吉林省长春市二道区力旺实验中学2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷

这是一份吉林省长春市二道区力旺实验中学2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x5+x5＝x10B．（x3y2）2＝x5y4
C．x6÷x2＝x3D．x2•x3＝x5
3．（3分）在实数﹣3，，，﹣0.518，，0.101001…中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．（3分）对于命题“若a＞0，则a＞”，作为反例能说明该命题是假命题的a值是（ ）
A．a＝1B．a＝2C．a＝4D．a＝16
5．（3分）式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣1＝x•x﹣1B．x2+2xy+1＝x（x+2y）+1
C．a2b+ab3＝ab（a+b2）D．x（x+y）＝x2+xy
6．（3分）如图①所示，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，小亮将图①中的阴影部分拼成一个如图②所示的长方形，这一过程可以验证等式（ ）
A．a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2
B．a2+b2+2ab＝（a+b）2
C．2a2﹣3ab+b2＝（2a﹣b）（a﹣b）
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝52°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE交AB于点F，则∠ACF的度数是（ ）
A．24°B．26°C．14°D．18°
8．（3分）如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（ ）
A．﹣B．2﹣C．4﹣D．﹣2
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（3分）因式分解：3x3﹣12x＝ ．
10．（3分）（3x2﹣15x）÷3x＝ ．
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）若2x+3•3x+3＝36x﹣2，则x＝ ．
13．（3分）△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线与AC边所夹的锐角为60°，则∠A＝ °．
14．（3分）如图，直线l1、l2分别垂直平分线段AB、BC交于点O，直线l1交BC于点E．若∠AOC＝72°，则∠DOE＝ °．
三、解答题（共78分）
15．（6分）计算
（1）；
（2）．
16．（6分）计算：x（x+2y）﹣（y﹣3x）（x+y）．
17．（6分）先化简，再求值：（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）+2x（3﹣x），其中x＝﹣1．
18．（7分）若x，y都是实数，且，求5x+13y+25的立方根．
19．（7分）如图，图①、②是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，线段AB的端点在格点上，在图①、②中，按要求各画出一个以AB为边的等腰三角形，等腰三角形各顶点都在格点上．
（1）在图①中以AB为腰画等腰△ABC；
（2）在图②中以AB为底画等腰△ABD，且顶角为锐角，并写出△ABD的面积．
20．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝75°，∠C＝36°，求∠BDE的度数．
21．（8分）在计算时，小明的解题过程如下：
解：原式＝2…①
＝2…②
＝（2﹣1）…③
＝…④
（1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第 步开始出错的；
（2）请你给出正确的解题过程．
22．（9分）如图，△ABC是等边三角形．
（1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．
23．（10分）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
【直接应用】（1）若x+y＝3，x2+y2＝5，求xy的值．
【类比应用】（2）若x（3﹣x）＝1，则x2+（3﹣x）2＝ ．
【知识迁移】（3）如图，长方形ABCD的面积为，分别以AD、CD为边作正方形ADEF、正方形CDMN，已知AD＝x﹣4，CD＝x﹣8，则图中阴影部分的面积为 ．
