浙教版七年级数学上册同步精品讲义第11课图形的旋转(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第11课图形的旋转(学生版+解析)，共42页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

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知识精讲
知识点01 图形的旋转的概念
1.一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心．
2.图形旋转的三要素：①旋转中心；②旋转的方向（顺时针或逆时针）；③旋转的角度．
知识点02 图形的旋转的性质
①图形经过旋转所得的图形与原图形全等．
②对应点到旋转中心的距离相等．
③任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度．
能力拓展
考点01 图形的旋转
【典例1】将图绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练1】下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（ ）
A． B． C． D．
考点02 图形的旋转的性质
【典例2】如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，先把△ABC绕点C顺时针旋转90°至△EDC后，再把△ABC沿射线BC平移至△GFE，DE、FG相交于点H．
（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；
（2）连结AG，求证：四边形ACEG是正方形．
【即学即练2】如图，矩形ABCD绕B点旋转，使C点落到AD上的E处，AB＝AE，连接AF，AG．
（1）求证：AF＝AG；
（2）求∠GAF的度数．
考点03 有关旋转作图
【典例3】P为正方形ABCD内一点，且AP＝2，将△APB绕A顺时针方向旋转60°，得到△AP′B′．
（1）作出旋转后的图形；
（2）试求△APP′的周长和面积．
【即学即练3】在平面直角坐标系中，如图所示A（﹣2，1），B（﹣4，1），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1；
（2）△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A2B2C2，那么B的对应点B2的坐标为 ；
（3）△A3B3C3是△ABC绕A点顺时针旋转180°得到，那么C的对应点C3的坐标为 ．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列运动属于旋转的是（ ）
A．足球在草地上滚动 B．火箭升空的运动
C．汽车在急刹车时向前滑行 D．钟表的钟摆的摆动
2．将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，若∠B′CA＝20°，则∠BCA的度数是（ ）
A．120°B．30°C．20°D．10°
4．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．如图，△ABC中，∠ACB＝36°，AC＝BC，将△ABC绕点A旋转到△ADE处，使DE恰好过点B，则∠CBD等于（ ）
A．72°B．60°C．36°D．30°
6．下列说法正确的是（ ）
A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小
B．平移和旋转都不改变图形的形状和大小
C．图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离
D．在平移和旋转图形的过程中，对应角相等，对应线段相等且平行
7．如图，△ABC中，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，∠BAB'＝44°，则∠CAB＝ °．
8．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是 ．
9．如图，在△ABC中，∠B＝50°，若将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE（点B、C的对应点分别为点D、E），且∠E＝30°，则∠CAD的度数为 °．
10．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D落在边BC上．
（1）若∠A＝60°，∠E＝40°，求旋转的角度的大小；
（2）若AC＝4，CE＝6，求BD的长度．
11．如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）点B关于点A对称的点的坐标是 ；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标．
12．如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是AB、BC边上，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：△EDF≌△MDF；
（2）若正方形ABCD的边长为5，AE＝2时，求EF的长？
题组B 能力提升练
13．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合的是（ ）
A．B．C．D．
14．如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是AB、BC边上，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．下列结论正确的是（ ）
A．F是BM的中点 B．BE＝BFC．△EDF≌△MDFD．EF∥DM
15．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
16．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，将∠COB绕点O顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），角的两边分别与BC，AB交于点M，N，连接DM，CN，MN，下列四个结论：①CM＝BN；②CN⊥DM；③∠ADM＝∠BNM；④AN2+CM2＝MN2；其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
17．如图，已知△ABC，AC＞AB．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，其中点B的对应点D落在AC边上．
（1）用无刻度的直尺和圆规作出△ADE；
（2）连接BD，CE，当∠ABD＝60°时，判断线段CE，BD，CD之间的数量关系，并说明理由．
18．如图，点E是正方形ABCD对角线BD上的一点，且满足∠DAE＝∠AED，将△DAE绕点A顺时针旋转90°得到△BAF，连接EC、FE．
（1）△AFE是怎样的三角形？请说明理由；
（2）试证明：点C、E、F三点在同一条直线上．
题组C 培优拔尖练
19．如图，将面积为8的正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转得到正方形AB'C'D'，E是AB'的中点，O是对角线BD的中点，则在旋转过程中OE的最大值为（ ）
A．B．C．D．
20．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，若点E在对角线AC上运动，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF．点P在CD上，且CP＝3PD．给出以下几个结论①EF＝DE，②EF2＝AE2+CE2，③线段PF的最小值是4，④△CFE的面积最大是16．其中正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
21．如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕着顶点A逆时针旋转90°，得△ADF，连接EF，P为EF的中点，则下列结论正确的是（ ）
①AE＝AF；②EF＝2EC；③∠DAP＝∠CFE；④∠ADP＝45°；⑤PD∥AF．
A．①②③B．①②④C．①③④D．①③⑤
22．如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB的延长线上，连接EC，EC绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接CF、AF，CF与对角线BD交于点G．
（1）若BE＝2，求AF的长度；
（2）求证：AF+2BG＝AD．
学习目标
1.了解图形的旋转的概念.
