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人教版（2024）九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程教案
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这是一份人教版（2024）九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程教案，共28页。
21.2.1 配方法第1课时 直接开平方法 课时目标1.会利用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程;初步了解形如(x+n)2=p(p≥0)方程的解法;能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.2.通过对实例的探究过程,体会类比、转化、降次的数学思想方法.3.启发学生学会观察、分析,寻找解题的途径,提高他们分析问题、解决问题的能力. 学习重点应用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程. 学习难点会把一个方程化成x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的形式. 课时活动设计知识回顾1.如果x2=a,那么x叫做a的 平方根 . 2.如果x2=a(a≥0),那么x= ±a . 3.如果x2=64,那么x= ±8 . 4.如果2x2=18,那么x= ±3 . 思考:如果方程转化为x2=p,该如何解呢? 设计意图:通过复习旧的知识,引出对新知识的探究,达到衔接新旧知识的目的,为下面探究新知识打下基础.探究新知一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?思考1:设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子的外表面面积为 6x2 dm2,10个这种盒子的外表面面积的和为 10×6x2 dm2,由此可得到方程为 10×6x2=1 500 .你能求出它的解吗? 解:设盒子的棱长为x dm,则10×6x2=1 500.整理,得x2=25.根据平方根的意义,得x=±5,即x1=5,x2=-5.可以验证,5和-5是原方程的两个根,因为棱长不能是负值,所以盒子的棱长为5 dm.思考2:对照上面解方程的过程,你认为应该怎样解方程(x+3)2=5呢?学生通过比较它与方程x2=25的异同,从而获得解一元二次方程的思路.在解方程时,由x2=25可得x=±5.类比此方法可解方程(x+3)2=5.解:由方程(x+3)2=5,①得x+3=±5,即x+3=5,或x+3=-5.②于是,方程(x+3)2=5的两个根为x1=-3+5,x2=-3-5.思考3:由方程①是如何得到方程②的?上面的解法中,由方程①得到②,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样就把方程①转化为我们会解的方程了.思考4:方程的左右两边满足什么形式时,利用平方根的意义,可以直接开平方解一元二次方程?一般地,对于方程x2=p,(1)当p>0时,根据平方根的意义,方程有两个不等的实数根x1=-p,x2=p;(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;(3)当p<0时,因为对任意实数x,都有x2≥0,所以方程无实数根. 设计意图:从已有的知识体系中自然地构建出新知识.通过利用一元二次方程解决实际问题,引导学生将求解一元二次方程的问题转化为两个一元一次方程的问题,降“二次”为“一次”,调动学生思考问题的积极性,同时提高学生分析问题、解决问题的能力.典例精讲解下列方程:(1)2x2-8=0; (2)3(x-1)2-6=0.解:(1)移项,得2x2=8.等式两边同除以2,得x2=4.开平方,得x=±2,即x1=2,x2=-2.(2)移项,得3(x-1)2=6.等式两边同除以3,得(x-1)2=2.开平方,得x-1=±2,即x1=2+1,x2=-2+1. 设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.巩固训练解下列一元二次方程:(1)9x2+5=1; (2)(x+3)2-9=0; (3)9(x-1)2-4=0; (4)9x2+4=4.解:(1)移项,得9x2=-4.∵9x2≥0,∴此方程无实数根.(2)移项,得(x+3)2=9.开平方,得x+3=±3,即x1=0,x2=-6.(3)移项,得9(x-1)2=4.等式两边同除以9,得(x-1)2=49.开平方,得x-1=±23,即x1=53,x2=13.(4)移项,得9x2=0.等式两边同除以9,得x2=0.开平方,得x1=x2=0. 设计意图:及时练习,巩固所学知识,培养学以致用、积极思考的习惯,提升学生计算能力.拓展应用1.一元二次方程x2=2的解为 x1=2,x2=-2 . 2.当代数式(1-3x)2的值为0时,x的值为 13 . 3.解下列方程:(1)2x2=5; (2)(x-2)2-16=0;解:(1)移项,得x2=52.开平方,得x=±102,即x1=102,x2=-102.(2)移项,得(x-2)2=16.开平方,得x-2=±4,即x1=6,x2=-2.4.如果关于x的方程(x-9)2=m+4可以用直接开平方法求解,那么m的取值范围是 m≥-4 . 5.阅读下列解答过程,在横线上填入恰当内容.解方程:(x-1)2=4.解:x-1=2.①x=3.②上述过程中有没有错误?若有,错在步骤 ① (填序号),原因是 正数的平方根有两个,它们互为相反数 ,请写出正确的解答过程. 解:开平方,得x-1=±2,即x1=3,x2=-1. 设计意图:让学生体会知识的不同考法,加深对本节内容的理解,既达到了知识的灵活应用,又提高了自身的解题能力. 课堂小结(1)你学会怎样解一元二次方程了吗?有哪些步骤?(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法?与同伴交流. 设计意图:通过小结让学生回顾本节所学知识,把所学的知识内化为自已的知识.随堂小测1.用直接开平方法解方程:(1)(2x-3)2+9=0; (2)(x+6)2-9=0.解:(1)移项,得(2x-3)2=-9.∵(2x-3)2≥0,∴此方程无实数根.(2)移项,得(x+6)2=9.开平方,得x+6=±3,即x1=-3,x2=-9.2.要使代数式3x2-6的值等于21,则x的值是 x1=3,x2=-3 . 3.一元二次方程(x+4)2=(2x-1)2的解为 x1=5,x2=-1 . 4.若(x2+y2-4)2=25,则x2+y2的值为 9 . 设计意图:当堂训练,复习巩固,查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第6页练习(2)(3),第16页习题21.2第1题.2.七彩作业. 第1课时 直接开方法解方程 1.一般地,对于方程x2=p,(1)当p>0时,方程有两个不等的实数根x1=-p,x2=p;(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;(3)当p<0时,因为对任意实数x,都有x2≥0,所以方程无实数根.2.把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.3.例题讲解. 教学反思 第2课时 配方法 课时目标1.理解配方法的概念,掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤.2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程,使学生体会转化思想.3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养数学意识. 学习重点用配方法解一元二次方程. 学习难点理解并掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤. 课时活动设计 知识回顾1.完全平方公式(a+b)2= a2+2ab+b2 ;(a-b)2= a2-2ab+b2 . 2.练一练:x2-6x+9= (x-3)2 ;x2+4x+4= (x+2)2 . 2.你会填空吗?(1)x2-8x+ 42 =(x- 4 )2; (2)x2+12x+ 62 =(x+ 6 )2; (3)x2-6x+ 32 =(x- 3 )2. 师生互动,教师通过随机抽查的方式,找同学回答问题.通过填空,你发现式子左侧所填的数与方程的哪个系数有关?有什么关系?解:式子左侧所填的数与方程的一次项系数有关,是一次项系数一半的平方. 设计意图:通过循序渐进的方法,让学生配完全平方式,从而引出本节所学内容.导入新课怎样解方程x2+6x+4=0? 设计意图:由提问引出本节所要学习的知识,使学生产生强烈的求知欲,为下面探究新知识埋下伏笔.探究新知想一想解方程x2+6x+4=0的流程是怎样的?教师引导学生通过移项和等式的性质,将原方程配成完全平方的形式,再根据直接开平方法求解方程.问题:为什么在方程x2+6x-4的两边加9?加其他数行吗?解:不行.只有在方程两边加上一次项系数一半的平方,方程左边才能变成完全平方x2+2bx+b2的形式.比较方程2x2-3x+1=0与其他方程有什么区别?你该如何去解这个方程?解:方程2x2-3x-1=0的二次项系数不是1,可以利用等式的基本性质把二次项系数化成1,再利用配方法解方程.