浙教版七年级数学上册同步精品讲义第19课整式(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第19课整式(学生版+解析)，共23页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
目标导航
知识精讲
知识点01 整式的有关概念
1.单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
2.多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．
3.整式：单项式和多项式统称为整式．
能力拓展
考点01 整式的分类
【典例1】．把下列代数式的序号填入相应的横线上：
①a2b+ab2+b3②③④⑤0⑥﹣x+⑦⑧3x2+⑨⑩
（1）单项式
（2）多项式
（3）整式
（4）二项式 ．
【即学即练1】已知代数式：①﹣3，②﹣5ab，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．
其中属于单项式的有 ；（填序号）
属于多项式的有 ；（填序号）
属于整式的有 ．（填序号）
考点02 整式的概念
【典例2】关于整式的概念，下列说法正确的是（ ）
A．的系数是 B．32x3y的次数是6
C．3是单项式D．﹣x2y+xy﹣7是5次三项式
【即学即练2】下列说法错误的是（ ）
A．代数式m+5，mb，﹣2都是整式
B．单项式﹣ab的系数是﹣1，次数是1
C．多项式3x﹣π的项是3x，﹣π
D．多项式5x2y﹣2xy+4x是三次三项式
分层提分
题组A 基础过关练
1.在代数式，2x2y，，﹣5，a中，单项式的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2.下列各式：a2+5，﹣3，a2﹣3a+2，π，，，其中整式有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
3.对于单项式﹣，下列结论正确的是（ ）
A．它的系数是，次数是5 B．它的系数是，次数是5
C．它的系数是，次数是6 D．它的系数是，次数是5
4.多项式2x5+4xy3﹣5x2﹣1的次数和常数项分别是（ ）
A．5，﹣1B．5，1C．10，﹣1D．4，﹣1
5. 写出一个系数为3，次数为2的单项式： ．
6.单项式﹣的系数是 ，多项式﹣2x2y3+5xy﹣2的次数是 ．
7.单项式πa的次数是 ；整式的二次项系数为 ．
8.代数式：①﹣x；②x2+x﹣1；③；④；⑤；⑥πm3y；⑦；⑧．
（1）请上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内：
（2）其中次数最高的多项式是 次项式；
（3）其中次数最高的单项式的次数是 ，系数是 ．
题组B 能力提升练
9.下列各式不是整式的是（ ）
A．aB．x2﹣xy+C．﹣1D．
10.下列说法错误的是（ ）
A．5y4是四次单项式 B．5是单项式
C．的系数是 D．3a2+2a2b﹣4b2是二次三项式
11.如果单项式3amb2c是6次单项式，那么m的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
12. 如果﹣3x2+5是四次三项式，那么m+n的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
13.如果2x3yn+（m﹣2）x是关于x、y的五次二项式，则m、n的值为（ ）
A．m＝3，n＝2B．m≠2，n＝2
C．m为任意数，n＝2D．m≠2，n＝3
题组C 培优拔尖练
14.多项式x|n|﹣（n+2）x+7是关于x的二次三项式，则n的值是（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．3
15.一列单项式按以下规律排列：﹣x，+3x2，﹣5x2，+7x，﹣9x2，+11x2，﹣13x，…，则第2017个单项式是（ ）
A．4033xB．﹣4033xC．﹣4033x2D．﹣4035x2
16.多项式3x|m|y2﹣（m﹣2）x+1是一个四次三项式，那么m＝ ．
17.观察下列单项式﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…
（1）分别指出单项式的系数和指数是怎样变化的？
（2）写出第10个单项式；
（3）写出第n个单项式．
18.已知多项式﹣是六次四项式，单项式3x2ny2的次数与这个多项式的次数相同，求m2+n2的值．
19.若多项式4xn+2﹣5x2﹣n+6是关于x的三次多项式，求代数式n3﹣2n+3的值．学习目标
1.通过归纳，类比，经历单项式、多项式概念的发生过程.
2.了解单项式、多项式、整式的概念.
3.理解单项式的系数和次数的概念.
4.理解多项式中项、项的系数、多项式的次数等概念.
5.了解整式在解决 实际问题中的应用.