2.理解图形的旋转的性质:图形经过旋转所得的图形和原图形全等.对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.
3.会按要求作出简单平面图形经过旋转后的图形,应用旋转的性质解决简单几何问题.
第11课 图形的旋转
目标导航
知识精讲
知识点01 图形的旋转的概念
1.一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心．
2.图形旋转的三要素：①旋转中心；②旋转的方向（顺时针或逆时针）；③旋转的角度．
知识点02 图形的旋转的性质
①图形经过旋转所得的图形与原图形全等．
②对应点到旋转中心的距离相等．
③任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度．
能力拓展
考点01 图形的旋转
【典例1】将图绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据旋转的意义，找出图中阴影三角形3个关键处按顺时针方向旋转60°后的形状即可选择答案．
【解析】解：将图绕中心按顺时针方向旋转60°后得到的图形是．
故选：A．
【点睛】考查了生活中的旋转现象，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．
【即学即练1】下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据平移和旋转的性质判断即可．
【解析】解：A、B、C这三个图都只能由旋转得到，不能由平移得到，只有D既可经过平移，又可经过旋转得到，
故选：D．
【点睛】本题考查了生活中的平移和旋转现象，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
考点02 图形的旋转的性质
【典例2】如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，先把△ABC绕点C顺时针旋转90°至△EDC后，再把△ABC沿射线BC平移至△GFE，DE、FG相交于点H．
（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；
（2）连结AG，求证：四边形ACEG是正方形．
【思路点拨】（1）由旋转和平移的性质可得∠BAC＝∠CED，∠ABC＝∠GFE，由余角的性质可得结论；
（2）由旋转和平移的性质可得AC＝GE，AC∥GE，AC＝CE，∠ACE＝90°，可得结论．
【解析】（1）解：DE⊥FG，理由如下：
∵把△ABC绕点C顺时针旋转90°至△EDC，
∴∠BAC＝∠CED，
∵把△ABC沿射线BC平移至△GFE，
∴∠ABC＝∠GFE，
∵∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠CED+∠GFE＝90°，
∴∠FHE＝90°，
∴DE⊥GF；
（2）∵把△ABC沿射线BC平移至△GFE，
∴AC＝GE，AC∥GE，
∴四边形ACEG是平行四边形，
∵把△ABC绕点C顺时针旋转90°至△EDC，
∴AC＝CE，∠ACE＝90°，
∴四边形ACEG是正方形．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的判定，平移的性质，掌握旋转和平移的性质是解题的关键．
【即学即练2】如图，矩形ABCD绕B点旋转，使C点落到AD上的E处，AB＝AE，连接AF，AG．
（1）求证：AF＝AG；
（2）求∠GAF的度数．
【思路点拨】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABE＝∠AEB，由旋转的性质得出∠GBE＝∠FEB＝90°，BG＝EF，证明△ABG≌△AEF（SAS），由全等三角形的性质可得出AG＝AF；
（2）求出∠ABG＝∠AEF＝45°，由旋转的性质得出AB＝BG，AE＝EF，由等腰三角形的性质求出∠BAG＝∠EAF＝67.5°，则可得出答案．
【解析】（1）证明：∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵矩形ABCD绕B点旋转，
∴∠GBE＝∠FEB＝90°，BG＝EF，
∴∠ABG＝∠AEF，
∴△ABG≌△AEF（SAS），
∴AG＝AF；
（2）解：∵AB＝AE，∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠AEF＝45°，
∴∠ABG＝∠AEF＝45°，
∵矩形ABCD绕B点旋转，
∴AB＝BG，AE＝EF，
∴∠BAG＝∠EAF＝＝67.5°，
∴∠GAF＝360°﹣∠BAE﹣∠BAG﹣∠EAF＝360°﹣90°﹣67.5°﹣67.5°＝135°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
考点03 有关旋转作图
【典例3】P为正方形ABCD内一点，且AP＝2，将△APB绕A顺时针方向旋转60°，得到△AP′B′．
（1）作出旋转后的图形；
（2）试求△APP′的周长和面积．
【思路点拨】（1）利用圆规和量角器作出点B、P的对应点B′、P′，然后与点A顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质判断出△APP′是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出周长和面积即可．
【解析】解：（1）△AP′B′如图所示；
（2）由旋转的性质，△APP′是等边三角形，边长为2，
所以，周长为6，面积为：×2×（2×）＝．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，正方形的性质，等边三角形的判定与性质，（2）判断出△APP′是等边三角形是解题的关键．