知识归纳配方法:通过将方程配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.配方是为了降次,把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.配方法解一元二次方程的步骤:1.移项:将含有x的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;2.二次项系数化为1:两边同除以二次项的系数;3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,将原方程变成(x+n)2=p的形式;4.判断右边代数式的符号,若p≥0,则可以利用直接开平方法求解;若p<0,则原方程无实数根. 设计意图:引导学生通过配方法解一元二次方程,明白每一步的意义,再通过问题,使学生理解方程两边同时加9的原因,并让学生通过观察比较,归纳出配方法的概念,培养学生抽象概括的能力.典例精讲例 用配方法解方程x2+4x+3=0.解:移项,得x2+4x=-3.配方,得x2+4x+4=-3+4,(x+2)2=1.由此可得x+2=±1.x1=-1,x2=-3. 设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.拓展应用1.用配方法解一元二次方程x2+8x=-7,下一步骤正确的是( A ) A.x2+8x+42=-7+42 B.x2+8x+42=-7C.x2+8x+82=-7 D.x2+8x+82=-7+822.用配方法解下列方程,其中应在方程的左右两边同时加上4的是( B )A.x2-2x=5 B.x2+4x=5 C.x2+2x=5 D.2x2-4x=53.用配方法解一元二次方程x2-6x-4=0,变形后的结果正确的是( C )A.(x-6)2=-5 B.(x-6)2=5 C.(x-3)2=13 D.(x-3)2=54.填空:(1)x2+4x+ 4 =(x+ 2 )2;(2)x2-8x+ 16 =(x- 4 )2;(3)x2+x+ 14 =x+ 12 2. 5.用配方法解下列方程:(1)x2-12x-15=0; (2)3x2-5x=2.解:(1)x1=6+51,x2=6-51.(2)x1=2,x2=-13. 设计意图:让学生体会知识的不同考法,加深对本节内容的理解.既达到了知识的灵活应用,又提高了自身的解题能力.课后小结1.配方法的概念是什么?2.配方法解一元二次方程的关键是什么?3.配方法解一元二次方程的基本步骤是什么? 设计意图:通过小结让学生回顾本节所学知识,使学生牢固掌握所学知识,把所学的知识内化为自已的知识.随堂小测1.将二次三项式x2-4x+1配方后得( B )A.(x-2)2+3 B.(x-2)2-3 C.(x+2)2+3 D.(x+2)2-32.已知x2-8x=-15,将左边配成x2+2bx+b2的形式,其中正确的是( A )A.x2-8x+(-4)2=-15+(-4)2 B.x2-8x-42=-15+42C.x2+8x+42=-15+42 D.x2-4x+4=-15+43.若9x2-(k+2)x+4可以写成一个完全平方式,则k的值为 10或-14 . 4.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值.若设x+y=z,则原方程可变为 z2+2z-8=0 ,所以求出z的值即为x+y的值,所以x+y的值为 2或-4 . 5.用配方法解方程:(1)9y2-18y-4=0; (2)x2+3=2x.解:(1)y1=1+133,y2=1-133.(2)方程无实数根. 设计意图:当堂训练,当堂检测,查漏补缺. 课堂8分钟.1.教材第9页练习第1,2题.2.七彩作业.第2课时 配方法 1.配方法的概念.2.用配方法解方程的步骤. 教学反思 21.2.2 公式法 课时目标1.理解求根公式的推导过程,掌握公式法的概念,能利用判别式判断一元二次方程根的情况,熟练运用求根公式求一元二次方程的根.2.经历探索求根公式的推导过程,培养学生的逻辑思维能力和渗透分类讨论.3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养数学意识. 学习重点求根公式的推导过程. 学习难点熟练运用公式法解一元二次方程. 课时活动设计知识回顾上节学习了通过配方解一元二次方程的方法,用配方法解方程3x2-5x-8=0,并回顾配方法解方程的步骤.解:移项,得3x2-5x=8.系数化为1,得x2-53x=83.配方,得x2-53x+562=83+562,x-562=12136.得x-56=±116,x1=83,x2=-1.步骤:移项:将含有x的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;二次项系数化为1:两边同除以二次项的系数;配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,将原方程变成(x+n)2=p的形式;求方程的解:判断右边代数式的符号,若p≥0,则可以直接开平方求解;若p<0,则原方程无实数根. 设计意图:通过循序渐进的方法,为求根公式的推导作铺垫,同时对配方这一关键过程加以复习,可以更有效的突出本节的教学重点.探究新知探究1 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).能否也用配方法得出ax2+bx+c=0(a≠0)的解呢?解:移项,得ax2+bx=-c.二次项系数化为1,得x2+bax=-ca.配方,得x2+bax+b2a2=-ca+b2a2,即x+b2a2=b2-4ac4a2.问题:此时我们直接开平方去解方程,应注意什么?解:注意b2-4ac4a2的非负性.因为a≠0,所以4a2>0.式子b2-4ac的值有以下三种情况:①b2-4ac>0,4ac-b24a>0,即x+b2a=±b2-4ac2a,方程有两个不等的实数根x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.②b2-4ac=0,4ac-b24a=0,方程有两个相等的实数根x1=x2=-b2a.③b2-4ac<0,4ac-b24a<0,即x+b2a2<0,而x取任意实数都不能使x+b2a2<0,因此方程无实数根.由此可得,当b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为x=-b±b2-4ac2a的形式,这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 设计意图:本环节主要是让学生探究用配方法解一元二次方程的一般形式的过程,让学生理解求根公式的推导过程.探究2 上述对式子b2-4ac的值及方程的根的情况的讨论,你有什么发现?解:方程的根的情况由b2-4ac决定.师生总结归纳出根的判别式的概念.一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式,通常用希腊字母“Δ”表示它,即Δ=b2-4ac.归纳总结当Δ>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根;当Δ=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.探究3 如何用求根公式来解一元二次方程?解一元二次方程时,把各系数直接代入求根公式,可以避免配方过程而直接得出根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法.公式法解一元二次方程的基本步骤:(1)将原方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),确定a,b,c的值.【小技巧】若系数是分数通常将其化为整数,方便计算.(2)求出b2-4ac的值,根据b2-4ac值的情况确定一元二次方程是否有解;(3)如果b2-4ac≥0,将a,b,c的值代入求根公式x=-b±b2-4ac2a;【易错点】a,b,c的值代入求根公式时,易遗漏前面的符号.(4)最后求出原方程的解. 设计意图:引出判别式的概念,指导学生通过判别式判断一元二次方程根的情况.教师引导学生总结公式法解一元二次方程的基本步骤.典例精讲例1 一元二次方程4x2-2x-1=0的根的情况为( C )A.无实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D.无法确定例2 用公式法解方程:(1)x2-4x-7=0; (2)5x2-3x=x+1.解:(1)a=1,b=-4,c=-7.Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0.方程有两个不等的实数根x=-b±b2-4ac2a=-(-4)±442×1=2±11,即x1=2+11,x2=2-11.(2)方程化为5x2-4x-1=0.a=5,b=-4,c=-1.Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0.方程有两个不等的实数根x=-b±b2-4ac2a=-(-4)±362×5=4±610,即x1=1,x2=-15. 设计意图:通过例题讲解,加深学生对所学知识的理解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.巩固训练利用公式法解方程:(1)x2-2x-3=0; (2)2x2-3x-1=0; (3)x2-x=x-1; (4)x2+10=6x.