2024-2025学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（上）开学数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，是正比例函数的是( )
A. y=4x−1B. y=5x2C. y=20xD. y=−6x
2.抛物线y=−(x+4)2−3的对称轴是( )
A. 直线x=−4B. 直线x=4C. 直线x=3D. 直线x=−3
3.一次函数y=kx+b如图，则下列结论正确的是( )
A. k>0，b>0
B. k>0，b<0
C. k<0，b>0
D. k<0，b<0
4.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是( )
A. AC⊥BD
B. AC=BD
C. OB=OD
D. ∠ABC=∠BAC
5.从甲、乙、丙、丁中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成续都是90分，方差分别是S甲2=3，S乙2=2.6，S丙2=2，S丁2=3.6，派谁去参赛更合适( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
6.关于x的方程2x2−mx−1=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等实数根B. 有两个相等实数根
C. 无实数根D. 由于不知道m的值，无法确定
7.用配方法解方程x2+8x+7=0，则配方正确的是( )
A. (x+4)4=23B. (x+4)2=9C. (x+8)2=71D. (x+8)2=57
8.受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正
确的是( )
A. 100(1+2x)=144B. 100(1+x)2=144
C. 100(1+x2)=144D. 100(1+2x)2=144
9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB=6cm，BC=8cm.则EF的长是( )
A. 2.2cmB. 2.3cm
C. 2.4cmD. 2.5cm
10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(−4,0)两点，下列说法正确的是( )
A. c<0
B. 抛物线的对称轴是直线x=−2
C. 当x>−1时，y的值随x值的增大而减小
D. 4a−2b+c<0
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若代数式 x−2有意义，则实数x的取值范围是______．
12.若m，n是方程x2+2x−1=0的两根，则m+n= ______．
13.将一次函数y=5x−1的图象向上平移3个单位长度，所得直线表达式为______．
14.某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法表示为______．
15.如图，二次函数y=x2−x−6的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为______．
16.以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度ℎ(单位m)与飞行时间t(单位s)之间具有函数关系：ℎ=20t−5t2，那么球从飞出到落地要用的时间是______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算： 8+(π−2024)0−(12)−1−| 2−1|．
18.(本小题8分)
先化简，再求值a−3a−2÷(a+2−5a−2)，其中a=−2．
19.(本小题8分)
如图，已知一次函数的图象经过A(3,5)，B(0,−1)两点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若C为y轴上一点，且△ABC的面积为6，求C点的坐标．
20.(本小题8分)
如图，矩形AEBO的对角线AB、OE交于点F，延长AO到点C，使OC=OA，延长BO到点D，使OD=OB，连接AD、DC、BC．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)若OE=20，∠BCD=60°，则菱形ABCD的面积为______．
21.(本小题8分)
奥运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款纪念币，进货价和销售价如表：
(注：利润=销售价−进货价)
(1)网店第一次用580元购进A、B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的件数；
(2)第一次购进的A、B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚(进货价和销售价都不变)，且进货总价不高于1350元.应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
22.(本小题8分)
定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若x1，所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2=−1，求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程x2+(1−m)x−m=0是“限根方程”，求m的取值范围．
23.(本小题8分)
如图，已知抛物线y=ax2−2x+c与x轴交于点A，B(1,0)(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0,3)，顶点为D．
(1)求出该抛物线的表达式；
(2)若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使得以点A，C，M为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.C
5.C
6.A
7.B
8.B
9.D
10.C
11.x≥2
12.−2
13.y=5x+2
×10−6
15.15
16.4s
17.解： 8+(π−2024)0−(12)−1−| 2−1|
=2 2+1−2−( 2−1)
=2 2+1−2− 2+1
= 2．
18.解：原式=a−3a−2÷(a2−4a−2−5a−2)
=a−3a−2÷a2−9a−2
=a−3a−2⋅a−2(a+3)(a−3)
=1a+3，
当a=−2时，原式=1−2+3=1．
19.解(1)设一次函数的解析式为y=kx+b，
把点A(3,5)，B(0,−1)分别代入得 3k+b=5b=−1，
解得k=2b=−1，
∴一次函数的解析式为y=2x−1；
(2)设C点坐标为(0,m)，
∵△ABC的面积为6，
∴12×3×|m−(−1)|=6，
即|m+1|=4
解得m=3或m=−5，
∴C(0,3)或(0,−5)．
20.(1)证明：∵CO=AO，DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵四边形AEBO是矩形，
∴∠AOB=90°，
∴BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形AEBO是矩形，
∴AB=BC=OE=20，
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=60°，
∴∠BCO=30°，∠AOB=90°，
∴OB=12BC=12×20=10，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：OC= BC2−OB2= 202−102=10 3，
∴BD=2OB=2×10=20，AC=2OC=2×10 3=20 3，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×20×20 3=200 3．
21.解：(1)设分别购进A款纪念币、B款纪念币x，y枚，
由题意得：x+y=3215x+20y=580，
解得：x=12y=20，
∴购进A款纪念币12枚，购进B款纪念币20枚；
(2)设再次购进A款纪念币m枚，则购进B款纪念币(80−m)枚，利润为w，
则w=(25−15)m+(32−20)(80−m)=−2m+960，
∵15m+20(80−m)≤1350，
解得：m≥50，
又∵w随m的增大而减小，
∴当m=50时，w取最大值，且w=−2×50+960=860，
此时：80−m=30，
故再次购进A款纪念币50枚，购进B款纪念币30枚，能获得最大销售利润，最大销售利润为860元．
22.解：(1)此方程为“限根方程”，理由如下：
(x+2)(x+7)=0，
解得x1=−7，x2=−2，
∵，
∴此方程为“限根方程”；
(2)由根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=，
∵x1+x2+x1x2=−1，
∴+=−1，
∴k=2或−1；
①当k=2时，x1=，x2=−1，
∴<4，
∴k=2符合题意；
②当k=−1时，x1=−2，x2=−1，
∴=2，
∴k=−1(不合题意，舍去)．
∴k的值为2；
(3)解此方程得：x=−1或m，
∵此方程为“限根方程”，
∴Δ>0，且m<0，即(1−m)2+4m>0，
∴(m+1)2>0，
∴m<0且m≠−1；
①当−1∵<4，
∴，
∴；
②当m<−1时，x1=m，x2=−1，
∵<4，
∴，
∴−4综上所述，m的取值范围为或−423.解：(1)将点B(1,0)，C(0,3)代入抛物线y=ax2−2x+c，
得a−2+c=0c=3，
解得a=−1c=3，
∴该抛物线的表达式为y=−x2−2x+3；
(2)存在．理由如下：
∵y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴其对称轴为直线x=−1，且B(1,0)，
∴A(−3,0)．
设M(−1,t)，
∵A(−3,0)，C(0,3)，
∴AC2=18，AM2=4+t2，CM2=1+(t−3)2．
①当AC=CM时，
∴18=1+(t−3)2，
解得t=3+ 17或t=3− 17；
②当AC=AM时，
∴18=4+t2，解得t= 14或t=− 14，
∴M(−1, 14)或(−1,− 14)；
综上可知，符合要求的点M坐标为(−1, 14)或(−1,− 14)或(−1,3+ 17)或(−1,3− 17).
类别价格
A款纪念币
B款纪念币
进货价(元/枚)
15
20
销售价(元/枚)
25
32