2024-2025学年湖南省怀化市鹤城区雅礼实验学校九年级（上）入学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省怀化市鹤城区雅礼实验学校九年级（上）入学数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.A(n,−3)在y轴上，则点B(n+1,n−1)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. 1，2，3B. 6，7，8C. 1， 2， 3D. 3， 4， 5
4.已知一组数据， 9，3−8，103，0.4141141114…(每两个4之间的1依次增加)这组数据中，无理数出现的频数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.用配方法解一元二次方程x2−4x−12=0时，下列变形正确的为( )
A. (x+2)2=8B. (x−2)2=16C. (x+4)2=8D. (x−4)2=16
6.若关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A. k<13B. k≤13C. k<13且k≠0D. k≤13且k≠0
7.如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙(图中阴影部分)，另外三边用25m长的篱笆围成.为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为x m，若花圃的面积为80m2，所列方程正确的是( )
A. x(26−2x)=80B. x(24−2x)=80
C. (x−1)(26−2x)=80D. (x−1)(25−2x)=80
8.如图，数学老师利用刻度直尺(单位：cm)测量三角形教具的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，点D为BC的中点，若∠BAC=90°，则可求得AD的长为3cm，所应用的数学知识是( )
A. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C. 三角形的中位线等于第三边的一半
D. 以上都不正确
9.如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D(包括端点)运动.点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是( )
A. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B. 平行四边形→菱形→平行四边形→菱形
C. 菱形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
10.矩形OABC中，OA=1，OC=2，以O为原点，分别以OA，OC所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线y=kx(0A. 23
B. 1
C. 43
D. 2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知函数y= x−2024有意义，则自变量x的取值范围是______．
12.在一次函数y=mx+5中，若y的值随的x值增大而减小，m的取值范围是______．
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D.若BD=6，则AC的长为______．
14.一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为______．
15.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AC=9，菱形ABCD的面积为18，则OE= ______．
16.如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=kx(k≠0)图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为2，则k的值为______．
17.定义新运算：规定abcd=ad−bc，例如2468=2×8−4×6=−8，若3x1−8x1x=2，则x的值为______．
18.如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，点D，B的坐标分别为(3,3)，(9,0)，过点D的正比例函数y=kx的图象上有一点P，且OP=5 2，将y=kx的图象沿y轴向下平移得到y=kx+b的图象.若点P落在长方形ABCD的内部(不含边界)，则b的取值范围是______．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
19.解方程：3x(x−2)=4(2−x)
四、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
先化简，再求值：x−2x−1÷(x+1−3x−1)，其中x满足方程：x2+x−6=0．
21.(本小题8分)
如图，已知平行四边形ABCD，点O为BD中点，点E在AD上，连接EO并延长交BC于点F，连接BE，DF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若AB=3 2，AD=6，∠BAD=135°，当四边形BEDF为菱形时，求AE的长．
22.(本小题8分)
为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师对八年级(1)班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图.如下所示：
请结合图表完成下列问题：
(1)表中的a= ______；
(2)请把频数分布直方图补充完整；
(3)这个样本数据的中位数落在第______组；
(4)若八年级学生一分钟跳绳次数(x)在x≥120时为达标，计算该班学生测试成绩达标率为多少．
23.(本小题10分)
如图，已知A(−4,n)，B(2,−4)是反比例函数y=kx的图象和一次函数y=ax+b的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)根据图象直接写出不等式ax+b−kx<0的解集．
24.(本小题8分)
某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
25.(本小题10分)
对于一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)，如果方程有两个实数根为x1，x2，那么x1+x2=−ba，x1x2=ca，一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达(1540−1603)发现的，因为，我们把这个关系成为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．
例：若x1、x2是方程x2+2x−2007=0的两个根，不解方程，求x12+x22的值．
解：由题意，根据根与系数的关系得：x1+x2=−2，x1x2=−2007
