人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题3.5 函数性质及其应用大题专项训练（原卷版+教师版）

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专题3.5 函数性质及其应用大题专项训练【人教A版2019必修第一册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2022•南京模拟）已知幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，求函数f（x）的解析式．【解题思路】根据幂函数的单调性，可知m2﹣m﹣2＜0，又m∈Z，则m＝0，1，再根据函数f（x）是偶函数，将m＝0，1分别代入验证可得答案．【解答过程】解：∵幂函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，则m2﹣m﹣2＜0，得﹣1＜m＜2，又∵m∈Z，∴m＝0或1，当m＝0时，m2﹣m﹣2＝﹣2，函数为f（x）＝x﹣2是偶函数，满足条件，当m＝1时，m2﹣m﹣2＝﹣2，函数为f（x）＝x﹣2是偶函数，满足条件．∴f（x）的解析式为f（x）＝x﹣2．2．（2021秋•自贡期末）已知f（x）＝a，且函数f（x）是奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数的单调性，并证明．【解题思路】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝a﹣1＝0，解可得a的值，验证可得答案；（2）根据题意，利用作差法分析可得答案．【解答过程】解：（1）根据题意，因为，函数f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）＝a﹣1＝0，解可得a＝1，当a＝1时，f（x）＝1，是奇函数，故a＝1，（2）在R上是减函数．证明：任取x1，x2∈R，x1＜x2，由，即f（x1）＞f（x2），f（x）在R上是减函数．3．（2022•桂林开学）已知函数f（x）＝x3+2x，x∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）用定义证明函数f（x）的单调性．【解题思路】（1）根据题意，先分析函数的定义域，再分析f（x）与f（﹣x）的关系，即可得答案；（2）根据题意，利用作差法分析可得结论．【解答过程】解：（1）根据题意，函数f（x）＝x3+2x，x∈R，其定义域为R，有f（﹣x）＝﹣（x3+2x）＝﹣f（x），函数f（x）为奇函数；（2）根据题意，设x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（x13+2x1）﹣（x23+2x2）＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22+2）＝（x1﹣x2）[（x1x2）2+2x22]，又由x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x）在R上为增函数．4．（2022春•莲湖区期末）已知函数f（x）＝﹣3x+b，且为奇函数．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）+x2﹣x的值域．【解题思路】（I）由已知先求出f（x），然后结合奇函数性质可求；（II）由已知先求出g（x）的解析式，然后结合二次函数的性质可求．【解答过程】解：（I）由题意得f（x）＝﹣3（x）+b＝﹣3x+b﹣1，又f（x）为奇函数，所以b﹣1＝0，所以b＝1；（II）由（I）知，f（x）＝﹣3x+1，所以g（x）＝﹣3x+1+x2﹣x＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3≥﹣3，故g（x）的值域为[﹣3，+∞）．5．（2022春•商丘期末）已知函数（x≠0，a∈R）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当a＝1时，用单调性的定义证明f（x）在[2，+∞）上是增函数．【解题思路】（1）根据题意，分a＝0与a≠0两种情况讨论，分析函数的奇偶性，即可得结论；（2）根据题意，利用作差法分析可得结论．【解答过程】解：（1）根据题意，，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．当a＝0时，f（x）＝2x2，有f（﹣x）＝f（x），f（x）是偶函数．当a≠0时，（x≠0，a≠0），则f（﹣x）＝2x2，f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），则f（x）既不是奇函数也不是偶函数．综上可知，当a＝0时，f（x）是偶函数；当a≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．（2）根据题意，当a＝1时，，任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则．