2024-2025学年湖南省长沙市开福区北雅中学九年级（上）入学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市开福区北雅中学九年级（上）入学数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要使二次根式 2x−4在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x>2B. x≥2C. x<2D. x=2
2.今年“五一”假期，湖南省文旅市场持续升温，文旅经济强劲复苏.根据全省十四个市州综合测算情况汇总，2023年“五一”假期全省共接待游客1787.1万人次，同口径比2022年“五一”假期增长了114.61%，其中数据1787.1万用科学记数法表示为( )
A. 1.7871×107B. 1.7871×108C. 17.871×106D. 0.17871×108
3.不等式组x+1>0x−1≤0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
4.将直线y=2x向下平移1个单位得到的直线是( )
A. y=−2x+1B. y=−2x−1C. y=2x+1D. y=2x−1
5.下列运算正确的是( )
A. a3+a2=a5B. 2x2−3x2=−x2C. 3a3+4a4=7a3D. 5a2b−5b2a=0
6.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC=8cm2，则S△BEF的面积是( )
A. 4cm2
B. 3cm2
C. 2cm2
D. 1cm2
7.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是( )
A. 1，2，3B. 3，4，5C. 5，12，13D. 1， 2， 3
8.若(a+b)2=49，ab=12，则a2+b2的值为( )
A. 20B. 25C. 30D. 35
9.在▱ABCD中，若∠A+∠C=140°，则∠B的度数是( )
A. 70°B. 110°C. 120°D. 140°
10.一次函数y=4x+2的图象经过第( )象限．
A. 一、二、三B. 一、二、四C. 一、三、四D. 二、三、四
11.如果m、n是一元二次方程x2−x=5的两个实数根，那么多项式m2−mn+n+1的值是( )
A. 12B. 10C. 7D. 5
12.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，如图所示，下列结论：①4ac0时，x的取值范围是−10时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.分解因式：x2−9= ．
14.已知菱形的两条对角线的长分别是10cm和24cm，那么菱形的每条边长是______．
15.如图，直线y=kx+b与抛物线y=−x2+2x+3交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式−x2+2x+316.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=16，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=6，则AB的长为______．
17.关于x的方程2x+ax−1=1的解是正数，则a的取值范围是 ．
18.设x1，x2是关于x的方程x2−3x+k=0的两个根，且x1=2x2，则k= ______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解下列方程：
(1)3x2−2x−1=0
(2)(x−1)2−16=0
20.(本小题8分)
先化简，再求值：(2aa+2−1)÷a2−4a+4a+2，其中a=1．
21.(本小题8分)
“让我们携起手来，构建网络空间命运共同体，让互联网更好造福世界各国人民，共同创造人类更加美好的未来！”11月8日上午，国家主席习近平向2023年世界互联网大会乌镇峰会开幕式发表视频致辞，科学分析全球互联网发展治理面临的新形势新要求，为携手推动构建网络空间命运共同体提供了重要指引.与会人士纷纷表示，习近平主席的致辞凝聚合作共识、激发奋进力量，为共同推动构建网络空间命运共同体迈向新阶段进一步指明了方向.为了共同推动构建网络空间命运共同体发展，某高校计划在图书馆引进计算网络书籍，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型(A.网络安全，B.计算软件计算，C.计算数学，D.通信技术)数据后，绘制出两幅不完整的统计图．

