01 第55讲　随机抽样 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

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1.知道获取数据的基本途径,包括:统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.了解总体、样本、样本量的概念,了解数据的随机性.
2.了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法,会计算样本均值和样本方差,了解样本和总体的关系.
3.了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样的必要性,掌握各层样本量比例分配的方法.掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差.
4.在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题.
1.总体与样本
(1)总体与样本的概念:统计的研究对象是数据,获取数据的方法有 和 ,调查对象的全体称为总体,组成总体的每一个调查对象称为 ,从总体中抽取的那部分个体称为样本,样本中包含的个体数称为 .
(2)总体与样本的均值
总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则总体均值Y= .
从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则样本均值y= .
2.简单随机抽样
(1)抽取方式:逐个不放回地抽取.
(2)每个个体被抽到的概率相等.
(3)常见的简单随机抽样方法有抽签法、随机数法.
(4)适用条件:个体间差异不大,抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于个体数较多的情况.
(5)实施注意点:抽签法的关键是 ;随机数法要注意剔除 的编号.
3.分层随机抽样
(1)概念:按一个或多个变量把总体划分成 ,每个个体属于且仅属于一个子总体(层),在每个子总体(层)中独立地进行 抽样,再把所有子总体(层)中抽取的样本合在一起作为总样本.
(2)适用条件:从某一个变量的角度看,个体间差异大,根据该变量分层后,每一层内个体差异不大.
(3)实施注意点:为保证样本的代表性,常用比例分配的分层随机抽样:某层个体数总体个体数=该层入样个体数样本量.
(4)比例分配的分层随机抽样所获得样本的均值与方差
利用比例分配的分层(两层)随机抽样获得的样本中,第一层的样本量为n1,均值为x1,方差为s12;第二层的样本量为n2,均值为x2,方差为s22.则总的样本均值x= ,总的样本方差s2= .
常用结论
在比例分配的分层随机抽样中,总体数是N,样本容量为n,每一层的总体数分别是N1,N2,…,Nm,每一层中抽取的样本数为n1,n2,…,nm,则满足关系:
①nN=n1N1=…=nmNm;
②n1∶n2∶…∶nm=N1∶N2∶…∶Nm;
③n1=nN1N,…,nm=nNmN.
题组一 常识题
1.[教材改编] 总体由编号为1,2,…,99,100的100个个体组成.现用随机数法选取60个个体,利用电子表格软件产生的若干个1~100范围内的整数随机数(前20个数据如下),则选出来的第5个个体的编号为 .
8442178315745568877744772176335063
2.[教材改编] 完成下列两项调查:①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户,调查社会购买能力的某项指标.此调查宜采用的抽样方法是 .②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.此调查宜采用的抽样方法是 .
3.[教材改编] 某学校有教师200人,男学生1600人,女学生1200人.现用比例分配的分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本,若女学生一共抽取了60人,则n的值为 .
题组二 常错题
◆索引:不了解总体与样本的概念;不理解简单随机抽样中每个个体入样是等可能的;比例分配的分层随机抽样中找不准比例标准.
4.为了了解一批炮弹的杀伤半径,从中选取了50发炮弹进行试验,在这次调查中,总体是 ,个体是 ,样本是 ,样本容量是 .
5.一个总体含有100个个体,用简单随机抽样法从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为 .
6.某校有高一学生n名,其中男生数与女生数之比为6∶5,为了解学生的视力情况,现要求按比例分配的分层随机抽样法抽取一个样本容量为n10的样本,若样本中男生比女生多8人,则n= .
简单随机抽样
例1 (1)(多选题)下列抽样方法不是简单随机抽样的是( )
A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B.某公司从仓库中的1000箱零件中抽取20箱进行质量检查
C.从某班级的50名同学中挑选出5名最优秀的同学参加数学竞赛
D.从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验(假设8台电脑已编好号,对编号随机抽取)
(2)利用简单随机抽样的方法,从n个个体(n>14)中抽取14个个体,若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为15,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为 .
总结反思
(1)简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于总体中个体数较多的情况);(2)简单随机抽样中每个个体被抽中的可能性是相等的.
变式题 (1)下列4个抽样中,简单随机抽样的个数是( )
①从无数个个体中抽取50个个体作为样本;
②仓库中有1万支奥运火炬,从中抽取100支火炬进行质量检查;
③某连队从200名党员官兵中,挑选出50名最优秀的党员官兵赶赴某市参加抗震救灾工作;
④从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.