解:(1)x1=3,x2=-1;(2)x1=3+114,x2=3-114;(3)x1=x2=1;(4)方程无实数根. 设计意图:本环节设计了四个方程,主要是强化学生对公式法解方程的练习,起到巩固的作用,同时发现学生在做题中的错误,及时给予纠正,对于学生做题中出现的问题展开辨析,有利于学生思维的发展. 拓展应用1.一元二次方程x2-3x+1=0的根的情况是( B ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不等的实数根C.没有实数根 D.无法确定2.下列一元二次方程中,无实数根的是( C )A.x2+x-2=0 B.x2-2x=0 C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=03.关于x的一元二次方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根,则c的值是( B )A.36 B.9 C.6 D.-94.小颖在解一元二次方程3x2□x-1=0时,一次项系数印刷不清楚,查看答案为x=3±233,则□代表的数为( B )A.6 B.-6 C.3 D.485.用公式法解方程:(1)x2-7x-18=0; (2)2x2-7x+7=0;解:(1)x1=9,x2=-2;(2)方程无实数根. 设计意图:本环节中的第1,2,3题是对根的判别式进行训练,举一反三,第5题是让学生利用公式法来解方程,检查学生公式法的掌握情况,对出现的问题及时纠正.课后小结1.简述求根公式的推导过程.2.如何用根的判别式判定一元二次方程根的情况?3.简述公式法解一元二次方程的步骤. 设计意图:通过小结让学生回顾本节所学知识,使学生牢固地掌握本节所学内容.随堂小测1.关于x的一元二次方程x2-2x-m=0有实数根,则实数m取值范围是( A )A.m≥-1 B.m>-1 C.m≤1 D.m<12.关于x的方程x2-mx+m=0有两个相等的实数根,则代数式3m2-12m+7的值为 7 . 3.解方程x2=3x+2时,有一位同学的解答如下:解:∵a=1,b=3,c=2,b2-4ac=32-4×1×2=1,∴x=-3±12.∴x1=-1,x2=-2.请你分析以上解答过程有无错误,若有错误,请指出错误的地方,并写出正确的解题过程.解:有错误,没有先把方程化为一般形式.正确解法:整理,得x2-3x-2=0,∵a=1,b=-3,c=-2,b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17>0,∴x=-b±b2-4ac2a=3±172.∴x1=3+172,x2=3-172.4.关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数,且关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.解:(1)由题意,得Δ=b2-4ac=(-3)2-4k=9-4k≥0,∴k≤94.(2)∵k是符合条件的最大整数,∴k=2.∴x2-3x+2=0,解方程,得x1=2,x2=1.当x=2时,4(m-1)+2+m-3=0,解得m=1.由题意知,m-1≠0,∴m=1不符合题意,舍去;当x=1时,(m-1)×1+1+m-3=0,解得m=32,且符合题意.综上所述,m的值为32. 设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,其中第3题是让学生通过辨析,明白用公式法解方程的易错点,进行当堂训练,当堂检测,查漏补缺.课堂8分钟.1.课本第12页练习第1,2题.2.七彩作业.21.2.2 公式法 1.用公式法解一元二次方程的一般形式.2.用根的判别式判定一元二次方程根的情况.3.用公式法解方程. 教学反思 21.2.3 因式分解法 课时目标1.学会用因式分解法(提公因式法、运用公式)来解方程.2.学生经历观察、探究用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程,发展学生的思维能力,培养学生的创新能力.3.学生通过自主探究、合作交流,激发学生的学习兴趣,提高学习效率,感受数学的严谨性及教学方法的多样性. 学习重点会利用因式分解法解一元二次方程. 学习难点理解并掌握解一元二次方程中的转化思想和降次法. 课时活动设计知识回顾问题1:我们已学到的解一元二次方程的方法有哪些?①直接开平方法,将一元二次方程化为x2=p(p≥0)的形式,再开平方求解;②配方法,将一元二次方程化为(x+n)2=p(p≥0)的形式,再开平方求解;③公式法,将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),先通过根的判别式了解方程的根的情况,再将a,b,c的值带入求根公式x=-b±b2-4ac2a求解.问题2:多项式因式分解的方法有哪些?①提公因式法:pa+pb+pc=p(a+b+c);②平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);③完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2;④“十”字相乘法:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾解一元二次方程基本方法和多项式因式分解的方法,为本节所学内容作铺垫.情境导入根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么物体经过x s离地面的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(结果保留小数点后两位)?解:设物体经过x s落回地面,即这时它离地面的高度为0 m,所以10x-4.9x2=0.思考:本方程除了用配方法和公式法来解之外,还有更简单的方法吗? 设计意图:本环节采用了情景呈现的方式来导入新课,使数学与生活紧密地结合起来,体现出数学的实用价值,可以很好的激发学生的学习兴趣.同时,本环节设计的方程也为我们引出因式分解法打下基础.探究新知通过因式分解法求解一元二次方程.之前学过如果a×b=0,则a=0或b=0.如何将10x-4.9x2=0变形为a·b=0的形式?解:因式分解,得x(10-4.9x)=0.∴x=0,或10-4.9x=0,解得x1=0,x2=10049≈2.04.这两个根中,x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即在0 s时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m;x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面.通过观察发现,我们可以先对方程左边进行因式分解,然后让它们各自为0,就可以化成两个一元一次方程,进而达到降次.展示因式分解法如何通过降次求解一元二次方程.先因式分解,使一元二次方程转化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.利用因式分解法求解一元二次方程的基本步骤:①移项,使一元二次方程等式右边为0;②分解,把左边运用因式分解法化为两个一次因式相乘的形式;③赋值,分别令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;④求解,分别解这两个一元一次方程,它们的根就是原方程的根.归纳:左分解,右化零,两因式,各求解. 设计意图:通过师生互动重在引导学生归纳总结,加深理解.通过已知a·b=0,则a=0,或b=0,尝试将原方程变形为两个一次式的乘积等于0的形式,进而引出因式分解法解一元二次方程的概念及步骤.典例精讲例 用因式分解法解方程:(1)x(x-2)+x-2=0; (2)5x2-2x-14=x2-2x+34.解:(1)因式分解,得(x-2)(x+1)=0.于是得x-2=0,或x+1=0.x1=2,x2=-1.(2)移项、合并同类项,得4x2-1=0.因式分解,得(2x+1)(2x-1)=0.于是得2x+1=0,或2x-1=0.x1=-12,x2=12. 设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.想一想,以上两个方程可以用配方法或公式法来解吗?如果可以,请比较它们与因式分解法的优缺点.学生思考回答后,教师归纳总结.选择解一元二次方程的方法:①直接开平方法、配方法适用于能化归完全平方形式的方程,先配方,再降次;②因式分解法适用于能化成两个一次因式乘积为0的形式的方程;③配方法、公式法适用于所有一元二次方程.总之,解一元二次方程的基本思路是,将二次方程化为一次方程,即降次.巩固训练利用因式分解法解方程:(1)x2+x=0; (2)x2-22x=0; (3)3x2-6x=-3; (4)4x2-121=0.解:(1)x1=0,x2=-1;(2)x1=0,x2=22;(3)x1=x2=1;(4)x1=112,x2=-112. 设计意图:本环节设计了四个方程,主要是强化学生对因式分解法解方程的练习,起到巩固的作用,同时发现学生在做题中的错误,及时给予纠正和反思.拓展应用1.一元二次方程(x+3)(2x-1)=0的根是( B ) A.x1=3,x2=12 B.x1=-3,x2=12 C.x1=3,x2=2 D.x1=-3,x2=-22.阳阳在解方程x2+3x=0时,只得到一个根x=-3,阳阳漏掉的那个根是( C )A.x=3 B.x=1 C.x=0 D.x=23.下列方程中,不适合用因式分解法求解的是( C )A.