吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第九中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

这是一份吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第九中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题，共22页。试卷主要包含了11， 分式有意义的条件是， 在中， ，，，则的长为， 下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

答题时间：120分钟 卷面总分：120分
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 分式有意义的条件是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分式有意义时，分母不能为0，由此可解．
【详解】解：分式有意义的条件是，
解得，
故选C．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式的分母不能为0．
2. 每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞．据测定，杨絮纤维的直径约为，该数据用科学记数法表示为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】．
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
3. 已知一个等腰三角形的两边长分别是4，5，则它的周长是（ ）
A. 13B. 14C. 13或14D. 9或12
【答案】C
【解析】
【分析】等腰三角形的性质是两腰长相等，需进行分类讨论：当腰长为5，底边长为4时；当腰长为4，底边长为5时，分别计算三角形周长即可．
【详解】解：等腰三角形的性质是两腰长相等，需进行分类讨论：
当腰长为5，底边长为4时，周长为：；
当腰长为4，底边长为5时，周长为：；
故选：C．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，对等腰三角形进行分类讨论是解题关键．
4. 在中， ，，，则的长为（ ）
A. 5B. 1C. 2D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理直接运算即可得到答案．
【详解】解：∵ ，，，即直角为三角形斜边，
∴
∴ ，
故选B．
【点睛】本题主要考查勾股定理的理解应用，解题关键是认清楚直角边斜边．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，零指数幂，负整数指数幂，根据幂的乘方与积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：A．
6. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤，以及全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答．
【详解】解：由作图可知，
在和中，
，
∴，
∴，
故选：A．

7. 白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的点饮马，饮马后再到点宿营，若到水平直线（表示小河）的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4，则最小值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题以及勾股定理．首先作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小；然后可得的最小值，再利用勾股定理求解，即可求得答案．
【详解】解：作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小；
则，
∴，
过点B作于点C，
则，
∴，
∴，
∴最小值．
故选：C．
8. 如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得符合的点B，即可得解．
【详解】解：要使为等腰三角形分三种情况讨论：
①当时，作线段的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；
②当时，以点A为圆心，为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；
③当时，以点O为圆心，为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，
，
故选：D．
二、填空题（每题3分，共18分）
9. 分解因式=____________．
【答案】．
【解析】
【分析】直接提取公因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
10. 如图，，则的长是__________．
【答案】5
【解析】
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确得出是解题关键．
先证明，根据全等三角形的对应边相等得到，结合等式的性质推出，结合已知相关线段的长度解答．
【详解】解：在和中，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∴．
故答案为：5．
11. 将直线向下平移2个单位长度，得到直线的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】一次函数图象的平移规律：上加下减，根据平移规律直接得到答案.
【详解】解：将直线向下平移2个单位长度，得到直线的解析式为：．
故答案：．
【点睛】本题考查的是一次函数图象的平移，对于一次函数，向上平移个单位得到 向下平移个单位得到熟悉平移规律是解题的关键.
12. 在平面直角坐标系中，若点在一次函数的图象上，则__________（填“”，“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合，即可得出．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而增大，
又∵点在一次函数的图象上，且，
∴．
故答案为：．
13. 如图，已知函数与函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是_____．