24．（12分）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝27°，点D为BC的中点，连结AD．点P在线段BC上从点B出发向点C运动，当点P不与点B、C重合时，连结AP．设∠BAP＝x°．
（1）∠BAD的度数为 ．
（2）当△ABP是钝角三角形时，求x的取值范围．
（3）当△ABP是轴对称图形时，求x的值．
（4）如图②，作点B关于直线AP的对称点B′，连结AB′、PB′，当△APB′与△ABC重叠部分为轴对称图形时，直接写出x的值．
2023-2024学年吉林省长春市二道区力旺实验中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平方根和算术平方根的定义解答．
【解答】解：±＝±2，＝2，＝＝2．
故选：A．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x5+x5＝x10B．（x3y2）2＝x5y4
C．x6÷x2＝x3D．x2•x3＝x5
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法法则进行计算，从而作出判断．
【解答】解：A、x5+x5＝2x5，故此选项不符合题意；
B、（x3y2）2＝x6y4，故此选项不符合题意；
C、x6÷x2＝x4，故此选项不符合题意；
D、x2•x3＝x5，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）在实数﹣3，，，﹣0.518，，0.101001…中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含π的数，有规律但是不循环的数．逐个判断即可．
【解答】解：﹣3是有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
是有理数，不符合题意；
﹣0.518是有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
0.101001…是无理数，符合题意；
综上：无理数有、、0.101001…，共3个，
故选：B．
4．（3分）对于命题“若a＞0，则a＞”，作为反例能说明该命题是假命题的a值是（ ）
A．a＝1B．a＝2C．a＝4D．a＝16
【分析】举反例即是所举例满足条件，但不能得出结论，据此可得答案．
【解答】解：能作为反例说明命题“若a＞0，则a＞”是假命题的a的值可以为1，
∵a＝1，
∴a＝，
∴此时“若a＞0，则a＞”是假命题．
故选：A．
5．（3分）式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣1＝x•x﹣1B．x2+2xy+1＝x（x+2y）+1
C．a2b+ab3＝ab（a+b2）D．x（x+y）＝x2+xy
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、不符合因式分解的定义，不是因式分解，，故本选项不符合题意；
B、不符合因式分解的定义，不是因式分解，，故本选项不符合题意；
C、符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
D、是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：C．
6．（3分）如图①所示，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，小亮将图①中的阴影部分拼成一个如图②所示的长方形，这一过程可以验证等式（ ）
A．a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2
B．a2+b2+2ab＝（a+b）2
C．2a2﹣3ab+b2＝（2a﹣b）（a﹣b）
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】利用正方形的面积公式可知阴影部分面积为a2﹣b2，根据矩形面积公式可知阴影部分面积为（a+b）（a﹣b），二者相等，即可解答．
【解答】解：由图可知：
图①阴影部分的面积为：a2﹣b2，图②阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝52°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE交AB于点F，则∠ACF的度数是（ ）
A．24°B．26°C．14°D．18°
【分析】由尺规作图可知，CF⊥AB，则∠CFA＝90°，由AB＝AC，可得∠ACB＝∠B＝52°，即可得∠CAB＝76°，在△ACF中，结合三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：由尺规作图可知，CF⊥AB，
∴∠CFA＝90°，
∵AB＝AC，∠B＝52°，
∴∠ACB＝∠B＝52°，
∴∠CAB＝76°，