因为2≤x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，x1x2＞4，2x1x2（x1+x2）﹣1＞0，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）．所以f（x）在[2，+∞）上是增函数．6．（2022•河南开学）已知幂函数为奇函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（a+1）＜f（3﹣2a），求a的取值范围．【解题思路】（1）由已知结合幂函数的定义及性质可求；（2）结合函数的单调性即可求解．【解答过程】解：（1）由题意得m2﹣3m+3＝1且为奇数，解得m＝1或m＝2，经检验m＝1符合题意，所以f（x）＝x3；（2）由（1）得f（x）在R上单调递增，由f（a+1）＜f（3﹣2a）得a+1＜3﹣2a，解得a，故a的取值范围为{a|a}．7．（2022•句容市校级开学）函数是定义在（﹣3，3）上的奇函数，且．（1）确定f（x）的解析式；（2）证明f（x）在（﹣3，3）上的单调性；（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．【解题思路】（1）由题意，根据f（0）＝0、f（1），求出b和a的值，可得函数的解析式．（2）由题意，利用单调性函数的定义，证明函数的单调性．（3）由题意，利用函数的定义域和单调性解不等式，求得t的范围．【解答过程】解：（1）∵函数是定义在（﹣3，3）上的奇函数，则，解可得b＝0．又由f（1），则有，解可得a＝2，故．（2）由（1）的结论，，设﹣3＜x1＜x2＜3，则 ，再根据﹣3＜x1＜x2＜3，可得9+x1x2＞0，x1﹣x2＜0，，，故有f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），可得函数f（x）在（﹣3，3）上为增函数．（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数且在（﹣3，3）上为增函数，关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，即式f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），可得，解可得：，即不等式的解集为．8．（2022秋•连云区校级月考）已知f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且当0＜x＜1时，．（1）求f（x）在（﹣1，1）上的解析式和值域；（2）求的值．【解题思路】（1）先设﹣1＜x＜0时，0＜﹣x＜1，结合已知0＜x＜1上的函数解析式及奇函数定义可求﹣1＜x＜0时的函数解析式，再根据奇函数性质可求f（0），进而可求函数解析式，结合指数函数的性质及反比例函数性质可求函数值域；（2）由题意可求得，代入即可求解．【解答过程】解：（1）当﹣1＜x＜0时，0＜﹣x＜1，，因为f（x）是（﹣1，1）上的奇函数，所以，当x＝0时，f（0）＝0，所以，f（x）在（﹣1，1）上的解析式为f（x）；当﹣1＜x＜0时，，当0＜x＜1时，9x∈（1，9），，所以，f（x）在（﹣1，1）上的值域为；（2）当0＜x＜1时，，所以f（x）+f（1﹣x）1，所以，故．9．（2022秋•余姚市校级月考）已知函数f（x）．（1）若g（x）＝f（x）﹣2，判断g（x）的奇偶性并加以证明；（2）当a时，先用定义法证明函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，再求函数f（x）在[1，+∞）上的最小值；（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）由函数的奇偶性的定义，即可得出答案．（2）当时，f（x）＝x2，由函数单调性的定义，即可得出答案．（3）根据题意可得，问题转化为a大于函数φ（x）＝﹣（x2+2x）在[1，+∞）上的最大值，即可得出答案．【解答过程】解：（1）g（x）为奇函数．证明：，函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，g（﹣x）＝﹣x（x）＝﹣g（x），所以g（x）是奇函数．（2）当时，f（x）＝x2，∀x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，所以，所以函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在[1，+∞）上的最小值为．（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则所以问题转化为a大于函数φ（x）＝﹣（x2+2x）在[1，+∞）上的最大值，又函数φ（x）在[1，+∞）上单调递减，所以φ（x）最大值为φ（1）＝﹣3，所以实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．10．（2022秋•鸡东县校级月考）已知函数f（x）＝﹣x|x﹣a|+1（x∈R）．（1）当a＝2时，试写出函数g（x）＝f（x）﹣x的单调区间；（2）当a＞1时，求函数f（x）在[1，3]上的最大值．