【答案】
【解析】
【分析】利用函数图象，写出一次函数的图象在一次函数的图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据图象得，当时，，
即关于的不等式，的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14. 如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E，若AB=4，BC＝8，则△ACE的面积为_____．
【答案】10
【解析】
【分析】利用折叠的性质可得出AF，CF的值及∠ACF＝∠ACB，由AD∥BC，可得出∠CAD＝∠ACF，进而可得出AE＝CE，设AE＝x，则EF＝8﹣x，在Rt△AEF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用三角形的面积公式即可求出△ACE的面积．
【详解】由折叠的性质，可知：AF＝AB＝4，CF＝CB＝8，∠F＝∠B＝90°，∠ACF＝∠ACB．
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∴∠CAD＝∠ACF，
∴AE＝CE．
设AE＝x，则EF＝8﹣x．
在Rt△AEF中，AF＝4，AE＝x，EF＝8﹣x，∠F＝90°，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝5，
∴S△ACE＝AE•AB＝×5×4＝10．
故答案为10．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形性质、勾股定理以及三角形的面积，利用勾股定理求出AE的长是解题的关键．
三、解答题（共78分）
15. （1）先化简，再求值：，其中．
（2）解方程：．
【答案】（1），；（2）无解
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值和解分式方程，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法和解分式方程的方法．
（1）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题；
（2）等式两边同时乘以去分母，然后解方程即可，注意，分式方程需要验根．
【详解】（1）
，
∵
∴原式；
（2）
去分母得，
移项得，
检验：将代入，
∴原方程无解．
16. 在社区全民健身活动中，父子俩参加跳绳比赛．相同时间内父亲跳180个，儿子跳210个．已知儿子每分钟比父亲多跳20个，父亲、儿子每分钟各跳多少个？
【答案】父亲每分钟跳120个，儿子每分钟跳140个．
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，设父亲每分钟跳x个，根据相同时间内父亲跳180个，儿子跳210个，列出方程，进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】解：设父亲每分钟跳x个，儿子每分钟跳个，
由题意得：，
化简得：，
解得：，
经检验是方程的解；
∴；
答：父亲每分钟跳120个，儿子每分钟跳140个．
17. 如图，已知∠C=∠D，∠CAB=∠DAB．
求证：BC=BD
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】首先根据AAS证明△ABC与△ABD全等，再根据全等三角形对应边相等证明结论成立．
【详解】在△ABC与△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD，
∴BC=BD．
18. 如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面的点处折断倒下，旗杆顶部点落在离旗杆底部点处，旗杆折断之前有多高？
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的正确应用，图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．
【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断的旗杆为，
所以旗杆折断之前高度为．
19. 教育部印发的《义务教育课程方案》和《课程标准》（2022年版）将劳动从原来的综合活动课中独立出来．某中学为了解学生做家务的情况，随机抽取了若干学生进行了问卷调查，并将数据整理后，绘制成如下不完整的统计图：
调查问卷
根据图中信息，请完成下列问题：
（1）本次抽样调查的总人数有________人；
（2）选择B选项的人数有_________人，并补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，若选项D所对应的圆心角为，则________°；
（4）若规定“每周能主动做三件家务劳动及以上者”为“优秀家务小能手”，已知该校共有学生1800人，请你估计该校能评为“优秀家务小能手”的学生有多少人？
【答案】（1）60； （2）15，补条形统计图见解析；
（3）72 （4）估计该校能评为“优秀家务小能手”学生有450人．
【解析】
【分析】（1）用选择C选项的人数除以其所占百分比可得解；
（2）总人数乘以选择B选项的人数所占百分比可得解；
（3）用乘以选项D的人数所占比例即可；
（4）用总人数乘以样本中选择D、E选项的人数的之和所占比例．
【小问1详解】
解∶ 抽样调查的总人数为（人），
故答案为∶60；
【小问2详解】
解：选择B选项的人数为（人），
故答案为：15，
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：选项D所对应的圆心角为，
故答案为∶ 72；
【小问4详解】
解：（人）
答∶估计该校能评为“优秀家务小能手”的学生有450人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，认真观察、分析、研究统计图是作出正确的判断和解决问题的关键．
20. 按要求在下列边长为1的小正方形拼成的网格中作图，使点在格点上．且格点位置不相同．（每问作出一种情况即可）
（图1） （图2） （图3）
（1）在图1网格中找格点，使得与垂直．
（2）在图2网格中画线段，使得作．
（3）在图3网格中画，使得的面积是3．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-应用与设计作图、三角形的面积，
（1）根据垂直的定义作图即可．
（2）按要求作图即可．
（3）使的底为2，高为3即可．
【小问1详解】
解：如图1，点P即为所求．
【小问2详解】
解：如图2，线段即为所求（答案不唯一）．
【小问3详解】
解：如图3，即为所求（答案不唯一）．
21. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图像如图所示．