(1)本次抽样调查的样本容量是______；
(2)请补全条形统计图；
(3)求出扇形统计图中类型D所对应的扇形的圆心角的度数；
(4)请你估计该校参加调查的1000名学生中喜欢类型C的学生人数．
22.(本小题8分)
如图，等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE，A、C、D三点共线，∠ACB=∠DCE=90°，延长DE交AB于点F．
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)若CD=1，AC=2，求AF的长度．
23.(本小题8分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC于点E，点F在BC延长线上，且CF=BE．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)连接AF，若AE=2，AD=3，求AF的长．
24.(本小题8分)
定义：如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)，那么我们把线段AB叫做雅礼弦，AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长．
(1)求抛物线y=x2−2x−3的雅礼弦长；
(2)求抛物线y=x2+(n+1)x−1(1≤n<3)的雅礼弦长的取值范围；
(3)设m，n为正整数，且m≠1，抛物线y=x2+(4−mt)x−4mt的雅礼弦长为l1，抛物线y=−x2+(t−n)x+nt的雅礼弦长为l2，s=l12−l22，试求出s与t之间的函数关系式，若不论t为何值，s≥0恒成立，求m，n的值．
25.(本小题8分)
已知抛物线y=ax2+bx−4(a,b为常数，a≠0)交x轴于A(−1,0)，B(4,0)，交y轴于点C．
(1)求该抛物线解析式；
(2)点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过C作CQ/​/BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，将抛物线y=ax2+bx−4向右平移经过点(12,0)，得到新抛物线y=a1x2+b1x+c1，点E是抛物线y=a1x2+b1x+c1对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使得以A，P，E，F为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.D
5.B
6.C
7.A
8.B
9.B
10.A
11.A
12.D
13.(x+3)(x−3)
14.13cm
15.x<0或x>3
16.12
17.a<−1且a≠−2
18.2
19.解：(1)∵3x2−2x−1=0，
∴(x−1)(3x+1)=0，
∴x=1或x=−13；
(2)∵(x−1)2−16=0，
∴(x−1)2=16，
∴x−1=±4，
∴x=5或x=−3
20.解：原式=(2aa+2−a+2a+2)⋅a+2(a−2)2
=a−2a+2⋅a+2(a−2)2
=1a−2，
当a=1时，原式=11−2=−1．
21.(1)400；
(2)喜欢D类型的人数：400×10%=40(人)，
喜欢B类型的人数：400−100−140−40=120(人)，补全的条形统计图如下：
(3)扇形统计图中类型D所对应的扇形的圆心角的度数=10%×360°=36°，
答：扇形统计图中类型D所对应的扇形的圆心角的度数为36°．
(4)400名学生中喜欢类型C的学生人数占比为：140400=35%，
∴该校参加调查的1000名学生中喜欢类型C的学生人数为：1000×35%=350(人)，
答：估计该校参加调查的1000名学生中喜欢类型C的学生人数有350人．
22.(1)证明：在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE中，AC=BC，∠ACB=90°，CD=CE，∠DCE=90°，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACB=∠DCE=90°CE=CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)；
(2)解：在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE中，∠EDC=45°，∠BAC=45°，
∴DF=AF，∠DFA=90°，
∴AF2+DF2=2AF2=AD2，
∵CD=1，AC=2，
∴AD=CD+AC=3，
∴AF=32 2(负值已舍)．
23.(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB//DC且AB=DC，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
AB=DC∠ABE=∠DCFBE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，
∴AE//DF，
∴四边形ADFE是矩形；
(2)解：由(1)知：四边形ADFE是矩形，
∴EF=AD=3，
在Rt△AEF中，AE=2，
AF= AE2+EF2= 22+32= 13．
24.解：(1)x2−2x−3=0，
(x−3)(x+1)=0，
∴x1=3，x2=−1，
∴雅礼弦长AB=4；
(2)x2+(n+1)x−1=0，A(x1,0)B(x1,0)，
∴AB=|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2，
∵Δ=(n+1)2+4>0，x1+x2=−(n+1)x1x2=−1，
∴AB= (n+1)2+4，
∵1≤n<3，
∴当n=1时，AB最小值为2 2，
当n=3时，AB最大值小于2 5，
∴2 2≤AB<2 5；
(3)由题意，令y=x2+(4−mt)x−4mt=0，
∴x1+x2=mt−4，x1x2=−4mt，
则l12=(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=(mt+4)2，
同理l22=(n+t)2，
s=(mt+4)2−(n+t)2=(m2−1)t2+(8m−2n)t+(16−n2)，
∵m2−1≠0，
∴要不论t为何值，S≥0恒成立，
即：(m2−1)t2+(8m−2n)t+(16−n2)≥0恒成立，
由题意得：m2−1>0，Δ=(8m−2n)2−4(m2−1)(16−n2)≤0，
解得：(mn−4)2≤0，mn=4
∵m，n为正整数，且m≠1，
则m=2，n=2或m=4，n=1．
25.解：(1)将A(−1,0)，B(4,0)代入抛物线y=ax2+bx−4，
∴a−b−4=016a+4b−4=0，解得a=1b=−3．
∴抛物线的解析式为：y=x2−3x−4．
(2)如图，连接BC，则△BCP的面积=△BQP面积，过点P作PT/​/y轴交BC于点T，

令x=0，则y=−4，
∴C(0,−4)；
∴OB=OC=4，直线BC的解析式为：y=x−4，
设点P的横坐标为m，则P(m,m2−3m−4)，T(m,m−4)，
∴TP=m−4−(m2−3m−4)=−m2+4m，
∴S△BCP=12⋅TP⋅(xB−xC)=12⋅(−m2+4m)⋅4=−2(m−2)2+8，
∵−2<0，
∴当m=2时，S△BCP的最大值为8；此时P(2,−6)．
综上，△PBQ面积的最大值为8，此时P(2,−6)．
(3)∵将抛物线y=x2−3x−4=(x−32)2−254向右平移经过点(12,0)，
∴点A(−1,0)向右平移32个单位，
∴平移后的抛物线为：y=(x−3)2−254．
∵点E在平移后抛物线的对称轴上，
∴设点E(3,t)，该对称轴与x轴交于点G，
①当点P为直角顶点时，过点P作x轴的平行线，交GH于点H，过点A作y轴的平行线交PH于点H，

∴∠APE=∠PHE=∠M=90°，AM=6，MP=4，PH=1，
∴∠APM+∠EPH=∠EPH+∠HEP=90°，
∴∠APM=∠HEP，
∴△APM∽△PEH，
∴AM：PM=PH：EH，解得EH=12，
∴E(3,−112)；
由矩形的性质可知，xP−xA=xE−xF，yP−yA=yE−yF，
∴2−(−1)=3−xF，−6−0=−112−yF，
∴xF=0，yF=12，
∴F(0,12)；
②当点A为直角顶点时，过点E作x轴的平行线交AM于点K，

同理可得△AEK∽△PAM，
∴AK：EK=PM：AM，解得AK=2，
∴E(3,2)，
由矩形的性质可知，xP−xA=xF−xE，yP−yA=yF−yE，
∴2−(−1)=xF−3，−6−0=yF−2，
∴xF=6，yF=−4，
∴F(6,−4)；
③当点E为直角顶点，如图，

同理可得△AGE∽△EHP，
∴AG：GE=EH：PH，
∴4：(−t)=(6+t)：1，
解得t=−3+ 5或t=−3− 5，
当t=−3+ 5时，
由矩形的性质可知，xP−xA=xF−xE，yP−yA=yF−yE，
∴xF=−2，yF=−3− 5，
∴F(−2,−3− 5)；
同理可得，当t=−3− 5时，F(−2,−3+ 5)；
综上可得，符合题意的点F的坐标为：F(0,12)或(6,−4)或(−2,−3− 5)或(−2,−3+ 5).