2023-2024学年吉林省长春市二道区力旺实验中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省长春市二道区力旺实验中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  分式有意义的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各点中，位于第二象限的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一元二次方程的解是(    )

A.  B.  C. ， D. ，

5.  若直线与直线关于轴对称，则直线的解析式是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，点在边上，过点作，交点若，，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，矩形中，，，且有一点从点沿着往点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为多少(    )

A.  B.  C.  D.

8.  反比例函数的图象如图所示，则的值可能是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  关于的方程的根的判别式的值为______ ．

10.  如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则，两点间的距离为______ ．

11.  当时，与的函数解析式为，则的范围是______ ．

12.  如图，在中，，，点是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点在上则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的面积为______ ．

13.  如图，在矩形中，点为延长线上一点，为的中点，以为圆心，长为半径的圆弧过与的交点，连接若，，则 ______ ．

14.  如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点若，则点的坐标是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
如图，▱的对角线，交于点，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，连接，．
试判断四边形的形状，并说明理由；
当▱的对角线满足______ 时，四边形是菱形．

17.  本小题分
为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买，两种型号的充电桩已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等请问：，两种型号充电桩的单价各是多少？

18.  本小题分
在如图所示的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，点，，，均在格点上在图、图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，要求保留必要的作图痕迹，不写画法．

在图中，以线段为边画一个，使它与相似；
如图，在线段上找一个点，使；
如图，在线段上找一点，连接，，使∽．

19.  本小题分
如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于、两点，点在第四象限，轴．
求的值；
以、为边作菱形，求点坐标及菱形的面积．

20.  本小题分
如图，互相垂直的两条公路、旁有一矩形花园，其中米，米现欲将其扩建成一个三角形花园，要求在射线上，在射线上，且经过点当米时，求的面积．

21.  本小题分
，两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中，表示两人离地的距离与时间的关系，请结合图象解答下列问题：
 

表示乙离地的距离与时间关系的图象是____填或；甲的速度是____，乙的速度是____；

甲出发多少小时两人恰好相距？

22.  本小题分
在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质运用函数解决问题”的学习过程在画函数图象时，我们通过描点连线或平移的方法画出函数图象结合上面经历的学习过程，我们来解决下面的问题：分段函数
当时，；当时，；则 ______ ， ______ ．
在的条件下，
在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象；
若该分段函数图象上有两点，，且，则的取值范围；
直线与该分段函数的图象有个交点，则的取值范围是______ ．

23.  本小题分
阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图，在中，是边上的中线，点在边上，，与相交于点，求的值．
小昊发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决如图．
请回答：的值为______．
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
如图，在中，点在的延长线上，，点在上，且求的值；
如图，在中，点在的延长线上，，点在上，且，直接写出的值为______．

 

24.  本小题分
如图，在正方形中，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连结、、设点的运动时间为秒．

当时，求的值；
当点与点重合时，求的值；
当时，的值为______ ；
如图，点为中点，连接，当与正方形的边平行时，则的值为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．

2.【答案】 

【解析】解：、在第二象限，符合题意；
B、在第一象限，不符合题意；
C、在第四象限，不符合题意；
D、在第三象限，不符合题意；
故选：．
直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．
此题主要考查了点的坐标，解题的关键是正确掌握各象限内点的坐标特点．

3.【答案】 

【解析】解：、当，时，四边形可能为等腰梯形，所以不能证明四边形为平行四边形；
B、，，一组对边分别平行且相等，可证明四边形为平行四边形；
C、，，两组对边分别平行，可证明四边形为平行四边形；
D、，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
故选：．
根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
或，
解得，，
故选：．
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：与直线关于轴对称的点的坐标为横坐标互为相反数，纵坐标不变，则
，即．
所以直线的解析式为：．
故选：．
利用关于轴对称的点的坐标为横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可．
此题主要考查了一次函数的图象与几何变换，利用轴对称变换的特点解答是解题关键．

6.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
由，利用平行线分线段成比例，可得出，再代入，，，即可求出结论．
本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，

，，
．
四边形是矩形，
．
四边形为矩形．
．
要求的最小值就是要求的最小值．
点从点沿着往点移动，
当时，取最小值．
下面求此时的值，
在中，
，，，
．
，
．
的长度最小为：．
故本题选B．
连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解．
本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．

8.【答案】 

【解析】解：如图所示：，都不在反比例函数图象上，
则，
即，
故的值可能是．
故选：．
直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了反比例函数的图象，正确得出的取值范围是解题关键．

9.【答案】 

【解析】解：，，，
．
故答案为：．
直接计算即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根的判别式为．

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，
，四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
即，两点间的距离为，
故答案为：．
连接，证四边形是菱形，得，再证是等边三角形，得，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：当时，；
当时，，
当时，的范围是．
故答案为：．
代入及，求出值，进而可得出的范围．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：，，，
，
由平移得：，，
四边形是平行四边形，
点是中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
点是的中点，
，
四边形的面积，
故答案为：．
先在中，利用勾股定理求出的长，再根据平移的性质可得：，，从而可得四边形是平行四边形，然后利用平行线分线段成比例可得点是的中点，从而可得是的中位线，进而可得，最后利用平行四边形的面积公式进行计算，即可解答．
本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，平移的性质，熟练掌握三角形的中位线定理，以及平移的性质是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，为的中点，
，
，
，
故答案为：．
由直角三角形的性质可求，由勾股定理可求解．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：点在双曲线上，
．
．
双曲线解析式为．
如图，作轴，轴，作，垂足分别为、、．

，
．
．
．
，
．
．
．
，
．
点的横坐标为．
又在双曲线上，

故答案为：
由题意，点，则，同时可得双曲线解析式，再作轴，作，可得，又，再结合双曲线解析式可以得解．
本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，需要熟练掌握并理解．