(x-2)2-4x2=0 B.2x(x-2)=4x C.x2-5x+3=0 D.(2x+1)2=6x+34.一个简单的数值运算程序如图所示,当输出的值为0时,输入的x的值为 3或-5 . 输入x→计算(x-3)(x+5)→输出5.用适当的方法解下列方程:(1)(y-7)(y+5)=0; (2)4x2=25; (3)(2x-1)2-4=0; (4)3x2=4x+1.解:(1)y1=7,y2=-5;(2)x1=52,x2=-52;(3)x1=32,x2=-12;(4)x1=2+73,x2=2-73. 设计意图:应用提升,让学生体会知识的不同考法,既达到了知识的灵活应用,又提高了自身的解题能力.课堂小结1.因式分解的方法有哪些?2.简述用因式分解法解方程的一般步骤.3.用因式分解法解方程时,我们要应注意什么?4.运用适当的方法解一元二次方程. 设计意图:通过小结,让学生回顾本节所学知识,使学生牢固的掌握本节所学内容.随堂小测1.用因式分解法解方程,下列方法中正确的是( A )A.(2x-2)(3x-4)=0,∴2-2x=0,或3x-4=0B.(x+3)(x-1)=1,∴x+3=0,或x-1=1C.(x-2)(x-3)=2×3,∴x-2=2,或x-3=3D.x (x+2)=0,∴x+2=02.方程x2=4x的根是( B )A.x=4 B.x1=0,x2=4 C.x=0 D.x1=2,x2=-23.用因式分解法解一元二次方程(3x-4)2-25=0时,要转化成两个一元一次方程求解,其中的一个方程是3x-4+5=0,则另一个方程是 3x-4-5=0 . 4.若实数k,b是一元二次方程(x-2)(x+1)=0的两个根,且k>b,则一次函数y=-kx+b的图象不经过第 一 象限. 5.若a,b是两个实数,定义一种运算“△”:a△b=a(a+b),则方程x△(x-1)=2x-1的实数根是 x1=1,x2=12 . 6.解方程:(1)x2+5x=0; (2)2x(3x+1)-6(3x+1)=0.解:(1)x1=0,x2=-5;(2)x1=3,x2=-13. 设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.课堂8分钟. 1.教材第14页练习第1,2题.2.七彩作业.21.2.3 因式分解法 1.情景呈现.2.因式分解法解方程的概念及步骤.3.用适当的方法解方程. 教学反思 *21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课时目标1.掌握一元二次方程的根与系数的关系,会用一元二次方程的根与系数的关系进行简单计算.2.经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体现观察——发现——猜想——验证的思维转化过程,培养学生分析问题和解决问题的能力.3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养数学意识. 学习重点掌握一元二次方程的根与系数的关系. 学习难点利用一元二次方程的根与系数的关系进行简单计算. 课时活动设计复习引入1.一元二次方程的解法有哪些?一元二次方程的求根公式是什么呢?解:配方法、公式法、因式分解法.x=-b±b2-4ac2a.2.思考:一元二次方程的根与系数之间的关系还有其他表现方式吗? 设计意图:通过循序渐进的方法,先复习一元二次方程的求根公式,引出根与系数之间的联系;结合思考,不仅可以引出本节所学知识,还抛出学生探究的新问题,为学习新知作铺垫.探究新知选用合适的方法求解下列一元二次方程,并将所得结果填入表格中,观察方程的系数与两根的和与积有什么联系?(1)(x-3)(x-4)=0; (2)x2-2x=0; (3)2x2+3x-2=0. 观察方程的系数与两根的和与积有什么联系?把猜想的结果在小组内交流.教师引导学生得出根与系数之间关系,猜想:x1+x2=-ba,x1x2=ca.教师引导学生检验猜想是否正确.从因式分解可知,若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,或x-x2=0,那么方程(x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数).将方程化为x2+px+q=0的形式,你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗?把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开,化为一般形式,即x2-(x1+x2)x+x1x2=0.这个方程的二次项系数为1,一次项系数p=-(x1+x2),常数项q=x1x2.于是,上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系:x1+x2=-p,x1x2=q.对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)来说,二次项系数a未必是1,当Δ≥0时,该方程的两个根与它的系数之间有什么关系呢?(公式法证明)由求根公式可知,x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.由此可得x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-2b2a=-ba.x1x2=-b+b2-4ac2a·-b-b2-4ac2a=(-b)2-(b2-4ac)24a2=4ac4a2=ca.即方程的两个根x1,x2和系数a,b,c的关系为x1+x2=-ba,x1x2=ca. 设计意图:教师引导学生通过观察、猜想、验证根与系数的关系,经历一元二次方程根与系数关系的推导过程,加深同学们对根与系数关系的理解.归纳总结一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1,x2,那么x1+x2=-ba,x1x2=ca.这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 设计意图:形成一元二次方程的根与系数关系的符号语言和文字语言的表现方式.典例精讲例 根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1,x2的和与积:(1)x2-6x-15=0; (2)3x2+7x-9=0.解:(1)x1+x2=-ba=--61=-(-6)=6,x1x2=ca=-151=-15.(2)x1+x2=-ba=-73,x1x2=ca=3-9=-3. 设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性. 拓展应用1.已知关于x的一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根分别为x1,x2,则x1x2+x1+x2的值为( B ) A.-1 B.1 C.5 D.-52.下列各项中,方程的两个根互为相反数的是( B )A.x2+1=0 B.x2-1=0 C.x2+x=0 D.x2-x=03.若x=-2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根,则方程的另一个根及m的值分别是 0,0 . 4.若m,n是方程x2-x-2 022=0的两个实数根,则m2+m+2n的值为 2 024 . 5.设x1,x2是一元二次方程2x2-5x+1=0的两个根,利用根与系数的关系求(x1-3)(x2-3)的值.解:∵x1+x2=52,x1x2=12,∴(x1-3)(x2-3)=x1x2-3(x1+x2)+9=12-3×52+9=2.6.已知一元二次方程x2+2x-6=0的两个根x1,x2.(1)(x1+1)(x2+1)= -7 ; (2)x12+x22= 16 ; (3)1x1+1x2= 13 ; (4)|x1-x2|= 27 . 设计意图:应用提升,让学生体会知识的不同考法,既达到了知识的灵活应用,又提高了自身的解题能力.课堂小结一元二次方程的根与系数的关系都有哪些? 设计意图:通过小结,让学生回顾本节所学知识,使学生牢固的掌握本节所学内容. 随堂小测1.a,b是关于x的一元二次方程x2-2x-5=0的两个实数根,则下列说法错误的是( A )A.a+b=-2 B.ab=-5 C.a2-2a=5 D.b2-2b=52.已知m,n是一元二次方程x2+2x-9=0的两个根,则m2+mn+2m的值为 0 . 3.已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两个实数根为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=3,则m的值为 1或-3 . 4.已知一元二次方程x2-2x+m=0.(1)若方程有两个实数根,求m的范围;(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且x1+3x2=3,求m的值.解:(1)∵方程x2-2x+m=0有两个实数根,∴Δ=(-2)2-4m≥0,解得m≤1.(2)由两根关系知,x1+x2=2,x1x2=m,∴x1+x2=2,x1+3x2=3,解得x1=12,x2=32.∴m=x1x2=34. 设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第16页练习,第17页习题21.2第7题.2.七彩作业. *21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1.探究一元二次方程的根与系数的关系.2.例题精讲. 教学反思 方程两根两根和x1+x2两根积x1x2x1x2(x-3)(x-4)=0 3 4 7 12 x2-2x=0 2 0 2 0 2x2+3x-2=0 12 -2 -32 -1
