沪科版八年级数学上册举一反三系列专题13.6三角形中的边角关系、命题与证明章末题型过关卷练习(原卷版+解析)

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第13章 三角形中的边角关系、命题与证明章末题型过关卷【沪科版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022春•大足区期末）下列命题是真命题的是（　　）A．两直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．相等的两个角一定是对顶角 D．等角的余角相等2．（3分）（2022•兴平市一模）如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，BC＝8cm，则AC的长为（　　）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．（3分）（2022秋•原州区期末）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）A． B． C． D．4．（3分）（2022秋•西青区期末）小芳有两根长度为5cm和10cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（　　）的木条．A．5cm B．3cm C．17cm D．12cm5．（3分）（2022秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（　　）A．2° B．4° C．8° D．16°6．（3分）（2022春•忠县期末）设三角形ABC与某长方形相交于如图所示的A、E、D、F点，如果∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAF＝15°，那么∠CDE＝（　　）A．35° B．40° C．45° D．50°7．（3分）（2022春•方城县期末）如图所示，点D，E分别是△ABC的边BC，AB上的点，分别连结AD，DE，则图中的三角形一共有（　　）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个8．（3分）（2022春•西乡塘区校级期末）如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（　　）A．2 B．3 C．4 D．59．（3分）（2022春•福山区期末）如图所示，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B和C处开工挖出“V”字形通道，如果∠DBA＝120°，∠ECA＝125°，则∠A的度数是（　　）A．65° B．80° C．85° D．90°10．（3分）（2022•重庆）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（　　）A．5 B．4 C．3 D．2二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022春•海陵区期末）如图，在△ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A′，若∠A＝30°，∠BDA′＝86°，则∠CEA′的度数为 　 ．12．（3分）（2022春•海安市校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝42°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF，连接CD．在整个平移过程中，若∠ACD和∠CDE的度数存在2倍关系，则∠CDE＝　 　度．13．（3分）（2022秋•江汉区期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（30°角和45°角）的顶点P叠放在一起，没有重叠的部分分别记作∠1和∠2，若∠1与∠2的和为61°，则∠APC的度数是 　 　．14．（3分）（2022秋•新田县期中）在同一平面内有n个点，其中任意三点不在同一直线上．已知3个点两两相接可得到1个三角形，如图1；4个点两两相接可得到4个三角形（以这4个点为顶点的三角形）如图2；5个点两两相接可得到10个三角形（以这5个点为顶点的三角形）如图3，…；则10个点两两相接可得到 　 　个三角形（以这10个点为顶点的三角形）．15．（3分）（2022春•广平县期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝140°，则图中∠D应 　 　（填“增加”或“减少”） 　 　度．16．（3分）（2022春•射阳县期中）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝45°；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是　 　（填序号）．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022春•建邺区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝35°，点D在BC上，∠BAC＝∠ADC，点E在AB上，（1）若DE∥AC，求∠ADE的度数．（2）当∠BED的度数是 　 　时，△BDE是直角三角形．18．（6分）（2022春•隆回县期末）如图，已知三角形EFG的顶点E，F分别在直线AB和CD上，且AB∥CD．若∠EFG＝90°，∠FEG＝30°，∠EGF＝60°．（1）当∠2＝2∠1时，求∠1的度数．（2）设∠AEG＝α，∠CFG＝β，求α和β的数量关系（用含α，β的等式表示）．19．（8分）（2022春•思明区校级期中）如图1，在五边形ABCDE中，AE∥BC，∠A＝∠C．（1）猜想AB与CD之间的位置关系，并说明理由；（2）如图2，延长DE至F，连接BE，若∠1＝∠3，∠AEF＝2∠2，∠AED＝2∠C﹣140°，求∠C的度数．20．（8分）（2022秋•正阳县期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．21．（8分）（2022春•盐湖区校级期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是 　 　；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝　 　；当∠BAD＝∠BDA时，x＝　 　．