【解题思路】（1）将a＝2代入，并把函数g（x）化为分段函数的形式，结合二次函数的性质即可得出答案；（2）作出f（x）的大致图象，结合图象可知f（x）在[1，3]上的最大值在f（1），f（3），f（a）中取得，然后分类讨论得解．【解答过程】解：（1）当a＝2时，，所以，当x＜2时，g（x）＝x2﹣3x+1，其图象开口向上，对称轴方程为，所以g（x）在上单调递减，在上单调递增；当x≥2时，g（x）＝﹣x2+x+1，其图象开口向下，对称轴方程为，所以g（x）在[2，+∞）上单调递减．综上可知，g（x）的单调递减区间为和[2，+∞），单调递增区间为．（2）由题知，作出大致图象如图：易得f（0）＝f（a）＝1，，所以可判断f（x）在[1，3]上的最大值在f（1），f（3），f（a）中取得．当1＜a≤3时，f（x）max＝f（a）＝1．当a＞3时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，又，所以，若3＜a＜4，则f（x）max＝f（3）＝10﹣3a；若a≥4，则f（x）max＝f（1）＝2﹣a．综上可知，在区间[1，3]上，．11．（2022秋•鸡东县校级月考）已知幂函数f（x）＝（2m2+9m﹣4）xm在（﹣∞，0）上为减函数．（1）试求函数f（x）解析式；（2）判断函数f（x）的奇偶性并写出其单调区间．【解题思路】（1）根据幂函数的定义，令2m2+9m﹣4＝1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数在x∈（﹣∞，0）上为减函数即可．（2）利用奇偶性的定义判断奇偶性，利用幂函数的性质求出单调区间．【解答过程】解：（1）∵f（x）＝（2m2+9m﹣4）xm为幂函数，∴2m2+9m﹣4＝1，即2m2+9m﹣5＝0，解得或m＝﹣5，当时，函数f（x）在区间（﹣∞，0）上无意义，∴m＝﹣5，则f（x）＝x﹣5．（2）∵的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），其关于原点对称，∵，∴幂函数为奇函数，当x＞0时，根据幂函数的性质可知f（x）＝x﹣5在（0，+∞）上为减函数，∵函数f（x）是奇函数，∴在（﹣∞，0）上也为减函数，故其单调减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．12．（2021秋•广西月考）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．（1）现已画出函数f（x）在x轴左侧的图象，如图所示，请补全函数f（x）的图象并求f（3）的值；（2）求函数f（x）的解析式．【解题思路】（1）根据奇函数的图象关于原点对称，作图即可；由f（3）＝﹣f（﹣3），代入运算，得解；（2）令x＞0，则﹣x＜0，代入f（x）的解析式中，并根据f（x）＝﹣f（﹣x），得解．【解答过程】解：（1）图象如图所示：因为f（x）为奇函数，所以f（3）＝﹣f（﹣3）＝﹣[（﹣3）2﹣2•3]＝﹣3．（2）当x＞0时，﹣x＜0，所以f（﹣x）＝（﹣x）2+2（﹣x）＝x2﹣2x，因为f（x）为奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+2x，故f（x）的解析式为．13．（2022春•项城市校级期末）已知幂函数f（x）＝（a2﹣3a+3）xa为偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝f（x）+（2m﹣1）x﹣3在[﹣1，3]上的最大值为2，求实数m的值．【解题思路】（1）根据幂函数的定义及性质求出参数a，即可得解．（2）首先得到g（x）的解析式，再对对称轴与区间中点的关系分类讨论，即可求出函数的最大值，从而求出参数的值．【解答过程】解：（1）因为f（x）＝（a2﹣3a+3）xa为幂函数，所以a2﹣3a+3＝1，解得a＝2或a＝1，因为f（x）为偶函数，所以a＝2，故f（x）的解析式f（x）＝x2．（2）由（1）知g（x）＝x2+（2m﹣1）x﹣3，对称轴为，开口向上，当，即时，g（x）max＝g（3）＝3+6m＝2，即；当，即时，g（x）max＝g（﹣1）＝﹣1﹣2m＝2，即；综上所述：或．14．（2022春•三元区校级月考）已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x．（1）求f（﹣2）；（2）求f（x）的解析式；（3）画y＝f（x）的草图，并通过图像写出y＝f（x）的单调区间．【解题思路】（1）由已知先求f（2），然后结合奇函数定义可求；（2）由已知区间上函数解析式，结合奇函数定义及性质可求；（3）结合二次函数的图象及性质即可求解．【解答过程】解：（1）因为f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x．所以f（2）＝0，则f（﹣2）＝﹣f（2）＝0；（2）当x＝0时，f（x）＝0，当x＜0时，﹣x＞0，f（x）＝x2+2x＝﹣f（x），所以f（x）＝﹣x2﹣2x，∴f（x），（3）结合函数图象可知，函数的增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），减区间为（﹣1，1）．