21.2.1 配方法第1课时 直接开平方法 课时目标1.会利用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程;初步了解形如(x+n)2=p(p≥0)方程的解法;能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.2.通过对实例的探究过程,体会类比、转化、降次的数学思想方法.3.启发学生学会观察、分析,寻找解题的途径,提高他们分析问题、解决问题的能力. 学习重点应用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程. 学习难点会把一个方程化成x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的形式. 课时活动设计知识回顾1.如果x2=a,那么x叫做a的 平方根 . 2.如果x2=a(a≥0),那么x= ±a . 3.如果x2=64,那么x= ±8 . 4.如果2x2=18,那么x= ±3 . 思考:如果方程转化为x2=p,该如何解呢? 设计意图:通过复习旧的知识,引出对新知识的探究,达到衔接新旧知识的目的,为下面探究新知识打下基础.探究新知一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?思考1:设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子的外表面面积为 6x2 dm2,10个这种盒子的外表面面积的和为 10×6x2 dm2,由此可得到方程为 10×6x2=1 500 .你能求出它的解吗? 解:设盒子的棱长为x dm,则10×6x2=1 500.整理,得x2=25.根据平方根的意义,得x=±5,即x1=5,x2=-5.可以验证,5和-5是原方程的两个根,因为棱长不能是负值,所以盒子的棱长为5 dm.思考2:对照上面解方程的过程,你认为应该怎样解方程(x+3)2=5呢?学生通过比较它与方程x2=25的异同,从而获得解一元二次方程的思路.在解方程时,由x2=25可得x=±5.类比此方法可解方程(x+3)2=5.解:由方程(x+3)2=5,①得x+3=±5,即x+3=5,或x+3=-5.②于是,方程(x+3)2=5的两个根为x1=-3+5,x2=-3-5.思考3:由方程①是如何得到方程②的?上面的解法中,由方程①得到②,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样就把方程①转化为我们会解的方程了.思考4:方程的左右两边满足什么形式时,利用平方根的意义,可以直接开平方解一元二次方程?一般地,对于方程x2=p,(1)当p>0时,根据平方根的意义,方程有两个不等的实数根x1=-p,x2=p;(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;(3)当p<0时,因为对任意实数x,都有x2≥0,所以方程无实数根. 设计意图:从已有的知识体系中自然地构建出新知识.通过利用一元二次方程解决实际问题,引导学生将求解一元二次方程的问题转化为两个一元一次方程的问题,降“二次”为“一次”,调动学生思考问题的积极性,同时提高学生分析问题、解决问题的能力.典例精讲解下列方程:(1)2x2-8=0; (2)3(x-1)2-6=0.解:(1)移项,得2x2=8.等式两边同除以2,得x2=4.开平方,得x=±2,即x1=2,x2=-2.(2)移项,得3(x-1)2=6.等式两边同除以3,得(x-1)2=2.开平方,得x-1=±2,即x1=2+1,x2=-2+1. 设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.巩固训练解下列一元二次方程:(1)9x2+5=1; (2)(x+3)2-9=0; (3)9(x-1)2-4=0; (4)9x2+4=4.解:(1)移项,得9x2=-4.∵9x2≥0,∴此方程无实数根.(2)移项,得(x+3)2=9.开平方,得x+3=±3,即x1=0,x2=-6.(3)移项,得9(x-1)2=4.等式两边同除以9,得(x-1)2=49.开平方,得x-1=±23,即x1=53,x2=13.(4)移项,得9x2=0.等式两边同除以9,得x2=0.开平方,得x1=x2=0. 设计意图:及时练习,巩固所学知识,培养学以致用、积极思考的习惯,提升学生计算能力.拓展应用1.一元二次方程x2=2的解为 x1=2,x2=-2 . 2.当代数式(1-3x)2的值为0时,x的值为 13 . 3.解下列方程:(1)2x2=5; (2)(x-2)2-16=0;解:(1)移项,得x2=52.开平方,得x=±102,即x1=102,x2=-102.(2)移项,得(x-2)2=16.开平方,得x-2=±4,即x1=6,x2=-2.4.如果关于x的方程(x-9)2=m+4可以用直接开平方法求解,那么m的取值范围是 m≥-4 . 5.阅读下列解答过程,在横线上填入恰当内容.解方程:(x-1)2=4.解:x-1=2.①x=3.②上述过程中有没有错误?若有,错在步骤 ① (填序号),原因是 正数的平方根有两个,它们互为相反数 ,请写出正确的解答过程. 解:开平方,得x-1=±2,即x1=3,x2=-1. 设计意图:让学生体会知识的不同考法,加深对本节内容的理解,既达到了知识的灵活应用,又提高了自身的解题能力. 课堂小结(1)你学会怎样解一元二次方程了吗?有哪些步骤?(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法?与同伴交流. 设计意图:通过小结让学生回顾本节所学知识,把所学的知识内化为自已的知识.随堂小测1.用直接开平方法解方程:(1)(2x-3)2+9=0; (2)(x+6)2-9=0.解:(1)移项,得(2x-3)2=-9.∵(2x-3)2≥0,∴此方程无实数根.(2)移项,得(x+6)2=9.开平方,得x+6=±3,即x1=-3,x2=-9.2.要使代数式3x2-6的值等于21,则x的值是 x1=3,x2=-3 . 3.一元二次方程(x+4)2=(2x-1)2的解为 x1=5,x2=-1 . 4.若(x2+y2-4)2=25,则x2+y2的值为 9 . 设计意图:当堂训练,复习巩固,查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第6页练习(2)(3),第16页习题21.2第1题.2.七彩作业. 第1课时 直接开方法解方程 1.一般地,对于方程x2=p,(1)当p>0时,方程有两个不等的实数根x1=-p,x2=p;(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;(3)当p<0时,因为对任意实数x,都有x2≥0,所以方程无实数根.2.把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.3.例题讲解. 教学反思 第2课时 配方法 课时目标1.理解配方法的概念,掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤.2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程,使学生体会转化思想.3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养数学意识. 学习重点用配方法解一元二次方程. 学习难点理解并掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤. 课时活动设计 知识回顾1.完全平方公式(a+b)2= a2+2ab+b2 ;(a-b)2= a2-2ab+b2 . 2.练一练:x2-6x+9= (x-3)2 ;x2+4x+4= (x+2)2 . 2.你会填空吗?(1)x2-8x+ 42 =(x- 4 )2; (2)x2+12x+ 62 =(x+ 6 )2; (3)x2-6x+ 32 =(x- 3 )2. 师生互动,教师通过随机抽查的方式,找同学回答问题.通过填空,你发现式子左侧所填的数与方程的哪个系数有关?有什么关系?解:式子左侧所填的数与方程的一次项系数有关,是一次项系数一半的平方. 设计意图:通过循序渐进的方法,让学生配完全平方式,从而引出本节所学内容.导入新课怎样解方程x2+6x+4=0? 设计意图:由提问引出本节所要学习的知识,使学生产生强烈的求知欲,为下面探究新知识埋下伏笔.探究新知想一想解方程x2+6x+4=0的流程是怎样的?教师引导学生通过移项和等式的性质,将原方程配成完全平方的形式,再根据直接开平方法求解方程.问题:为什么在方程x2+6x-4的两边加9?加其他数行吗?解:不行.只有在方程两边加上一次项系数一半的平方,方程左边才能变成完全平方x2+2bx+b2的形式.比较方程2x2-3x+1=0与其他方程有什么区别?你该如何去解这个方程?解:方程2x2-3x-1=0的二次项系数不是1,可以利用等式的基本性质把二次项系数化成1,再利用配方法解方程.知识归纳配方法:通过将方程配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.配方是为了降次,把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.配方法解一元二次方程的步骤:1.