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．22．（8分）（2022春•海陵区期末）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 　 　．23．（8分）（2022春•淮安期末）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）第13章 三角形中的边角关系、命题与证明章末题型过关卷【沪科版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022春•大足区期末）下列命题是真命题的是（　　）A．两直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．相等的两个角一定是对顶角 D．等角的余角相等【分析】根据平行线性质，对顶角性质，垂直的定义和余角的定义逐项判断．【解答】解：两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故A是假命题，不符合题意；平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故B是假命题，不符合题意；相等的两个角不一定是对顶角，故C是假命题，不符合题意；等角的余角相等，故D是真命题，符合题意；故选：D．2．（3分）（2022•兴平市一模）如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，BC＝8cm，则AC的长为（　　）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可．【解答】解：∵CM为△ABC的AB边上的中线，∴AM＝BM，∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，∴（BC+BM+CM）﹣（AC+AM+CM）＝3cm，∴BC﹣AC＝3cm，∵BC＝8cm，∴AC＝5cm，故选：C．3．（3分）（2022秋•原州区期末）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．故选：C．4．（3分）（2022秋•西青区期末）小芳有两根长度为5cm和10cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（　　）的木条．A．5cm B．3cm C．17cm D．12cm【分析】设木条的长度为xcm，再由三角形的三边关系即可得出结论．【解答】解：设木条的长度为xcm，则10﹣5＜x＜10+5，即5＜x＜15．故选：D．5．（3分）（2022秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（　　）A．2° B．4° C．8° D．16°【分析】根据角平分线的定义得∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠ACE，再根据三角形外角性质得∠ACE＝∠A+∠ABC，∠PCE＝∠PBC+∠P，于是得到12（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P=12∠ABC+∠P，然后整理可得∠P=12∠A，同理得到结论．【解答】解：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP1交于P1，∴∠P1BC=12∠ABC，∠P1CE=12∠ACE，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC+∠P1，∴12（∠A+∠ABC）＝∠P1BC+∠P1=12∠ABC+∠P1，∴∠P1=12∠A=12×128°＝64°，同理∠P2=12∠P1＝32°，∴∠P6＝2°，故选：A．6．（3分）（2022春•忠县期末）设三角形ABC与某长方形相交于如图所示的A、E、D、F点，如果∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAF＝15°，那么∠CDE＝（　　）A．35° B．40° C．45° D．50°【分析】根据三角形外角性质求出∠CFA＝∠B+∠BAF＝45°，根据长方形的性质得出DE∥AF，根据平行线的性质得出∠CDE＝∠CFA，再得出答案即可．【解答】解：∵∠B＝30°，∠BAF＝15°，∴∠CFA＝∠B+∠BAF＝30°+15°＝45°，∵DE∥AF，∴∠CDE＝∠CFA＝45°，故选：C．7．（3分）（2022春•方城县期末）如图所示，点D，E分别是△ABC的边BC，AB上的点，分别连结AD，DE，则图中的三角形一共有（　　）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据图形即可确定三角形的个数．【解答】解：图中的三角形有：△BDE，△AED，△ACD，△BDA，△ABC，共有5个三角形，故选：C．8．（3分）（2022春•西乡塘区校级期末）如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8，∴S△ABD=12S△ABC＝4，∵E是AB的中点，∴S△BDE=12S△ABD=12×4＝2，故选：A．9．（3分）（2022春•福山区期末）如图所示，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B和C处开工挖出“V”字形通道，如果∠DBA＝120°，∠ECA＝125°，则∠A的度数是（　　）A．65° B．80° C．85° D．90°【分析】根据邻补角的定义求得△ABC的两个内角∠ABC、∠ACB的度数；然后利用△ABC的内角和是180°来求∠A的度数即可．【解答】解：∵∠DBA＝120°，∠ECA＝125°，∴∠ABC＝180°﹣∠DBA＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ECA＝55°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣55°＝65°，即∠A＝65°．故选：A．10．