03 第60讲　二项式定理 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

这是一份03 第60讲　二项式定理 【正文】听课 高考数学二轮复习练习，共7页。试卷主要包含了二项式定理，二项式系数，二项展开式的通项，二项式系数的性质等内容，欢迎下载使用。

1.二项式定理
定理内容:(a+b)n= (n∈N*,其中a,b可以是数或多项式或其他,要灵活看待).
注意点:
(1)项数:展开式共有 项.
(2)幂指数:①字母a的幂指数从n逐项递减到0,字母b的幂指数从0逐项递增到n;
②各项中所有字母的幂指数之和均为n.
2.二项式系数
Cnk(k∈{0,1,2,…,n})是第 项的二项式系数.
3.二项展开式的通项
Tk+1= (a,b的顺序不能颠倒).
4.二项式系数的性质
(1)与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
(2)二项式系数先增后减,中间一项或中间两项的二项式系数最大.
①当n为偶数时,第n2+1项的二项式系数最大,最大值为 ;
②当n为奇数时,第n+12项和第n+32项的二项式系数最大,最大值为 或 .
(3)各二项式系数的和.
①Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn= ,
②Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+….
常用结论
赋值法的应用
(1)在二项式定理中,令a=1,b=x,得(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnkxk+…+Cnnxn.
(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则
①a0+a1+a2+…+an=f(1).
②奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=f(1)+f(-1)2.
③偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=f(1)-f(-1)2.
题组一 常识题
1.[教材改编] (1+2x)6的展开式中x3的系数为 .(用数字作答)
2.[教材改编] 若二项式ax2-1x9的展开式中各项系数的和为1,则实数a的值为 .
3.[教材改编] 已知2x-1xn的展开式中各二项式系数的和为128,则展开式中x3的系数是 .
题组二 常错题
◆索引:对二项展开式的特点把握不准;不理解常数项、有理项等需满足的条件;混淆二项式系数与项的系数.
4.化简:Cn0·32n+Cn1·32n-2+Cn2·32n-4+…+Cnn-1·32= .
5.在x+43y20的展开式中,系数为有理数的项共有 项.
6.在x+33xn(n∈N*)的展开式中,各项系数的和与各二项式系数的和之差为56,则n= .
求展开式中的特定项或特定系数
例1 (1)2x-1x26的展开式中的常数项是( )
A.-250B.-240
C.250D.240
(2)若(x+a)6(a≠0)的展开式中x的系数与x2的系数相等,则实数a= .
总结反思
本类题考查的核心是(a+b)n的展开式的通项Tr+1=Cnran-rbr.求解此类问题可以分两步完成:
(1)根据给出的条件(特定项)和通项,建立方程来确定指数或其他参数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n为正整数,r为非负整数,且n≥r);
(2)根据所求的指数或其他参数求解所求的项.
变式题 [2023·河北邯郸联考] 在3x+1x8的展开式中,有理项是 .(用关于x的式子表示)
二项式系数与各项的系数问题
角度1 二项式系数
例2 (1)已知(x-2y)n的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等,则展开式中x5y2的系数为( )
A.-4B.84
C.-280D.560
(2)[2023·青岛三模] 若13x+xn的展开式中各二项式系数的和为256,则展开式中系数最大的项的二项式系数为 .(用数字作答)
总结反思
(1)二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念,求法上也有较大差异.二项展开式的二项式系数可由二项式系数的性质求得,当n为偶数时,中间的一项的二项式系数最大,当n为奇数时,中间两项的二项式系数相等,同时取得最大值.系数最大的项不一定在中间,需要利用二项展开式的通项,根据系数值的增减性具体讨论而定.(2)对于(ax+bx-1)n,当x,x-1的系数均为1时,某项的二项式系数和系数相等.
变式题 (1)[2024·广东六校联考] 已知1x-2x2n的展开式中,仅有第4项的二项式系数最大,则展开式中的第5项是 .
(2)已知x+2x2n的展开式中各二项式系数的和是64,则展开式中x的系数为 .
角度2 展开式中各项系数的和
例3 (1)(多选题)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则下列结论中正确的是( )
A.a0=1
B.a1+a2+a3+a4+a5=2
C.a0-a1+a2-a3+a4-a5=35
D.a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=-1
(2)若(3x-4)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5= .
总结反思
形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和时,常采用赋值法,令x=1即可.
变式题 (1)[2023·漳州质检] 已知ax-13x5(a为常数)的展开式中各项系数的和与各二项式系数的和相等,则展开式中的常数项为( )
A.-90B.-10
C.10D.90
(2)[2023·山东日照联考] 已知(2x-1)3-(x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4=( )
A.-54B.-52C.-50D.-48
(3)若(1+ex)2023=a0+a1x+a2x2+…+a2023x2023,则a0-a1e+a2e2-a3e3+a4e4-…-a2023e2023= .
多项展开式中的特定项
角度1 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题
例4 [2023·广东珠海质检] 若x4+(x+1)7=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a7(x+2)7,则a3=( )
A.45B.27C.15D.3
总结反思
求几个多项式和的展开式中的特定项(系数),先分别求出每一个多项式的展开式中的特定项,再合并即可.
变式题 已知(1-x)5+(1+x)7=a0-a1x+a2x2-a3x3+a4x4-a5x5+a6x6-a7x7,则a2+a4+a6的值为 .
角度2 几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题
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(进群送往届全部资料)例5 (1)[2023·辽宁葫芦岛二模] 1-yx(2x+y)8的展开式中x2y6的系数为( )
A.-336B.-28C.56D.112
(2)[2024·广东佛山模拟] 在(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)(x+5)的展开式中,含x3的项的系数是( )
A.-23B.-3C.3D.15
总结反思
几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:先分别将每个多项式化简或展开为多项式和的形式,再分类考虑特定项产生的每一种情形,求出相应的特定项进行合并即可.
变式题 (1)已知(1-x)(1+2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a4-a0=( )
A.30B.-30C.17D.-17
(2)已知(ax-2)(x+1)4的展开式中x3的系数为-2,则实数a=( )
A.2B.-1C.1D.-2
角度3 三项展开式中的特定项(系数)问题
例6 (1)x3+1x-15的展开式中x3的系数为( )
A.5B.-5C.15D.-15
(2)x+1x+110的展开式中的常数项为 .
总结反思
三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:(1)通常先将三项式转化为二项式积的形式,然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解.
(2)将其中某两项看成一个整体,直接利用二项式定理展开,然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形.
变式题 (1)在(x2-x+y)6的展开式中,x5y2的系数为( )
A.4B.-4C.-60D.60
(2)[2023·湖南郴州模拟] 若x2+1x2-22(x+m)3(m>0)的展开式中x3的系数为3,则m= .