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−2)2−2×(−2007)=4+4014=4018．
根据上面材料，解答下列问题：
(1)已知x1，x2是方程2x2−7x+4=0的两根，则x1+x2= ______，x1⋅x2= ______．
(2)设x1，x2是方程2x2−6x+3=0的两个根，求下列各式的值：
①x12x2+x1x22
②x1−x2
(3)关于x的方程x2−(k+1)x+14k2+1=0的两实数根x1，x2满足|x1|=x2，求k的值．
26.(本小题12分)
如图1，直线l1：y=kx+6与x轴交于点A，且经过定点M(−2,7)，直线l2：y=x+b与x轴交于点B，直线l1与l2交于点C(2,m)，连接BM．

(1)填空：直线l1解析式为______，直线l2解析式为______，点C坐标为______；
(2)①在y轴上的动点Q使△BMQ的周长最短？请画图标出点Q，并求点Q的坐标；
②在平面直角坐标系中存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？直接写出点N坐标；
(3)如图2，点P为线段BA上一动点，连接MP，将△MAP沿直线MP翻折得到△MPE交x轴于点H，当△HPE为直角三角形时，求点E的坐标．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.A
5.B
6.D
7.A
8.B
9.D
10.A
11.x≥2024
12.m<0
13.3
14.12
15.2
16.−4
17.13或−3
18.−519.解：∵3x(x−2)+4(x−2)=0，
∴(x−2)(3x+4)=0，
则x−2=0或3x+4=0，
解得：x=2或x=−43．
20.解：x−2x−1÷(x+1−3x−1)
=x−2x−1÷x2−1−3x−1
=x−2x−1×x−1(x−2)(x+2)
=1x+2，
∵x2+x−6=0，
∴(x+3)(x−2)=0，
解得：x1=−3，x2=2，
∵要分式有意义，则x≠2且x≠1且x≠−2，
∴当x=−3时，
原式=1−3+2=−1．
21.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠ADB=∠CBD，
又∵点O为AD中点，
∴BO=OD
∵在△DOE和△BOF中，
∠EDO=∠FBOOD=OB∠EOD=∠FOB,
∴△DOE≌△BOF(ASA)，
∴ED=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)如图，过点B作BH⊥AD，交DA延长线于点H，
∵∠BAD=135°，
∴∠BAH=45°
在Rt△ABH中，AB=3 2，
∴BH=HA=3，
设AE=x，
∵四边形BEDF为菱形，
∴EB=ED=6−x
在Rt△BHE中，BH2+HE2=BE2，
∴32+(3+x)2=(6−x)2
解得：x=1，
∴AE=1．
22.(1)6+8+a+18+6=50，
解得a=12；
(2)补全频率分布直方图如下所示：
(3)∵按照跳绳次数从少到多，第25、26两人都在第三组，
∴中位数落在第三组；
(4)∵12+18+650×100%=72%，
∴该班学生测试成绩达标率为72%．
23.解：(1)把B(2,−4)代入y=kx的得m=2×(−4)=−8，
所以反比例函数解析式为y=−8x，
把A(−4,n)代入y=−8x得−4n=−8，解得n=2，
把A(−4,2)和B(2,−4)代入y=kx+b得−4k+b=22k+b=−4，
解得k=−1b=−2．
所以一次函数的解析式为y=−x−2；
(2)直线y=−x−2与x轴交于点C(−2,0)，
S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×2×2+12×2×4=6；
(3)不等式kx+b−kx<0的解集为−42；
故答案为：−42．
24.解：(1)设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50(1−a)2=32，
解得：a=1.8(舍)，a=0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
(2)设每千克应涨价x元，由题意，得
(10+x)(500−20x)=6000，
整理，得x2−15x+50=0，
解得：x1=5，x2=10，
因为要尽快减少库存，所以x=5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
25.(1)72；2；
(2)x1，x2是方程2x2−6x+3=0的两个根，
则x1+x2=3，x1⋅x2=32，
①x12x2+x1x22=x1x2(x1+x2)=92；
②x1−x2=± (x1−x2)2=± (x1+x2)2−4x1x2=± 3；
(3)∵方程x2−(k+1)x+14k2+1=0的两实数根x1，x2，
∴x1+x2=k+1，x1⋅x2=14k2+1，
Δ=(k+1)2−4×(14k2+1)=2k−3，
2k−3≥0，
解得，k≥32，
当x1>0时，x1=x2，即(k+1)2−4×(14k2+1)=0，
解得，k=32；
当x1<0时，x1+x2=0，即k+1=0，
解得，k=−1，
∵−1<32，
∴方程无实根
∴k的值为32．
26.(1)y=−12x+6，y=x+3，(2,5)；
(2)①如图1，点Q即为所求；
把y=0代入直线l2：y=x+3 得，x+3=0，解得x=−3，
∴B(−3,0)，
∵B′与B关于y轴对称，
∴B′(3,0)，
∵M(−2,7)，
∴直线MB′解析式为：y=k1x+b1，
∴3k1+b1=0−2k1+b1=7，
解得k1=−75b1=215，
∴直线MB′解析式为y=y=−75x+215，
令x=0，y=215，
∴点Q坐标为(0,215)；
②设点N坐标为(m,n)，
∴以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴以BC为对角线时，由中点坐标公式得−3+2=m−25=n+7，
解得m=1n=−2，
∴N(1,−2)；
以BM为对角线时，由中点坐标公式得−3−2=2+m7=5+n，
解得m=−7n=2，
∴N(−7,2)；
以BN为对角线时，由中点坐标公式得−3+m=2−2n=5+7，
解得m=3n=12，
∴N(3,2)；
综上所述，点N坐标为(−7,2)或(3,12)或(1,−2)；
(3)情况1：如图2−1，
当∠HPE=90°时，
∴∠APE=90°，
∴∠MPA+∠MPE=360°−∠APE=270°，
由折叠可得∠MPA=∠MPE，PA=PE，
∴∠MPE=135°，
∴∠MPB=∠MPE−∠HPE=45°，
过M作MG⊥x轴于G，
∴GP=MG，
∵M (−2,7)，A(12,0)，
∴OG=2，MG=7，AG=14，
∴GP=7，
∴PA=GA−GP=14−7=7，OP=GP−GO=7−2=5，
∴PE=7，
∵点E在第四象限，
∴E(5,−7)；
情况2：如图2−
当∠PHE=90°时，
在Rt△MHA中，MA= AH2+MH2= 142+72=7 5，
由折叠可得MA=ME，
∴ME=7 5，
∴HE=ME−MH=7 5−7，
∵点E在第三象限，
∴E(−2,7−7 5)，
综上，点E坐标为(5,−7)或(−2,7−7 5).
组别
次数x
频数(人数)
第1组
80≤x<100
6
第2组
100≤x<120
8
第3组
120≤x<140
a
第4组
140≤x<160
18
第5组
160≤x<180
6