（3分）（2022•重庆）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（　　）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】首先分别在AB的两侧找到一个使其面积是2个平方单位的点，再分别过这两点作AB的平行线．找到所有的格点即可．即有5个．【解答】解：满足条件的C点有5个，如图平行于AB的直线上，与网格的所有交点就是．故选：A．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022春•海陵区期末）如图，在△ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A′，若∠A＝30°，∠BDA′＝86°，则∠CEA′的度数为 　26°　．【分析】先利用对折的性质说明∠ADE与∠A′DE、∠AED与∠A′ED的关系，再利用三角形的内角和、平角的定义求出∠ADE、∠DEA′、∠DEC的度数，最后利用角的和差关系求出∠CEA′的度数．【解答】解：∵△A′DE是△ADE沿DE对折后的图形，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED．∵∠ADE+∠A′DE+∠BDA′＝180°，∠BDA′＝86°，∴∠ADE＝47°．∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∠A＝30°，∴∠AED＝∠DEA′＝100°．∵∠AED+∠DEC＝180°，∴∠DEC＝77°．∵∠DEA′＝103°，∴∠CEA′＝∠DEA′﹣∠DEC＝26°．故答案为：26°．12．（3分）（2022春•海安市校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝42°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF，连接CD．在整个平移过程中，若∠ACD和∠CDE的度数存在2倍关系，则∠CDE＝　14或28或42　度．【分析】根据题意作出图形，记直线AC与直线DE的交点为点G，由平移得AB∥DE，得到∠BAC＝∠AGD＝42°，然后由∠AGD是△CDG的外角得到∠AGD和∠EDC、∠ACD之间的数量关系，进而求得∠CDE的度数．【解答】解：如图，记直线AC与直线DE的交点为点G，由平移得，AB∥DE，∴∠BAC＝∠AGD＝42°，如图1，当∠EDC＝2∠ACD时，∵∠AGD是△CDG的外角，∴∠AGD＝∠EDC+∠ACD，∴2∠ACD+∠ACD＝42°，∴∠ACD＝14°，∴∠CDE＝28°，如图2，当∠ACD＝2∠EDC时，2∠EDC+∠EDC＝42°，∴∠CDE＝14°，如图3，当点G在AC和DE延长线的交点时，∠ACD＝∠CDF，∴∠ACD＝2∠CDE，∵∠ACD是△CDG的外角，∴∠ACD＝∠AGD+∠CDE，又∵∠AGD＝42°，∴∠CDE+42°＝2∠CDE，∴∠CDE＝42°，综上所述，∠CDE的度数为28°或14°或42°，故答案为：28或14或42．13．（3分）（2022秋•江汉区期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（30°角和45°角）的顶点P叠放在一起，没有重叠的部分分别记作∠1和∠2，若∠1与∠2的和为61°，则∠APC的度数是 　68°　．【分析】先求30°和45°重合部分的角的度数，再加上∠1与∠2的和即可得到答案．【解答】解：三角板重合部分的角的度数＝（30+45﹣61）÷2＝7°，∴∠APC＝7°+∠1+∠2＝7°+61°＝68°．故答案为：68°．14．（3分）（2022秋•新田县期中）在同一平面内有n个点，其中任意三点不在同一直线上．已知3个点两两相接可得到1个三角形，如图1；4个点两两相接可得到4个三角形（以这4个点为顶点的三角形）如图2；5个点两两相接可得到10个三角形（以这5个点为顶点的三角形）如图3，…；则10个点两两相接可得到 　120　个三角形（以这10个点为顶点的三角形）．【分析】根据3个点两两相接可得到1个三角形，4个点两两相接可得到4个三角形，5个点两两相接可得到10个三角形，可得连接n个点可得三角形的个数是n(n−1)(n−2)6．【解答】解：由图可知，3个点两两相接可得到1个三角形，3×2×16=1；4个点两两相接可得到4个三角形，4×3×26=4；5个点两两相接可得到10个三角形，5×4×36=10．…n个点两两相接可得三角形的个数是n(n−1)(n−2)6．则10个点两两相接可得到10×9×86=120（个）．故答案为：120．15．（3分）（2022春•广平县期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝140°，则图中∠D应 　增加　（填“增加”或“减少”） 　20　度．【分析】延长EF，交CD于点 G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF的度数；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性质可得∠D的度数，从而得出结论．【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠ECD＝∠ACB＝70°．∵∠DGF＝∠DCE+∠E，∴∠DGF＝70°+30°＝100°．∵∠EFD＝140°，∠EFD＝∠DGF+∠D，∴∠D＝40°．而图中∠D＝20°，∴∠D应增加20°．故答案为：增加；20．16．（3分）（2022春•射阳县期中）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝45°；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是　①②③　（填序号）．【分析】根据角平分线的性质，垂直的性质及三角形内角和定理依次判断求解．【解答】解：∵EG∥BC，且CG⊥EG于G，∴∠BCG+∠G＝180°，∵∠G＝90°，∴∠BCG＝180°﹣∠G＝90°，∵∠GEC+∠GCE＝90°，∠BCA+∠GCE＝90°，∴∠GEC＝∠BCA，∵CD平分∠BCA，∴∠GEC＝∠BCA＝2∠DCB，∴①正确．∵CD，BE平分∠BCA，∠ABC，∴∠BFD＝∠BCF+∠CBF=12（∠BCA+∠ABC）＝45°，∴②正确．∵∠GCE+∠ACB＝90°，∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠GCE＝∠ABC，∵∠GCD＝∠GCE+∠ACD＝∠ABC+∠ACD，∠ADC＝∠ABC+∠BCD，∴∠ADC＝∠GCD，∴③正确．