第19课 整式
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知识精讲
知识点01 整式的有关概念
1.单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
2.多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．
3.整式：单项式和多项式统称为整式．
能力拓展
考点01 整式的分类
【典例1】．把下列代数式的序号填入相应的横线上：
①a2b+ab2+b3②③④⑤0⑥﹣x+⑦⑧3x2+⑨⑩
（1）单项式 ④⑤⑩
（2）多项式 ①③⑥
（3）整式 ①③④⑤⑥⑩
（4）二项式 ③⑥ ．
【思路点拨】根据单项式，多项式，整式，二项式的定义即可求解．
【解析】解：（1）单项式 ④⑤⑩
（2）多项式 ①③⑥
（3）整式 ①③④⑤⑥⑩
（4）二项式 ③⑥．
故答案为：（1）④⑤⑩；（2）①③⑥；（3）①③④⑤⑥⑩；（4）③⑥．
【点睛】考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式，二项式的定义．
【即学即练1】已知代数式：①﹣3，②﹣5ab，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．
其中属于单项式的有 ①②⑥⑨ ；（填序号）
属于多项式的有 ③⑤ ；（填序号）
属于整式的有 ①②⑥⑨③⑤ ．（填序号）
【思路点拨】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式进行判断；
根据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；
根据整式的定义：单项式和多项式统称为整式．
【解析】解：属于单项式的：①﹣3，②﹣5ab，⑥﹣xy，⑨；
故答案为：①②⑥⑨；
属于多项式的有：③，⑤x2﹣3x+1，
故答案为：③⑤；
属于整式的有：①﹣3，②﹣5ab，⑥﹣xy，⑨，③，⑤x2﹣3x+1，
故答案为：③⑤①②⑥⑨．
【点睛】本题主要考查了单项式、多项式、整式，掌握这三个定义的意义，π是数字而不是字母是解题的关键
考点02 整式的概念
【典例2】关于整式的概念，下列说法正确的是（ ）
A．的系数是B．32x3y的次数是6
C．3是单项式D．﹣x2y+xy﹣7是5次三项式
【思路点拨】注意单项式的系数为其数字因数，次数是所有字母的次数的和，单个的数或字母也是单项式，多项式的次数是多项式中最高次项的次数，项数为所含单项式的个数．
【解析】解：A、﹣的系数为﹣，错误；
B、32x3y的次数是4，错误；
C、3是单项式，正确；
D、多项式﹣x2y+xy﹣7是三次三项式，错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式和多项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握单项式、单项式次数、单项式的系数的定义．
【即学即练2】下列说法错误的是（ ）
A．代数式m+5，mb，﹣2都是整式B．单项式﹣ab的系数是﹣1，次数是1
C．多项式3x﹣π的项是3x，﹣πD．多项式5x2y﹣2xy+4x是三次三项式
【思路点拨】根据整式、单项式、多项式的定义即可求出答案．
【解析】解：A、代数式m+5，mb，﹣2都是整式，故A不符合题意．
B、单项式﹣ab的系数是﹣1，次数是2，故B符合题意．
C、多项式3x﹣π的项是3x，﹣π，故C不符合题意．
D、多项式5x2y﹣2xy+4x是三次三项式，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查整式，解题的关键是熟练正确理解多项式、单项式以及整式的定义，本题属于基础题型．
分层提分
题组A 基础过关练
1.在代数式，2x2y，，﹣5，a中，单项式的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．
【解析】解：根据单项式的定义知，单项式有：2x2y，﹣5，a．
共3个．
故选：C．
【点睛】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式，这是判断是否是单项式的关键．
2.下列各式：a2+5，﹣3，a2﹣3a+2，π，，，其中整式有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【思路点拨】根据整式的概念判断各个式子．
【解析】解：整式有：a2+5，﹣3，a2﹣3a+2，π，共有4个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式．
3.对于单项式﹣，下列结论正确的是（ ）