【即学即练3】在平面直角坐标系中，如图所示A（﹣2，1），B（﹣4，1），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1；
（2）△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A2B2C2，那么B的对应点B2的坐标为 （2，1） ；
（3）△A3B3C3是△ABC绕A点顺时针旋转180°得到，那么C的对应点C3的坐标为 （﹣3，﹣2） ．
【思路点拨】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（3）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【解析】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）△A2B2C2如图所示，
∴点B2的坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）．
（3）△A3B3C3如图所示，
∴点C3的坐标为（﹣3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解答本题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列运动属于旋转的是（ ）
A．足球在草地上滚动 B．火箭升空的运动
C．汽车在急刹车时向前滑行 D．钟表的钟摆的摆动
【思路点拨】根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转进行分析即可．
【解析】解：A、足球在草地上滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转，故此选项不符合题意；
B、火箭升空的运动，是平移，故此选项不符合题意；
C、汽车在急刹车时向前滑行，是平移，故此选项不符合题意；
D、钟表的钟摆的摆动的过程，是旋转，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了生活中的旋转，关键是掌握旋转定义．
2．将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据旋转的意义，找出图中眼、尾巴等关键处按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案．
【解析】解：小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是B中图案，
故选：B．
【点睛】本题考查的是图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度．
3．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，若∠B′CA＝20°，则∠BCA的度数是（ ）
A．120°B．30°C．20°D．10°
【思路点拨】先利用旋转得到∠BCB′＝50°，而已知∠ACB′＝20°，由此即可求解．
【解析】解：∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，
∴∠BCB′＝50°，
而∠B′CA＝20°，
∴∠BCA＝∠BCB′﹣∠ACB′＝50°﹣20°＝30°．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
4．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【思路点拨】由旋转的性质可得AB＝AE，∠BAE＝60°，可证△ABE是等边三角形，可得AB＝BE＝5，即可求解．
【解析】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝5，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
5．如图，△ABC中，∠ACB＝36°，AC＝BC，将△ABC绕点A旋转到△ADE处，使DE恰好过点B，则∠CBD等于（ ）
A．72°B．60°C．36°D．30°
【思路点拨】由旋转的性质可得AB＝AE，∠ABC＝∠E＝72°，由等腰三角形的性质可得∠ABE＝∠E＝72°，即可求解．
【解析】解：∵∠ACB＝36°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝72°，
∵将△ABC绕点A旋转到△ADE处，
∴AB＝AE，∠ABC＝∠E＝72°，
∴∠ABE＝∠E＝72°，
∴∠CBD＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝36°，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
6．下列说法正确的是（ ）
A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小
B．平移和旋转都不改变图形的形状和大小
C．图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离
D．在平移和旋转图形的过程中，对应角相等，对应线段相等且平行
【思路点拨】根据平移和旋转的性质依次判断即可．
【解析】解：∵平移和旋转都是全等变化，不改变图形的形状和大小，
∴A不合题意，B合题意，
∵旋转是将图形绕一个定点顺时针或逆时针旋转一定角度，
∴C不合题意．
∵在平移的过程中，对应线段有可能在同一直线上，
∴D不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查平移和旋转的性质，掌握它们的性质是求解本题的关键．