∵∠GCE+∠ACB＝90°，∴∠GCE与∠ACB互余，∴④错误．故答案为：①②③．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022春•建邺区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝35°，点D在BC上，∠BAC＝∠ADC，点E在AB上，（1）若DE∥AC，求∠ADE的度数．（2）当∠BED的度数是 　90°或55°　时，△BDE是直角三角形．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BED＝∠BAC，再根据三角形外角等于和它不相邻的两个内角和即可得∠ADE＝∠B＝35°；（2）根据直角三角形两个锐角互余可得∠BED＝90°﹣35°＝55°，然后利用直角三角形定义即可得结论．【解答】解：（1）∵DE∥AC，∴∠BED＝∠BAC，∵∠BAC＝∠ADC，∴∠BED＝∠ADC，∵∠BED＝∠EAD+∠ADE，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠ADE＝∠B＝35°；（2）当∠BED的度数是90°或55°时，△BDE是直角三角形．理由如下：当∠BED的度数是90°时，△BDE是直角三角形．当∠BDE＝90°，∴∠BED＝90°﹣35°＝55°时，△BDE是直角三角形．故答案为：90°或55°．18．（7分）（2022春•隆回县期末）如图，已知三角形EFG的顶点E，F分别在直线AB和CD上，且AB∥CD．若∠EFG＝90°，∠FEG＝30°，∠EGF＝60°．（1）当∠2＝2∠1时，求∠1的度数．（2）设∠AEG＝α，∠CFG＝β，求α和β的数量关系（用含α，β的等式表示）．【分析】（1）由平行线的性质可得∠EFC＝∠1+30°，再根据平角的定义可求解；（2）过G点作GM∥AB，则MG∥CD，利用平行线的性质可得∠AEG+∠EGF+∠CFG＝360°，结合∠EGF＝60°可求解．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠EFC，∵∠FEG＝30°，∴∠EFC＝∠1+30°，∵∠2+∠EFC+90°＝180°，∠2＝2∠1，∴2∠1+∠1+30°+90°＝180°，解得∠1＝20°；（2）过G点作GM∥AB，∴∠AEG+∠EGM＝180°，∵AB∥CD，∴MG∥CD，∴∠MGF+∠CFG＝180°，∴∠AEG+∠EGM+∠MGF+∠CFG＝360°，即∠AEG+∠EGF+∠CFG＝360°，∵∠EGF＝60°，∴∠AEG+∠CFG＝300°．∵∠AEG＝α，∠CFG＝β，∴α+β＝300°．19．（8分）（2022春•思明区校级期中）如图1，在五边形ABCDE中，AE∥BC，∠A＝∠C．（1）猜想AB与CD之间的位置关系，并说明理由；（2）如图2，延长DE至F，连接BE，若∠1＝∠3，∠AEF＝2∠2，∠AED＝2∠C﹣140°，求∠C的度数．【分析】（1）AB与CD平行，理由为：由AE∥BC，根据两直线平行同旁内角互补，可得：∠A+∠B＝180°，然后由∠A＝∠C，根据等量代换可得：∠C+∠B＝180°，然后根据同旁内角互补两直线平行，即可证明AB与CD平行；（2）由AE∥BC，根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，可得：∠2＝∠3，∠A+∠ABC＝180°，由∠1＝∠3，根据等量代换可得：∠1＝∠2＝∠3，∠ABC＝2∠2，由∠AEF＝2∠2，根据等量代换可得：∠A+∠ABC＝∠A+2∠2＝∠A+∠AEF＝180°，然后根据平角的定义可得：∠AEF+∠AED＝180°，进而可得∠A＝∠AED，由∠A＝∠C，可得：∠AED＝∠C，结合∠AED＝2∠C﹣140°计算可求解∠C的度数．【解答】解：（1）猜想：AB∥CD，理由：∵AE∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠C+∠B＝180°，∴AB∥CD；（2）∵AE∥BC，∴∠2＝∠3，∠A+∠ABC＝180°，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∠ABC＝2∠2，∵∠AEF＝2∠2，∴∠A+∠ABC＝∠A+2∠2＝∠A+∠AEF＝180°，∵∠AEF+∠AED＝180°，∴∠A＝∠AED，∵∠A＝∠C，∴∠AED＝∠C，∵∠AED＝2∠C﹣140°，∴∠C＝2∠C﹣140°，解得：∠C＝140°．20．（8分）（2022秋•正阳县期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　∠A+∠D＝∠C+∠B　；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　6　个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数；（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．21．（8分）（2022春•盐湖区校级期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是 　20°　；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝　120　；当∠BAD＝∠BDA时，x＝　60　．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．【分析】利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．