∴∠ACF＝180°﹣∠CFA﹣∠CAB＝14°．
故选：C．
8．（3分）如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（ ）
A．﹣B．2﹣C．4﹣D．﹣2
【分析】首先可以求出线段BC的长度，然后利用中点的性质即可解答．
【解答】解：∵表示2，的对应点分别为C，B，
∴CB＝﹣2，
∵点C是AB的中点，则设点A的坐标是x，
则x＝4﹣，
∴点A表示的数是4﹣．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（3分）因式分解：3x3﹣12x＝ 3x（x+2）（x﹣2） ．
【分析】首先提公因式3x，然后利用平方差公式即可分解．
【解答】解：3x3﹣12x
＝3x（x2﹣4）
＝3x（x+2）（x﹣2）
故答案为：3x（x+2）（x﹣2）．
10．（3分）（3x2﹣15x）÷3x＝ x﹣5 ．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝3x2÷3x﹣15x÷3x
＝x﹣5．
故答案为：x﹣5．
11．（3分）计算：＝ 4 ．
【分析】根据负整数指数幂的定义a﹣p＝，进行计算．
【解答】解：原式＝＝4．
故本题答案为：4．
12．（3分）若2x+3•3x+3＝36x﹣2，则x＝ 7 ．
【分析】由积的乘方的逆运算得，2x+3•3x+3＝6x+3，再由幂的乘方的逆运算得，36x﹣2＝62x﹣4，列式计算即可．
【解答】解：∵2x+3•3x+3＝36x﹣2，∴6x+3＝62x﹣4，
∴x+3＝2x﹣4，
解得x＝7，
故答案为7．
13．（3分）△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线与AC边所夹的锐角为60°，则∠A＝ 20°或100° °．
【分析】根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得到∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣∠A），当∠BEC＝60°时，根据三角形外角的性质得到（180°﹣∠A）+∠A＝60°，即可求得∠A＝20°；当∠AEB＝60°时，根据三角形内角和定理得到（180°﹣∠A）+∠A+60°＝180°，即可求得∠A＝100°．
【解答】解：设∠B的角平分线交AC于点E，
当∠BEC＝60°时，如图1，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A），
∴∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣∠A），
∵∠ABE+∠A＝∠BEC，
∴（180°﹣∠A）+∠A＝60°，
∴∠A＝20°；
当∠AEB＝60°时，如图2，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A），
∴∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣∠A），
∵∠ABE+∠A+∠BEC＝180°，
∴（180°﹣∠A）+∠A+60°＝180°，
∴∠A＝100°，
综上所述，∠A的度数为20°或100°．
14．（3分）如图，直线l1、l2分别垂直平分线段AB、BC交于点O，直线l1交BC于点E．若∠AOC＝72°，则∠DOE＝ 36 °．
【分析】连接BO，并延长交AC于点F，设l1于AB交于H，根据线段垂直平分线性质得OA＝OB，OC＝OB，则∠OBA＝∠OAB，∠OBC＝∠OCB，再根据三角形外角性质得∠AOF＝2∠OBA，∠COF＝2∠OBC，则∠AOC＝2∠ABC，由此得∠ABC＝36°，然后根据∠ABC+∠OED＝90°，∠DOE+∠OED＝90°即可得出∠OED的度数．
【解答】解：连接BO，并延长交AC于点F，设l1于AB交于H，如图所示：
∵直线l1、l2分别垂直平分线段AB、BC交于点O，
∴OA＝OB，OC＝OB，∠BHE＝90°，∠ODE＝90°，
∴∠OBA＝∠OAB，∠OBC＝∠OCB，
∵∠AOF是△OAB的一个外角，∠COF是△OBC的一个外角，
∴∠AOF＝∠OBA+∠OAB＝2∠OBA，∠COF＝∠OBC+∠OCB＝2∠OBC，
∴∠AOF+∠COF＝2∠OBA+2∠OBC＝2（∠OBA+∠OBC），
即∠AOC＝2∠ABC，
∵∠AOC＝72°，
∴∠ABC＝36°，
∵∠BHE＝90°，∠ODE＝90°，
∴∠ABC+∠OED＝90°，∠DOE+∠OED＝90°，
∴∠OED＝∠ABC＝36°，
故答案为：36．
三、解答题（共78分）
15．（6分）计算
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的加减运算可进行求解；
（2）根据二次根式的除法运算可进行求解．
【解答】解：（1）原式＝