A．它的系数是，次数是5B．它的系数是，次数是5
C．它的系数是，次数是6D．它的系数是，次数是5
【思路点拨】直接利用单项式的次数与系数确定方法进而得出答案．
【解析】解：单项式﹣的系数是，次数是5，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数确定方法是解题关键．
4.多项式2x5+4xy3﹣5x2﹣1的次数和常数项分别是（ ）
A．5，﹣1B．5，1C．10，﹣1D．4，﹣1
【思路点拨】根据几个单项式的和叫做多项式，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项可得答案．
【解析】解：多项式2x5+4xy3﹣5x2﹣1的次数和常数项分别是5，﹣1．
故选：A．
【点睛】此题考查了多项式的有关定义，解题的关键是掌握多项式的次数和常数项的确定方法．
5. 写出一个系数为3，次数为2的单项式： 3xy ．
【思路点拨】根据单项式的概念写出系数为3，次数为2的单项式．
【解析】解：系数为3，次数为2的单项式为：3xy．
故答案为：3xy．
【点睛】本题考查了单项式的概念：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
6.单项式﹣的系数是 ﹣ ，多项式﹣2x2y3+5xy﹣2的次数是 5 ．
【思路点拨】根据单项式与多项式的相关概念即可求出答案．
【解析】解：单项式﹣的系数﹣，
多项式﹣2x2y3+5xy﹣2的次数是5．
故答案为：﹣，5．
【点睛】本题考查了单项式与多项式，解题的关键是熟练掌握单项式与多项式的相关概念．
7.单项式πa的次数是 1 ；整式的二次项系数为 ﹣ ．
【思路点拨】利用单项式次数定义和多项式定义可得答案．
【解析】解：单项式πa的次数是1；
整式的二次项系数为﹣，
故答案为：1；﹣．
【点睛】此题主要考查了多项式和单项式，关键是掌握相关定义．
8.代数式：①﹣x；②x2+x﹣1；③；④；⑤；⑥πm3y；⑦；⑧．
（1）请上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内：
（2）其中次数最高的多项式是 二 次项式；
（3）其中次数最高的单项式的次数是 4 ，系数是 π ．
【思路点拨】（1）直接利用多项式以及单项式定义分析即可；
（2）直接利用多项式的次数确定方法分析得出答案；
（3）直接利用单项式的次数与系数确定方法分析即可．
【解析】解：（1）多项式：②④⑧；单项式：①⑤⑥；
（2）次数最高的多项式是二；
故答案为：二；
（3）次数最高的单项式的次数是4，系数是π．
故答案为：4，π．
【点睛】此题主要考查了多项式以及单项式，正确把握相关定义是解题关键．
题组B 能力提升练
9.下列各式不是整式的是（ ）
A．aB．x2﹣xy+C．﹣1D．
【思路点拨】根据多项式、单项式、整式的定义判断即可．
【解析】解：A、是整式，故本选项不符合题意；
B、是整式，故本选项不符合题意；
C、是整式，故本选项不符合题意；
D、不是整式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式、单项式、整式的定义，能熟记多项式、单项式、整式的定义是解此题的关键注意：整式包括单项式和多项式．
10.下列说法错误的是（ ）
A．5y4是四次单项式 B．5是单项式 C．的系数是 D．3a2+2a2b﹣4b2是二次三项式
【思路点拨】根据单项式的定义、单项式的次数、系数的定义，多项式的次数、项的定义，可得答案．
【解析】解：A、5y4是四次单项式，故A不符合题意；
B、5是单项式，故B不符合题意；
C、的系数是，故C不符合题意；
D、3a2+2a2b﹣4b2是三次三项式，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式、多项式，注意多项式的项包括项的符号．
11.如果单项式3amb2c是6次单项式，那么m的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【思路点拨】利用单项式的次数确定方法得出m的值即可．
【解析】解：∵单项式3amb2c是6次单项式，
∴m+2+1＝6，
解得：m＝3，
故m的值取3．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了单项式的次数，正确把握定义是解题的关键．
12. 如果﹣3x2+5是四次三项式，那么m+n的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【思路点拨】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，得到m﹣2+n﹣1＝4，计算即可．
【解析】∵多项式是四次三项式，
∴m﹣2+n﹣1＝4，
