2024-2025学年吉林省长春市二道区力旺实验中学九年级（上）期初数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年吉林省长春市二道区力旺实验中学九年级（上）期初数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中是分式的是( )
A. x3B. 2x+yC. yπD. 1x−1
2.随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.0000034m，用科学记数法表示0.0000034是( )
A. 0.34×10−5B. 3.4×106C. 3.4×10−5D. 3.4×10−6
3.在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是( )
A. (−2,−6)B. (−2,6)C. (2,6)D. (2,−6)
4.若把分式2xx+y中的x、y都扩大2倍，则分式的值( )
A. 扩大为原来的2倍B. 不变C. 缩小为原来的2倍D. 缩小为原来的4倍
5.已知P1(−1,y1)，P2(2,y2)是一次函数y=−x+1图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是( )
A. y1=y2B. y1y2D. 不能确定
6.如图，在平行四边形ABCD中，BC=10，DE=4，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则AB的长为( )
A. 4B. 6
C. 10D. 14
7.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，连接CE，若矩形ABCD的周长是20cm，则△BCE的周长是( )
A. 10cm B. 15cm
C. 20cm D. 40cm
8.某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最少的是( )
A. 甲B. 乙
C. 丙D. 丁
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.若分式x2−1x−1的值为0，则x的值为______．
10.1xy，14y3，16xy的最简公分母是______．
11.已知直线y=kx+1在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+1≤0的解集为______．
12.锐角为55°的两个平行四边形按如图所示的位置摆放.若∠1=80°，则∠2的大小为______度.
13.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的顶点C在y轴上，AB垂直于x轴，点A、B分别在函数y=k1x(k1>0,x>0)和y=k2x(k2<0,x<0)的图象上.若△ABC的面积为5，且k1+k2=6，则k2的值为______．
14.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE//CA，DF//BA.下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AE=AF，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形．
其中，正确的有______(只填写序号)．
三、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
计算：(−12)−2+(−1)2023+(π−3.14)0−|−3|．
16.(本小题6分)
先化简，再求值：(1−3x+1)÷x−2x2−1，其中x=2024．
17.(本小题6分)
某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同，求乙型号分拣机器人每小时分拣的数量．
18.(本小题6分)
如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，DE//AC，CE//BD.求证：四边形CEDO是矩形．
19.(本小题7分)
图①、图②、图③均是7×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上.只用没有刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留必要的作图痕迹．

(1)在图①中以A、B为顶点画一个面积为3的平行四边形；
(2)在图②中以A、B为顶点画一个面积为4的平行四边形；
(3)在图③中以A、B为顶点画一个面积为10的平行四边形.(正方形除外)
20.(本小题7分)
某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5ℎ，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1ℎ，B种机器人也开始搬运.两种机器人的搬运量y(kg)与时间x(ℎ)的函数图象如图所示．
(1)A种机器人每小时搬运量为______．
(2)求B种机器人的搬运量y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)如果A、B两种机器人分别连续搬运5ℎ，那么B种机器人比A种机器人多搬运了______千克？
21.(本小题8分)
【感知】如图①，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5.P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折得到△AB′P，点B的对称点为点B′.若点B′在边AD上，则PD的长为______．
【探究】如图②，图①中的点B′在矩形ABCD的内部，点B′在直线PD上，其它条件不变．
(1)求证：△DCP≌△AB′D．
(2)BP的长为______．
【应用】如图③，当图①中的点P在BC延长线上，且点B在直线PD上时，其它条件不变.直接写出四边形BPB′A的面积．
22.(本小题12分)
【模型探究】如图①，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E.若AD=3，BE=4，求DE长．
【迁移应用】如图②，在平面直角坐标系中直线l1：y=2x+4与x轴、y轴交于A、B两点．
(1)OA的长为______，OB的长为______；
(2)将直线l1绕点B顺时针旋转45°得到直线l2，则直线l2所对应的函数表达式为______．
【拓展延伸】如图③，直线AB：y=2x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点，若点C是第二象限内一点，在平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.B
5.C
6.B
7.A
8.A
9.−1
10.12xy3
11.x≥2
12.25
13.−2
14.①②③
15.解：(−12)−2+(−1)2023+(π−3.14)0−|−3|
=(−2)2+(−1)+1−3
=4−1+1−3
=1．
16.解：原式=(x+1x+1−3x+1)⋅x2−1x−2
=x−2x+1⋅(x+1)(x−1)x−2
=x−1，
当x=2024时，原式=2024−1=2023．
17.解：设乙型号分拣机器人每小时分拣x件，则甲型号每小时分拣(x+50)件，由题意得：
1000x+50=800x，
解得：x=200，
经检验：x=200是原方程的解；
答：乙型号分拣机器人每小时分拣200件．
18.证明：∵CE//BD，DE//AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
19.解：(1)如图：

▱ABCD即为所求(答案不唯一)；
(2)如图：

▱ABCD即为所求(答案不唯一)；
(3)如图：

▱ACBD即为所求．
20.(1)60千克；
(2)设B种机器人的搬运量y关于x的函数解析式为yB=kx+b，
将(1,0)、(3,180)代入yB=kx+b，
k+b=03k+b=180，
解得k=90b=−90，
∴B种机器人的搬运量y关于x的函数解析式为y=90x−90(1≤x≤6)．
(3)150．
21.【感知】 17；
【探究】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AB=DC，∠B=∠C=90°，
∴∠ADB′=∠DPC，
由折叠可得：∠B=∠AB′D=90°，AB=AB′，
∴DC=AB′，∠C=∠AB′D=90°，
∴△DCP≌△AB′D(AAS)；
(2)2；
【应用】解：∵将△ABP沿直线AP翻折得到△AB′P，
∴BP=B′P，BA=AB′=4，
∴B′D= AD2−B′A2= 25−16=3，
∴DP=B′P−B′D=5+CP−3=2+CP，
∵DP2=CP2+CD2，
∴(2+CP)2=16+CP2，
∴CP=3，
∴PB=8，
∴四边形BPB′A的面积=2S△ABP=2×12×4×8=32．
22.【模型探究】证明：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴AD=CE=3，BE=CD=4，
∴DE=3+4=7；
【迁移应用】(1)2，4；
(2)y=13x+4；
【拓展延伸】解：存在，理由如下：
①当正方形为ADCB时，如图4，过点D作DN⊥x轴于点N，易证△ADN≌△BAO，
∴DN=OA=4，AN=OB=8，
∴ON=OA+AN=12，
∴D(−12,4)，
②当正方形为ADCB时，如图③，
过点D作DN⊥x轴于点N，
同【模型探究】得△BDN≌△ABO，
∴BN=OA=4，DN=OB=8，
∴ON=OB+BN=12，
∴D(−8,12)，
③∵点C在第二象限，以AB为对角线．
∴正方形为ACBD，如图④，
过点D作DN⊥x轴于点N，
过点B作BM⊥y轴，DM⊥x轴，交于点M，
同【模型探究】得△ADN≌△DBM，
设ON=x，则BM=x，AN=OA+ON=4+x，DN=BM=x，
∴MN=OB=MD+DN=4+x+x=8，
∴x=2，
∴D(2,2)，
综上，点D的坐标为：(−12,4)、(−8,12)、(2,2)．