移项:将含有x的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;2.二次项系数化为1:两边同除以二次项的系数;3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,将原方程变成(x+n)2=p的形式;4.判断右边代数式的符号,若p≥0,则可以利用直接开平方法求解;若p<0,则原方程无实数根. 设计意图:引导学生通过配方法解一元二次方程,明白每一步的意义,再通过问题,使学生理解方程两边同时加9的原因,并让学生通过观察比较,归纳出配方法的概念,培养学生抽象概括的能力.典例精讲例 用配方法解方程x2+4x+3=0.解:移项,得x2+4x=-3.配方,得x2+4x+4=-3+4,(x+2)2=1.由此可得x+2=±1.x1=-1,x2=-3. 设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.拓展应用1.用配方法解一元二次方程x2+8x=-7,下一步骤正确的是( A ) A.x2+8x+42=-7+42 B.x2+8x+42=-7C.x2+8x+82=-7 D.x2+8x+82=-7+822.用配方法解下列方程,其中应在方程的左右两边同时加上4的是( B )A.x2-2x=5 B.x2+4x=5 C.x2+2x=5 D.2x2-4x=53.用配方法解一元二次方程x2-6x-4=0,变形后的结果正确的是( C )A.(x-6)2=-5 B.(x-6)2=5 C.(x-3)2=13 D.(x-3)2=54.填空:(1)x2+4x+ 4 =(x+ 2 )2;(2)x2-8x+ 16 =(x- 4 )2;(3)x2+x+ 14 =x+ 12 2. 5.用配方法解下列方程:(1)x2-12x-15=0; (2)3x2-5x=2.解:(1)x1=6+51,x2=6-51.(2)x1=2,x2=-13. 设计意图:让学生体会知识的不同考法,加深对本节内容的理解.既达到了知识的灵活应用,又提高了自身的解题能力.课后小结1.配方法的概念是什么?2.配方法解一元二次方程的关键是什么?3.配方法解一元二次方程的基本步骤是什么? 设计意图:通过小结让学生回顾本节所学知识,使学生牢固掌握所学知识,把所学的知识内化为自已的知识.随堂小测1.将二次三项式x2-4x+1配方后得( B )A.(x-2)2+3 B.(x-2)2-3 C.(x+2)2+3 D.(x+2)2-32.已知x2-8x=-15,将左边配成x2+2bx+b2的形式,其中正确的是( A )A.x2-8x+(-4)2=-15+(-4)2 B.x2-8x-42=-15+42C.x2+8x+42=-15+42 D.x2-4x+4=-15+43.若9x2-(k+2)x+4可以写成一个完全平方式,则k的值为 10或-14 . 4.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值.若设x+y=z,则原方程可变为 z2+2z-8=0 ,所以求出z的值即为x+y的值,所以x+y的值为 2或-4 . 5.用配方法解方程:(1)9y2-18y-4=0; (2)x2+3=2x.解:(1)y1=1+133,y2=1-133.(2)方程无实数根. 设计意图:当堂训练,当堂检测,查漏补缺. 课堂8分钟.1.教材第9页练习第1,2题.2.七彩作业.第2课时 配方法 1.配方法的概念.2.用配方法解方程的步骤. 教学反思 21.2.2 公式法 课时目标1.理解求根公式的推导过程,掌握公式法的概念,能利用判别式判断一元二次方程根的情况,熟练运用求根公式求一元二次方程的根.2.经历探索求根公式的推导过程,培养学生的逻辑思维能力和渗透分类讨论.3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养数学意识. 学习重点求根公式的推导过程. 学习难点熟练运用公式法解一元二次方程. 课时活动设计知识回顾上节学习了通过配方解一元二次方程的方法,用配方法解方程3x2-5x-8=0,并回顾配方法解方程的步骤.解:移项,得3x2-5x=8.系数化为1,得x2-53x=83.配方,得x2-53x+562=83+562,x-562=12136.得x-56=±116,x1=83,x2=-1.步骤:移项:将含有x的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;二次项系数化为1:两边同除以二次项的系数;配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,将原方程变成(x+n)2=p的形式;求方程的解:判断右边代数式的符号,若p≥0,则可以直接开平方求解;若p<0,则原方程无实数根. 设计意图:通过循序渐进的方法,为求根公式的推导作铺垫,同时对配方这一关键过程加以复习,可以更有效的突出本节的教学重点.探究新知探究1 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).能否也用配方法得出ax2+bx+c=0(a≠0)的解呢?解:移项,得ax2+bx=-c.二次项系数化为1,得x2+bax=-ca.配方,得x2+bax+b2a2=-ca+b2a2,即x+b2a2=b2-4ac4a2.问题:此时我们直接开平方去解方程,应注意什么?解:注意b2-4ac4a2的非负性.因为a≠0,所以4a2>0.式子b2-4ac的值有以下三种情况:①b2-4ac>0,4ac-b24a>0,即x+b2a=±b2-4ac2a,方程有两个不等的实数根x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.②b2-4ac=0,4ac-b24a=0,方程有两个相等的实数根x1=x2=-b2a.③b2-4ac<0,4ac-b24a<0,即x+b2a2<0,而x取任意实数都不能使x+b2a2<0,因此方程无实数根.由此可得,当b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为x=-b±b2-4ac2a的形式,这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 设计意图:本环节主要是让学生探究用配方法解一元二次方程的一般形式的过程,让学生理解求根公式的推导过程.探究2 上述对式子b2-4ac的值及方程的根的情况的讨论,你有什么发现?解:方程的根的情况由b2-4ac决定.师生总结归纳出根的判别式的概念.一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式,通常用希腊字母“Δ”表示它,即Δ=b2-4ac.归纳总结当Δ>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根;当Δ=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.探究3 如何用求根公式来解一元二次方程?解一元二次方程时,把各系数直接代入求根公式,可以避免配方过程而直接得出根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法.公式法解一元二次方程的基本步骤:(1)将原方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),确定a,b,c的值.【小技巧】若系数是分数通常将其化为整数,方便计算.(2)求出b2-4ac的值,根据b2-4ac值的情况确定一元二次方程是否有解;(3)如果b2-4ac≥0,将a,b,c的值代入求根公式x=-b±b2-4ac2a;【易错点】a,b,c的值代入求根公式时,易遗漏前面的符号.(4)最后求出原方程的解. 设计意图:引出判别式的概念,指导学生通过判别式判断一元二次方程根的情况.教师引导学生总结公式法解一元二次方程的基本步骤.典例精讲例1 一元二次方程4x2-2x-1=0的根的情况为( C )A.无实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D.无法确定例2 用公式法解方程:(1)x2-4x-7=0; (2)5x2-3x=x+1.解:(1)a=1,b=-4,c=-7.Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0.方程有两个不等的实数根x=-b±b2-4ac2a=-(-4)±442×1=2±11,即x1=2+11,x2=2-11.(2)方程化为5x2-4x-1=0.a=5,b=-4,c=-1.Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0.方程有两个不等的实数根x=-b±b2-4ac2a=-(-4)±362×5=4±610,即x1=1,x2=-15. 设计意图:通过例题讲解,加深学生对所学知识的理解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.巩固训练利用公式法解方程:(1)x2-2x-3=0; (2)2x2-3x-1=0; (3)x2-x=x-1; (4)x2+10=6x.解:(1)x1=3,x2=-1;(2)x1=3+114,x2=3-114;(3)x1=x2=1;(4)方程无实数根. 设计意图:本环节设计了四个方程,主要是强化学生对公式法解方程的练习,起到巩固的作用,同时发现学生在做题中的错误,及时给予纠正,对于学生做题中出现的问题展开辨析,有利于学生思维的发展. 拓展应用1.