A.0B.1
C.2D.3
(2)用简单随机抽样的方法从含有n个个体的总体中,逐个抽取一个容量为3的样本,若个体a在第一次被抽到的可能性为18,那么n= ;在整个抽样中,每个个体被抽到的可能性为 .
分层随机抽样
角度1 分层随机抽样的比例分配
例2 (1)[2023·四川达州二模] 某市市场监督管理局组织开展食品安全监督抽检,涉及粮食加工品(252批次)、食用油(240批次)、调味品(180批次)、乳制品(198批次)等20类食品(共2712批次),要从这2712批次食品中按照品类分层(在各层中按比例分配样本)抽检452批次样品,则乳制品类要被抽检 批次样品.
(2)某市最近组织了一次健身活动,每位市民可自愿加入登山组或游泳组(每位市民至多加入其中一组),已知在参加活动的市民中,青年人、中年人、老年人所占的比例如图①所示,且游泳组的市民人数是登山组市民人数的3.5倍,在登山组中,青年人、中年人、老年人所占的比例如图②所示.为了了解各组不同年龄层市民对本次活动的满意程度,现采用比例分配的分层随机抽样的方法从参加活动的全体市民中抽取一个样本量为900的样本,则应从游泳组的中年人与登山组的老年人中共抽取 人.
总结反思
进行比例分配的分层随机抽样的相关计算时,常用到以下两个关系:
(1)n1N1=n2N2= …=nkNk=nN.
(2)n1∶n2∶…∶nk=N1∶N2∶…∶Nk.
变式题 (1)[2023·山东枣庄二模] 在北京冬奥会期间,共有1.8万多名赛会志愿者和20余万人次城市志愿者参与服务.据统计,某高校共有本科生1600人,硕士生600人,博士生200人申请报名做志愿者,若用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取博士生30人,则抽取的总人数为( )
A.300B.320C.340D.360
(2)某高中在校学生共2000人,高一年级与高二年级人数相同且都比高三年级多1人.为了响应“阳光体育运动”号召,学校举行了跑步和登山比赛活动.每人都参与而且只参与其中一项比赛,各年级参与比赛人数情况如下表,其中a∶b∶c=2∶3∶5,全校参与登山的人数占总人数的25.
为了了解学生对本次活动的满意程度,采用比例分配的分层随机抽样法从中抽取一个200人的样本进行调查,则高二年级参与跑步的学生中应抽取( )
A.36人B.60人
C.24人D.30人
角度2 分层随机抽样的样本均值与样本方差
例3 (1)某高中团委举办了共青团史知识竞赛(满分100分),其中高一、高二、高三年级参赛的共青团员的人数分别为800,600,600.现用比例分配的分层随机抽样法从三个年级中抽取样本,经计算可得高一、高二年级共青团员成绩的样本平均数分别为第1层
第2层
…
第k层
总计
总体数
N1
N2
…
Nk
N
样本数
n1
n2
…
nk
n
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
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(进群送往届全部资料)85,90,全校共青团员成绩的样本平均数为88,则高三年级共青团员成绩的样本平均数为( )
A.87B.89C.90D.91
(2)[2023·广东广州六中三模] 采用比例分配的分层随机抽样法从某校高三(1)班(45人)和高三(2)班(30人)两个班中共抽取10名同学参加某比赛,相关统计情况如下:高三(1)班的同学答对题目数的平均数为1,方差为1;高三(2)班的同学答对题目数的平均数为1.5,方差为0.35.则这10人答对题目数的方差为( )
D.0.8
总结反思
比例分配的分层随机抽样中有关计算的方法
(1)抽样比=该层抽取的个体数该层的个体数.
(2)在比例分配的分层随机抽样中,如果第一层的样本量为m,平均值为x,方差为s12;第二层的样本量为n,平均值为y,方差为s22,则样本的平均值z=mx+nym+n,方差s2=1m+n{m[s12+(x-z)2]+n[s22+(y-z)2]}.
变式题 (1)某企业有3个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1,按比例分配的分层随机抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件做使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1020 h,1032 h,则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为( )
A.1013 hB.1014 hC.1016 hD.1022 h
(2)某厂有A,B两条生产线制造同一型号可充电电池.现采用比例分配的分层随机抽样法,从某天两条生产线上的成品中随机抽取20件成品,测试产品可充电次数的均值及方差,结果如下表:
则20件成品组成的总样本的方差为 .
抽取成品件数
样本均值
样本方差
A生产线产品
8
210
1
B生产线产品
12
200
1