01 第47讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

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1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).
1.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角定义:在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 .
(2)范围:倾斜角α的取值范围是 ,即[0,π).
(3)直线的斜率定义:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的 叫作这条直线的斜率,该直线的斜率k= .
(4)过两点的直线的斜率公式:过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k= .
2.直线的方向向量与法向量
(1)直线方向向量的几种形式
(2)直线的方向向量与斜率的关系
一般地,已知a=(u,v)为直线l的一个方向向量,则
①当u=0时,直线l的斜率不存在,倾斜角为 ;
②当u≠0时,直线l的斜率k= ,倾斜角θ满足tan θ= .
3.直线方程的五种形式
常用结论
1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:
2.特殊位置的直线方程
(1)经过点(a,b)且平行于x轴的直线方程为y=b;
(2)经过点(a,b)且平行于y轴的直线方程为x=a;
(3)过原点且斜率为k的直线方程为y=kx.
3.直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个法向量v=(A,B),一个方向向量a=(-B,A).
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知直线l经过点A(-2,0)与B(-5,33),则直线l的斜率k= ,倾斜角θ= ,一个方向向量为 .
2.[教材改编] 已知A(1,3),B(-2,1),C(4,m)三点在同一条直线上,则m= .
3.[教材改编] 直线y+2=k(x+1)恒过点 .
题组二 常错题
◆索引:对截距概念理解有误;对倾斜角和斜率的关系掌握不牢;忽略截距为0的情况.
4.经过两点(-1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为 .
5.下列说法中,错误的是 .(填序号)
①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角;
②若一条直线的斜率为1,则此直线的倾斜角为90°;
③直线的倾斜角的取值范围是[0,π);
④若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α.
6.过点(1,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距相等的直线的方程为 .
直线的倾斜角和斜率
例1 经过点P(0,-1)作直线l,且直线l与连接点A(1,-2),B(2,1)的线段没有公共点,则直线l的倾斜角α的取值范围为 ,斜率k的取值范围为 .
总结反思
(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤:①求出斜率k=tan α的取值范围,但需注意斜率不存在的情况;②利用正切函数的单调性,借助函数图象或单位圆,数形结合确定倾斜角α的取值范围.
(2)注意倾斜角的取值范围是[0,π),若直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为π2,此时直线垂直于x轴.
(3)每条直线都有倾斜角,但不一定存在斜率.
变式题 (1)若直线ax+y-1=0与连接A(2,3),B(-3,2)的线段总有公共点,则实数a的取值范围是 .
(2)直线x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是 .
求直线的方程
例2 (1)(多选题)过点(-3,1)且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等的直线的方程可能是( )
A.x+3y=0B.x+y+2=0
C.x-y+4=0D.x-3y=0
(2)[2023·山西大学附中月考] 已知△ABC的顶点A(5,5),AC边上的高所在直线的方程为3x+2y-7=0,则AC边所在直线的方程为( )
A.x-2y+5=0B.2x-3y+3=0
C.x+2y-15=0D.2x-3y+5=0
总结反思
(1)求直线的方程一般有以下两种方法:
①直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.
②待定系数法:先由直线满足的条件设出直线的方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线方程.
(2)在求直线的方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.特别是对于点斜式、截距式,使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应先判断截距是否为零).
(3)最后结果写成直线的方程的一般式或斜截式.
变式题 (1)(多选题)已知直线l的一个方向向量为n=1,32,若l过点A(-4,3),则直线l的方程可以为( )
A.y-3=-32(x+4)
B. 3x-2y-18=0
C.y-3=32(x+4)
D.3x-2y+18=0
(2)在平面直角坐标系xOy中,已知△AOB为等腰三角形,|OA|=|AB|,A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为 .
(3)已知直线l:kx-y+1+2k=0,若直线l在两坐标轴上的截距相等,则k的值为 ;若直线l不经过第三象限,则实数k的取值范围是 .
直线方程的综合应用
例3 如图,O为坐标原点,过点P(4,1)作直线l,分别交x轴、y轴的正半轴于点A,B.
(1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程;
(2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.


总结反思
(1)求参数的值或范围,注意点在直线上,则点的坐标满足直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.条件
直线l的方向向量的表示
P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线l上两个不同点
P1P2=
直线l的斜率为k

名称
方程
适用范围
点斜式

不含直线x=x0
斜截式

不含垂直于x轴的直线
两点式

不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)
截距式

不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式

平面内所有直线都适用
α
0°
30°
45°
60°
0°