一元二次方程x2-3x+1=0的根的情况是( B ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不等的实数根C.没有实数根 D.无法确定2.下列一元二次方程中,无实数根的是( C )A.x2+x-2=0 B.x2-2x=0 C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=03.关于x的一元二次方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根,则c的值是( B )A.36 B.9 C.6 D.-94.小颖在解一元二次方程3x2□x-1=0时,一次项系数印刷不清楚,查看答案为x=3±233,则□代表的数为( B )A.6 B.-6 C.3 D.485.用公式法解方程:(1)x2-7x-18=0; (2)2x2-7x+7=0;解:(1)x1=9,x2=-2;(2)方程无实数根. 设计意图:本环节中的第1,2,3题是对根的判别式进行训练,举一反三,第5题是让学生利用公式法来解方程,检查学生公式法的掌握情况,对出现的问题及时纠正.课后小结1.简述求根公式的推导过程.2.如何用根的判别式判定一元二次方程根的情况?3.简述公式法解一元二次方程的步骤. 设计意图:通过小结让学生回顾本节所学知识,使学生牢固地掌握本节所学内容.随堂小测1.关于x的一元二次方程x2-2x-m=0有实数根,则实数m取值范围是( A )A.m≥-1 B.m>-1 C.m≤1 D.m<12.关于x的方程x2-mx+m=0有两个相等的实数根,则代数式3m2-12m+7的值为 7 . 3.解方程x2=3x+2时,有一位同学的解答如下:解:∵a=1,b=3,c=2,b2-4ac=32-4×1×2=1,∴x=-3±12.∴x1=-1,x2=-2.请你分析以上解答过程有无错误,若有错误,请指出错误的地方,并写出正确的解题过程.解:有错误,没有先把方程化为一般形式.正确解法:整理,得x2-3x-2=0,∵a=1,b=-3,c=-2,b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17>0,∴x=-b±b2-4ac2a=3±172.∴x1=3+172,x2=3-172.4.关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数,且关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.解:(1)由题意,得Δ=b2-4ac=(-3)2-4k=9-4k≥0,∴k≤94.(2)∵k是符合条件的最大整数,∴k=2.∴x2-3x+2=0,解方程,得x1=2,x2=1.当x=2时,4(m-1)+2+m-3=0,解得m=1.由题意知,m-1≠0,∴m=1不符合题意,舍去;当x=1时,(m-1)×1+1+m-3=0,解得m=32,且符合题意.综上所述,m的值为32. 设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,其中第3题是让学生通过辨析,明白用公式法解方程的易错点,进行当堂训练,当堂检测,查漏补缺.课堂8分钟.1.课本第12页练习第1,2题.2.七彩作业.21.2.2 公式法 1.用公式法解一元二次方程的一般形式.2.用根的判别式判定一元二次方程根的情况.3.用公式法解方程. 教学反思 21.2.3 因式分解法 课时目标1.学会用因式分解法(提公因式法、运用公式)来解方程.2.学生经历观察、探究用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程,发展学生的思维能力,培养学生的创新能力.3.学生通过自主探究、合作交流,激发学生的学习兴趣,提高学习效率,感受数学的严谨性及教学方法的多样性. 学习重点会利用因式分解法解一元二次方程. 学习难点理解并掌握解一元二次方程中的转化思想和降次法. 课时活动设计知识回顾问题1:我们已学到的解一元二次方程的方法有哪些?①直接开平方法,将一元二次方程化为x2=p(p≥0)的形式,再开平方求解;②配方法,将一元二次方程化为(x+n)2=p(p≥0)的形式,再开平方求解;③公式法,将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),先通过根的判别式了解方程的根的情况,再将a,b,c的值带入求根公式x=-b±b2-4ac2a求解.问题2:多项式因式分解的方法有哪些?①提公因式法:pa+pb+pc=p(a+b+c);②平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);③完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2;④“十”字相乘法:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾解一元二次方程基本方法和多项式因式分解的方法,为本节所学内容作铺垫.情境导入根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么物体经过x s离地面的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(结果保留小数点后两位)?解:设物体经过x s落回地面,即这时它离地面的高度为0 m,所以10x-4.9x2=0.思考:本方程除了用配方法和公式法来解之外,还有更简单的方法吗? 设计意图:本环节采用了情景呈现的方式来导入新课,使数学与生活紧密地结合起来,体现出数学的实用价值,可以很好的激发学生的学习兴趣.同时,本环节设计的方程也为我们引出因式分解法打下基础.探究新知通过因式分解法求解一元二次方程.之前学过如果a×b=0,则a=0或b=0.如何将10x-4.9x2=0变形为a·b=0的形式?解:因式分解,得x(10-4.9x)=0.∴x=0,或10-4.9x=0,解得x1=0,x2=10049≈2.04.这两个根中,x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即在0 s时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m;x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面.通过观察发现,我们可以先对方程左边进行因式分解,然后让它们各自为0,就可以化成两个一元一次方程,进而达到降次.展示因式分解法如何通过降次求解一元二次方程.先因式分解,使一元二次方程转化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.利用因式分解法求解一元二次方程的基本步骤:①移项,使一元二次方程等式右边为0;②分解,把左边运用因式分解法化为两个一次因式相乘的形式;③赋值,分别令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;④求解,分别解这两个一元一次方程,它们的根就是原方程的根.归纳:左分解,右化零,两因式,各求解. 设计意图:通过师生互动重在引导学生归纳总结,加深理解.通过已知a·b=0,则a=0,或b=0,尝试将原方程变形为两个一次式的乘积等于0的形式,进而引出因式分解法解一元二次方程的概念及步骤.典例精讲例 用因式分解法解方程:(1)x(x-2)+x-2=0; (2)5x2-2x-14=x2-2x+34.解:(1)因式分解,得(x-2)(x+1)=0.于是得x-2=0,或x+1=0.x1=2,x2=-1.(2)移项、合并同类项,得4x2-1=0.因式分解,得(2x+1)(2x-1)=0.于是得2x+1=0,或2x-1=0.x1=-12,x2=12. 设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.想一想,以上两个方程可以用配方法或公式法来解吗?如果可以,请比较它们与因式分解法的优缺点.学生思考回答后,教师归纳总结.选择解一元二次方程的方法:①直接开平方法、配方法适用于能化归完全平方形式的方程,先配方,再降次;②因式分解法适用于能化成两个一次因式乘积为0的形式的方程;③配方法、公式法适用于所有一元二次方程.总之,解一元二次方程的基本思路是,将二次方程化为一次方程,即降次.巩固训练利用因式分解法解方程:(1)x2+x=0; (2)x2-22x=0; (3)3x2-6x=-3; (4)4x2-121=0.解:(1)x1=0,x2=-1;(2)x1=0,x2=22;(3)x1=x2=1;(4)x1=112,x2=-112. 设计意图:本环节设计了四个方程,主要是强化学生对因式分解法解方程的练习,起到巩固的作用,同时发现学生在做题中的错误,及时给予纠正和反思.拓展应用1.一元二次方程(x+3)(2x-1)=0的根是( B ) A.x1=3,x2=12 B.x1=-3,x2=12 C.x1=3,x2=2 D.x1=-3,x2=-22.阳阳在解方程x2+3x=0时,只得到一个根x=-3,阳阳漏掉的那个根是( C )A.x=3 B.x=1 C.x=0 D.x=23.下列方程中,不适合用因式分解法求解的是( C )A.(x-2)2-4x2=0 B.2x(x-2)=4x C.x2-5x+3=0 D.(2x+1)2=6x+34.一个简单的数值运算程序如图所示,当输出的值为0时,输入的x的值为 3或-5 . 输入x→计算(x-3)(x+5)→输出5.用适当的方法解下列方程:(1)(y-7)(y+5)=0; (2)4x2=25; (3)(2x-1)2-4=0; (4)3x2=4x+1.