＝
＝2；
当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c，
∴k＝＝＝﹣1，
综上所述：k的值为2或﹣1，
故答案为：2或﹣1．
【点睛】本题考查了比例的性质，分两种情况进行计算是解题的关键．
24.设a，b，c是△ABC的三条边，且＝＝，判断△ABC为何种三角形？并说明理由．
【思路点拨】根据合比性质得出＝＝＝＝0，则a＝b＝c，进而判断△ABC为等边三角形．
【解析】解：△ABC为等边三角形，理由如下：
∵a，b，c是△ABC的三条边，
∴a+b+c≠0，
∵＝＝，
∴＝＝＝＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
【点睛】本题考查了等比性质：如果＝＝…＝＝k，且b+d+…+n≠0，那么＝k．
25.请阅读下列材料，并完成相应的任务：
公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（gldensectin）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．
如图①，在线段AD上找一个点C，C把AD分为AC和CD两段，其中AC是较小的一段，如果AC：CD＝CD：AD，那么称线段AD被C点黄金分割，点C叫做线段AD的黄金分割点，AC与CD的比值叫做黄金分割数．
为简单起见，设AD＝1，CD＝x，则AC＝1﹣x．
∵AC：CD＝CD：AD，∴……
任务：
（1）请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．
（2）如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：
①设AB是已知线段，过点B作BD⊥AB且使BD＝AB；
②连结DA，在DA上截取DE＝DB；
③在AB上截取AC＝AE；
则点C即为线段AB黄金分割点．你能说说其中的道理吗？
（3）已知线段AB＝1，点C，D是线段AB上的两个黄金分割点，则线段CD的长是 ﹣2 ．
【思路点拨】（1）设AD＝1，CD＝x，则AC＝1﹣x．根据黄金分割的定义，构建方程求出x即可．
（2）想办法证明AC：CB＝即可．
（3）利用黄金分割的定义求出AD，BC，再根据CD＝AD+BC﹣AB求解即可．
【解析】解：（1）设AD＝1，CD＝x，则AC＝1﹣x．
∵AC：CD＝CD：AD，
∴CD2＝AC•AD，
∴x2＝1﹣x，
∴x＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∴CB：AB＝，
即黄金分割数为．
（2）设AB＝2m，则BD＝m，
∴DE＝BD＝m，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴AD＝＝＝m，
∴AE＝AD﹣DE＝m﹣m＝（﹣1）m，
∴AC＝AE＝（﹣1）m，
∴AC：AB＝＝，
∴点C是线段AB的黄金分割点．
（3）如图，设AB＝1，CB＝x，AC＝1﹣x，
∵AC：CB＝CB：AB，
∴CB2＝AC•AB，
∴x2＝1﹣x，
∴x＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∵AD＝CB＝，
∴CD＝AD+BC﹣AB＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
26. 若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．
（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
【思路点拨】（1）只需在矩形的长上截取AE＝AD，DF＝AD，连接EF即可，
（2）可以结合（1）中正方形的性质求得矩形EBCF的宽与长的比进行分析．
【解析】解：（1）如图：以A为圆心，在AB上截取AE＝AD，
以D为圆心，在DC上截取DF＝DA，
连接EF，
所以四边形AEFD为所求作的正方形；
（2）答：四边形EBCF是黄金矩形．
证明：∵四边形AEFD是正方形，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°
∴∠BEF＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形EBCF是矩形．
设CD＝a，AD＝b，则有，
∴，
∴矩形EBCF是黄金矩形．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质和黄金矩形的概念，综合性较强，难度适中．
27.△ABC中，D是BC上一点，若＝，则称AD为△ABC的黄金分割线．
（1）求证：若AD为△ABC的黄金分割线，则D是BC的黄金分割点；
（2）若S△ABC＝20，求△ACD的面积．（结果保留根号）
【思路点拨】（1）先由等高的两个三角形面积之比等于底之比，可得＝，＝，又因为＝，等量代换得出＝，根据黄金分割点的定义即可证明D是BC的黄金分割点；
（2）由（1）知＝，那么BD＝BC，DC＝BC﹣BD＝BC﹣BC＝BC，又等高的两个三角形面积之比等于底之比＝＝，将S△ABC＝20代入，即可求出△ACD的面积．
【解析】（1）证明：∵＝，＝，
又∵＝，
∴＝，
∴D是BC的黄金分割点；
（2）解：由（1）知＝，
∴BD＝BC，
∴DC＝BC﹣BD＝BC﹣BC＝BC，
∵＝＝，
∴S△ACD＝S△ABC＝×20＝30﹣10．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．也考查了三角形的面积．学习目标
1.理解比例的基本性质，能根据比例的基本性质求比值，能根据条件写出比例式或进行比例式简单的变形.
2.了解两条线段的比和比例线段的概念，能根据条件写出比例线段，会运用比例线段解决简单的实际问题.
3.了解比例中项的概念，会求已知线段的比例中项.
4.了解黄金分割，利用黄金分割进行简单的计算.