【解答】解：（1）①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝∠BON＝20°，∵AB∥ON，∴∠ABO＝20°，②∵∠BAD＝∠ABD，∴∠BAD＝20°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝120°，∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，∴∠BAD＝80°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝60°；故答案为：①20°； ②120，60；（2）①当点D在线段OB上时，∵OE是∠MON的角平分线，∴∠AOB=12∠MON＝20°，∵AB⊥OM，∴∠AOB+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝70°，若∠BAD＝∠ABD＝70°，则x＝20若∠BAD＝∠BDA=12（180°﹣70°）＝55°，则x＝35若∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°，∴x＝50②当点D在射线BE上时，因为∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125．综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x＝20、35、50、125．22．（8分）（2022春•海陵区期末）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 　60°或72°　．【分析】（1）先求解∠BAO+∠ABO＝90°，结合角平分线的定义可得∠BAE+∠ABE＝45°，再利用三角形的内角和定理可求求解∠AEB的度数；（2）由平角的定义求解∠BAP+∠ABM＝270°，利用角平分线的定义可求∠DAB+∠ABC＝135°，根据四边形的内角和定理可求∠ADC+∠BCD＝225°，再由角平分线的定义及三角形的内角和定理可求解；（3）先求解∠EAF＝90°，∠ABO＝2∠E，结合有两个角度数的比是3：2分4种情况可求解．【解答】解：（1）不变．∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠AOB+∠BAO+∠ABO＝180°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∵AE平分∠BAO，BE平分∠ABO，∴∠BAE=12∠BAO，∠ABE=12∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝45°，∵∠BAE+∠ABE+∠AEB＝180°，∴∠AEB＝135°；（2）不变．∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAP+∠ABM＝180°+180°﹣90°＝270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠DAB=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，∴∠DAB+∠ABC＝135°，∵∠DAB+∠ABC+∠ADC+∠BCD＝360°，∴∠ADC+∠BCD＝225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE=12∠ADC，∠DCE=12∠BCD，∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，∴∠CED＝67.5°；（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，∴∠EAO=12∠BAO，∠FAO=12∠OAG，∵∠BAO+∠OAG＝180°，∴∠EAO+∠FAO＝90°，即∠EAF＝90°，∵OE平分∠BOQ，∴∠∠BOQ＝2∠EOQ，∵∠EOQ＝∠E+∠OAE，∠BOQ＝∠ABO+∠BAO，∴∠ABO＝2∠E，在△AEF中，∵有两个角度数的比是3：2，故有4种情况：①∠EAF：∠E＝3：2，∠E＝60°，∠ABO＝120°；（不成立）②∠EAF：∠F＝3：2，∠E＝30°，∠ABO＝60°；③∠F：∠E＝3：2，∠E＝36°，∠ABO＝72°；④∠E：∠F＝3：2，∠E＝54°，∠ABO＝108°（不成立）．∴∠ABO为60°或72°．故答案为：∠ABO为60°或72°．23．（8分）（2022春•淮安期末）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）【分析】（1）根据题意可得当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°；（2）结合（1）根据BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，即可求∠A的度数；（3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，可得∠BPC=23∠A=23m°；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，可得∠BPC=13∠A=13m°；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，可得∠BPC=23∠A+13∠ABC=23m°+18°；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，可得∠BPC=13∠A−13∠ABC=13m°﹣18°，进而解答．【解答】解：（1）如图，当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°；（2）在△BPC中，∵∠BPC＝140°，∴∠PBC+∠PCB＝40°，又∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，∴∠PBC=13∠ABC，∠PCB=13∠ACB，∴13∠ABC+13∠ACB＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°；（3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，∴∠BPC=23∠A=23m°；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，∴∠BPC=13∠A=13m°；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，∴∠BPC=23∠A+13∠ABC=23m°+18°；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，∠BPC=13∠A−13∠ABC=13m°﹣18°；综上所述：∠BPC的度数为：23m°或13m°或23m°+18°或13m°﹣18°．