解:(1)y1=7,y2=-5;(2)x1=52,x2=-52;(3)x1=32,x2=-12;(4)x1=2+73,x2=2-73. 设计意图:应用提升,让学生体会知识的不同考法,既达到了知识的灵活应用,又提高了自身的解题能力.课堂小结1.因式分解的方法有哪些?2.简述用因式分解法解方程的一般步骤.3.用因式分解法解方程时,我们要应注意什么?4.运用适当的方法解一元二次方程. 设计意图:通过小结,让学生回顾本节所学知识,使学生牢固的掌握本节所学内容.随堂小测1.用因式分解法解方程,下列方法中正确的是( A )A.(2x-2)(3x-4)=0,∴2-2x=0,或3x-4=0B.(x+3)(x-1)=1,∴x+3=0,或x-1=1C.(x-2)(x-3)=2×3,∴x-2=2,或x-3=3D.x (x+2)=0,∴x+2=02.方程x2=4x的根是( B )A.x=4 B.x1=0,x2=4 C.x=0 D.x1=2,x2=-23.用因式分解法解一元二次方程(3x-4)2-25=0时,要转化成两个一元一次方程求解,其中的一个方程是3x-4+5=0,则另一个方程是 3x-4-5=0 . 4.若实数k,b是一元二次方程(x-2)(x+1)=0的两个根,且k>b,则一次函数y=-kx+b的图象不经过第 一 象限. 5.若a,b是两个实数,定义一种运算“△”:a△b=a(a+b),则方程x△(x-1)=2x-1的实数根是 x1=1,x2=12 . 6.解方程:(1)x2+5x=0; (2)2x(3x+1)-6(3x+1)=0.解:(1)x1=0,x2=-5;(2)x1=3,x2=-13. 设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.课堂8分钟. 1.教材第14页练习第1,2题.2.七彩作业.21.2.3 因式分解法 1.情景呈现.2.因式分解法解方程的概念及步骤.3.用适当的方法解方程. 教学反思 *21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课时目标1.掌握一元二次方程的根与系数的关系,会用一元二次方程的根与系数的关系进行简单计算.2.经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体现观察——发现——猜想——验证的思维转化过程,培养学生分析问题和解决问题的能力.3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养数学意识. 学习重点掌握一元二次方程的根与系数的关系. 学习难点利用一元二次方程的根与系数的关系进行简单计算. 课时活动设计复习引入1.一元二次方程的解法有哪些?一元二次方程的求根公式是什么呢?解:配方法、公式法、因式分解法.x=-b±b2-4ac2a.2.思考:一元二次方程的根与系数之间的关系还有其他表现方式吗? 设计意图:通过循序渐进的方法,先复习一元二次方程的求根公式,引出根与系数之间的联系;结合思考,不仅可以引出本节所学知识,还抛出学生探究的新问题,为学习新知作铺垫.探究新知选用合适的方法求解下列一元二次方程,并将所得结果填入表格中,观察方程的系数与两根的和与积有什么联系?(1)(x-3)(x-4)=0; (2)x2-2x=0; (3)2x2+3x-2=0. 观察方程的系数与两根的和与积有什么联系?把猜想的结果在小组内交流.教师引导学生得出根与系数之间关系,猜想:x1+x2=-ba,x1x2=ca.教师引导学生检验猜想是否正确.从因式分解可知,若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,或x-x2=0,那么方程(x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数).将方程化为x2+px+q=0的形式,你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗?把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开,化为一般形式,即x2-(x1+x2)x+x1x2=0.这个方程的二次项系数为1,一次项系数p=-(x1+x2),常数项q=x1x2.于是,上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系:x1+x2=-p,x1x2=q.对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)来说,二次项系数a未必是1,当Δ≥0时,该方程的两个根与它的系数之间有什么关系呢?(公式法证明)由求根公式可知,x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.由此可得x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-2b2a=-ba.x1x2=-b+b2-4ac2a·-b-b2-4ac2a=(-b)2-(b2-4ac)24a2=4ac4a2=ca.即方程的两个根x1,x2和系数a,b,c的关系为x1+x2=-ba,x1x2=ca. 设计意图:教师引导学生通过观察、猜想、验证根与系数的关系,经历一元二次方程根与系数关系的推导过程,加深同学们对根与系数关系的理解.归纳总结一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1,x2,那么x1+x2=-ba,x1x2=ca.这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 设计意图:形成一元二次方程的根与系数关系的符号语言和文字语言的表现方式.典例精讲例 根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1,x2的和与积:(1)x2-6x-15=0; (2)3x2+7x-9=0.解:(1)x1+x2=-ba=--61=-(-6)=6,x1x2=ca=-151=-15.(2)x1+x2=-ba=-73,x1x2=ca=3-9=-3. 设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性. 拓展应用1.已知关于x的一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根分别为x1,x2,则x1x2+x1+x2的值为( B ) A.-1 B.1 C.5 D.-52.下列各项中,方程的两个根互为相反数的是( B )A.x2+1=0 B.x2-1=0 C.x2+x=0 D.x2-x=03.若x=-2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根,则方程的另一个根及m的值分别是 0,0 . 4.若m,n是方程x2-x-2 022=0的两个实数根,则m2+m+2n的值为 2 024 . 5.设x1,x2是一元二次方程2x2-5x+1=0的两个根,利用根与系数的关系求(x1-3)(x2-3)的值.解:∵x1+x2=52,x1x2=12,∴(x1-3)(x2-3)=x1x2-3(x1+x2)+9=12-3×52+9=2.6.已知一元二次方程x2+2x-6=0的两个根x1,x2.(1)(x1+1)(x2+1)= -7 ; (2)x12+x22= 16 ; (3)1x1+1x2= 13 ; (4)|x1-x2|= 27 . 设计意图:应用提升,让学生体会知识的不同考法,既达到了知识的灵活应用,又提高了自身的解题能力.课堂小结一元二次方程的根与系数的关系都有哪些? 设计意图:通过小结,让学生回顾本节所学知识,使学生牢固的掌握本节所学内容. 随堂小测1.a,b是关于x的一元二次方程x2-2x-5=0的两个实数根,则下列说法错误的是( A )A.a+b=-2 B.ab=-5 C.a2-2a=5 D.b2-2b=52.已知m,n是一元二次方程x2+2x-9=0的两个根,则m2+mn+2m的值为 0 . 3.已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两个实数根为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=3,则m的值为 1或-3 . 4.已知一元二次方程x2-2x+m=0.(1)若方程有两个实数根,求m的范围;(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且x1+3x2=3,求m的值.解:(1)∵方程x2-2x+m=0有两个实数根,∴Δ=(-2)2-4m≥0,解得m≤1.(2)由两根关系知,x1+x2=2,x1x2=m,∴x1+x2=2,x1+3x2=3,解得x1=12,x2=32.∴m=x1x2=34. 设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第16页练习,第17页习题21.2第7题.2.七彩作业. *21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1.探究一元二次方程的根与系数的关系.2.例题精讲. 教学反思 方程两根两根和x1+x2两根积x1x2x1x2(x-3)(x-4)=0 3 4 7 12 x2-2x=0 2 0 2 0 2x2+3x-2=0 12 -2 -32 -1
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