15．（2022春•济宁期末）已知函数．（1）如果函数f（x）为幂函数，试求实数a、b、c的值；（2）如果a＞0、b＞0，且函数f（x）在区间上单调递减，试求ab的最大值．【解题思路】（1）根据幂函数的定义得到方程组，解得即可；（2）分a＝2、a＞2、0＜a＜2三种情况讨论，结合二次函数的性质及基本不等式计算可得．【解答过程】解：（1）由f（x）为幂函数知：或．解得：a＝5，b＝8，c＝1，或a＝2，b＝9，c＝1．（2）①当a＝2时，f（x）＝（b﹣8）x+c﹣1（x∈R）由题意知，0＜b＜8，所以ab＜16．②当a＞2时，函数f（x）图象的对称轴为，以题意得：，即2a+b≤12所以，ab≤18．当且仅当a＝3，b＝6时取等号．③当0＜a＜2时，以题意得：，即a+3b≤26，即又因为0＜a＜2，所以综上可得，ab的最大值为18．16．（2022春•渭滨区期末）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对任意的x∈[a，a+1]，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）由函数f（x）是定义再R上的奇函数，得f（0）＝0，再求当x＜0时，f（x）的解析式，即可得出答案．（2）不等式f（xa）≥4f（x）恒成立，等价于f（xa）≥f（2x）恒成立，根据f（x）的单调性，得xa≥2x，只需a≥[x]max，即可得出答案．【解答过程】解：（1）因为函数f（x）是定义再R上的奇函数，所以f（0）＝0，又当x＞0时，f（x）＝x2，所以当x＜0时，﹣x＞0，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2，所以函数f（x）的解析式为f（x）．（2）因为4x2＝（2x）2，所以不等式f（xa）≥4f（x）恒成立，等价于f（xa）≥f（2x）恒成立，因为函数f（x）是定义在R上的增函数，所以xa≥2x，即ax，因为x∈[a，a+1]，所以[x]max（a+1），所以a（a+1），解得a1，所以a的取值范围为[1，+∞）．17．（2022春•江西期中）已知函数（1）用定义法证明f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增；（2）若f（x）的最小值是6，求a的值．【解题思路】（1）先设x1＞x2＞0，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；（2）结合（1）中对函数单调性的研究，对a进行分类讨论可求函数最小值，从而建立关于a的方程，进一步求出a的值．【解答过程】解：（1）证明：对任意的x1＞x2＞0，．当0＜x2＜x1＜2时，x1﹣x2＞0，0＜x1x2＜4，则，即f（x1）＜f（x2）；当x1＞x2＞2时，x1﹣x2＞0，x1x2＞4，则，即f（x1）＞f（x2）．故f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．（2）由（1）可知f（x）在（0，+∞）上的最小值是f（2）＝4﹣a．当x≤0时，f（x）＝x2﹣2ax+a2﹣a，其图象的对称轴方程是直线x＝a．①若a≥0，f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，则f（x）在（﹣∞，0]上的最小值是f（0）＝a2﹣a．②若a＜0，f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，0]上单调递增，则f（x）在（﹣∞，0]上的最小值是f（a）＝﹣a．综上，f（x）min，因为f（x）的最小值是6，所以或或，解得a＝﹣6．18．（2022春•安徽期中）已知是定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求出函数f（x）的解析式并画出f（x）的简图（不必列表）；（2）若函数在区间[a，a+1]上单调，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）根据奇函数的定义求解即可；（2）根据 （1）中函数的图象确定单调区间，再求解即可．【解答过程】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x，又f（x）为奇函数，所以f（x）＝x2+2x（x＜0），综上：f（x），函数f（x）的简图如下图所示：（2）由图象可得f（x）在（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）上单调递减，在[﹣1，1]上单调递增，所以有：a+1≤﹣1或或a≥1，解得a≤﹣2或﹣1≤a≤0或a≥1．所以a的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，0]∪[1，+∞）．19．（2022春•天心区校级期中）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）＝0，当x＜0时，f（x）＝x2+4x．