（1）求密度关于体积的函数解析式．
（2）当时，求该气体的密度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）把值代入（1）所求得的解析式中，即可求得该气体的密度．
【小问1详解】
解：设密度关于体积的函数解析式为，
把点代入上式中得：，
解得：，
；
【小问2详解】
解：当时，，
答：当时，该气体的密度为．
【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
22. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
小明和小亮相约到公园游玩．已知小明家，小亮家到公园的距离相同，小明先骑车到达超市，购买了一些食物和饮用水，然后再骑车到达公园，小明出发后，小亮骑车从家出发直接到达公园，给出的图象中（单位：）反映了这个过程中小明骑行的路程，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
（2）填空：
①小明购物的超市到公园的距离是__________；
②小亮骑车的速度为__________；
③在小明和小亮从各自的家到公园的途中，当两人到公园的距离相同时，小明离开家的时间为__________；
④当小亮到达公园时，小明距公园还有__________．
（3）当时，请直接写出关于的函数解析式
【答案】（1）；；；
（2）①；②；③；④
（3）
【解析】
【分析】此题考查了从函数图象获取信息、列函数解析式、有理数混合运算的应用等知识，看懂图象，读懂题意，准确计算是解题的关键．
（1）由图可知，小明的速度为，即可求得当时的值，根据图象即可得到当和当时的值；
（2）①由图象可知，小明购物的超市到公园的距离；②用路程除以时间即可得到小亮骑车的速度；③先求出小明从超市到公园的速度，由第二阶段小明的速度比小亮慢，则只有小明在超市期间两人出现到公园距离相等的情况，得到小亮到超市所用时间，即可得到此时小明离家时间；④用总路程减去前6分钟走的1500米，再减去从超市买完东西走的4分钟路程，即可求解；
（3）根据题意和图象，分别写出、、得到解析式，即可得到答案．
【小问1详解】
解：由图可知，小明的速度为，
∴当时，，
由图象可知，当时，，当时，，
故答案为：；；．
【小问2详解】
①由图象可知，小明购物的超市到公园的距离是，
②小亮骑车的速度为，
③小明从超市到公园的速度为，
∵第二阶段小明的速度比小亮慢，
∴只有小明在超市期间两人出现到公园距离相等的情况，
小亮到超市所用时间为，
此时小明离家时间为，
④小亮到达公园时，小明距公园还有，
故答案为：①；②；③；④
【小问3详解】
由题意可得，当时，；
当时，；
当时，；
∴．
23. 在等腰中，，点是射线上的动点，垂直于直线于点，交直线于点．

（1）【探索发现】
如图①，若点在的延长线上，点在线段上时，请猜想之间的数量关系为
（2）【拓展提升】
如图②，若点在线段上（不与点重合），试猜想之间的数量关系，并说明理由；
（3）【灵活应用】
当，时，直接写出线段的长为 ．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）结合等腰直角三角的性质，证明，由全等三角形的性质即可获得答案；
（2）结合等腰直角三角性质，证明，由全等三角形的性质即可获得答案；
（3）分两种情况讨论：当点在线段的延长线上时以及当点在线段上时，分别求解即可．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
【小问2详解】
，理由如下：
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
①如图，当点在线段的延长线上时，

∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
②如图，当点在线段上时，

∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、对顶角相等、直角三角形两锐角互余等知识，正确运用相关知识是解题关键．
24. 在平面直角坐标系中，直线经过点，交轴于点．
（1）求直线所对应的函数表达式．
（2）若点是轴上一点，连结．当的面积为5时，求点的坐标．
（3）已知线段的端点坐标分别为．则当直线与线段有交点时，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）点C坐标为或
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用：
（1）把A和B两点坐标代入直线中，求出k，b即可；
（2）设，根据点B坐标求出，再有点A到的距离h为2，利用三角形面积公式，列出关于m的方程，求出m即可；
（3）根据M，N两点的坐标，列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【小问1详解】
解：把和代入中得：
，
解得：，
∴直线l所对应的函数表达式为：；
【小问2详解】
解：设，
∵，
∴，
∵点A到的距离h为2，
∴，
∴或，
∴或，
∴点C坐标为或；
【小问3详解】
解：直线与直线的交点为，
要使直线l与线段有交点，则有：
①（无解），
②，
解得：．在下列家务劳动中①整理房间，打扫卫生；②吃过饭后收拾餐桌，洗刷餐具；③清洗自己的衣服，整理衣柜；④给家里的花草浇水施肥或给小动物喂食洗澡，你每周能主动参与做_______件事情．
A．零 B．一 C．二 D．三 E．四
小明离开家的时间/
4
6
20
31
小明骑行的路程/
1500