7．如图，△ABC中，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，∠BAB'＝44°，则∠CAB＝ 68 °．
【思路点拨】利用旋转的性质可得AC＝AC′，∠BAB'＝∠CAC′＝44°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠AC′C＝∠ACC′＝68°，最后利用平行线的性质即可解答．
【解析】解：由旋转得：
AC＝AC′，∠BAB'＝∠CAC′＝44°，
∴∠AC′C＝∠ACC′＝（180°﹣∠CAC′）＝68°，
∵CC'∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝68°，
故答案为：68．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，熟练掌握旋转的性质，以及平行线的性质是解题的关键．
8．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是 35° ．
【思路点拨】根据旋转的性质可知，旋转角等于60°，从而可以得到∠BOB′的度数，由∠AOB＝15°可以得到∠AOB′的度数．
【解析】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A′OB′，
∴∠BOB′＝50°．
∵∠AOB＝15°，
∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝50°﹣15°＝35°．
故答案为：35°．
【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键明确旋转角是什么，对应边旋转前后的夹角是旋转角．
9．如图，在△ABC中，∠B＝50°，若将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE（点B、C的对应点分别为点D、E），且∠E＝30°，则∠CAD的度数为 50 °．
【思路点拨】由旋转的性质可得∠C＝∠E＝30°，∠BAD＝50°，由三角形内角和定理可求解．
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，
∴∠C＝∠E＝30°，∠BAD＝50°，
∴∠CAD＝180°﹣50°﹣50°﹣30°＝50°，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
10．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D落在边BC上．
（1）若∠A＝60°，∠E＝40°，求旋转的角度的大小；
（2）若AC＝4，CE＝6，求BD的长度．
【思路点拨】（1）由旋转的性质求出∠E＝∠B＝40°，由三角形内角和定理可得出答案；
（2）由旋转的性质可求出答案．
【解析】解：（1）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴∠E＝∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣40°﹣60°＝80°；
∴旋转的角度为80°；
（2）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴CD＝AC＝4，BC＝CE＝6，
∴BD＝BC﹣DC＝6﹣4＝2．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
11．如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）点B关于点A对称的点的坐标是 （2，6） ；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标．
【思路点拨】（1）根据中心对称的性质可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图，可得出答案．
【解析】解：（1）∵A（﹣2，3），B（﹣6，0），
∴点B关于点A对称的点的坐标是（2，6）．
故答案为：（2，6）．
（2）如图，△A'B'C'即为所求．
点B的对应点B'的坐标为（0，﹣6）．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解答本题的关键．
12．如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是AB、BC边上，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：△EDF≌△MDF；
（2）若正方形ABCD的边长为5，AE＝2时，求EF的长？
【思路点拨】（1）根据正方形的性质可得∠A＝∠DCF＝90°，AD＝AB＝BC＝5，根据旋转的性质可得∠A＝∠DCM＝90°，DE＝DM，∠EDM＝90°，从而证明F、C、M三点共线，然后利用正方形中的半角模型证明△EDF≌△MDF；
（2）设CF＝x，从而可得BF＝5﹣x，EF＝FM＝2+x，然后在Rt△EBF中，根据勾股勾股定理进行计算即可解答，即可求出EF的长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠DCF＝90°，AD＝AB＝BC＝5，
由旋转得：
∠A＝∠DCM＝90°，DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠DCF+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点在同一条直线上，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDM﹣∠EDC＝45°，