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在区间[﹣6，m]上的值域．【解题思路】（1）根据x＜0时，f（x）＝x2+4，可得f（﹣x）的表达式，然后根据偶函数即可得．（2）根据函数图象，结合函数的单调性，分情况讨论即可．【解答过程】（1）解：（1）当x＞0时，﹣x＜0，所以f（﹣x）＝（﹣x）2+4（﹣x）＝x2﹣4x；因为f（x）为R上的偶函数，所以f（x）＝f（﹣x）＝x2﹣4x；又f（0）＝0，所以；（2）解：作出的大致图象如下所示：当﹣6＜m≤﹣2时，f（x）在区间[﹣6，m]上单调递减，则f（x）在区间[﹣6，m]上的值域为[f（m），f（﹣6）]，即[m2+4m，12]；当﹣2＜m≤6时，f（x）在区间[﹣6，m]上的最大值为f（﹣6）＝12，最小值为f（﹣2）＝﹣4，所以f（x）在[﹣6，m]上的值域为[f（﹣2），f（﹣6）]，即[﹣4，12]；当m＞6时，f（x）在区间[﹣6，﹣2]上单调递减，在区间[﹣2，0]上单调递增，在区间[0，2]上单调递减，在区间[2，m]上单调递增，且f（m）＞f（﹣6），则f（x）在区间[﹣6，m]上的值域为[f（﹣2），f（m）]，即[﹣4，m2﹣4m]．20．（2022春•安徽期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且f（1）＝1．（1）求a，b的值；（2）用定义法证明f（x）在[2，6]上的单调性，并求出在[2，6]上的最大值和最小值．【解题思路】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝b＝0，又由f（1）＝1可得a的值，验证可得答案；（2）根据题意，利用作差法分析函数单调性，据此分析可得答案．【解答过程】解：（1）根据题意，函数是定义在R上的奇函数，必有f（0）＝b＝0，则b＝0，又由f（1）＝1，则f（1）1，解可得a＝1，故a＝1，b＝0，则f（x），是R上的奇函数，符合题意，（2）证明：根据题意，由（1）的结论，f（x），设2≤x1＜x2≤6，则f（x1）﹣f（x2），又由2≤x1＜x2≤6，则f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）在区间[2，6]上为减函数，则f（x）max＝f（2），f（x）min＝f（6），21．（2022春•秀峰区校级期中）已知定义R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x+1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）解关于x的不等式：f（ax2﹣2x）+f（2﹣ax）＞0（a∈R）．【解题思路】（1）由f（x）为定义R上的奇函数求x＝0及x＜0时的解析式即可；（2）结合函数的奇偶性可判断f（x）在R上单调递增，从而化不等式为ax2﹣2x＞ax﹣2，分类讨论求解集即可．【解答过程】解：（1）∵f（x）为定义R上的奇函数，∴f（0）＝0，当x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2﹣x+1]＝﹣x2+x﹣1，故f（x）；（2）∵f（ax2﹣2x）+f（2﹣ax）＞0，∴f（ax2﹣2x）＞f（ax﹣2），当x＞0时，f（x）单调递增且f（x）＞1，且f（0）＝0，故f（x）在[0，+∞）上单调递增，又f（x）为奇函数，故f（x）在R上单调递增，故ax2﹣2x＞ax﹣2，即ax2﹣（a+2）x+2＞0，即（ax﹣2）（x﹣1）＞0，①当a＞2时，x∈（﹣∞，）∪（1，+∞）；②当a＝2时，x∈（﹣∞，1）∪（1，+∞）；③当0＜a＜2时，x∈（﹣∞，1）∪（，+∞）；④当a＝0时，x∈（﹣∞，1）；⑤当a＜0时，x∈（，1）；综上：当a＞2时，x∈（﹣∞，）∪（1，+∞）；当a＝2时，x∈（﹣∞，1）∪（1，+∞）；当0＜a＜2时，x∈（﹣∞，1）∪（，+∞）；当a＝0时，x∈（﹣∞，1）；当a＜0时，x∈（，1）．22．（2021秋•贵阳期末）已知函数y＝f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＜0时，．（1）用单调性定义证明函数y＝f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；（2）求当x＞0时，函数f（x）的解析式．【解题思路】（1）先设x1＜x2＜0，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；（2）先设x＞0，则﹣x＜0，然后根据已知x＜0时函数解析式及偶函数定义可求．【解答过程】（1）证明：当x＜0时，，设x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）0，所以f（x1）＜f（x2），所以y＝f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；（2）解：当x＞0，﹣x＜0，因为x＜0时，，f（﹣x）1＝1f（x），故x＞0时，．23．（2021秋•大荔县期末）已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并用定义证明．