＝4﹣2+3+2
＝；
（2）原式＝
＝
＝．
16．（6分）计算：x（x+2y）﹣（y﹣3x）（x+y）．
【分析】先展开，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝x2+2xy﹣（xy+y2﹣3x2﹣3xy）
＝x2+2xy+2xy﹣y2+3x2
＝4x2+4xy﹣y2．
17．（6分）先化简，再求值：（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）+2x（3﹣x），其中x＝﹣1．
【分析】先计算完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式，再计算整式的加减，然后将x的值代入即可得．
【解答】解：原式＝x2﹣6x+9﹣x2+9+6x﹣2x2
＝﹣2x2+18，
当x＝﹣1时，原式＝﹣2×（﹣1）2+18＝16．
18．（7分）若x，y都是实数，且，求5x+13y+25的立方根．
【分析】由题意知，x﹣3≥0，3﹣x≥0，解得：x＝3，则y＝﹣8，然后求代数式的值，最后求立方根即可．
【解答】解：∵，
∴x﹣3≥0，3﹣x≥0，
解得x＝3，
将x＝3代入原式，得y＝﹣8，
∴5x+13y+25＝15﹣104+25＝﹣64，
∴，
∴5x+13y+25的立方根为﹣4．
19．（7分）如图，图①、②是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，线段AB的端点在格点上，在图①、②中，按要求各画出一个以AB为边的等腰三角形，等腰三角形各顶点都在格点上．
（1）在图①中以AB为腰画等腰△ABC；
（2）在图②中以AB为底画等腰△ABD，且顶角为锐角，并写出△ABD的面积．
【分析】（1）利用等腰三角形的定义以及勾股定理，即可得出符合题意的图形；
（2）利用等腰三角形的定义以及勾股定理，即可得出符合题意的图形．
【解答】解：（1）如图所示，．
（2）如图所示，．
．
20．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝75°，∠C＝36°，求∠BDE的度数．
【分析】（1）根据BD平分∠ABC，可得∠CBD＝∠EBD，再由DE∥BC，可得∠CBD＝∠EDB，从而得到∠EBD＝∠EDB，再根据等腰三角形的判定可得出结论；
（2）先根据三角形内角和定理得∠ABC＝69°，再由BD平分∠ABC，DE∥BC即可得出∠BDE的度数．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE；
（2）解：在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝36°
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣36°＝69°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠CBD＝34.5°．
21．（8分）在计算时，小明的解题过程如下：
解：原式＝2…①
＝2…②
＝（2﹣1）…③
＝…④
（1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第 ③ 步开始出错的；
（2）请你给出正确的解题过程．
【分析】（1）根据二次根式的加减法可判断第③步开始错误；
（2）利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）小明从第③步开始出错的；
故答案为③；
（2）原式＝2﹣
＝2﹣
＝6﹣2
＝4．
22．（9分）如图，△ABC是等边三角形．
（1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠B＝∠C＝60°，根据平行线的性质和等边三角形的判定定理证明即可；
（2）证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE即可证明．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，
∴△ADE是等边三角形；
（2）解：AE+CE＝BE．
∵∠BAD+∠DAC＝60°，∠CAE+∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，
∴BE＝BD+DE＝AE+CE，∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝60°．
23．（10分）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
【直接应用】（1）若x+y＝3，x2+y2＝5，求xy的值．
【类比应用】（2）若x（3﹣x）＝1，则x2+（3﹣x）2＝ 7 ．