∴∠EDF＝FDM，
∵DF＝DF，
∴△EDF≌△MDF（SAS）；
（2）设CF＝x，
∴BF＝BC﹣CF＝5﹣x，
由旋转得：AE＝CM＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝3，FM＝CF+CM＝2+x，
∵△EDF≌△MDF，
∴EF＝FM＝2+x，
在Rt△EBF中，BE2+BF2＝EF2，
∴9+（5﹣x）2＝（2+x）2，
∴x＝，
∴EF＝2+x＝，
∴EF的长为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形法性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形中的半角模型是解题的关键．
题组B 能力提升练
13．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合的是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．
【解析】解：A、最小旋转角度＝＝90°．
B、最小旋转角度＝＝72°．
C、最小旋转角度＝＝120°．
D、最小旋转角度＝＝60°．
综上可得：顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合的是A．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键．
14．如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是AB、BC边上，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．下列结论正确的是（ ）
A．F是BM的中点 B．BE＝BF C．△EDF≌△MDFD．EF∥DM
【思路点拨】由旋转的性质可得∠A＝∠DCM＝90°，DE＝DM，∠EDM＝90°，由“SAS”可证△EDF≌△MDF，即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠DCF＝90°，AD＝AB，
由旋转得：∠A＝∠DCM＝90°，DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠DCF+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点在同一条直线上，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDM﹣∠EDC＝45°，
∴∠EDF＝∠FDM，
又∵DF＝DF，DE＝DM，
∴△EDF≌△MDF（SAS），
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
15．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【思路点拨】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．
【解析】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′．故①正确；
②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°．
∵∠CAB＝20°，
∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC．
∴AC∥C′B′．故②正确；
③在△BAB′中，
AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°．
∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．
∴C′B′与BB′不垂直．故③不正确；
④在△ACC′中，
AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°．
∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确．
∴①②④这三个结论正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．
16．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，将∠COB绕点O顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），角的两边分别与BC，AB交于点M，N，连接DM，CN，MN，下列四个结论：①CM＝BN；②CN⊥DM；③∠ADM＝∠BNM；④AN2+CM2＝MN2；其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【思路点拨】由“ASA”可证△OCM≌△OBN，△DCM≌△CBN，可得CM＝BN，∠CDM＝∠BCN，由余角的性质可判断②，由∠DMN≠90°可判断③，由“SAS”可证△DCM≌△CNB，由勾股定理可判断④．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，BO＝CO，AC⊥BD，∠ACB＝∠ABD＝45°，
∵将∠COB绕点O顺时针旋转，
∴∠COM＝∠BON，且BO＝CO，∠ACB＝∠ABD，
∴△OCM≌△OBN（ASA），
∴CM＝BN，
故①正确；
∵CD＝BC，∠DCM＝∠CBN＝90°，
∴△DCM≌△CBN（SAS），
∴∠CDM＝∠BCN，
∵∠CDM+∠CMD＝90°，
∴∠BCN+∠CMD＝90°，
∴CN⊥DM，
故②正确；
若∠ADM＝∠BNM，