【解题思路】（1）根据函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数得f（0）＝0，即b＝0；再由f（1）求得a的值；（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可．【解答过程】解：（1）因为函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，所以f（0）＝0，即b＝0；又f（1），即，解得a＝1；故a＝1，b＝0；（2）由（1）知f（x），f（x）在[﹣1，1]上单调递增，证明如下：设﹣1≤x1＜x2≤1，则f（x1）﹣f（x2），其中x1x2﹣1＜0，x2﹣x1＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增．24．（2021秋•凉山州期末）已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）用单调性定义证明：f（x）在（﹣1，1）上单调递增．【解题思路】（1）函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数，利用函数奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性的定义证明即可．【解答过程】解：（1）函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．理由如下：函数的定义域为R，关于原点对称，∵，，则f（﹣1）≠f（1）与f（﹣x）＝f（x）恒成立矛盾，∴f（x）不是偶函数；又f（﹣1）≠﹣f（1）与f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立矛盾，∴f（x）不是奇函数．综上，函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．（2）证明：设x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，，因为x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，﹣1＜x1•x2＜1，1﹣x1•x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（﹣1，1）上单调递增．25．（2021秋•凉山州期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求关于m的不等式式f（2m﹣8）+f（5﹣m）＞0的解集．【解题思路】（1）结合奇函数的定义及性质分别求出x＜0及x＝0时函数解析式即可；（2）先判断函数的单调性，然后结合单调性及奇偶性即可求解．【解答过程】解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴当x＝0时，f（0）＝0；当x＜0时，﹣x＞0，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（﹣x）2＝﹣x2．∴；（2）∵函数f（x）为奇函数，∴f（2m﹣8）+f（5﹣m）＞0⇔f（2m﹣8）＞﹣f（5﹣m）＝f（m﹣5）因为f（x）＝x2在[0，+∞）上递增，且f（x）为奇函数，所以f（x）在R单调递增，∴2m﹣8＞m﹣5，解得：m＞3，故不等式的解集是{m|m＞3}．26．（2021秋•秦皇岛期末）已知函数．（1）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用定义证明；（2）判断f（x）的奇偶性，并求f（x）在区间[﹣2，﹣1]上的值域．【解题思路】（1）设0＜x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；（2）利用函数的单调性及奇偶性即可求解．【解答过程】解：（1）f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，证明如下：∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，有（）．因为x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，所以x1x2＞0，x1﹣x2＜0．于是，即f（x1）＜f（x2）．故f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．（2）f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．因为，所以f（x）为奇函数．由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，结合奇偶性可得f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增．又因为，所以f（x）在区间[﹣2，﹣1]上的值域为．27．