∴m+n＝7，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多项式，掌握多项式有关定义的应用是解题关键．
13.如果2x3yn+（m﹣2）x是关于x、y的五次二项式，则m、n的值为（ ）
A．m＝3，n＝2B．m≠2，n＝2
C．m为任意数，n＝2D．m≠2，n＝3
【思路点拨】让最高次项的次数为5，保证第二项的系数不为0即可．
【解析】解：由题意得：n＝5﹣3＝2；m﹣2≠0，
∴m≠2，n＝2．
故选：B．
【点睛】应从次数和项数两方面进行考虑．
题组C 培优拔尖练
14.多项式x|n|﹣（n+2）x+7是关于x的二次三项式，则n的值是（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．3
【思路点拨】由于多项式是关于x的二次三项式，所以|n|＝2，且﹣（n+2）≠0，根据以上两点可以确定n的值．
【解析】解：∵多项式是关于x的二次三项式，
∴|n|＝2，
∴n＝±2，
又∵﹣（n+2）≠0，
∴n≠﹣2，
综上所述，n＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式的次数与项数的定义．解答时容易忽略条件﹣（n+2）≠0，从而误解为n＝±2．
15.一列单项式按以下规律排列：﹣x，+3x2，﹣5x2，+7x，﹣9x2，+11x2，﹣13x，…，则第2017个单项式是（ ）
A．4033xB．﹣4033xC．﹣4033x2D．﹣4035x2
【思路点拨】根据规律，系数是从1开始的连续奇数且第奇数个是负数，第偶数个是正数，x的指数是3个循还一次，然后求解即可．
【解析】解：第2017个单项式的系数为﹣（2×2017﹣1）＝﹣4033，
2017÷3＝672…1，则x的指数为1，
所以，2017个单项式为﹣4033x．
故选：B．
【点睛】本题考查了单项式，此类题目，难点在于根据单项式的定义从多个方面考虑求解．
16.多项式3x|m|y2﹣（m﹣2）x+1是一个四次三项式，那么m＝ ﹣2 ．
【思路点拨】根据多项式的次数和项数即可得出答案．
【解析】解：根据题意得：|m|+2＝4且m﹣2≠0，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了多项式的次数和项数，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．
17.观察下列单项式﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…
（1）分别指出单项式的系数和指数是怎样变化的？
（2）写出第10个单项式；
（3）写出第n个单项式．
【思路点拨】（1）根据单项式的次数与系数定义得出即可；
（2）根据单项式系数与次数的变化得出一般性规律得出第10个单项式；
（3）根据单项式系数与次数的变化得出一般性规律，进而得出第n个单项式．
【解析】解：（1）系数为：﹣2，4＝（﹣2）2，﹣8＝（﹣2）3，16＝（﹣2）4，﹣32＝（﹣2）5…
指数分别是：1，2，3，4，5，6…
（2）第10个单项式为：（﹣2）10x10＝1024x10；
（3）第n个单项式为：（﹣2）nxn．
【点睛】本题考查了单项式的系数、次数以及数字变化规律，根据已知得出数字变化规律是解题关键．
18.已知多项式﹣是六次四项式，单项式3x2ny2的次数与这个多项式的次数相同，求m2+n2的值．
【思路点拨】根据多项式﹣是六次四项式知2+m+1＝6，求得m的值，根据单项式3x2ny2的次数与这个多项式的次数相同知2n+2＝6，求得n的值，再代入计算可得．
【解析】解：∵多项式﹣是六次四项式，
∴2+m+1＝6，
解得m＝3，
又∵单项式3x2ny2的次数与这个多项式的次数相同，
∴2n+2＝6，
解得：n＝2，
∴m2+n2＝32+22＝13．
【点睛】此题考查了多项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握多项式次数的判断，得出m、n的值，难度一般．
19.若多项式4xn+2﹣5x2﹣n+6是关于x的三次多项式，求代数式n3﹣2n+3的值．
【思路点拨】首先利用多项式的次数得出n的值，进而代入求出答案．
【解析】解：由题意可知：该多项式最高次数项为3次，
当n+2＝3时，
此时n＝1，
∴n3﹣2n+3＝1﹣2+3＝2，
当2﹣n＝3时，
即n＝﹣1，
∴n3﹣2n+3＝﹣1+2+3＝4，
综上所述，代数式n3﹣2n+3的值为2或4．
【点睛】此题主要考查了多项式，正确得出n的值是解题关键．学习目标
1.通过归纳，类比，经历单项式、多项式概念的发生过程.
2.了解单项式、多项式、整式的概念.
3.理解单项式的系数和次数的概念.
4.理解多项式中项、项的系数、多项式的次数等概念.
5.了解整式在解决 实际问题中的应用.