∴∠ADM+∠ANM＝180°，
∴∠DAN+∠DMN＝90°，
∴∠DMN＝90°，
∵CN⊥DM，
∴∠NEM＝90°，
∴∠DMN＝90°不可能，
故③错误，
∵AB＝BC，BN＝CM，
∴AN＝BM，
∵BN2+BM2＝MN2，
∴AN2+CM2＝MN2；
故④正确
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理的综合应用，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
17．如图，已知△ABC，AC＞AB．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，其中点B的对应点D落在AC边上．
（1）用无刻度的直尺和圆规作出△ADE；
（2）连接BD，CE，当∠ABD＝60°时，判断线段CE，BD，CD之间的数量关系，并说明理由．
【思路点拨】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明△ABD，△ACE都是等边三角形，可得结论．
【解析】解：（1）如图，△ADE即为所求；
（2）结论：CE＝BD+CD．
理由：如图，连接BD，EC．
∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴BD＝AD，EC＝AC，
∵AC＝AD+CD，
∴EC＝BD+CD．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．如图，点E是正方形ABCD对角线BD上的一点，且满足∠DAE＝∠AED，将△DAE绕点A顺时针旋转90°得到△BAF，连接EC、FE．
（1）△AFE是怎样的三角形？请说明理由；
（2）试证明：点C、E、F三点在同一条直线上．
【思路点拨】（1）根据旋转的性质得∠EAF＝90°，AE＝AF，便可得出结论；
（2）根据正方形的对称性得∠DEA＝∠DEC，再根据三角形的内角和定理得45°+∠DEA+∠DEC＝180°，再由∠AEF＝45°得∠AEF+∠DEA+∠DEC＝180°，便可得点C、E、F三点在同一条直线上．
【解析】（1）解：△AFE是等腰直角三角形．理由如下：
∵将△DAE绕点A顺时针旋转90°得到△BAF，
∴∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴△AFE是等腰直角三角形；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠ADC＝45°，正方形ABCD关于直线BD对称，
∴∠DEA＝∠DEC，
∵∠DAE＝∠AED，∠ADE+∠DAE+∠DEA＝180°，
∴45°+∠DEA+∠DEC＝180°，
∵∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴∠AEF＝45°，
∴∠AEF+∠DEA+∠DEC＝180°，
∴点C、E、F三点在同一条直线上．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，关键是综合应用这些性质解题．
题组C 培优拔尖练
19．如图，将面积为8的正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转得到正方形AB'C'D'，E是AB'的中点，O是对角线BD的中点，则在旋转过程中OE的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】连接OA，如图，根据正方形的性质得到AB＝2，OA＝2，再根据旋转的性质得到AB′＝AB＝2，则AE＝，然后利用三角形三边的关系得到OE≤OA+AE（当且仅当E、A、O共线时取等号），从而得到OE的最大值．
【解析】解：连接OA，如图，
∵四边形ABCD是面积为8的正方形，
∴AB＝＝2，
∵O是对角线BD的中点，
∴OA＝2，
∵正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转得到正方形AB'C'D'，
∴AB′＝AB＝2，
∵E是AB'的中点，
∴AE＝，
∵OE≤OA+AE（当且仅当E、A、O共线时取等号），
∴OE的最大值为OA+AE，即OE的最大值为2+．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
20．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，若点E在对角线AC上运动，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF．点P在CD上，且CP＝3PD．给出以下几个结论①EF＝DE，②EF2＝AE2+CE2，③线段PF的最小值是4，④△CFE的面积最大是16．其中正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
【思路点拨】①根据旋转的性质得△DEF为等腰直角三角形，进而得到EF与DE的数量关系，便可判定①的正误；
②证明△ADE≌△CDF，得AE＝CF，∠DAE＝∠DCF＝45°，再在直角△CEF中由勾股定理得EF2＝CF2+CE2，进而得EF2＝AE2+CE2，便可判断②的正误；
③由∠DCF＝45°恒成立，所以当PF⊥CF时，PF取最小值，求出此时的PF便可判断③的正误；
④先求得AE+CE＝AC＝，再根据（（AE﹣CE）2≥0求得AE•CE≤32，求得AE•CE的最大值为32，进而求得△CFE的面积最大值，便可判断④的正误．
【解析】解：①∵由旋转知，DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴EF＝DE，
故①正确；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∠DAC＝∠ACD＝45°，
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝90°，
∴EF2＝CF2+CE2，
∴EF2＝AE2+CE2，
故②正确；
③∵CP＝3PD．
∴PC＝CD＝6，
当PF⊥CF时，PF取最小值，如图，
∵∠DCF＝45°，
∴PF＝CF＝CP＝3，
故③错误；
④∵∠ECF＝90°，
∴，
∵AE+CE＝AC＝，
∴（AE﹣CE）2＝（AE+CE）2﹣4AE•CE＝128﹣4AE•CE≥0，
∴AE•CE≤32，
∴AE•CE的最大值为32，
∴△CFE的面积最大是×32＝16，
故④正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短原理，全等三角形的性质与判定，关键证明三角形全等．
21．如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕着顶点A逆时针旋转90°，得△ADF，连接EF，P为EF的中点，则下列结论正确的是（ ）
①AE＝AF；②EF＝2EC；③∠DAP＝∠CFE；④∠ADP＝45°；⑤PD∥AF．
A．①②③B．①②④C．①③④D．①③⑤
【思路点拨】①根据旋转的性质推即可得AE＝AF；
②在直角△CEF中，根据“30度角所对的直角边等于斜边的一半”进行判断；
③、④点A、P、D、F在以AF为直径的圆上，所以由圆周角定理进行证明；
⑤利用反证法．利用④的结论推知点P在对角线BD上，所以通过旋转的角度、正方形的性质来证明线段PD与AF不平行．
【解析】解：①∵△ABE绕着顶点A逆时针旋转90°得到△ADF，
∴△ABE≌△ADF，∠FAE＝90°，
∴AE＝AF，即△AFE是等腰直角三角形，故①正确；
②如图，连接CP．
∵△ABE绕着顶点A逆时针旋转90°得到△ADF，
∴∠ADF＝∠ABC＝90°，
∴∠ADF+∠ADC＝180°，
∴C、D、F在一条直线上，
∵∠ECF＝90°，
∴当∠CFE＝30°时，EF＝2EC．即EF不一定等于2EC．故②不正确；
③∵P为EF的中点，AE＝AF，
∴∠APF＝90°．
∵∠APF＝∠ADF＝90°，
∴点A、P、D、F在以AF为直径的圆上，
∴∠DAP＝∠DFP，即∠DAP＝∠CFE，故③正确；
④∵△AFE是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝AFE＝45°．
又∵点A、P、D、F在以AF为直径的圆上，
∴∠ADP＝∠AFP，即∠ADP＝∠AFE＝45°，故④正确；
⑤如上图，连接AC、BD交于点O．
∵∠ADP＝45°，
∴点P在正方形ABCD的对角线BD上．
假设PD∥AF．
∵∠PAE＝90°，即FA⊥AE，
∴DP⊥AE．
又∵AC⊥BD，
∴AE与AC重合，这与已知图形相矛盾，
∴PD与AE不平行，故⑤错误．
综上所述，正确的说法有①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质和正方形的性质，正方形的对角线平分对角，且两条对角线互相垂直，解题的关键是掌握旋转的性质．
22．如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB的延长线上，连接EC，EC绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接CF、AF，CF与对角线BD交于点G．
（1）若BE＝2，求AF的长度；
（2）求证：AF+2BG＝AD．
【思路点拨】（1）由正方形的性质及旋转的额性质求得∠ABC＝∠EBC＝∠FEC＝90°，AB＝BC，EF＝EC，再利用勾股定理可得AC2＝2BC2，CE2＝BE2+BC2，CF2＝2BE2+2BC2，再证明∠FAC＝90°，结合勾股定理可得AF2＝2BE2，进而可求解AF的长；
（2）通过证明四边形ADBH是平行四边形，可得AD＝BH＝BC＝AB，可求AH＝AB＝CD，由相似三角形的性质可得HF＝2BG，即可求解．
【解析】（1）解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝90°，AC2＝AB2+BC2＝2BC2，
∴CE2＝BE2+BC2，
∵EC绕点E逆时旋转90°得到EF，
∴EF＝EC，∠FEC＝90°，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，CF2＝EF2+CE2＝2CE2＝2BE2+2BC2，
∴∠EFC＝∠EAC＝45°，
∴∠FAE＝∠FCE＝45°，
∴∠FAC＝90°，
∴CF2＝AF2+AC2＝AF2+2BC2，
∴AF2+2BC2＝2BE2+2BC2，
即AF2＝2BE2，
∵BE＝2，
∴AF2＝2×22＝8，
解得AF＝；
（2）证明：连接AC，延长AF，CB交于点H，
∵∠FAE＝∠ABD＝45°，
∴AF∥BD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ADBH是平行四边形，
∴AD＝BH＝BC＝AB，
∴AH＝AB＝CD，
∵AH∥BG，
∴CG＝FG，
∴BG是△CBF的中位线，
∴HF＝2BG，
∵AH＝AF+FH，
∴AD＝AF+2BG，
即AF+2BG＝AD．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线，勾股定理等知识的综合运用，灵活运用旋转的性质求解交的度数是解题的关键．学习目标
1.了解图形的旋转的概念.
2.理解图形的旋转的性质:图形经过旋转所得的图形和原图形全等.对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.
3.会按要求作出简单平面图形经过旋转后的图形,应用旋转的性质解决简单几何问题.