（2021秋•滕州市期末）已知函数是R上的偶函数（1）求实数m的值，判断函数f（x）在[0，+∞）上的单调性（不必证明）；（2）求函数f（x）在[﹣3，2]上的最小值．【解题思路】（1）利用函数的奇偶性的定义求出m＝0即可．（2）先判断函数的单调性，再利用单调性求最值即可．【解答过程】解：（1）若函数是R上的偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即，解得m＝0，所以，函数函数f（x）在[0+∞）上单调递减．（2）由（1）知函数f（x）在[0+∞）上单调递减，又函数f（x）是R上的偶函数，所以函数f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，所以函数f（x）在[﹣3，0]上为增函数，在[0，2]上为减函数．又，所以．28．（2021秋•丽江期末）已知定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x+3．（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）利用偶函数的对称性进行转化求解即可．（2）作出函数f（x）的图象，利用函数的单调性建立不等式进行求解即可．【解答过程】解：（1）若x＜0，则﹣x＞0，∵x≥0时，f（x）＝x2﹣4x+3．∴当﹣x＞0时，f（﹣x）＝x2+4x+3，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即f（﹣x）＝x2+4x+3＝f（x），则f（x）＝x2+4x+3，（x＜0），综上f（x）．（2）作出f（x）的图象如图：则函数f（x）在[﹣2，0]上单调递增，若f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则﹣1＜a﹣2≤0，得1＜a≤2，即实数a的取值范围是（1，2]．29．（2021秋•张家口期末）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切m＞0，n＞0，都有，当x＞1时，总有f（x）＜2．（1）求f（1）的值；（2）证明：f（x）是定义域上的减函数；（3）若f（4）＝1，解不等式f（x﹣2）﹣f（8﹣2x）＜﹣1．【解题思路】（1）由已知令m＝n＝1可求f（1）；（2）结合单调性定义先设x1＜x2，结合已知x＞1时f（x）＜2可证；（3）结合（2）中单调性进行转化即可求解．【解答过程】解：（1）因为对一切m＞0，n＞0，都有，令m＝n＝1，则f（1）＝2；（2）设0＜x1＜x2，则1，所以f（）＜2，f（x2）﹣f（x1）＝f（）﹣2＜0，所以f（x2）＜f（x1），所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）由f（x﹣2）﹣f（8﹣2x）＜﹣1得f（）﹣2＜﹣1，所以f（）＜1＝f（4），因为f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以4，所以，解得x＜4，故不等式的解集为（，4）．30．（2022春•慈溪市月考）已知函数f（x）＝|2x﹣a|+3a，a∈R．（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；（2）设函数，已知当a∈[2，8]时，g（x）存在最大值，记为M（a）．（ⅰ）求M（a）的表达式；（ⅱ）求M（a）的最大值．【解题思路】（1）根据偶函数的性质f（﹣x）＝f（x）得到方程，解得即可；（2）（i）首先可得g（x），再分段结合对勾函数及y＝x的性质分别求出函数的最大值，再判断各段最大值的大小关系，即可得到M（a）；（ii）根据函数的单调性计算可得．【解答过程】解：（1）因为f（x）＝|2x﹣a|+3a为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），即|2（﹣x）﹣a|+3a＝|2x﹣a|+3a，即|﹣2x﹣a|＝|2x﹣a|，所以（﹣2x﹣a）2＝（2x﹣a）2，即8ax＝0，所以a＝0；（2）（i）因为，所以g（x）＝|2x﹣a|+3a，因为a∈[2，8]，所以g（x）＝|2x﹣a|+3a，①当1时，g（x）＝﹣2（x）+4a，因为y＝x在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，所以当2，即a∈[2，4]时，g（x）max＝g（）＝3a，当2，即a∈（4，8]时，g（x）max＝g（2）＝4a﹣8；②当x≤4时，g（x）＝2（x）+2a，又y＝x在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）max＝g（4）＝2a+6，因为3a（2a+6）＝a6＜0，所以当a∈[2，4]时，g（x）max＝2a+6，又4a﹣8﹣（2a+6）＝2a﹣14，所以当2≤a≤7时，g（x）max＝2a+6，当7＜a≤8时，g（x）max＝4a﹣8，综上可得：M（a）；（ii）因为函数M（a）＝2a+6，a∈[2，7]与M（a）＝4a﹣8，a∈（7，8]均在定义域上单调递增，又M（7）＝23，M（8）＝24，所以M（a）max＝24．