【知识迁移】（3）如图，长方形ABCD的面积为，分别以AD、CD为边作正方形ADEF、正方形CDMN，已知AD＝x﹣4，CD＝x﹣8，则图中阴影部分的面积为 52 ．
【分析】（1）根据完全平方公式，变形计算即可；
（2）根据x+（3﹣x）＝3，结合x（3﹣x）＝1，以及完全平方公式，变形计算即可；
（3）根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，进行求解即可．
【解答】解：（1）∵x+y＝3，x2+y2＝5，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝5+2xy＝9，
∴xy＝2；
（2）∵x+（3﹣x）＝3，x（3﹣x）＝1，
∴[x+（3﹣x）]2＝x2+（3﹣x）2+2x（3﹣x）＝x2+（3﹣x）2+2＝9，
∴x2+（3﹣x）2＝7，
故答案为：7；
（3）由题意，得：，即：，
∴
∵（x﹣4）+（8﹣x）＝4，
∴，
∴，
∴，
∴（x﹣4）+（x﹣8）＝13（负值舍去），
∵（x﹣4）﹣（x﹣8）＝4，
∴阴影部分的面积为AD2﹣CD2＝（x﹣4）2﹣（x﹣8）2
＝[（x﹣4）﹣（x﹣8）][（x﹣4）+（x﹣8）]
＝4×13
＝52；
故答案为：52．
24．（12分）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝27°，点D为BC的中点，连结AD．点P在线段BC上从点B出发向点C运动，当点P不与点B、C重合时，连结AP．设∠BAP＝x°．
（1）∠BAD的度数为 63° ．
（2）当△ABP是钝角三角形时，求x的取值范围．
（3）当△ABP是轴对称图形时，求x的值．
（4）如图②，作点B关于直线AP的对称点B′，连结AB′、PB′，当△APB′与△ABC重叠部分为轴对称图形时，直接写出x的值．
【分析】（1）先由等边对等角，求出∠C＝27°，运用三角形内角和进行列式，得∠BAC＝126°，结合等腰三角形的三线合一，即可作答；
（2）根据∠APB为钝角，∠PAB为钝角，这两种情况进行列式作答即可；
（3）根据△ABP是轴对称图形，即△ABP是等腰三角形，进行分类讨论，即可作答．
（4）分为点P在BD和CD上两种情况，作图，结合三角形的内角和以及三角形的外角性质，即可作答．
【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝27°，点D为BC的中点，连结AD，
∴∠C＝∠B＝27°，
即∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C＝126°，
∴，
即∠BAD的度数为63°，
故答案为：63°；
（2）当∠APB为钝角，即90°＜∠APB＜180°，
∵180°﹣∠B﹣∠PAB＝∠APB，∠BAP＝x°，
∴90°＜180°﹣27°﹣x°＜180°，
即0＜x＜63，
当∠PAB为钝角，
∵180°＝∠PAB+∠APB+∠B，
∴90°＜x°＜180°﹣27°＝153°，
∵点P在线段BC上从点B出发向点C运动，当点P不与点B、C重合时，
∴当点P与点C重合时，∠PAB＝180°﹣27°﹣27°＝126°，
∴90°＜∠PAB＜126°
即90＜x＜126；
综上：当△ABP是钝角三角形时，x的取值范围为0＜x＜63或90＜x＜126；
（3）当△ABP是轴对称图形时，如图1，
即△ABP是等腰三角形，
当AP＝BP时，∠ABP＝∠BAP＝27°，则x＝27；
当AB＝AP时，∠ABP＝∠APB＝27°，则∠BAP＝180°﹣27°﹣27°＝126°，
此时点P与点C重合，故舍去；
当AB＝BP时，，则x＝76.5；
综上：当△ABP是轴对称图形时，x的值为27或76.5；
（4）作点B关于直线AP的对称点B′，连结AB′、PB′，当△APB′与△ABC重叠部分为轴对称图形时，
点P在BD上时，记AB′与BD的交点为E，如图2，
∵作点B关于直线AP的对称点B′，
∴∠BAP＝∠EAP＝x°，
当AP＝AE时，，
∵∠APE＝∠B+∠BAP＝27°+x°，
则，
解得x＝42；
当AP＝PE时，则，
即x＝51；
点P在CD上时，记PB′与AC的交点为E，如图3，
易知∠BAP＝∠B′AP＝x°，
则∠EAB′＝∠BAB′﹣∠BAC＝2x°﹣126°，
那么∠AEP＝∠B′+∠EAB′＝27°+2x°﹣126°＝2x°﹣99°，
则∠APB′＝∠ABP＝180°﹣27°﹣x°＝153°﹣x°，
∠PAC＝∠PAB′﹣∠EAB′＝x°﹣（2x°﹣126°）＝126°﹣x°，
当AP＝AE时，则∠AEP＝∠APB′，2x°﹣99°＝153°﹣x°，解得x＝84；
当AP＝PE时，则∠PAC＝∠APB′，126°﹣x°＝153°﹣x°，此时x不存在；
当PE＝AE时，则∠PAC＝∠APB′，126°﹣x°＝2x°﹣99°，解得x＝75；
综上：当△APB′与△ABC重叠部分为轴对称图形时，x的值为42或51或84或75．