15.【答案】解：原式，
当时，
原式． 

【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

16.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形．
理由：四边形为平行四边形，
，，
以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，
，，
四边形为平行四边形；
当时，四边形为菱形．
，，，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形．
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，，证出，，则可得出结论；
由菱形的判定可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

17.【答案】解：设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价少万元，
根据题意得，
解得，
经检验是原方程的解，
．
答：型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元． 

【解析】设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价少万元，根据“用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可．
本题考查了分式的应用解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．

18.【答案】解：如图所示，
，，，
∽，
如图所示，
，
∽，
，
，
；
如图所示，连接交于点，连接，，点即为所求，
，
，
，
，
又，
∽． 

【解析】根据相似三角形的性质得出，找到格点，，连接，即可求解；
勾股定理求得，取格点，，，，则∽，根据相似比为，即可得出
连接交于点，连接，，即可求解．
本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理与网格问题，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

19.【答案】解：点在直线上，
，
即点的坐标为，
点是反比例函数的图象与正比例函数图象的交点，
，
即的值是；
由题意得：，
解得：或，
经检验或是原方程的解，
，
点，
，
菱形是以、为边，且轴，
，
．
菱形的面积． 

【解析】根据点在上，可以求得点的坐标，再根据反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，即可求得的值；
因为是反比例函数和正比例函数的交点，列方程可得的坐标，根据菱形的性质可确定点的坐标；然后利用菱形的面积计算公式解答即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

20.【答案】解：，
矩形，
，
，
，
，
，
米； 

【解析】由，得到，代入数据求得，于是得到结论．
本题考查了平行线分线段成比例，求三角形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．

21.【答案】解：；；；
设甲出发小时两人恰好相距．
由题意或
解得或，
答：甲出发小时或小时两人恰好相距． 

【解析】【分析】
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活应用速度、路程、时间之间的关系解决问题．
观察图象即可知道乙的函数图象为，根据速度，利用图中信息即可解决问题；
分相遇前或相遇后两种情形分别列出方程即可解决问题．
【解答】
解：由题意可知，乙的函数图象是，
甲的速度是，乙的速度是．
故答案为；；；
见答案．

22.【答案】     

【解析】解：把，代入得，，
，
把，代入得，；
故答案为：，；
，
故可作图如下：

是函数图象上的点，
，
，
，
由函数图象知，当时，，
在函数图象上，
，
故的取值范围为：；
直线与该分段函数的图象有个交点，则的取值范围是，
故答案为：；
将，；，分别代入函数和得关于和的二元一次方程组，解方程组得和的值；
根据解析式的特点画出函数的图象即可；
由中函数图象可直接得出的取值范围．
由中函数图象可直接得出的取值范围．
本题考查了反比例函数的性质，一次函数性质与一元一次不等式及函数的性质与图象，数形结合是解题的关键．

23.【答案】  

【解析】解：如图，过点作，交的延长线于点，
，，
为边的中线，
，
≌，
，
，
≌，
，
，
故答案为：；
如图，过作，交延长线于点，
∽，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
∽，
；
如图，过作交于，
∽，
，
设，，
，
∽，
，
，，
．
故答案为：．
如图，证明≌，可得，再根据，得≌，列比例式可得结论；
如图，作辅助线，构建，根据，证明∽和∽，列比例式可得：；
如图，作辅助线，构建，根据证明∽和∽，可得结论．
此题主要考查了平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，三角形相似的性质和判定，本题运用了类比的思想，作平行线，构建三角形，证明相似可解决问题．

24.【答案】或  或 

【解析】解：由已知可得时，，，
，
，
在正方形中，
，即，
当时，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：，
当时，；
点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动，
同时点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，
点关于直线的对称点
故当点与点重合时，必在边上，

当时间为时，点行程为，
，
，

点点关于正方形对角线的对称点，
，
又点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，
时，，
，
解得：，
故当点与点重合时，，
故答案为：；
当时，分两种情况：
当在上时，根据已知可知，
由已知时，，，
如图所示：

点点关于正方形对角线的对称点，

，
，
此时
，
，
即，
，
，
方程无解，故不存在；
当在边上时又分两种情况：
在上方时，即，
如图所示：

由已知可知，，
，
当时，则，
，
解得：；
当在下方时，即时，

此时同理，，因为，
，
解得：，
综上所述：时，或，
故答案为：或；
分两种情况：当在上时，在边上，此时，
根据已知时，，，
与关于正方形的对角线对称，
在边上，且，
根据已知可得，
四边形为直角梯形，
当与正方形的边平行时，
则必平行于，即，
点为中点，
必为直角梯形 的中位线，
为的中点，
，
即，
，
如图所示：

当在边上时，其对称点在边上，
且点须在点下方时，
方可平行正方形的边，如图所示：

由题意可得：时，，
根据对称的性质，，
此时，即，
点为中点，
必为的中位线，
为中点，
，
，
解得：，
综上所述：当与正方形的边平行时，则或．
根据如果时，由正方形的性质可得，此时只需满足，则四边形是平行四边形，所以结合已知条件得到，即可解决；
与重合时，只能在边上，根据正方形的性质，此时满足点行程与点行程之和等于由图知：，，则，建立方程即可解决；
，分两种情况：一是在边上，满足时，根据中由勾股定理，建立方程即可解决，但此时不存在；再就是在边上时，而此时又分两种情况：在上方时，此时满足，在下方时，此时满足，分别根据线段间的和差关系建立方程，即可解决．
本题考查了正方形的性质，轴对称的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质定理、行程问题，是四边形的综合题，属于中考压轴题，理解题意找到题目中的数量关系是解决问题的关键．